درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم رشته ریاضی
فصل اول: حرکت با شتاب ثابت
شکل 1-12 نمودار سرعت - زمان متحرکی را نشان میدهد که در امتداد خط راست حرکت میکند. همان طور که دیده میشود سرعت متحرک با زمان به صورت خطی تغییر میکند و شیب نمودار سرعت - زمان ثابت است. پیش از این و در مثال 1-8 دیدیم در این شرایط، شتاب متوسط $({{a}_{av}}=\Delta v/\Delta t)$ در بازههای زمانی مختلف یکسان است. در چنین حرکتی شتاب متوسط در هر بازهٔ زمانی برابر شتاب لحظهای متحرک است، یعنی ${{a}_{av}}=a$.
هر گاه شتاب متحرکی در لحظههای مختلف یکسان باشد، حرکت جسم را حرکت با شتاب ثابت مینامیم (شکل 1-13). حرکت با شتاب ثابت نوع خاصی از حرکت است و در زندگی روزمره، با حرکت اجسامی که شتاب آنها ثابت یا تقریباً ثابت است زیاد سروکار داریم. جسمی که روی سطحِ هموار یک سراشیبی در حال لغزیدن است، یا جسمی که در حال سقوط است و اثر مقاومت هوا بر آن ناچیز باشد دارای حرکت با شتاب ثابتاند. همچنین خودرویی که پس از سبز شدن چراغ، شروع به حرکت میکند یا هواپیمایی که روی باند پرواز حرکت میکند تا به شرایط لازم برای برخاستن برسد مثالهایی از حرکت با شتاب تقریباً ثابتاند. به دلیل اهمیت و رایج بودن حرکتهای با شتاب ثابت، در ادامه با معادلات این نوع حرکت آشنا میشویم.
معادلۀ سرعت زمان در حرکت با شتاب ثابت: اگر مانند نمودار شکل 1-12 در $t=0$ سرعت اولیهٔ متحرک ${{v}_{0}}$ و در لحظهٔ $t$، سرعت متحرک برابر $v$ باشد در این صورت معادلهٔ 1-6 را برای حرکت با شتاب ثابت $(a={{a}_{av}})$ در امتداد خط راست میتوانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم:
(۸-۱) (معادلهٔ سرعت - زمان در حرکت با شتاب ثابت) $v=at+{{v}_{0}}$
همان طور که دیده میشود تغییرات $v$ نسبت به $t$ در معادلهٔ 1-8 به صورت یک تابع خطی است. به همین دلیل سرعت متوسط متحرک در بازهٔ زمانی صفر تا $t$ برابر است با میانگین سرعت متحرک در این دو لحظه، یعنی:
(۹-۱) (معادلهٔ سرعت متوسط در حرکت با شتاب ثابت) ${{v}_{av}}=\frac{{{v}_{0}}+v}{2}$
مثال ۱-۱۱
شکل روبه رو هواپیمایی را نشان میدهد که از حال سکون و با شتاب ثابت روی باند پرواز و در امتداد محور $x$ شروع به حرکت میکند.
الف) چه مدت طول میکشد تا هواپیما به شرایط برخاستن برسد؟
ب) سرعت متوسط هواپیما در این بازهٔ زمانی چقدر است؟
پ) جابه جایی هواپیما در این مدت چقدر است؟
پاسخ: الف) با توجه به ثابت بودن شتاب حرکت هواپیما روی باند پرواز، دادههای روی شکل را میتوان در معادلهٔ 1-8 جای گذاری کرد. به این ترتیب داریم:
$v=at+{{v}_{0}}\Rightarrow 95/0m/s=(2/20m/{{s}^{2}})t+0/0m/s\Rightarrow t=43/2s$
در اولین فرصتی که سوار هواپیما شدید، نتیجهٔ به دست آمده را وارسی کنید!
ب)
${{v}_{av}}=\frac{{{v}_{0}}+v}{2}=\frac{0/0m/s+95/0m/s}{2}=47/5m/s$
پ) از رابطهٔ 1-4 داریم:
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow \Delta x={{v}_{av}}\Delta t=(47/5m/s)(43/2s)=2/05\times {{10}^{3}}m$
تمرین ۱-۸ (صفحهٔ ۱۶ کتاب درسی)
معادلهٔ سرعت - زمان متحرکی که در امتداد محور $x$ حرکت میکند در $SI$ به صورت $v=-1/8t+2/2$ است.
