درسنامه آموزشی ریاضی فصل پنجم کلاس هشتم
درس 3: بردارهای واحد مختصات
فعّالیت (صفحهٔ 78 کتاب درسی)
1- برای اندازه گیری هر یک از مقدارهای زیر از چه واحدی استفاده میکنیم؟
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- در محور زیر، واحد را نشان دادهایم. عددهای 2 و 1 را روی محور مشخص کنید.
3- همان طور که ملاحظه کردید برای اندازه گیری و نمایش عددها روی محور به واحد نیاز داریم. برای نمایش بردار نیز به واحد نیازمندیم. این واحد باید از جنس بردار باشد. با توجه به اینکه بردار در صفحهٔ مختصات با دو محور نمایش داده میشود به واحد روی هر دو محور نیاز داریم.
در شکل روبه رو، بردارهای واحد روی هر دو محور مشخص شدهاند.
- مختصات بردارهای واحد را بنویسید.
$\overrightarrow{i}=\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right]\begin{matrix}{} \\\end{matrix},\begin{matrix} {} \\\end{matrix}\overrightarrow{j}=\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]$
- بردار $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ را رسم کنید.
- مختصات بردار a را بنویسید. $\left[ \begin{matrix}4 \\2 \\\end{matrix} \right]$
- مختصات بردار a را از رابطهٔ زیر به دست آورید.
$\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=4\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right]+2\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 \\0 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}0 \\2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 \\2 \\\end{matrix} \right]$
کار در کلاس (صفحهٔ 79 کتاب درسی)
در هر قسمت، بردار داده شده را بر حسب $\overrightarrow{i}$ و $\overrightarrow{j}$ و سپس به صورت مختصاتی بنویسید.
$a=3i-2j=\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]$
$b=-2i-3j=\left[ \begin{matrix}-2 \\-3 \\\end{matrix} \right]$
$c=-3i+1j=\left[ \begin{matrix}-3 \\1 \\\end{matrix} \right]$
فعّالیت (صفحهٔ 79 کتاب درسی)
1- طرف دیگر هر تساوی را مانند نمونه کامل کنید.
$\left[ \begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix} \right]=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$
$-1\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}-1 \\3 \\\end{matrix} \right]=$
$\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]=$
$-2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}-2 \\-2 \\\end{matrix} \right]=$
$\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=\left[ \begin{matrix}1 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]$$2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}=$
$\left[ \begin{matrix}2 \\-3 \\\end{matrix} \right]$$2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}=$
$\left[ \begin{matrix}3 \\0 \\\end{matrix} \right]$$3\overrightarrow{i}=$
2- دو دانش آموز، معادلهٔ برداری زیر را حل کردهاند. مراحل راه حل آنها را با هم مقایسه کنید. جواب هر دو یکسان است.
راه حل حمید
$3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-5 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{x}=-5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$
$2\overrightarrow{x}=-5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$
$2\overrightarrow{x}=-8\overrightarrow{i}$
$\overrightarrow{x}=-4\overrightarrow{i}$
راه حل سعید
$3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-5 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}3 \\1 \\\end{matrix} \right]+2\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-5 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$2\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-5 \\1 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}3 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$2\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-8 \\0 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-4 \\0 \\\end{matrix} \right]$
3- معادلههای زیر را با روش مورد نظر خود حل کنید.
$2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{x}=\left[ \begin{matrix}-6 \\3 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]+3x=\left[ \begin{matrix}-6 \\3 \\\end{matrix} \right]$
$+3x=\left[ \begin{matrix}-6 \\3 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-2 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$+3x=\left[ \begin{matrix}-8 \\4 \\\end{matrix} \right]$
$x=\left[ \begin{matrix}-8 \\4 \\\end{matrix} \right]\div [+3]=\left[ \begin{matrix}-\frac{8}{3} \\+\frac{4}{3} \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}-4 \\2 \\\end{matrix} \right]-2\overrightarrow{x}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$
$\left[ \begin{matrix}-4 \\2 \\\end{matrix} \right]-2x=\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
$-2x=\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}4 \\-2 \\\end{matrix} \right]$
$-2x=\left[ \begin{matrix}5 \\-3 \\\end{matrix} \right]$
$x=\left[ \begin{matrix}5 \\-3 \\\end{matrix} \right]\div [-3]=\left[ \begin{matrix}-\frac{5}{2} \\+\frac{3}{2} \\\end{matrix} \right]$
کار در کلاس (صفحهٔ 80 کتاب درسی)
اگر $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$ و $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ باشد، مختصات بردارهای x و y را به دست آورید.
