درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی کلاس هشتم

درس 2: ضرب عدد در بردار

بازدید17/0 K

تاریخ بروزرسانی1400/02/7

1- در اینجا بردار حرکت یک خودرو در جاده رسم شده است. اگر این خودرو سه برابر مسافت کنونی در جهت مخالف حرکت کند، بردار حرکت جدید را رسم کنید.

2- دو نفر سعی می‌کنند جعبه روبه رو را بکشند و به جای دیگری ببرند. نیرویی که نفر اول وارد می‌کند با بردار a و نیروی نفر دوم با بردار b نمایش داده شده است.

با توجّه به شکل، نیروی نفر دوم چند برابر نیروی نفر اول است؟ چرا؟ 2+ برابر زیرا طول $\mathbb{b}$ دو برابر طول $\mathbb{a}$ است.

3- در فعّالیت‌های 1 و 2، هنگام رسم بردارهای جدید در مورد راستا و جهت و اندازهٔ آن، چه نکاتی را رعایت کردید؟
اگر بردار مثبت باشد در جهت بردار اولیه و اگر منفی باشد در خلاف جهت بردار اولیه رسم می‌شود.

4- در هر شکل، مختصات بردارهای a و b را بنویسید.
رابطهٔ دو بردار a و b را با یک تساوی برداری و یک تساوی مختصاتی نشان دهید.

$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ یا $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$

$\left[ \begin{matrix}+3 \\+4 \\\end{matrix} \right]=2\times \left[ \begin{matrix}+1/5 \\+2 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}
+3 \\+4 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}+1/5 \\+2 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$

$\left[ \begin{matrix}+2 \\-6 \\\end{matrix} \right]=-2\left[ \begin{matrix}-1 \\+3 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}
+2 \\-6 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}-1 \\+3 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=-1a$

$\left[ \begin{matrix}-3 \\-2 \\\end{matrix} \right]=-1\left[ \begin{matrix}+3 \\+2 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}
-3 \\-2 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}+3 \\+2 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=+3a$

$\left[ \begin{matrix}+6 \\+3 \\\end{matrix} \right]=+3\left[ \begin{matrix}+2 \\+1 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}
+6 \\+3 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}+2 \\+1 \\\end{matrix} \right]$

در ضرب یک عدد در بردار، آن عدد در طول و عرض بردار ضرب می‌شود. بنابراین، می‌توانیم بنویسیم:

$k\times \left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}kx \\ky \\\end{matrix} \right]$

اگر بردار b قرینهٔ بردار a باشد، می‌نویسیم: $\overrightarrow{b}=(-1)\overrightarrow{a}$ یا $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right]\to \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}-x \\-y \\\end{matrix} \right]$

با توجه به بردارهای داده شده، بردار مورد نظر را رسم کنید.

$\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{y}=-2\overrightarrow{x}$

$\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{y}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{x}$

1- بردارهای a و b مفروض‌اند.
بردار $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ را رسم کنید.

از نقطهٔ دلخواه O بردارهای $2a$ و $3b$ را رسم کنید؛ سپس بردار حاصل جمع را پیدا کنید.

2- بردارهای خواسته شده را رسم کنید.

$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}+(-3\overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{z}=3\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$

در هر شکل، بردارِ c را بر حسب بردارهای a و b بنویسید.

$\overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}+3/5\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=+4\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=+2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

1- با توجه به بردارهای a و b، بردارهای c و d را رسم کنید.

$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{d}=(-2)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{d}=-4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$

2- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.

$\left[ \begin{matrix}-3 \\-5 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-3 \\-5 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-6 \\-10 \\\end{matrix} \right]$$(-1)\left[ \begin{matrix}3 \\5 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}3 \\5 \\\end{matrix} \right]=$

$\left[ \begin{matrix}+20 \\-28 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}
-2 \\+1 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+18 \\-27 \\\end{matrix} \right]$$(-4)\left[ \begin{matrix}
-5 \\7 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]=$

$\left[ \begin{matrix}-6 \\+4 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+42 \\+18 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+36 \\+22 \\\end{matrix} \right]$$(-\frac{1}{2})\left[ \begin{matrix}12 \\-8 \\\end{matrix} \right]+6\left[ \begin{matrix}7 \\3 \\\end{matrix} \right]=$

3- معادله‌های مختصات زیر را حل کنید.

$x=\left[ \begin{matrix}12 \\-8 \\
\end{matrix} \right]\div 4=\left[ \begin{matrix}3 \\-2 \\\end{matrix} \right]$$4x=\left[ \begin{matrix}12 \\-8 \\\end{matrix} \right]$

$x=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}
-2 \\-5 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 \\-5 \\\end{matrix} \right]$$\left[ \begin{matrix}2 \\5 \\\end{matrix} \right]+x=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$

$x=\left[ \begin{matrix}15 \\-9 \\\end{matrix} \right]\div (-3)=\left[ \begin{matrix}-5 \\+3 \\\end{matrix} \right]$$-3x=\left[ \begin{matrix}15 \\-9 \\\end{matrix} \right]$

$x=\left[ \begin{matrix}-4 \\6 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-2 \\-5 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-6 \\1 \\\end{matrix} \right]$$\left[ \begin{matrix}2 \\5 \\\end{matrix} \right]+x=\left[ \begin{matrix}-4 \\6 \\\end{matrix} \right]$

4- در شکل روبه‌رو، نیروی وزن جعبه، که روی سطح شیب‌داری قرار گرفته، نشان داده شده است. این بردار را روی دو امتداد رسم شده تجزیه کنید.

5- با توجه به بردارهای a و b، مختصات بردار c را به دست آورید.

$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right],\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}
-2 \\3 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]-2\left[ \begin{matrix}
-2 \\3 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}
+4 \\-6 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+6 \\-5 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right],\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=2\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right]+3\left[ \begin{matrix}
0 \\1 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2 \\0 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}0 \\3 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right],\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=-3\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix} \right]+4\left[ \begin{matrix}0 \\
1 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-3 \\0 \\
\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}0 \\4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-3 \\4 \\
\end{matrix} \right]$

6- با توجه به بردارهای a و b و c، بردار d را رسم کنید.