درسنامه آموزشی فیزیک (2) کلاس یازدهم تجربی
فصل 1: میدان الکتریکی حاصل از یک ذرهٔ باردار
میخواهیم میدان الکتریکی ناشی از ذرّهای با بار $q$ را در نقطهٔ $A$ که به فاصلهٔ $r$ از بار $q$ قرار دارد (شکل 1-11)، محاسبه کنیم. برای این محاسبه از رابطهٔ 1-3 استفاده میکنیم. اگر بار آزمون ${{q}_{0}}$ در نقطهٔ $A$ قرار گیرد، بار $q$ به آن نیروی $\overrightarrow{F}$ وارد میکند. با استفاده از قانون کولن، بزرگی نیروی $\overrightarrow{F}$ را محاسبه میکنیم و با جایگذاری در رابطهٔ $E=F/{{q}_{0}}$، بزرگی میدان الکتریکی بار $q$ را در نقطهٔ $A$ به دست میآوریم:
$E=\frac{F}{{{q}_{0}}}$ و $F=k\frac{|q|{{q}_{0}}}{{{r}^{2}}}$
در نتیجه:
(4-1) $E=k\frac{|q|}{{{r}^{2}}}$
رابطهٔ 1-4 عاملهای مؤثر بر بزرگی میدان الکتریکی حاصل از ذرّهای با بار $q$ را مشخص میکند. طبق این رابطه، میدان با اندازه بار $q$، نسبت مستقیم و با مربع فاصله از آن، نسبت وارون دارد. همان طور که پیشتر دیدیم جهت بردار میدان الکتریکی $\overrightarrow{E}$ در نقطهٔ $A$، همان جهت نیروی وارد بر بار آزمونی است که به طور فرضی در نقطهٔ $A$ میگذاریم.
مثال 1-6
مولّد وان دوگراف وسیلهای است که با استفاده از تسمهای متحرک، بار الکتریکی را بر روی یک کلاهک تو خالی فلزی جمع میکند. فرض کنید کلاهک این مولد، کرهای با شعاع $0/10m$ است و باری به بزرگی $1/0\mu C$ روی آن جمع میشود. با فرض آنکه همهٔ این بار در مرکز کره قرار داشته باشد، بزرگی میدان الکتریکی این بار را در فاصلههای $1/0m$، $2/0m$، $3/0m$ و $4/0m$، از مرکز کره به دست آورید و سپس با نقطهیابی، نمودار بزرگی میدان الکتریکی را برحسب فاصله از مرکز کره رسم کنید.
پاسخ: با استفاده از رابطهٔ 1-4 بزرگی میدان را در نقطههای مورد نظر به دست میآوریم:
$E=k\frac{|q|}{{{r}^{2}}}$
${{E}_{1}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(1/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(1/0m)}^{2}}}=9/0\times {{10}^{3}}N/C$
${{E}_{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(1/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(2/0m)}^{2}}}=2/25\times {{10}^{3}}N/C\approx 2/3\times {{10}^{3}}N/C$
${{E}_{3}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(1/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(3/0m)}^{2}}}=1/0\times {{10}^{3}}N/C$
${{E}_{4}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(1/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(4/0m)}^{2}}}=0/5625\times {{10}^{3}}N/C\approx 0/56\times {{10}^{3}}N/C$
با استفاده از این نتایج نمودار $E$ برحسب $r$، مانند نمودار روبه رو خواهد شد.
برای مشاهدهٔ تجربی نتایج مثال 1-6 میتوان به آزمایش شکل زیر توجه کرد. در این شکل، دو شمع یکی در فاصلهای نزدیک و دیگری در فاصلهای دور از کلاهک یک مولد وان دوگراف قرار گرفتهاند. همانطور که مشاهده میکنید شعلهٔ شمع نزدیکتر به سمت کلاهک کشیده شده است، در حالی که شعلهٔ شمع دورتر تغییر چندانی نکرده است. دلیل آن است که کلاهک مولد وان دوگراف بار منفی بزرگی دارد که یونهای مثبت درون شعلهٔ شمع نزدیکتر را به سمت خود میکشد، در حالی که شمع دیگر در فاصلهٔ دوری از کلاهک قرار گرفته است که تحت تأثیر میدان الکتریکی ضعیفتری قرار میگیرد.
تمرین 1-4 (صفحهٔ 13 کتاب درسی)
طبق مدل بور برای اتم هیدروژن، در حالت پایه فاصلهٔ الکترون از پروتون هسته برابر با $5/3\times {{10}^{-11}}m$ است.
الف) اندارهٔ میدان الکتریکی ناشی از پروتون هسته را در این فاصله تعیین کنید.