الف) سرعت متحرک در لحظهٔ $t=4/0s$ چقدر است؟
$v=-1/8t+2/2\xrightarrow{t=4s}v=-1/8\times 4+2/2=-5m/s$
ب) سرعت متوسط متحرک و جابه جایی آن در بازهٔ زمانی صفر تا $t=4/0s$ چقدر است؟
$\left\{ \begin{matrix}
{{t}_{1}}=0\to {{v}_{1}}=2/2m/s \\
{{t}_{2}}=4\to {{v}_{2}}=-5m/s \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {{v}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}+{{v}_{1}}}{2}=\frac{-5+2/2}{2}=-1/4m/s$
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow \Delta x={{v}_{av}}\Delta t\Rightarrow \Delta x=-1/4\times (4-0)\Rightarrow \Delta x=-5/6m$
پ) نمودار سرعت - زمان این متحرک را رسم کنید.
فعالیت ۱-۲ (صفحهٔ ۱۶ کتاب درسی)
در تمامی حالتهای شکل زیر، خودروها در امتداد محور $x$ و با شتاب ثابت در حرکتاند. حرکت هر یک از خودروها، توسط کدام یک از نمودارهای $v-t$ توصیف میشود؟ همچنین توضیح دهید تندی کدام خودرو در حال افزایش (حرکت تندشونده) و تندی کدام خودرو در حال کاهش (حرکت کُند شونده) است.
نمودار (1) برای خودرو (ب) است، زیرا $v \gt 0$ و $a \gt 0$ است و حرکت این خودرو تُندشونده و $av \gt 0$ است.
نمودار (2) برای خودرو (الف) است، زیرا $v \gt 0$ و $a \lt 0$ است و حرکت این خودرو کُندشونده و $av \lt 0$ است.
نمودار (3) برای خودرو (ت) است، زیرا $v \lt 0$ و $a \gt 0$ است و حرکت این خودرو کُندشونده و $av \lt 0$ است.
نمودار (4) برای خودرو (پ) است، زیرا $v \lt 0$ و $a \lt 0$ است و حرکت این خودرو تُندشونده و $av \gt 0$ است.
معادلهٔ مکان - زمان در حرکت با شتاب ثابت: اگر جسمی که با شتاب ثابت و در امتداد محور $x$ حرکت میکند در $t=0$ در مکان ${{x}_{0}}$ و دارای سرعت ${{v}_{0}}$ باشد، در این صورت از رابطههای 1-4 و 1-9 داریم:
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow \frac{v+{{v}_{0}}}{2}=\frac{x-{{x}_{0}}}{t-0}\Rightarrow x=(\frac{v+{{v}_{0}}}{2})t+{{x}_{0}}$
با قرار دادن رابطهٔ 1-8 در معادلهٔ بالا داریم:
$x=(\frac{at+{{v}_{0}}+{{v}_{0}}}{2})t+{{x}_{0}}$
با ساده سازی این رابطه خواهیم داشت:
(۱۰-۱) (معادلهٔ مکان - زمان در حرکت با شتاب ثابت) $x=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+{{v}_{0}}t+{{x}_{0}}$
همان طور که دیده میشود در این نوع حرکت، مکان متحرک تابعی درجهٔ دوم از زمان است. با رسم تابعهای درجهٔ دوم در ریاضی 1 پایهٔ دهم آشنا شدید. شکل 1-14 نمودار $x-t$ را برای چند حالت مختلف نشان میدهد.
مثال ۱-۱۲
شکل روبه رو نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان میدهد که با شتاب ثابت در امتداد محور $x$ حرکت میکند.
الف) شتاب متحرک را پیدا کنید.
ب) معادلهٔ سرعت - زمان متحرک را بنویسید و نمودار آن را رسم کنید.
پ) جابه جایی متحرک را در بازهٔ زمانی صفر تا $3/0s$ پیدا کنید.
ت) با توجه به اینکه سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر بازهٔ زمانی برابر جابه جایی در آن بازه است، جابه جایی متحرک را در بازهٔ زمانی صفر تا $3/0s$ حساب کنید و نتیجه را با قسمت پ مقایسه کنید.
ث) سرعت متوسط متحرک را در بازهٔ زمانی صفر $3/0s$ پیدا کنید.
