درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی کلاس هشتم
درس 1: جمع بردارها
فعّالیت (صفحهٔ 70 کتاب درسی)
1- شخصی در نقطهٔ A ایستاده است.
مسیر حرکت او برای رسیدن به نقطهٔ B در شکل مشخص شده است.
این مسیر را با دو بردار نشان دهید. این شخص با چه برداری به طور مستقیم به نقطهٔ B میرسد؟ آن را رسم کنید.
2- روباتی فقط به صورت افقی یا عمودی حرکت میکند. این روبات اکنون روی نقطهٔ A است. با فرمان $\left[ \begin{matrix}4 \\2 \\\end{matrix} \right]$ ابتدا 4 واحد به سمت راست (افقی) و سپس 2 واحد به سمت بالا (عمودی) حرکت میکند. نقطهٔ جدید را B نام گذاری کنید.
روبات ما با فرمان $\left[ \begin{matrix}2 \\-3 \\\end{matrix} \right]$ از B به نقطهٔ C میرسد.
با چه فرمانی به طور مستقیم از نقطهٔ A به B میرسد؟ $\left[ \begin{matrix}+6 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
3- نقطهٔ A ابتدا با بردار انتقال a به نقطهٔ B و سپس با بردار انتقال b به نقطهٔ C منتقل شده است. نقطهٔ A با چه برداری به طور مستقیم به نقطهٔ C منتقل میشود؟
نام آن را بردار c بگذارید. آیا میتوانیم بگوییم بردار c کارِ دو بردار انتقال a و b را انجام میدهد؟ بله
به بردار c بردار برایند یا حاصل جمع میگویند.
4- مختصات بردارهای b ،a و c را بنویسید. آیا بردار c با جمع دو بردار a و b برابر است؟ بله
به ابتدا و انتهای بردارهای a و b برابر توجه کنید.
برداری که از ابتدای $\overrightarrow{a}$ به انتهای $\overrightarrow{b}$ رسم میشود ( بردار c) برابر است با در صورتی که دو بردار متوالی باشد.
$\overrightarrow{c}=\left[ \begin{matrix}+7 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{b}=\left[ \begin{matrix}+4 \\-3 \\\end{matrix} \right]$ $\overrightarrow{a}=\left[ \begin{matrix}+3 \\+2 \\\end{matrix} \right]$
در فعّالیت ٢ مشاهده کردید که نتیجهٔ جمع دو بردار a و b، بردار c است؛ بنابراین، میتوان یک تساوی برداری به صورت $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ را نوشت.
با توجه به تساوی $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ میتوان مختصات بردار c را از تساوی مختصاتی زیر به دست آورد:
$\begin{matrix}\overrightarrow{a} \\\left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right] \\
\end{matrix}\begin{matrix}{} \\+ \\\end{matrix}\begin{matrix}\overrightarrow{b} \\\left[ \begin{matrix}z \\t \\\end{matrix} \right] \\\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\= \\\end{matrix}\begin{matrix}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \\\left[ \begin{matrix}x+z \\y+t \\\end{matrix} \right] \\\end{matrix}$
کار در کلاس (صفحهٔ 71 کتاب درسی)
در فعّالیت قبل دیدید که اگر دو بردار a و b به صورتی باشند که ابتدای b در انتهای a قرار گیرد برای رسم حاصل جمع یا برایند این دو بردار میتوانیم برداری از ابتدای بردار a به انتهای بردار b رسم کنیم.
ابتدا مشخص کنید کدام بردار، حاصل جمع دو بردار دیگر است؛ سپس برای هر شکل، یک جمع برداری و یک جمع مختصاتی بنویسید.
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$
$\left[ \begin{matrix}+1 \\-4 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+4 \\+2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+5 \\-2 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=\overrightarrow{r}$
$\left[ \begin{matrix}+3 \\+3 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+2 \\-2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+5 \\+1 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}$
$\left[ \begin{matrix}-5 \\0 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-2 \\-4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-7 \\-4 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=\overrightarrow{o}$
$\left[ \begin{matrix}+3 \\-3 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+3 \\+3 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+6 \\0 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{k}+\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}$
$\left[ \begin{matrix}+6 \\+1 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-3 \\+2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+3 \\+3 \\\end{matrix} \right]$
فعّالیت (صفحهٔ 71 کتاب درسی)
1- چهار بردار مساوی بردار a رسم کنید و مختصات همهٔ بردارها را بنویسید.