$r=5/3\times {{10}^{-11}}m$ ،$K\simeq 9\times {{10}^{9}}\frac{N.{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}$ ،$|q|=e=1/6\times {{10}^{-19}}C$
$E=k\frac{|q|}{{{r}^{2}}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{1/6\times {{10}^{-19}}}{{{(5/3\times {{10}^{-11}})}^{2}}}\simeq 0/51\times {{10}^{12}}\frac{N}{C}\to E\simeq 5/1\times {{10}^{11}}\frac{N}{C}$
ب) در چه فاصلهای از پروتون هسته، بزرگی میدان الکتریکی برابر با بزرگی میدان الکتریکی حاصل از مولد وان دوگراف مثال پیش در فاصلهٔ $1/0m$ از مرکز کلاهک آن است؟
$E=9\times {{10}^{3}}\frac{N}{C}$ ،$k=9\times {{10}^{9}}\frac{N.{{m}^{2}}}{{{c}^{2}}}$ ،$|q|=1/6\times {{10}^{-19}}C$
$\begin{align}
& E=k\frac{|q|}{{{r}^{2}}}\to {{r}^{2}}=\frac{k|q|}{E}=\frac{9\times {{10}^{9}}\times 1/6\times {{10}^{-19}}}{9\times {{10}^{3}}}=1/6\times {{10}^{-13}}=0/16\times {{10}^{-12}} \\
& \to r=\sqrt{0/16\times {{10}^{-12}}}=0/4\times {{10}^{-6}}m\to r=4\times {{10}^{-7}}m \\
\end{align}$
برایند میدانهای الکتریکی: برای یافتن میدان الکتریکی خالص حاصل از چند ذرهٔ باردار در نقطهای از فضا باید نخست میدان الکتریکی ناشی از هر ذره را در آن نقطه به دست آورد و سپس این میدانها را به صورت برداری با یکدیگر جمع کرد:
(5-1) $\overrightarrow{E}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}+...$
مثلاً شکل 1-12 میدان الکتریکی خالص در نقطهٔ $A$ را نشان میدهد. در این کتاب، صرفاً مثالهایی را بررسی میکنیم که در آنها میدانهای الکتریکی در یک نقطه، در یک راستا قرار دارند یا عمود بر یکدیگرند.
مثال 1-7
مطابق شکل، دو ذرّه با بارهای ${{q}_{1}}=4/0\mu C$ و ${{q}_{2}}=6/0\mu C$ در فاصلهٔ $8/0m$ از یکدیگر ثابت شدهاند. اندازهٔ میدان الکتریکی خالص را در نقطههای زیر به دست آورید:
الف) در وسط خط واصل دو ذرّه،
ب) در نقطهای روی خط و اصل دو ذرّه به فاصلهٔ $8/0m$ از بار ${{q}_{1}}$ و $16m$ از بار ${{q}_{2}}$.
پاسخ: در غیاب هر یک از دو ذرّه، میدان حاصل از بار دیگر را محاسبه میکنیم. میدانِ حاصل از مجموعهٔ دو بار، برایند این دو میدان خواهد بود.
الف) در شکل اگر بار آزمون را در نقطهٔ $A$ واقع در وسط خط واصل دو ذرّه قرار دهیم، بار ${{q}_{1}}$ آن را دفع و بار ${{q}_{2}}$ آن را جذب میکند. بنابراین، همانطور که شکل نشان میدهد، ${{\overrightarrow{E}}_{1}}$ و ${{\overrightarrow{E}}_{2}}$ در نقطهٔ $A$ هم جهت و به سوی بار ${{q}_{2}}$ (در سوی مثبت محور $X$) هستند.
