درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم رشته ریاضی
فصل دوم: حرکت دایرهای یکنواخت
تاکنون دربارهٔ حرکت روی خط راست بحث کردیم. در اینجا میخواهیم حرکت جسمی را بررسی کنیم که روی یک دایره یا بخشی از آن حرکت میکند (شکل 2-20).
بدین منظور ذرهای را در نظر میگیریم که روی یک مسیر دایرهای با تندی ثابت حرکت میکند (شکل 2-21 ). به این نوع حرکت، حرکت دایرهای یکنواخت میگویند. با اینکه تندی جسم در این حرکت ثابت است، حرکت ذره شتاب دار است (چرا؟). منظور از ذره میتواند جسمی مانند یک ماهواره باشد که در یک مدار دایرهای حول زمین میچرخد یا الکترونی باشد که در مدل اتمی بور حول هسته میچرخد و یا گلولهای که به انتهای نخی بسته شده و در یک مسیر دایرهای در حرکت است. صرف نظر از آنکه این ذره چه جسمی است، همواره بردار سرعت ذره $(\overrightarrow{v})$ مماس بر مسیر حرکت دایرهای است.
پرسش ۲-۸ (صفحهٔ ۴۹ کتاب درسی)
چرا در حرکت دایرهای یکنواخت، ذره در بازههای زمانی برابر، مسافتهای یکسانی را طی میکند؟
در کتاب ریاضی (حسابان) سال گذشته با تعریف زاویه بر حسب رادیان آشنا شدید. در آنجا دیدید که اندازهٔ زاویهٔ $\theta $ برحسب رادیان برابر با طول کمان روبهروی زاویه بر شعاع دایره است یعنی $\theta =\frac{\ell }{r}$، بنابراین مسافت طی شده توسط ذره روی دایره برابر است با $\ell =r\theta $ که چون در زمانهای برابر $\theta $ و $r$ برابر هستند، پس مسافتهای یکسانی توسط ذره طی میشود.
$\Delta {{t}_{1}}=\Delta {{t}_{2}}\to {{\theta }_{1}}={{\theta }_{2}}\to {{\ell }_{1}}={{\ell }_{2}}$ و $\frac{\ell }{r}=\theta \to \ell =r\theta $
دوره: در حرکت دایرهای یکنواخت، مدت زمان لازم برای پیمودن یک دور محیط دایره را دوره تناوب (دوره) مینامیم. از آنجا که در این حرکت ذره محیط دایره $(2\pi r)$ را با تندی $v$ در زمان $T$ طی میکند، داریم:
(۱۲-۲) (دوره) $T=\frac{2\pi r}{v}$
یکای دوره ثانیه، $(s)$ است.
پرسش ۲-۹ (صفحهٔ ۴۹ کتاب درسی)
دورهٔ عقربهٔ ثانیه شمار، دقیقه شمار و ساعت شمار یک ساعت عقربهای چیست؟
$T=\frac{1}{60}s$ :دورهٔ عقربه ثانیه شمار
عقربه دقیقه شمار یک دور را در ۶۰ دقیقه میزند.
$T=\frac{1}{60\times 60}=\frac{1}{3600}s$ :دورهٔ عقربه دقیقه شمار
عقربه ساعت شمار یک دور را در ۱۲ ساعت میزدند.
$T=\frac{1}{12\times 60\times 60}=\frac{1}{43200}s$ :دورهٔ عقربه ساعت شمار
مثال ۲-۱۳
میل لنگ یک خودرو که قطر محور آن $4/0cm$ است، در هر دقیقه $2400$ دور میچرخد $(2400rpm)$. تندی نقطهای روی لبهٔ محور این میل لنگ چقدر است؟
پاسخ: ابتدا زمان یک دور، یعنی دورهٔ تناوب آن را به روش تبدیل زنجیرهای محاسبه میکنیم:
دور: $far$
$T=\frac{1\min }{{{2400}_{\text{far}}}}\times \frac{60s}{1\min }=\frac{1}{40}s=0/025s$
با استفاده از رابطهٔ $T=\frac{2\pi r}{v}$ و اینکه $r=2/0cm$ و اینکه $r=2/0cm$ است، تندی این نقطه برابر است با:
$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2(3/14rad)(0/020m)}{0/025s}=5/0m/s$
مثال ۲-۱۵
یک دیسک گردان در شهربازی را درنظر بگیرید که توسط یک موتور الکتریکی در هر دقیقه $5/00$ دور میچرخد. فرض کنید افرادی در فاصلههای $1/0m$، $2/0m$ و $3/0m$ از مرکز آن قرار دارند.
تندی این افراد را به دست بیاورید و با هم مقایسه کنید.
پاسخ: ابتدا دورهٔ حرکت را محاسبه میکنیم.
دور: $far$
$T=\frac{1\min }{_{\text{far}}5}\times \frac{60s}{1\min }=12/0s$
برای محاسبهٔ تندی افراد در فاصلههای مختلف از مرکز دیسک چرخان، از رابطهٔ 2-12 استفاده میکنیم.