پاسخ: الف) شیب خط چین مماس بر منحنی در $t=0/0s$ برابر صفر است و نشان دهندهٔ این است که سرعت متحرک در این لحظه صفر است $({{v}_{0}}=0/0m/s)$. با توجه به دادههای روی نمودار و معادلهٔ 1-10 داریم:
${{x}_{0}}=-9/0m\begin{matrix}
{} & , & {} \\
\end{matrix}t=3/0s\to x=0/0m\begin{matrix}
{} & , & {} \\
\end{matrix}{{v}_{0}}=0/0m/s$
$x=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+{{v}_{0}}t+{{x}_{0}}\Rightarrow 0=\frac{1}{2}a(3/0{{s}^{2}})+0+(-9/0m)\Rightarrow a=2/0m/{{s}^{2}}$
ب) از معادلهٔ 1-8 داریم:
$v=at+{{v}_{0}}\Rightarrow v=(2/0m/{{s}^{2}})t+0\Rightarrow v=(2/0m/{{s}^{2}})t$
نمودار این معادله در شکل روبه رو رسم شده است.
پ) با توجه به نمودار مکان - زمان، جابه جایی متحرک در بازهٔ زمانی $(0/0s,3/0s)$ برابر $\Delta x=0/0-(-9/0m)=9/0m$ است.
ت) سطح بین منحنی سرعت و محور زمان در نمودار سرعت - زمان، برابر $(\frac{1}{2}\times 6/0m/s)(3/0s)=9/0m$ است که با نتیجهٔ قسمت پ سازگار است.
ث) از رابطهٔ 1-4 داریم:
${{v}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{9/0m}{3/0s}=3/0m/s$
توجه کنید که میتوانستیم سرعت متوسط در این بازهٔ زمانی را از رابطهٔ ${{v}_{av}}=\frac{({{v}_{0}}+v)}{2}$ نیز حساب کنیم که به همین نتیجه میرسد.
تمرین ۱-۹ (صفحهٔ ۱۶ کتاب درسی)
خودرویی با سرعت $18/0km/h$ در امتداد مسیری مستقیم از چهار راهی میگذرد تندی آن با شتاب $1/0m/{{s}^{2}}$ افزایش مییابد. سرعت خودرو پس از $300m$ جابه جایی چقدر است؟
اگر چهار راه را مبدأ مختصات در نظر بگیریم میتوانیم چنین بنویسیم:
${{v}_{0}}=\frac{18}{3/6}=5m/s$
${{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2a\Delta x\xrightarrow[\Delta x=300m]{{{v}_{0}}=5m/s,a=1m/{{s}^{2}}}{{v}^{2}}-{{(5)}^{2}}=2\times 1\times 300\to {{v}^{2}}=625\to v=25m/s$
(جواب $v=-25m/s$ قابل قبول نیست.)
معادلۀ سرعت - جابه جایی در حرکت با شتاب ثابت: اگر هنگام بررسی حرکت جسمی، زمان $t$ معلوم نباشد، میتوان از معادلهٔ سرعت - جابه جایی برای پیدا کردن یکی از کمیتهای جابه جایی $\Delta x$، سرعت اولیه ${{v}_{0}}$، سرعت $v$، یا شتاب متحرک استفاده کرد. برای به دست آوردن این معادله از رابطههای 1-4 و 1-9 شروع میکنیم. به این ترتیب مشابه آنچه هنگام به دست آوردن معادلهٔ مکان زمان دیدیم میتوان نوشت:
$x=(\frac{v+{{v}_{0}}}{2})t+{{x}_{0}}$
با به دست آوردن $t$ از معادلهٔ ۱-۸ و قرار دادن آن در رابطهٔ بالا داریم:
$x=(\frac{v+{{v}_{0}}}{2})(\frac{v-{{v}_{0}}}{2})+{{x}_{0}}$
در این صورت داریم:
(۱۱-۱) (معادلهٔ سرعت - جابهجایی در حرکت با شتاب ثابت) ${{v}^{2}}={{v}_{0}}^{2}+2a\Delta x$
اگرچه این رابطه را برای بازهٔ زمانی صفر تا $t$ به دست آوردیم، برای هر بازهٔ زمانی دلخواه ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$ نیز میتوانیم از رابطهٔ زیر استفاده کنیم که در آن ${{x}_{1}}$ و ${{v}_{1}}$ متناظر با لحظهٔ ${{t}_{1}}$ و همچنین ${{x}_{2}}$ و ${{v}_{2}}$ متناظر با لحظهٔ ${{t}_{2}}$ هستند.
$v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2a({{x}_{2}}-{{x}_{1}})$
مثال ۱-۱۳
محیط بان یک پارک حفاظت شده هنگام گشت شبانه، با تندی $40/0km/h$ در جادهای مستقیم در حرکت است که ناگهان گوزنِ بدون حرکتی را در جلوی خود میبیند و ترمز میگیرد (شکل روبه رو).