$\left[ \begin{matrix}+2 \\+2 \\\end{matrix} \right]$
2- با توجه به اینکه بردارهای مساوی را میتوان از نقطههای شروع مختلف رسم کرد، میخواهیم حاصل جمع بردارهای a و b را رسم کنیم.
راهحلهای این دو دانش آموز را توضیح دهید.
ابتدا بردار a و سپس بردار b رسم شده است
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ امیر
ابتدا بردار b و سپس بردار a رسم شده است
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$ رضا
3- دانش آموزان برای پیدا کردن جمع سه بردار، راه حلهای زیر را ارائه کردهاند. هر کدام را توضیح دهید.
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$ سعید
$(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{a}$ محمد
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ حمید
$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ رضا
4- راه حلهای دانش آموزان برای پیدا کردن جمع دو بردار a و b را مشاهده و مقایسه کنید.
$\left[ \begin{matrix}2 \\2 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}4 \\0 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}6 \\2 \\\end{matrix} \right]$ سمانه
فاطمه / روش مثلث
زهرا / روش مثلث
مریم / روش متوازیالاضلاع
کار در کلاس (صفحهٔ 72 کتاب درسی)
1- حاصل جمع بردارهای زیر را رسم کنید.
|
|
|
|
2- جمع دو بردار قرینه، برابر بردار صفر است.
بردار صفر را به صورت $\overrightarrow{o}$ نشان میدهیم و مختصات آن $\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$ است.
حاصل جمع بردارهای b ،a و c چیست؟ چرا؟ صفر
فعّالیت (صفحهٔ 73 کتاب درسی)
1- دو بردار در راستاهای آبی رنگ رسم کنید که جمع آنها بردار a باشد. به این کار تجزیه بردار میگویند. چند پاسخ مختلف میتوان به دست آورد؟ چرا؟ فقط یکی، زیرا راستاهای بردارها مشخص شدهاند.
 |
|
|
2- مختصات دو بردار را که حاصل جمعشان بردار $\left[ \begin{matrix}3 \\4 \\\end{matrix} \right]$ باشد، بنویسید.
پاسخ خود را با پاسخهای دوستانتان مقایسه کنید. به کمک هم، سه پاسخ مختلف دیگر بنویسید. فکر میکنید این مسئله چند پاسخ دارد؟ بیشمار
$\left[ \begin{matrix}-1 \\+2 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+4 \\+2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}3 \\4 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}-10 \\+45 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+31 \\-41 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}3 \\4 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}-2 \\+1 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+5 \\+3 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}3 \\4 \\\end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}0 \\+4 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+3 \\0 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}3 \\4 \\\end{matrix} \right]$
تمرین (صفحهٔ 73 کتاب درسی)
1- دو نفر در کنار رودخانه با دو طناب، قایقی را در خلاف جهت آب میکشند.
الف) قایق به کدام سمت حرکت میکند؟ در مسیر برآیند نیروها
ب) اگر نیروی a بیشتر باشد، قایق به کدام طرف متمایل میشود؟ به سمت a
2- در هر شکل یکی از بردارها، حاصل جمع بردارهای دیگر است. برای هر شکل، یک جمع برداری و یک جمع مختصاتی بنویسید.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
$\left[ \begin{matrix}+3 \\-3 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+2 \\+5 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+5 \\+2 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$
$\left[ \begin{matrix}+5 \\0 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-5 \\+3 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\+3 \\\end{matrix} \right]$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$
$\left[ \begin{matrix}+2 \\+5 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}+5 \\-2 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-2 \\-4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}+5 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
3- در هر تساوی، x و y را به دست آورید.
$\left[ \begin{matrix}5 \\6 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]$
$5+x=2$
$x=2-5$
$x=-3$
$6+y=-1$
$y=-1-6$
$y=-7$
$\left[ \begin{matrix}3 \\-4 \\\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}x \\-2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}7 \\y \\\end{matrix} \right]$
$3+x=7$
$x=7-3$
$x=4$
$-4-2=y$
$-6=y$
$\left[ \begin{matrix}x+1 \\5 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-1 \\y-1 \\\end{matrix} \right]$
$x+1=-1$
$x=-1-1$
$x=-2$
$y-1=5$
$y=5+1$
$y=6$