درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی
فصل اول: شناخت حرکت
بررسی حرکت اجسام، همواره مورد توجه بشر بوده است. در فیزیک نیز، شناخت و توصیف حرکت اجسام، یکی از مباحث مهمی است که در هر کتاب درسی به آن پرداخته میشود و زمینهساز درک بهتر مباحث دیگر فیزیک است. آشنایی با حرکت اجسام، که به آن حرکتشناسی یا سینماتیک نیز گفته میشود، در بیشتر شاخههای مهندسی اهمیت زیادی دارد. برای مثال، مدت زمان رسیدن تندی خودرو از صفر به $100km/h$ یکی از معیارهای مقایسهٔ خودروهای امروزی در صنعت خودروسازی است. همچنین مهندسانی که به طراحی و ساخت باند پرواز فرودگاهها میپردازند توجه دارند که هواپیماهای مختلف برای آنکه به تندی لازم برای برخاستن برسند، چه مسافتی را باید روی باند پرواز طی کنند. زمین شناسان نیز برای تعیین محلهایی که امکان وقوع زمین لرزه در آنها بیشتر است باید حرکت صفحههای زمین را بررسی کنند و از مفاهیم مرتبط با بحث حرکت شناسی استفاده کنند. افزون بر اینها پژوهشگران پزشکی برای یافتن رگ مسدود باید به نحوهٔ حرکت خون در رگها توجه کنند. در این فصل ابتدا نگاهی دقیقتر خواهیم انداخت به آنچه در علوم نهم در خصوص حرکت آموختید. پس از آن، به ساده ترین نوع حرکت، یعنی حرکت جسم بر خط راست با سرعت ثابت، خواهیم پرداخت. پس از آن حرکت با شتاب ثابت بر خط راست را بررسی میکنیم.
۱-۱ شناخت حرکت
در علوم سال نهم با مفاهیم اولیهٔ حرکت آشنا شدید. در این بخش ضمن مرور این مفاهیم و کمیتهای مرتبط با آنها، زمینهٔ لازم را برای شناخت و توصیف دقیقتر حرکت فراهم میکنیم.
مسافت و جابه جایی: شکل 1-1 مسیر حرکت دوندهای را از مکان 1 تا مکان 2 نشان میدهد. طول این مسیر، مسافت پیموده شده یا به اختصار مسافت نامیده میشود. همچنین پاره خط جهت داری که مکان آغازین حرکت را به مکان پایانی حرکت وصل میکند بردار جابه جایی نامیده میشود.
پرسش 1-1 (صفحهٔ ۲ کتاب درسی)
1- شکل الف شخصی را در حال پیاده روی در راستای خط راست و بدون تغییر جهت، از مکان 1 به مکان 2 نشان میدهد. مسیر حرکت و بردار جابه جایی شخص را روی شکل مشخص و اندازهٔ بردار جابه جایی را با مسافت مقایسه کنید.
بردار جابهجایی پارهخط جهتداری است که نقطهٔ شروع حرکت را به نقطهٔ پایان حرکت وصل میکند. از آنجایی که جهت حرکت عوض نشده است. بنابراین اندازهٔ بردار جابهجایی و طول مسیر (مسافت) برابرند.
2- شخص پس از رسیدن به مکان 2، برمیگردد و روی همان مسیر به مکان 3 میرود (شکل ب). مسیر حرکت و بردار جابه جایی شخص را روی شکل مشخص و اندازهٔ بردار جابه جایی را با مسافت پیموده شده مقایسه کنید.
چون نقطهٔ شروع حرکت نقطهٔ ۱ و نقطهٔ پایان حرکت نقطهٔ ۳ است، پس بردار جابهجایی مطابق شکل میشود. ولی مسیر حرکت از نقطهٔ ۱ تا ۲ و سپس بازگشت تا نقطهٔ ۳ است یعنی مسافت طی شده از اندازهٔ جابهجایی بزرگتر است.
3- شکل پ مسیر حرکت ماه به دور زمین را نشان میدهد. وقتی ماه در جهت نشان داده شده در شکل، از مکان 1 به مکان 2 میرود مسیر حرکت و بردار جابه جایی آن را روی شکل مشخص و اندازهٔ بردار جابه جایی آن را با مسافت پیموده شده مقایسه کنید.
بردار جابهجایی، برداری است که از نقطهٔ (۱) به نقطهٔ (۲) وصل شود.
ولی برای مسافت طی شده کمان ۱ تا ۲ است، در اینجا نیز مسافت طی شده از بردار جابهجایی بزرگتر است.