میدان خالص در نقطهٔ A، برایند میدانهای $\overrightarrow {{E_1}} $ و $\overrightarrow {{E_2}} $ است:
${{\overrightarrow{E}}_{A}}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}={{E}_{1}}\overrightarrow{i}+{{E}_{2}}\overrightarrow{i}$
مقادیر ${{E}_{1}}$ و ${{E}_{2}}$ را با استفاده از رابطهٔ 1-4 به دست میآوریم:
${{E}_{1}}=k\frac{|{{q}_{1}}|}{r_{1}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(4/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(4/0m)}^{2}}}=2/25\times {{10}^{3}}N/C\approx 2/3\times {{10}^{3}}N/C$
${{E}_{2}}=k\frac{|{{q}_{2}}|}{r_{2}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(6/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(4/0m)}^{2}}}=3/375\times {{10}^{3}}N/C\approx 3/4\times {{10}^{3}}N/C$
بنایراین:
${{\overrightarrow{E}}_{A}}\simeq (2/3\times {{10}^{3}}N/C)\overrightarrow{i}+(3/4\times {{10}^{3}}N/C)\overrightarrow{i}=(5/7\times {{10}^{3}}N/C$
ب) اکنون اگر بار آزمون را در نقطهٔ $B$ قرار دهیم شکل میدانهای الکتریکی به صورت زیر در میآید:
میدان خالص در نقطهٔ B، برایند میدانهای $\overrightarrow {{E_1}} $ و $\overrightarrow {{E_2}} $ است:
${{\vec{E}}_{B}}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}=-{{E}_{1}}\vec{i}+{{E}_{2}}\vec{i}$
که در آن ${{E}_{1}}$ و ${{E}_{2}}$ برابرند با
${{E}_{1}}=k\frac{|{{q}_{1}}|}{r_{1}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(4/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(8/0m)}^{2}}}=5/625\times {{10}^{2}}N/C\approx 5/6\times {{10}^{2}}N/C$
${{E}_{2}}=k\frac{|{{q}_{2}}|}{r_{2}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(6/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(16m)}^{2}}}=2/109\times {{10}^{2}}N/C\approx 2/1\times {{10}^{2}}N/C$
بنایراین:
${{\overrightarrow{E}}_{B}}\simeq (-5/6\times {{10}^{2}}N/C)\overrightarrow{i}+(2/1\times {{10}^{2}}N/C)\overrightarrow{i}=(-3/5\times {{10}^{2}}N/C)\overrightarrow{i}$
خوب است بدانید
دو قطبی الکتریکی آرایشی از بارهای الکتریکی است که در آن دو ذرّه با بزرگی بار $q$یِ یکسان و علامت مخالف در فاصلهٔ $d$ از هم روی محوری که به آن محور دوقطبی گفته میشود قرار گرفتهاند. مولکول آب $({{H}_{2}}O)$ از دو اتم هیدروژن و یک اتم اکسیژن ساخته شده است. اتم اکسیژن الکترونهای دو اتم هیدروژن را به سمت خود میکشد و بدین ترتیب اتمهای هیدروژن بار مثبت و خودش بار منفی پیدا میکند. این سه اتم مطابق شکل به گونهای قرار گرفتهاند که خطوط وصل کننده مراکز اتمهای هیدروژن به مرکز اتم اکسیژن، زاویهٔ $105{}^\circ $ یکدیگر میسازند. با فرض اینکه کل بار مثبت $(+2e)$ دقیقاً در میانهٔ خطی باشد که مراکز اتمهای هیدروژن را به هم متصل میکند و بار منفی $(-2e)$ دقیقاً در مرکز اتم اکسیژن قرار داشته باشد، یک دوقطبی الکتریکی خواهیم داشت. بررسی میدان الکتریکی دوقطبی و نیز اثر میدان الکتریکی خارجی بر دوقطبی، اهمیت زیادی در شناخت رفتار الکتریکی مولکولهای قطبی (مانند مولکول آب) در میدانهای الکتریکی دارد.
تمرین 1-5 (صفحهٔ 15 کتاب درسی)
شکل زیر، آرایشی از دو بار الکتریکی هماندازه و غیرهمنام (دوقطبی الکتریکی) را نشان میدهد که در آن فاصلهٔ دو بار از هم $6/0cm$ است. میدان الکتریکی خالص را در نقطههای $O$ و $M$ بهدست آورید.
با انتخاب نقطه $O$ به عنوان محل بارآزمون، میدانهای الکتریکی در این نقطه مانند شکل زیر میشوند. چون بارها با هم برابر و فاصله آنها تا نقطه $O$ نیز یکسان است اندازه میدانها در این نقطه با هم برابرند:
${{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{|q|}{{{r}_{2}}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{2\times {{10}^{-9}}}{{{(3\times {{10}^{-2}})}^{2}}}=2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\overrightarrow{E}}_{1}}=(-2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i} \\
{{\overrightarrow{E}}_{2}}=(-2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i} \\
\end{matrix} \right.$
${{\overrightarrow{E}}_{0}}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}=(-2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}+(-2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}=(-4\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}\to {{\overrightarrow{E}}_{0}}=4\times {{10}^{4}}\frac{N}{C}$
با انتخاب نقطه $M$ به عنوان محل بار آزمون میدانهای الکتریکی در این نقطه مانند شکل زیر میشوند، در نتیجه میدان الکتریکی خالص در این نقطه به صورت زیر به دست میآید:
${{E}_{1}}=k\frac{|{{q}_{1}}|}{r_{1}^{2}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{2\times {{10}^{-9}}}{{{(9\times {{10}^{-2}})}^{2}}}=\frac{2}{9}\times {{10}^{4}}\frac{N}{C}\to {{\overrightarrow{E}}_{1}}=(-\frac{2}{9}\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}$
${{E}_{2}}=k\frac{|{{q}_{2}}|}{r_{2}^{2}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{2\times {{10}^{-9}}}{{{(3\times {{10}^{-2}})}^{2}}}=2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C}\to {{\overrightarrow{E}}_{2}}=(2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}$
${{\overrightarrow{E}}_{M}}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}=(2\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}+(-\frac{9}{2}\times {{10}^{-4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}=(\frac{16}{9}\times {{10}^{4}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}\to {{E}_{M}}=\frac{16}{9}\times {{10}^{4}}\frac{N}{C}$
پرسش 4-1 (صفحه 15 کتاب درسی)
با توجه به شکل زیر توضیح دهید چرا یک میلهٔ باردار، خردههای کاغذ را میرباید؟ میله باردار بر اثر القا مولکولهای خردههای کاغذ را قطبی کرده و جاذبه بین بارهای ناهمنام باعث جذب خردههای کاغذ به میله باردار میشود.