$T=\frac{2\pi r}{v}\Rightarrow v=\frac{2\pi r}{T}$
${{r}_{1}}=1/0m\Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{2\pi {{r}_{1}}}{T}=\frac{2(3/14rad)(1/0m)}{12/0s}=0/52m/s$
${{r}_{2}}=2/0m\Rightarrow {{v}_{2}}=\frac{2\pi {{r}_{2}}}{T}=\frac{2(3/14rad)(2/0m)}{12/0s}=1/04m/s$
${{r}_{3}}=3/0m\Rightarrow {{v}_{3}}=\frac{2\pi {{r}_{3}}}{T}=\frac{2(3/14rad)(3/0m)}{12/0s}=1/57m/s$
نتیجه میگیریم که هر چه از مرکز دیسک دور میشویم، تندی حرکت بیشتر میشود در حالی که دورهٔ تناوب برای همهٔ افراد یکسان است.
تمرین ۲-۸ (صفحهٔ ۵۱ کتاب درسی)
مسافتی را که هر یک از افراد در مثال بالا در مدت $3/0m$ طی کردهاند محاسبه کنید.
نقشهٔ راه: مسافت طی شده از رابطهٔ $\ell =r\theta $ به دست میآید. برای هر سه نفر $\theta $ برابر است، بنابراین:
${{\theta }_{1}}={{\theta }_{2}}={{\theta }_{3}}=\frac{2\pi t}{T}=\frac{2\pi \times 3}{12}=\frac{\pi }{2}rad$
${{\ell }_{3}}={{r}_{3}}{{\theta }_{3}}=3\times \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}m$ $,$ ${{\ell }_{2}}={{r}_{2}}{{\theta }_{2}}=2\times \frac{\pi }{2}=\pi m$ $,$ ${{\ell }_{1}}={{r}_{1}}{{\theta }_{1}}=1\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}m$
شتاب مرکزگرا و قانون دوم نیوتون: در حرکت دایرهای یکنواخت، اندازهٔ سرعت ثابت است اما جهت آن دائما تغییر میکند. به همین دلیل حرکت دایرهای، حرکتی شتاب دار است (شکل 2-22 الف و ب). در فصل 1 دیدیم که شتاب متوسط، از نسبت تغییر سرعت به زمان تغییر آن به دست میآید $(\overrightarrow{{{a}_{av}}}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t})$ و اگر بازهٔ زمانی $\Delta t$ خیلی کوچک باشد، شتاب متوسط تبدیل به شتاب لحظهای میشود.
بر اساس تعریف شتاب متوسط، جهت شتاب متوسط همواره با جهت تغییر سرعت یکسان است. در حالتی که بازهٔ زمانی خیلی کوچک انتخاب میشود، جهت $\Delta \overrightarrow{v}$ به طرف مرکز دایره خواهد بود. پس جهت شتاب لحظهای نیز به طرف مرکز خواهد بود (شکل 2-22 پ). به همین دلیل به آن شتاب مرکزگرا میگویند و آن را با $\overrightarrow{{{a}_{c}}}$ نشان می دهند (شکل 2-22 ت). اندازهٔٔ شتاب مرکزگرا از رابطهٔ زیر به دست میآید:
(۱۳-۲) (اندازهٔ شتاب مرکزگرا) ${{a}_{c}}=\frac{{{v}^{2}}}{r}$
پرسش ۲-۱۰ (صفحهٔ ۵۱ کتاب درسی)
نشان دهید در حرکت دایرهای یکنواخت، شتاب مرکزگرا از رابطهٔ ${{a}_{c}}=\frac{4{{\pi }^{2}}r}{{{T}^{2}}}$ نیز به دست میآید که در آن $T$ و $r$ به ترتیب دورهٔ تناوب و شعاع دایره است.
$\left. \begin{matrix}
{{a}_{c}}=\frac{{{v}^{2}}}{r} \\
v=\frac{2\pi r}{T} \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow {{a}_{c}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}{{{T}^{2}}\times r}\Rightarrow {{a}_{c}}=\frac{4{{\pi }^{2}}r}{{{T}^{2}}}$
تمرین ۲-۹ (صفحهٔ ۵۲ کتاب درسی)
شکل روبه رو مسیر حرکت سورتمهای را در مسابقهٔ المپیک زمستانی نشان میدهد. سورتمه روی یک سطح افقی در حال حرکت است. اگر تندی حرکت سورتمه در کل مسیر $34m/s$ باشد، شتاب مرکزگرای آن را در هر یک از پیچها به دست آورید.