فعالیت ۱-۱ (صفحهٔ ۳ کتاب درسی)
همانند شکل روبه رو و به کمک یک نرم افزار نقشه یاب (مانند google map)، مکان خانه و مدرسه تان را مشخص کنید. سپس مسافت و اندازهٔ بردار جابه جایی خانه تا مدرسه را تعیین کنید.
طول مسیر حرکت یا مسافت با توجه به شکل $550m$ و اندازهٔ بردار جابهجایی $318m$ است.
تندی متوسط و سرعت متوسط: اگر متحرکی مانند دوندهٔ شکل 1-1 در مدت زمان $\Delta t$ از مکان ۱ به مکان 2 برود و مسافت و بردار جابه جایی بین این دو مکان را به ترتیب با $l$ و $\overrightarrow{d}$ نشان دهیم، همان طور که در علوم سال نهم دیدید، تندی متوسط و سرعت متوسط دونده به صورت زیر تعریف میشوند:
(1-1) (تندی متوسط) ${{S}_{av}}=\frac{l}{\Delta t}$
(2-1) (سرعت متوسط) ${{\overrightarrow{v}}_{av}}=\frac{{\vec{d}}}{\Delta t}$
همان طور که دیده میشود تندی متوسط، کمیتی نردهای و سرعت متوسط، کمیتی برداری است و یکای $SI$ آنها، متر بر ثانیه $(m/s)$ است که میتوان آنها را برحسب یکاهای دلخواه دیگری مانند کیلومتر بر ساعت $(km/h)$ نیز بیان کرد.
پرسش 1-2 (صفحهٔ ۴ کتاب درسی)
در چه صورت اندازهٔ سرعت متوسط یک متحرک با تندی متوسط آن برابر است؟ برای پاسخ خود میتوانید به شکلهای پرسش 1-1 نیز توجه کنید.
در صورتی که حرکت روی خط راست و در یک جهت باشد اندازهٔ بردار جابهجایی و مسافت برابر است. در نتیجه اندازهٔ سرعت متوسط با تندی متوسط متحرک برابر میشود.
اکنون سرعت متوسط را برای حالتی بررسی میکنیم که جسم بر خط راست حرکت میکند. به این منظور محوری مانند محور $x$ را انتخاب و فرض میکنیم که جسم در راستای آن حرکت میکند. توجه کنید که در انتخاب محور (در اینجا محور $x$) مکان دلخواهی به عنوان مبدأ $(x=0)$ روی محور در نظر گرفته میشود. برداری که مبدأ محور را به مکان جسم در هر لحظه وصل میکند بردار مکان جسم در آن لحظه نامیده میشود.
شکل 1-2 الف و ب، بردار مکان شخصی را که در جهت محور $x$ میدود در دو لحظهٔ متفاوت ${{t}_{1}}$ و ${{t}_{2}}$ نشان میدهد. بردار مکان دونده را در این دو لحظه، میتوان به صورت زیر نوشت:
$\overrightarrow{{{d}_{2}}}={{x}_{2}}\overrightarrow{i}$ و $\overrightarrow{{{d}_{1}}}={{x}_{1}}\overrightarrow{i}$
در این صورت و با توجه به شکل 1-2 پ، بردار جابه جایی دونده برابر است با:
$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{{{d}_{2}}}-\overrightarrow{{{d}_{1}}}={{x}_{2}}\overrightarrow{i}-{{x}_{1}}\overrightarrow{i}=(\Delta x)\overrightarrow{i}$
به این ترتیب رابطهٔ 1-2 مربوط به سرعت متوسط دونده را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد:
(3-1) (تندی متوسط در راستای محور $x$) ${{\overrightarrow{v}}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\overrightarrow{i}$
مثال 1-2
کفش دوزکی که در جهت محور $x$ در حرکت است، در لحظههای ${{t}_{1}}=0s$ و ${{t}_{2}}=74s$ به ترتیب از مکانهای ${{x}_{1}}=-28cm$ و ${{x}_{2}}=54cm$ میگذرد.
الف) بردارهای مکان در لحظههای ${{t}_{1}}$ و ${{t}_{2}}$ و بردار جابه جایی کفش دوزک در این بازهٔ زمانی را رسم کنید.
ب) سرعت متوسط کفش دوزک را در این بازهٔ زمانی پیدا کنید.
