درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی
فصل اول: حرکت با سرعت ثابت
سادهترین نوع حرکت، حرکت با سرعت ثابت است. در این نوع حرکت، اندازه و جهت سرعت متحرک در طول مسیر ثابت است (شکل 1-10). پیش از این و در مثال 1-5، با نمونهای از حرکت با سرعت ثابت آشنا شدیم. در این مثال شیب نمودار مکان - زمان متحرک در طول حرکت ثابت و در نتیجه سرعت متوسط متحرک در هر بازهٔ زمانی دلخواه، برابر سرعت لحظهای آن است. در این صورت میتوان نوشت:
$v={{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow \Delta x=v\Delta t$
اگر مطابق شکل 1-11 متحرک در لحظهٔ ${{t}_{1}}=0$ در مکان ${{x}_{1}}={{x}_{0}}$ و در لحظهٔ ${{t}_{2}}=t$ در مکان ${{x}_{2}}=x$ باشد، رابطهٔ اخیر را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد:
$x-{{x}_{0}}=v(t-0)$
یا:
(۷-۱) (معادلهٔ مکان - زمان در حرکت با سرعت ثابت) $x=vt+{{x}_{0}}$
در معادلهٔ 1-7 معمولاً ${{x}_{0}}$ را که مکان متحرک در لحظهٔ $t=0$ است مکان اولیهٔ متحرک مینامند. توجه کنید که مکانهای ${{x}_{0}}$ و $x$ میتوانند مثبت، منفی یا صفر باشند. سرعت متحرک هم به دلیل ماهیت برداری آن، در صورتی که حرکت در جهت محور $x$ باشد مثبت و در غیر این صورت منفی است.
مثال ۱-۱۰
شکل روبه رو بخشی از نمودار مکان - زمان شخصی را نشان میدهد که با سرعت ثابت حرکت میکند.
الف) شخص در مبدأ زمان $(t=0/0s)$ در چه مکانی قرار دارد؟
ب) سرعت حرکت این شخص را به دست آورید و نمودار سرعت - زمان آن را رسم کنید.
پ) در چه لحظه یا لحظههایی شخص در فاصلهٔ $20/0$ متری از مبدأ محور قرار دارد؟
ت) اگر شخص به مدت $5/00min$ به همین صورت حرکت کند، جابه جایی وی را در این مدت به دست آورید.
پاسخ: الف) با توجه به نمودار مکان - زمان، در $t=0/0s$ شخص در مکان اولیهٔ ${{x}_{0}}=-40/0m$ قرار دارد.
ب) با توجه به دادههای روی نمودار و قرار دادن دادههای یک لحظهٔ دلخواه (برای مثال $t=30/0s$ و $x=20/0m$) در رابطهٔ 1-7، داریم:
$x=vt+{{x}_{0}}\Rightarrow 20m=v(30s)+(-40m)$
در نتیجه $v=+2/0m/s$ به دست میآید. علامت مثبت نشان میدهد که شخص در جهت محور $x$ حرکت میکند. نمودار سرعت - زمان مطابق شکل بالا است.
پ) در لحظههای $t=10/0s$ و $t=30/0s$. توجه کنید که فاصله از مبدأ مکان، $\left| x \right|$ است و نه خوِد $x$.
ت) با قرار دادن $t=5/00min=300s$ در رابطهٔ $\Delta x=v\Delta t$ داریم:
$\Delta x=v\Delta t\Rightarrow \Delta x=(2/0m/s)(300s)=600m$
تمرین ۱-۶ (صفحه ۱۴ کتاب درسی)
شکل مقابل نمودار مکان - زمان دو متحرک $A$ و $B$ را نشان میدهد که در راستای محور $x$ حرکت میکنند.
سرعت هر متحرک را پیدا کنید و معادلهٔ مکان - زمان آنها را بنویسید.
${{v}_{B}}=\frac{\Delta {{x}_{B}}}{\Delta {{t}_{B}}}=\frac{24-12}{4-0}=3m/s$ و ${{v}_{A}}=\frac{\Delta {{x}_{A}}}{\Delta {{t}_{A}}}=\frac{8-0}{4-0}=2m/s$
معادلهٔ مکان - زمان به صورت $x=vt+{{x}_{0}}$ است:
$\xrightarrow{x{{0}_{A}}=0,{{v}_{A}}=2m/s}{{x}_{A}}=2t$
$\xrightarrow{x{{0}_{B}}=12m,{{v}_{B}}=3m/s}{{x}_{B}}=3t+12$
تمرین ۱-۷ (صفحه ۱۴ کتاب درسی)
شکل الف، مکان دو کفش دوزک $A$ و $B$ را که در راستای محور $x$ حرکت میکنند در لحظهٔ $t=0s$ نشان میدهد. نمودار مکان - زمان این کفش دوزکها در شکل ب رسم شده است.
الف) از روی نمودار به طور تقریبی تعیین کنید کفش دوزکها در چه لحظه و در چه مکانی به یکدیگر میرسند.
بعد از حدود $210s$ و در مکان حدودی $0/5$ به هم میرسند.
ب) با استفاده از معادلهٔ مکان - زمان، زمان و مکان هم رسی کفش دوزکها را پیدا کنید.
ابتدا سرعت هر یک را به دست میآوریم:
حرکت یکنواخت بر خط راست است، در نتبجه سرعت لحظهای و سرعت متوسط برابرند.
${{v}_{B}}=\frac{\Delta {{x}_{B}}}{\Delta {{x}_{B}}}=\frac{0-(-3)}{(3-0)\times 60}=\frac{3}{180}m/s=\frac{1}{60}m/s$ و ${{v}_{A}}=\frac{\Delta {{x}_{A}}}{\Delta {{x}_{A}}}=\frac{0-4}{(4-0)\times 60}=\frac{4}{240}m/s=-\frac{1}{60}m/s$
معادلهٔ مکان - زمان در حرکت یکنواخت به صورت $x=vt+{{x}_{0}}$ است، بنابراین داریم:
$\xrightarrow[{{v}_{A}}=-\frac{1}{60}m/s]{{{x}_{0A}}=4m}{{x}_{A}}=-\frac{1}{60}t+4$
$\xrightarrow[{{v}_{B}}=\frac{1}{60}m/s]{{{x}_{0B}}=-3m}{{x}_{B}}=\frac{1}{60}t-3$
اگر معادلهٔ حرکت دو کفش دوزک را مساوی هم قرار دهیم لحظهای که به هم میرسند به دست میآید:
${{x}_{A}}={{x}_{B}}\to -\frac{1}{60}t+4=\frac{1}{60}t-3\to \frac{1}{30}t=7\to t=210s\Rightarrow {{x}_{A}}=-\frac{1}{60}\times 210+4\to {{x}_{A}}={{x}_{B}}=0/5m$
بعد از $210s$ و در مکان $0/5m$ به هم میرسند.