$a=\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]$ $b=\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{x}=5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$
$x=5\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]+3\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$x=\left[ \begin{matrix}15 \\-10 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}6 \\3 \\\end{matrix} \right]$
$x=\left[ \begin{matrix}21 \\-7 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{y}=-3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$
$y=-3\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]+4\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$y=\left[ \begin{matrix}-9 \\+6 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}8 \\4 \\\end{matrix} \right]$
$y=\left[ \begin{matrix}-1 \\10 \\\end{matrix} \right]$
تمرین (صفحهٔ 80 کتاب درسی)
1- طرف دیگر تساویها را بنویسید.
$3\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}$$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}3 \\7 \\\end{matrix} \right]=$
$=-2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}-2 \\5 \\\end{matrix} \right]$$\overrightarrow{b}=$
$=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]$$\overrightarrow{c}=$
$-2\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$$\overrightarrow{d}=\left[ \begin{matrix}-2 \\-4 \\\end{matrix} \right]=$
$-5i$$\overrightarrow{e}=\left[ \begin{matrix}-5 \\0 \\\end{matrix} \right]=$
$=-2\overrightarrow{j}$$\left[ \begin{matrix}0 \\-2 \\\end{matrix} \right]$$\overrightarrow{f}=$
2- دو محور عمود برهم رسم کنید و بردارهای واحد مختصات را روی آنها مشخص کنید. آنگاه بردارهای زیر را روی آن دستگاه مختصات رسم کنید و هر بردار را برحسب بردارهای واحد i و j بنویسید.
$=2i+1j$$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]$
$=-2i+3j$$\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}-2 \\3 \\\end{matrix} \right]$
$=5i-1j$$\overrightarrow{c}=\left[ \begin{matrix}5 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
$=-6i-4j$$\overrightarrow{d}=\left[ \begin{matrix}-6 \\-4 \\\end{matrix} \right]$
3- با توجه به شکل زیر، مختصات بردار c را با دو روش زیر پیدا کنید.
الف) رسم شکل و نوشتن مختصات $\overrightarrow{c}$ از روی شکل
$\left[ \begin{matrix}0 \\-5 \\\end{matrix} \right]$$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=$
ب) پیدا کردن مختصات $\overrightarrow{a}$ و $\overrightarrow{b}$ و قرار دادن آنها در تساوی زیر.
$\left[ \begin{matrix}3 \\-1 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-6 \\-3 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}6 \\-2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\-5 \\\end{matrix} \right]$$+2$$\left[ \begin{matrix}-2 \\-1 \\\end{matrix} \right]$$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=3$
ویژگیهای هر روش را بیان کنید.
کدام روش برای رایانهای شدن مناسبتر است؟ چرا؟ روش مختصاتی
4- با توجه به علامت طول و عرض بردار، شکل تقریبی آن را مانند نمونه رسم کنید.
| - | + | - | + | طول |
| - | - | + | + | عرض |
|
|
|
|
|
شکل تقریبی |
5- اگر $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$ و $\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}-1 \\2 \\\end{matrix} \right]$ باشد، بردار x را از معادلهٔ زیر پیدا کنید.
$a=\left[ \begin{matrix}2 \\-3 \\\end{matrix} \right]$
$2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
$2x+\left[ \begin{matrix}0 \\-1 \\\end{matrix} \right]=2\left[ \begin{matrix}2 \\-3 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}-1 \\2 \\\end{matrix} \right]$
$2x=\left[ \begin{matrix}4 \\-6 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+1 \\-2 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}0 \\+1 \\\end{matrix} \right]$
$2x=\left[ \begin{matrix}5 \\-7 \\\end{matrix} \right]$
$x=\left[ \begin{matrix}5 \\-7 \\\end{matrix} \right]\div 2=\left[ \begin{matrix}\frac{5}{2} \\-\frac{7}{2} \\\end{matrix} \right]$
6- یک روباتِ برنامه ریزی شده به صورت زیر از مبدأ مختصات حرکت میکند.