پاسخ: الف)
ب) چون کفش دوزک در راستای خط راست حرکت میکند، سرعت متوسط آن برابر است با:
${{\overrightarrow{v}}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}\vec{i}=\frac{54cm-(-28cm)}{74s-0s}\vec{i}=(1/1cm/s)\vec{i}$
تمرین 1-1 (صفحهٔ ۵ کتاب درسی)
جدول زیر را کامل کنید. فرض کنید هر چهار متحرک در مدت زمان $4/0s$ فاصلهٔ بین مکان آغازین و مکان پایانی را طی میکنند.
| جهت حرکت | سرعت متوسط | بردارجابهجایی | مکان پایانی | مکان آغازین | |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ جهت مثبت محور | $\overrightarrow{v}=\frac{8/4\overrightarrow{i}}{4}=(2/1m/s)\overrightarrow{i}$ | $(8\not{4}m)\vec{i}$ | $(6\not{4}m)\vec{i}$ | $(-2/0m)\overrightarrow{i}$ | $A$ متحرک |
| $x$ جهت منفی محور | $(1/65m/s)\overrightarrow{i}$ | $(-5/6m)\overrightarrow{i}$ | $(-2/5m)\overrightarrow{i}$ | $(3/1m)\overrightarrow{i}$ | $B$ متحرک |
| $x$ جهت مثبت محور | $(1/4m/s)\overrightarrow{i}$ | $(6\not{6}m)\vec{i}$ | $(8\not{6}m)\vec{i}$ | $(2/0m)\overrightarrow{i}$ | $C$ متحرک |
| $x$ جهت منفی محور | $(2/4m/s)\overrightarrow{i}$ | $(-9/6m)\overrightarrow{i}$ | $(-11m)\overrightarrow{i}$ | $(-1\not{4}m)\vec{i}$ | $D$ متحرک |
از آنجا که در ادامهٔ این فصل، تنها حرکت اجسام بر خط راست بررسی میشود، جابه جایی متحرک را به جای بردار $\overrightarrow{d}$ به صورت $\Delta x$ و سرعت متوسط را به جای بردار ${{\overrightarrow{v}}_{av}}$ به صورت رابطهٔ زیر در حل مسئلهها به کار میبریم. در این صورت علامت جبری $\Delta x$ و ${{v}_{av}}$ جهت جابه جایی را نشان میدهند. اگر متحرک در جهت محور $x$ حرکت کند جابه جایی و سرعت متوسط آن مثبت و اگر متحرک در خلاف جهت محور $x$ حرکت کند، جابه جایی و سرعت متوسط آن منفی خواهد بود (شکل 1-3).
(4-1) (رابطهٔ سرعت متوسط برای حرکت در راستای محور $x$) ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
برای توصیف حرکت یک جسم میتوان از نمودار مکان - زمان، که مکان جسم را در هر لحظه نشان میدهد، استفاده کرد. برای رسم این نمودار، زمان را روی محور افقی و مکان را روی محور قائم در نظر میگیریم. برای مثال، به حرکت ذرهای که در شکل 1-4 الف نشان داده شده است، توجه کنید. این ذره در لحظهٔ ${{t}_{1}}=0s$ در مکان ${{x}_{1}}=1/0m$، در لحظهٔ ${{t}_{2}}=1/0s$ در مکان ${{x}_{2}}=3/0m$ قرار دارد و به همین ترتیب در لحظههای دیگر در مکانهای دیگر. اگر بخواهیم نمودار مکان - زمان حرکت این ذره را رسم کنیم، ابتدا هر یک از محورهای مکان و زمان را با مقیاسی مناسب مدرّج میکنیم. سپس نقاطی از نمودار را که مربوط به هر یک از زمانها و مکانهای داده شده است، در صفحهٔ $x-t$ مشخص میکنیم و با وصل کردن این نقاط به هم، به وسیلهٔ یک منحنی (خم) هموار، نمودار مکان زمان را همانند شکل 1-4 ب رسم میکنیم.
مثال 1-3
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان مورچهای را نشان میدهد که در راستای محور $x$ در حرکت است.
الف) در کدام بازهٔ زمانی مورچه در جهت محور $x$ حرکت میکند؟
ب) در کدام بازهٔ زمانی مورچه در خلاف جهت محور $x$ حرکت میکند؟
پ) در کدام بازههای زمانی مورچه ایستاده است؟
ت) در کدام لحظههایی فاصلهٔ مورچه از مبدأ $30cm$ است؟
ث) در کدام بازهٔ زمانی فاصلهٔ مورچه از مبدأ محور بیشترین مقدار است؟
ج) جابه جایی و سرعت متوسط مورچه را در بازهٔ زمانی $4/0s$ تا $8/0s$ پیدا کنید.
پاسخ: الف) در بازهٔ زمانی $t=0/0s$ تا $t=8/0s$، زیرا در این بازه، $x$ همواره در حال افزایش است.