خوب است بدانید: نیروی وان دروالس و چسبیدن مارمولکها به دیوار
نیروی وان دروالس برای توصیف نیروی جاذبهٔ الکتریکی بین مولکولها استفاده میشود. دلیل این نامگذاری این است که وان در والس در سال 1873 نخستین پیشنهاد را برای نیروهای الکتریکی بین ذرّههای سازندهٔ گاز به منظور توصیف برخی از ویژگیهای گازهای غیرآرمانی و مایعات ارائه کرد. منشأ نیروی وان دروالس برهم کنش الکتریکی بین دوقطبیهای الکتریکی است. بر اساس نیروی وان دروالس میتوان بسیاری از چسبندگیها از جمله چسبندگی پای مارمولک روی دیوار را توضیح داد.
پای مارمولک تعداد بیشماری مو موسوم به سِتا دارد که هر مو صدها برجستگی یا سرمثلثی دارد که به کاردک معروفاند. وقتی مارمولک پای خود را بر دیوار میفشارد تمام این کاردکها توسط نیروی وان در والس به دیوار میچسبند. در این حالت، دوقطبیهای موجود در سطح کاردکها و سطح دیوار، یکدیگر را جذب میکنند. گرچه نیروی وان دروالس ضعیف است، اما مجموع این نیروهای بیشمار میتواند مارمولک را بر سطح دیوار نگه دارد.
مثال 1-8
شکل زیر، دو بار نقطهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{2}}$ را در صفحهٔ $xy$ نشان میدهد. میدان الکتریکی خالص را در نقطهٔ $O$ (مبدأ مختصات) تعیین کنید. $({{q}_{1}}={{q}_{2}}=5/0\mu C)$
پاسخ: در نقطهٔ $O$ میدانهای الکتریکی مانند شکل زیر میشوند؛ چون بارها با هم برابر و فاصلهٔ آنها تا نقطهٔ $O$ نیز یکسان است، پس اندازهٔ میدانها در این نقطه با هم برابرند:
${{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{|q|}{{{r}^{2}}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(5/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(3/0m)}^{2}}}=5/0\times {{10}^{3}}N/C$
${{\overrightarrow{E}}_{2}}=(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)\overrightarrow{j}$ و ${{\overrightarrow{E}}_{1}}=(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)\overrightarrow{i}$
در نتیجه میدان الکتریکی خالص برابر است با
$\overrightarrow{E}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}$
$\vec{E}=(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)\vec{i}+(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)\vec{j}$
و از آنجا اندازهٔ میدان الکتریکی خالص چنین میشود:
$E=\sqrt{{{(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)}^{2}}+{{(-5/0\times {{10}^{3}}N/C)}^{2}}}=7/07\times {{10}^{3}}N/C\approx 7/1\times {{10}^{3}}N/C$
تمرین 1-6 (صفحهٔ 16 کتاب درسی)
میدان الکتریکی خالص حاصل از آرایش بار مثال 1-8 را در نقطهٔ $A$ تعیین کنید.
${{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{|q|}{{{r}_{2}}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{5\times {{10}^{-6}}}{{{3}^{2}}}=5\times {{10}^{3}}\frac{N}{C}\to \left\{ \begin{matrix}
{{\overrightarrow{E}}_{1}}=(5\times {{10}^{3}}\frac{N}{C})\overrightarrow{j} \\
{{\overrightarrow{E}}_{2}}=(5\times {{10}^{3}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i} \\
\end{matrix} \right.$
$\overrightarrow{E}={{\overrightarrow{E}}_{1}}+{{\overrightarrow{E}}_{2}}=(5\times {{10}^{3}}\frac{N}{C})\overrightarrow{i}+(5\times {{10}^{3}}\frac{N}{C})\overrightarrow{j}$
$E=\sqrt{{{(5\times {{10}^{3}})}^{2}}+{{(5\times {{10}^{3}})}^{2}}}=\sqrt{2\times {{(5\times {{10}^{3}})}^{2}}}=5\sqrt{2}\times {{10}^{3}}\frac{N}{C}$