${{a}_{{{c}_{1}}}}=\frac{v_{1}^{2}}{{{r}_{1}}}=\frac{{{(34)}^{2}}}{33}=35/03m/{{s}^{2}}$
${{a}_{{{c}_{2}}}}=\frac{v_{2}^{2}}{{{r}_{2}}}=\frac{{{(34)}^{2}}}{24}=48/16m/{{s}^{2}}$
دیدیم شتاب جسم در حرکت دایرهای یکنواخت در راستای شعاع دایره و جهت آن به طرف مرکز دایره است. از قانون دوم نیوتون میدانیم شتاب یک جسم را نیروی خالص وارد بر آن ایجاد میکند و شتاب جسم همواره در راستا و جهت نیروی خالص وارد بر جسم است. بنابراین، در حرکت دایرهای یکنواخت نیز یک نیروی خالص رو به مرکز، سبب ایجاد شتاب مرکزگرا میشود. به این نیروی خالص که منجر به حرکت دایرهای میشود، نیروی مرکزگرا میگوییم. وقتی جسم متصل به نخی را روی سطح افقی بدون اصطکاک میچرخانیم، در مییابیم که باید نخ را دائماً بکشیم؛ یعنی نیروی مرکزگرا به آن وارد کنیم (شکل 2-23). نخ نیروی مرکزگرایی را به جسم وارد میکند که آن را در مسیر دایرهای به حرکت وا میدارد. نیروی مرکزگرا نوع جدیدی از نیرو نیست، نیروهای گرانشی یا الکتریکی میتوانند نیروهای مرکزگرا را تأمین کنند؛ مثلاً نیروی گرانشیِ به طرف مرکز زمین، ماه را در مداری تقریبا دایرهای نگه میدارد. الکترونهای مداری اتمها در مدل بور تحت تأثیر نیروی الکتریکی به طرف هسته در مدارهای خود میچرخند و … .
قانون دوم نیوتون $({{F}_{net}}=ma)$ را در حرکت دایرهای یکنواخت به صورت زیر میتوانیم بنویسیم:
(۱۴-۲) (قانون دوم نیوتون در حرکت دایرهای یکنواخت) ${{F}_{net}}=m\frac{{{v}^{2}}}{r}$
در این رابطه ${{F}_{net}}$ بزرگی نیروی خالص وارد بر جسم در راستای شعاع و به طرف مرکز دایره است.
مثال ۲-۱۷
پدری فرزند 20 کیلوگرمی خود را در یک چهارچرخهٔ ایمن $5/0$ کیلوگرمی قرار میدهد و با یک طناب $2/0$ متری، چهارچرخه را روی سطح افقی زمین به گونهای میکشد تا چهارچرخه روی دایرهای حرکت کند. با فرض یکنواخت بودن حرکت چهارچرخه و صرف نظر کردن از اصطکاک و با فرض اینکه نیروی کشش طناب $100N$ باشد، تندی و دورهٔ چهارچرخه را به دست آورید.
پاسخ: بچه و چهارچرخه را به صورت یک ذره فرض میکنیم که در یک مسیر دایرهای با نیروی مرکزگرای $100N$ حرکت میکند. بر ذره سه نیروی وزن، نیروی عمودی سطح (در راستای عمودی) و نیروی کشش نخ (مرکزگرا) به طرف مرکز دایره وارد میشود. نیروی وزن و نیروی عمودی سطح همدیگر را خنثی میکنند و بنابراین تنها نیروی $\overrightarrow{T}$ به عنوان نیروی خالص در نظر گرفته میشود.
$m=25kg,r=2/0m,{{F}_{net}}=T=100N$
${{F}_{net}}=m\frac{{{v}^{2}}}{v}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{rF}{m}}=\sqrt{\frac{(2/0m)(100N)}{25kg}}=2/8m/s$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi (2/0m)}{2/8m/s}=4/5s$: دوره
تمرین ۲-۱۰ (صفحهٔ ۵۳ کتاب درسی)
خودرویی به جرم $1500kg$ را در نظر بگیرید که میخواهد در یک پیچ مسطح افقی به شعاع $50/0m$ بدون آنکه بلغزد، دور بزند. اگر ضریب اصطکاک ایستایی بین لاستیک و سطح جاده $1/0$ باشد، حداکثر تندی خودرو چقدر میتواند باشد؟ (راهنمایی: با اینکه خودرو میخواهد یک چهارم دایره را طی کند، میتوانیم خودرو را به صورت یک ذره در نظر بگیریم که در یک چهارم دایره، حرکت دایرهای یکنواخت دارد. در راستای عمود بر سطح، نیروی وزن و نیروی عمودی سطح بر خودرو وارد میشود و نیروی اصطکاک ایستایی که عمود بر راستای حرکت است، مانع از لغزش خودرو شده و به طرف مرکز پیچ، بر خودرو وارد میشود. این نیرو شتاب مرکزگرای لازم را برای دور زدن تأمین میکند.)
نقشهٔ راه: اگر نیروهای وارد بر اتومبیل را رسم کنیم، چنین میشود.
${{F}_{ne{{t}_{y}}}}=0\to {{F}_{N}}=mg$
${{F}_{ne{{t}_{x}}}}=m{{a}_{x}}\to {{f}_{s}}=\frac{m{{v}^{2}}}{r}$
حداکثر تندی اتومبیل زمانی است که نیروی اصطکاک بیشینه باشد، یعنی:
${{f}_{s,\max }}=\frac{m{{v}^{2}}_{\max }}{r}\to {{\mu }_{s}}mg=\frac{m{{v}^{2}}_{\max }}{r}\to {{v}_{\max }}=\sqrt{{{\mu }_{s}}rg}\to {{v}_{\max }}=\sqrt{1\times 50\times 9/8}\simeq 22/14m/s$