ب) در بازهٔ زمانی $t=12/0s$ تا $t=14/0s$، زیرا در بازه، $x$ همواره در حال کاهش است.
پ) در بازههای زمانی $t=8/0s$ تا $t=12/0s$ و $t=14/0s$ تا $t=18/0s$
ت) در لحظههای $t=6/0s$ و $t=13/0s$
ث) در بازهٔ زمانی $t=8/0s$ تا $t=12/0s$
ج)
$ \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=40cm-20cm=20cm$
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{20cm}{8/0s-4/0s}=5/0cm/s$
علامت مثبت نشان میدهد که مورچه در جهت مثبت محور $x$ جابه جا شده است.
تعیین سرعت متوسط به کمک نمودار مکان - زمان: دوباره به نمودار شکل 1-4 که پاره خط بین دو نقطهٔ دلخواه آن مطابق شکل 1-5 رسم شده است توجه کنید. همان طور که از درس ریاضی میدانید نسبت $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ برابر شیب پاره خطی است که دو نقطهٔ $A$ و $B$ را به هم وصل میکند. از سوی دیگر با توجه به رابطهٔ 1-4 میدانیم که این نسبت برابر سرعت متوسط متحرک در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$ است. به این ترتیب میتوان نتیجه گرفت که سرعت متوسط متحرک بین دو لحظه از زمان برابر شیب پاره خطی است که نقاط نظیر آن دو لحظه در نمودار مکان - زمان را به یکدیگر وصل میکند.
مثال 1-4
با توجه به نمودار مکان - زمان شکل 1-4، سرعت متوسط ذره را در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}=2/0$ تا ${{t}_{2}}=3/0$ به دست آورید.
پاسخ: از رابطهٔ 1-4 داریم:
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{2/0m-4/0m}{3/0s-2/0s}=-2/0m/s$
علامت منفی ${{v}_{av}}$ نشان میدهد که شیب خط واصل بین این دو نقطه از نموار مکان - زمان، منفی است. توجه کنید که بدون محاسبهٔ ${{v}_{av}}$ نیز، با توجه به فهم هندسیای که از منفی بودن شیب خط واصل دو نقطهٔ نمودار داریم، میتوانستیم به منفی بودن ${{v}_{av}}$ پی ببریم.
مثال 1-5
نمودار مکان - زمان موتورسواری که بر خط راست حرکت میکند مطابق شکل روبه رو است. سرعت متوسط موتورسوار را در هر یک از بازههای زمانی $0/0s$ تا $1/0s$، $2/0s$ تا $4/0s$، $1/0s$ تا $5/0s$ محاسبه کنید.
نتایج به دست آمده را با هم مقایسه و تفسیر کنید.
پاسخ: با توجه به دادههای روی نمودار و بنا به رابطهٔ 1-4، سرعت متوسط موتورسوار، برای هر یک از بازههای زمانی خواسته شده، برابر است با:
بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $1/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{25/0m-0/0m}{1/0s-0/0s}=25m/s$
بازهٔ زمانی $2/0s$ تا $4/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{100/0m-50/0m}{4/0s-2/0s}=25m/s$
بازهٔ زمانی $1/0s$ تا $5/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{125/0m-25/0m}{5/0s-1/0s}=25m/s$
اگر در هر بازهٔ زمانی دلخواه دیگری نیز سرعت متوسط موتورسوار را حساب کنید، خواهید دید که همین مقدار برای آن به دست میآید. از آنجا که شیب نمودار مکان زمان برای هر بازهٔ زمانی دلخواه برابر سرعت متوسط متحرک است، با توجه به ثابت بودن شیب نمودار مکان - زمان موتورسوار در طول حرکت، چنین انتظاری میرفت.
مثال 1-6
شکل روبه رو، نمودار مکان - زمان خودرویی را نشان میدهد که روی خط راست حرکت میکند.
الف) با استفاده از دادههای روی شکل، سرعت متوسط خودرو را در هر یک از بازههای زمانی $0/0s$ تا $2/0s$، $0/0s$ تا $4/0s$، $2/0s$ تا $4/0s$ ،$2/0s$ تا $5/0s$، $4/0s$ تا $5/0s$ حساب کنید.