با مشاهدهٔ سه حرکت اولِ این روبات، الگویی برای حرکت آن کشف کنید و توضیح دهید. روبات پس از حرکت پنجم به کدام نقطه میرسد؟
$\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right]+ \\(1) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]+ \\(2) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}2 \\0 \\\end{matrix} \right]+ \\(3) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}0 \\2 \\\end{matrix} \right]+ \\(4) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}3 \\0 \\\end{matrix} \right]+ \\(5) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}0 \\3 \\\end{matrix} \right]+ \\(6) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}4 \\0 \\\end{matrix} \right]+ \\(7) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}0 \\4 \\
\end{matrix} \right]+ \\(8) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}5 \\0 \\\end{matrix} \right]+ \\
(9) \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}0 \\5 \\\end{matrix} \right] \\(10) \\\end{matrix}\begin{matrix}= \\{} \\\end{matrix}\begin{matrix}\left[ \begin{matrix}15 \\15 \\\end{matrix} \right] \\
{} \\\end{matrix}$
7- حمیده با خود فکر میکرد که اگر چند بردار با هم جمع شوند، بردار حاصل جمع از همهٔ آنها بزرگتر است. آیا او درست فکر کرده است؟ با کشیدن شکل توضیح دهید. خیر
8- در صفحهٔ شطرنجی زیر، یک خودرو با نقطهٔ A مشخص شده است. این خودرو مسیری را طی کرده است تا به نقطهٔ B برسد؛ در کل به اندازهٔ چند واحد حرکت کرده است؟ 28
خودرو از نقطهٔ A و B در راستای عمودی چند واحد جا به جا شده است؟ 2
مرور فصل 5 (صفحهٔ 82 کتاب درسی)
مفاهیم و مهارتها
در این فصل اصطلاحات زیر به کار رفتهاند. مطمئن شوید که میتوانید با جمله های خود آنها را توصیف کنید و برای هریک مثالی بزنید.
- جمع (برایند) بردارها
- تجزیهٔ بردار
- ضرب عدد در بردار
- بردارهای واحد مختصات
در این فصل، روشهای اصلی زیر معرفی شدهاند. هر کدام را با یک مثال توضیح دهید و در دفتر خود خلاصهای از درس را بنویسید.
- پیداکردن جمع دو بردار
- پیدا کردن برایند دو بردار که ابتدای آنها یک نقطه باشد
- نوشتن جمع برداری و جمع مختصاتی
- ضرب یک عدد در بردار
- رسم بردارهای ترکیبی که شامل حاصل جمع مضربهای دو بردارند.
- پیداکردن مختصات بردارهای ترکیبی
- تجزیهٔ یک بردار روی دو امتداد
- نوشتن مختصات بردار با بردارهای واحد مختصات
- نمایش بردارهای واحد مختصات به صورت مختصاتی
- حل کردن معادلههای شامل بردار
کاربرد
موضوعات این فصل در درسهای علوم (فیزیک - مکانیک) شما کاربرد زیادی دارد؛ ضمن اینکه در شاخهای از ریاضیات به نام «جبر خطی و فضای برداری» نیز مطرح میشود و به کمک آن میتوانید مسائل مختلف ریاضی و فیزیک را حل کنید.
تمرینهای ترکیبی (صفحهٔ 82 کتاب درسی)
1- با توجه به بردارهای a و b و c، بردار d را رسم کنید.
$\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$
2- اگر $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$ و $\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}2 \\5 \\\end{matrix} \right]$ باشد، مختصات بردار x را پیدا کنید.
$a=\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{x}$
$2\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}
2 \\5 \\\end{matrix} \right]=3x$
$\left[ \begin{matrix}2 \\-2 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-2 \\-5 \\\end{matrix} \right]=3x$
$\left[ \begin{matrix}0 \\-7 \\\end{matrix} \right]=3x$
$x=\left[ \begin{matrix}0 \\-7 \\\end{matrix} \right]\div 3=\left[ \begin{matrix}0 \\-\frac{7}{3} \\\end{matrix} \right]$
3- با توجه به شکل، مختصات بردار c را پیدا کنید.
$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
$c=\left[ \begin{matrix}5 \\-2 \\\end{matrix} \right]$