ب) در کدام یک از این بازههای زمانی، سرعت متوسط در جهت محور $x$ و در کدام یک در خلاف جهت محور $x$ است؟
پاسخ: الف) با توجه به دادههای روی نمودار و بنا به رابطهٔ 1-3، سرعت متوسط خودرو برای هر یک از بازههای زمانی خواسته شده، برابر است با:
بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $2/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{20m-0m}{2/0s-0/0s}=10m/s$
بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $4/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0m-0m}{4/0s-0/0s}=0m/s$
بازهٔ زمانی $2/0s$ تا $4/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0m-20m}{4/0s-2/0s}=-10m/s$
بازهٔ زمانی $2/0s$ تا $5/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-25m-20m}{5/0s-2/0s}=-15m/s$
بازهٔ زمانی $4/0s$ تا $5/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-25m-0m}{5/0s-4/0s}=-25m/s$
ب) در بازههای زمانیای که سرعت متوسط خودرو مثبت است، سرعت متوسط خودرو در جهت محور $x$ و در بازههای زمانیای که سرعت متوسط منفی است، سرعت متوسط خودرو در خلاف جهت محور $x$ است
پرسش 1-3 (صفحهٔ ۸ کتاب درسی)
با توجه به نمودار مکان - زمان شکل روبه رو به پرسشهای زیر پاسخ دهید:
الف) متحرک چند بار از مبدأ مکان عبور میکند؟
دو بار در لحظههای ${{t}_{2}}$ و ${{t}_{4}}$، زیرا در این لحظهها نمودار مکان - زمان محور زمان را قطع کرده و $x=0$ شده است.
ب) در کدام بازههای زمانی متحرک در حال دور شدن از مبدأ است؟
در بازههای ($0$ تا ${{t}_{1}}$)، (${{t}_{2}}$ تا ${{t}_{3}}$) و (${{t}_{4}}$ تا ${{t}_{6}}$) متحرک در حال دور شدن از مبدأ است.
پ) در کدام بازههای زمانی متحرک در حال نزدیک شدن به مبدأ است؟
در بازههای (${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$) و (${{t}_{3}}$ تا ${{t}_{4}}$) متحرک در حال نزدیک شدن از مبدأ است.
ت) جهت حرکت چند بار تغییر کرده است؟ در چه لحظههایی؟
در نقاط ماکزیمم یا مینیمم در نمودار مکان - زمان سرعت متحرک صفر شده است و اگر شیب نمودار عوض شود، جهت حرکت عوض شده است. بنابراین دو بار و در لحظههای ${{t}_{1}}$ و ${{t}_{3}}$
ث) جابه جایی کل در جهت محور $x$ است یا خلاف آن؟ در جهت محور $x$
تمرین 1-2 (صفحهٔ ۹ کتاب درسی)
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان دوچرخه سواری را نشان میدهد که روی مسیری مستقیم در حال حرکت است.
الف) در کدام لحظه دوچرخه سوار بیشترین فاصله از مبدأ را دارد؟
در لحظهٔ $t=8s$ و فاصلهٔ دوچرخه سوار از مبدأ $60m$ است.
ب) در کدام بازههای زمانی دوچرخه سوار در جهت محور $x$ حرکت میکند؟
در بازهٔ ($0$ تا $4s$) و ($6s$ تا $8s$)
پ) در کدام بازهٔ زمانی دوچرخه سوار در خلاف جهت محور $x$ حرکت میکند؟
در بازهٔ ($8s$ تا $14s$)
ت) در کدام بازهٔ زمانی، دوچرخه سوار ساکن است؟ در بازهٔ ($4s$ تا $6s$)
ث) تندی متوسط و سرعت متوسط دوچرخه سوار را در هر یک از بازههای زمانی $0/0s$ تا $2/0s$، $4/0s$ تا $6/0s$، $2/0s$ تا $5/0s$، $8/0s$ تا $14/0s$، $0/0s$ تا $14/0s$ حساب کنید.
| بازهٔ زمانی | تندی متوسط | سرعت متوسط |
| $0s$ تا $2s$ | ${{s}_{av}}=\frac{24}{2}=12m/s$ | ${{v}_{av}}=\frac{24}{2}=12m/s$ |
| $4s$ تا $6s$ | ${{s}_{av}}=\frac{0}{2}=0m/s$ | ${{v}_{av}}=\frac{0}{2}=0m/s$ |
| $2s$ تا $5s$ | ${{s}_{av}}=\frac{40-24}{3}=5/3m/s$ | ${{v}_{av}}=\frac{40-24}{3}=5/3m/s$ |
| $8s$ تا $14s$ | ${{s}_{av}}=\frac{60}{6}=10m/s$ | ${{v}_{av}}=\frac{0-60}{6}=-10m/s$ |
| $0s$ تا $14s$ | ${{s}_{av}}=\frac{60+60}{14}=8/57m/s$ | ${{v}_{av}}=\frac{0}{14}=0m/s$ |
تندی لحظهای و سرعت لحظهای: تندی متحرک در هر لحظه از زمان را تندی لحظهای مینامند. اگر هنگام گزارش تندی لحظهای، به جهت حرکت متحرک نیز اشاره شود، در واقع سرعت لحظهای $(\overrightarrow{v})$ آن را، که کمیتی برداری است بیان کردهایم. برای مثال وقتی درون خودرویی به طرف شمال در حال حرکت باشید و در نقطهای از مسیر، عقربهٔ تندی سنج خودروی شما روی $100km/h$ باشد (شکل ۱-۶)، تندی لحظهای خودرو برابر $100km/h$ و سرعت لحظهای آن $100km/h$ به طرف شمال است. برای سادگی، بیشتر وقتها سرعت لحظهای و تندی لحظهای را به ترتیب به صورت سرعت و تندی بیان میکنند. از آنجا که در ادامهٔ این فصل تنها حرکت اجسام بر خط راست بررسی میشود، سرعت لحظهای متحرک را در حل مسئلهها به جای بردار $\overrightarrow{v}$ به صورت $v$ به کار میبریم. هر گاه متحرک در جهت مثبت محور $x$ حرکت کند $v$ مثبت است و هر گاه در جهت منفی محور حرکت کند $v$ منفی است.
پرسش 1-4 (صفحهٔ ۹ کتاب درسی)
از روی نمودار مکان - زمان توضیح دهید در چه صورت سرعت لحظهای متحرک همواره با سرعت متوسط آن برابر است.
در صورتی که نمودار مکان - زمان به صورت یک خط مایل باشد.
زیرا طبق شکل مقابل و اینکه $\frac{\Delta {{x}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{\Delta {{x}_{2}}}{\Delta {{t}_{2}}}\Rightarrow {{\overline{v}}_{a{{v}_{1}}}}={{\overline{v}}_{a{{v}_{2}}}}$، هرچه $\Delta t$ کوچک و کوچکتر شود این شیب ثابت میماند.
تعیین سرعت لحظهای به کمک نمودار مکان - زمان: پیش از این دیدیم که سرعت متوسط متحرک بین هر دو لحظهٔ دلخواه، برابر شیب خطی است که نمودار مکان - زمان را در آن دو لحظه قطع میکند. همان طور که در شکل 1-7 دیده میشود اگر $\Delta t$ به تدریج کوچک و کوچکتر شود، نقطهٔ $B$ به نقطهٔ $A$ نزدیک و نزدیکتر میشود؛ به طوری که اگر $\Delta t$ به سمت صفر میل کند $(\Delta t\to 0)$ نقطهٔ $A$ بسیار نزدیک میشود و سرانجام خط واصل بین این دو نقطه به خط مماس بر نمودار در نقطهٔ $A$ میل میکند. در این حالت، شیب خط مماس برابر سرعت متحرک در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ است. به این ترتیب میتوان نتیجه گرفت که: سرعت در هر لحظهٔ دلخواه $t$، برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان - زمان در آن لحظه است.
مثال 1-7
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان میدهد که در امتداد محور $x$ در حرکت است. ${{d}_{1}}$ و ${{d}_{2}}$ خطهای مماس بر منحنی را در دو لحظهٔ متفاوت نشان میدهند. در کدام لحظه سرعت متحرک بیشتر است؟
پاسخ: با توجه به شکل، شیب خط ${{d}_{2}}$ بیشتر از شیب خط ${{d}_{1}}$ است. بنابراین سرعت متحرک در لحظهٔ ${{t}_{2}}$ بیشتر از سرعت آن در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ است $({{v}_{2}}>{{v}_{1}})$. توجه کنید که شیب هر دو خط مثبت است و بنابراین سرعت نیز در هر دو لحظه مثبت، یعنی در جهت محور $x$ است.
پرسش 1-5 (صفحهٔ ۱۰ کتاب درسی)
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان میدهد که در امتداد محور $x$ در حرکت است.
الف) از لحظهٔ صفر تا لحظهٔ ${{t}_{1}}$ سرعت متحرک رو به افزایش است یا کاهش؟
شیب نمودار سرعت - زمان برابر سرعت لحظهای بوده و مطابق شکل این شیب در حال کاهش است. پس سرعت متحرک در حال کاهش است.
ب) اگر در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ خط مماس بر منحنی موازی محور زمان باشد، سرعت متحرک در این لحظه چقدر است؟ صفر است.
تمرین 1-3 (صفحهٔ ۱۰ کتاب درسی)
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان میدهد. خط مماس بر منحنی در لحظهٔ $t=4/0s$، رسم شده است. سرعت متحرک را در این لحظه پیدا کنید.
نقشهٔ راه: سرعت در لحظهٔ $4s$ برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان - زمان در این لحظه است. بنابراین
${{v}_{(t=4s)}}=\frac{6-0}{4-1}=2m/s$ :سرعت در لحظهٔ $4s$
شتاب متوسط و شتاب لحظهای: در علوم سال نهم دیدید که هرگاه سرعت جسمی تغییر کند حرکت آن شتاب دار است. با توجه به اینکه بردار سرعت در هر نقطه از مسیر، بر مسیر حرکت مماس است 1 تغییر سرعت جسم در نقاط مختلف مسیر حرکت میتواند به دلیل تغییر در اندازهٔ بردار سرعت (تندی) جسم باشد (شکل 1-8 الف)، یا میتواند به دلیل تغییر در جهت بردار سرعت آن باشد (شکل 1-8 ب)، یا همچنین میتواند به دلیل تغییر در اندازه و جهت بردار سرعت متحرک باشد (شکل 1-8 پ).
شتاب متوسط متحرک در هر بازهٔ زمانی دلخواه ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$ به صورت رابطهٔ 1-5 تعریف میشود که در آن $\overrightarrow{{{v}_{1}}}$ سرعت متحرک در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ و $\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ سرعت متحرک در لحظهٔ ${{t}_{2}}$ است. همان طور که دیده میشود شتاب متوسط $({{\overrightarrow{a}}_{av}})$، کمیتی برداری و هم جهت با بردار تغییر سرعت $(\Delta \overrightarrow{v})$ است. یکای $SI$ شتاب متوسط، متر بر مربع ثانیه $(m/{{s}^{2}})$ است.
(5-1) (شتاب متوسط) ${{\overrightarrow{a}}_{av}}=\frac{\overrightarrow{{{v}_{2}}}-\overrightarrow{{{v}_{1}}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$
مثال 1-8
خودرویی از حال سکون در امتداد محور $x$ شروع به حرکت میکند. پس از $12s$، سرعت خودرو به $24m/s$ در جهت محور $x$ میرسد. شتاب متوسط خودرو را در این بازهٔ زمانی به دست آورید.
پاسخ: از رابطهٔ 1-5، داریم:
${{\vec{a}}_{av}}=\frac{\overrightarrow{{{v}_{2}}}-\overrightarrow{{{v}_{1}}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{(24m/s)\vec{i}-0m/s}{12s-0s}=(2m/{{s}^{2}})\vec{i}$
همان طور که دیده میشود، اندازهٔ شتاب متوسط خودرو $2/0m/{{s}^{2}}$ و شتاب در جهت محور $x$ است.
اگر متحرک در یک راستا حرکت کند رابطهٔ 1-5 را میتوان به صورت زیر به کار برد ولی با توجه به ماهیت برداری ${{v}_{1}}$ و ${{v}_{2}}$ باید به علامتهای جبری آنها که نشان دهندهٔ جهت آنهاست توجه کنیم.
(6-1) (شتاب متوسط در حرکت بر خط راست) ${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$
تعیین شتاب متوسط و لحظهای به کمک نمودار سرعت - زمان: در شکل 1-9 الف، نمودار سرعت زمان متحرکی نشان داده شده است که روی خط راست حرکت میکند. با توجه به تعریف شتاب متوسط، معلوم میشود، که شتاب متوسط بین دو لحظه برابر شیب خطی است که نمودار سرعت زمان را در آن دو لحظه قطع میکند. همان طور که در شکل 1-9 ب دیده میشود، اگر $\Delta t$ به سمت صفر میل کند $(\Delta t\to 0)$ خط واصل بین نقطههای $A$ و $B$، به خط مماس بر نمودار در نقطهٔ $A$ میل میکند. در این حالت، شیب خط مماس برابر شتاب متحرک در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ است. به این ترتیب میتوان نتیجه گرفت که: شتاب در هر لحظهٔ دلخواه $t$، برابر شیب خط مماس بر نمودار سرعت - زمان در آن لحظه است. در کتابهای فیزیک برای سادگی، شتاب لحظهای را شتاب مینامند و آن را با نماد $a$ نشان میدهند.
(ب) شتاب متحرک در لحظۀ ${{t}_{1}}$
مثال 1-9
نمودار سرعت - زمان موتورسواری که در امتداد محور $x$ حرکت میکند در بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $12/0s$، مطابق شکل روبه رو است.
شتاب متوسط موتورسوار و جهت آن را در هر یک از بازههای زمانی $0/0s$ تا $2/0s$، $4/0s$ تا $8/0s$، $10/0s$ تا $12/0s$ بیایبد.
پاسخ: با توجه به دادههای روی نمودار و بنا به رابطهٔ 1-6 شتاب متوسط موتورسوار، برای هر یک از بازههای زمانی خواسته شده، برابر است با:
بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $2/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{8/0m/s-4/0m/s}{2/0s-0/0s}=2/0m/{{s}^{2}}$
بازهٔ زمانی $4/0s$ تا $8/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{20/0m/s-12/0m/s}{8/0s-4/0s}=2/0m/{{s}^{2}}$
بازهٔ زمانی $10/0s$ تا $12/0s$ ${{v}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{28/0m/s-24/0m/s}{12/0s-10/0s}=2/0m/{{s}^{2}}$
با توجه به علامت مثبت ${{v}_{av}}$ در هر سه بازهٔ زمانی، شتاب متوسط در جهت مثبت محور $x$ است. اگر در هر بازهٔ زمانی دلخواه دیگری نیز شتاب متوسط موتورسوار را حساب کنید با توجه به ثابت بودن شیب نمودار سرعت - زمان، اندازه و جهت یکسانی برای شتاب به دست میآید.
پرسش 1-6 (صفحهٔ ۱۲ کتاب درسی)
شکل روبه رو نمودار سرعت - زمان دوچرخه سواری را نشان میدهد که در امتداد محور $x$ در حرکت است. جهت شتاب دوچرخه سوار را در هر یک از لحظههای ${{t}_{1}}$، ${{t}_{2}}$، ... و ${{t}_{6}}$ تعیین کنید.
در لحظههای ${{t}_{1}}$، ${{t}_{2}}$، ${{t}_{4}}$ و ${{t}_{6}}$ شتاب دوچرخه سوار صفر است و در لحظهٔ ${{t}_{3}}$ شتاب منفی و در لحظهٔ ${{t}_{5}}$ شتاب مثبت است.
تمرین 1-4 (صفحهٔ ۱۲ کتاب درسی)
نمودار سرعت - زمان خودرویی که در راستای محور $x$ حرکت میکند در بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $20/0s$ مطابق شکل روبه رو است.
الف) شتاب متوسط خودرو در این بازهٔ زمانی چقدر است؟
جهت شتاب مثبت است.
${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{60-0}{20-0}=3m/{{s}^{2}}$ :شتاب متوسط در بازهٔ $0s$ تا $20s$
ب) شتاب خودرو را در لحظهٔ $t=8/0s$ به دست آورید.
شتاب در لحظهٔ $t=8s$ برابر شیب نمودار سرعت - زمان در این لحظه است.
بنابراین با توجه به شکل داریم:
${{a}_{(t=8s)}}=\frac{40-16}{8-0}=3m/{{s}^{2}}$ :شتاب در لحظهٔ $8s$
تمرین 1-5 (صفحهٔ ۱۳ کتاب درسی)
نمودار سرعت - زمان خودرویی که در راستای محور $x$ حرکت میکند در بازهٔ زمانی صفر $14/0s$ مطابق شکل روبه رو است.
الف) شتاب متوسط خودرو در این بازهٔ زمانی چقدر است؟
${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{0-20}{14-0}\simeq -1/43m/{{s}^{2}}$ :شتاب متوسط در بازهٔ زمانی $0s$ تا $14s$
ب) شتاب خودرو را در هر یک از لحظههای $t=2/0s$، $t=8/0s$ و $t=11/0s$ به دست آورید.
در لحظهٔ $t=2s$ شتاب خودرو صفر است، زیرا شیب نمودار سرعت - زمان صفر است. در بازهٔ زمانی $6s$ تا $10s$ شیب نمودار $(v-t)$ ثابت است، بنابراین در این بازه شتاب متوسط و شتاب لحظهای برابراند. در نتیجه شتاب در لحظه $t=8s$ را میتوانیم با رابطه شتاب متوسط به دست بیاوریم.
$a=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{40-20}{10-6}=5m/{{s}^{2}}$ :شتاب در لحظهٔ $t=8s$
در بازهٔ زمانی $10s$ تا $14s$ شیب نمودار $(v-t)$ ثابت است، بنابراین شتاب لحظهای با شتاب متوسط برابر است و داریم:
$a=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{0-40}{14-10}=-10m/{{s}^{2}}$ :شتاب در لحظهٔ $t=11s$