حرکت خودرو با شتابی به اندازهٔ $3/80m/{{s}^{2}}$ کُند میشود تا سرانجام متوقف شود. اگر لحظهای که محیط بان ترمز میگیرد، گوزن در فاصلهٔ $22/0$ متری از خودرو باشد،
الف) خودرو در چه فاصلهای از گوزن متوقف میشود؟
ب) چه مدت طول می کشد تا خودرو متوقف شود؟
پاسخ: الف) حرکت خودرو را در جهت مثبت محور $x$ فرض میکنیم. همچنین برای سادگی، مبدأ زمان و مکان را جایی میگیریم که محیط بان ترمز گرفته و در نتیجه ${{x}_{0}}=0/0m$ و ${{v}_{0}}=40/0km/h=11/1m/s$ است. از طرفی، چون سرعت خودرو در جهت محور $x$ به تدریج در حال کاهش است، شتاب آن بر خلاف جهت محور $x$ و در نتیجه منفی خواهد شد. به این ترتیب از معادلهٔ 1-11 داریم:
${{v}^{2}}-{{v}_{0}}^{2}=2a(x-{{x}_{0}})\Rightarrow 0-(11/1m/{{s}^{2}})=2(-3/80m/{{s}^{2}})(x-0)$
در نتیجه $x=16/2m$ و خودرو در فاصلهٔ $(22/0m-16/2m)=5/8m$ از گوزن متوقف میشود و خوشبختانه برخوردی بین خودرو و گوزن صورت نمیگیرد.
ب) از رابطهٔ 1-8 داریم:
$v=at+{{v}_{0}}\Rightarrow 0/0m/s=(-3/80m/{{s}^{2}})t+11/1m/s\Rightarrow t=2/92s$
مثال ۱-۱۴
متحرکی که در راستای محور $x$ حرکت میکند در لحظهٔ $t=0$ از مکان ${{x}_{0}}=0$ میگذرد. نمودار سرعت - زمان این متحرک مطابق شکل روبه رو است.
الف) متحرک در کدام بازهٔ زمانی، در جهت محور $x$ و در کدام بازهٔ زمانی در خلاف جهت محور $x$ حرکت کرده است؟
ب) در چه لحظه یا لحظههایی جهت حرکت متحرک تغییر کرده است؟
پ) با توجه به نمودار سرعت - زمان توضیح دهید در کدام بازههای زمانی حرکت جسم تندشونده و یا کُندشونده است.
ت) مکان متحرک را در هر یک از لحظههای ${{t}_{1}}=10s$، ${{t}_{2}}=20s$، ${{t}_{3}}=40s$ و ${{t}_{4}}=50s$ پیدا کنید و روی محور $x$ نشان دهید.
ث) مسیر حرکت متحرک را رسم کنید و با توجه به آن، جابه جایی و مسافت طی شده را در کل زمان حرکت پیدا کنید.
ج) مساحت سطح زیر نمودار $v-t$ را حساب کنید و مقدار آن را با جابه جایی متحرک در قسمت قبل مقایسه کنید. مساحت بخشی از سطح را که زیر محور است منفی بگیرید.
پاسخ: الف) با توجه به نمودار، در بازهٔ زمانی صفر تا ${{t}_{1}}=10s$، سرعت متحرک منفی است و بنابراین در جهت منفی محور $x$ حرکت کرده است. همچنین در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}=10s$ تا ${{t}_{4}}=50s$، سرعت متحرک مثبت است و بنابراین در جهت مثبت محور $x$ حرکت کرده است.
ب) تنها در لحظهٔ ${{t}_{1}}=10s$ علامت سرعت و در نتیجه جهت حرکت متحرک تغییر کرده است.
پ) در بازهٔ زمانی صفر تا ${{t}_{1}}=10s$، تندی در حال کاهش و در نتیجه حرکت کُندشونده است.
در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}=10s$ تا ${{t}_{2}}=20s$، تندی در حال افزایش و در نتیجه حرکت تندشونده است.
در بازهٔ زمانی ${{t}_{2}}=20s$ تا ${{t}_{3}}=40s$، حرکت با سرعت ثابت است.
در بازهٔ زمانی ${{t}_{3}}=40s$ تا ${{t}_{4}}=50s$، تندی در حال کاهش و در نتیجه حرکت کُندشونده است.
ت) در بازهٔ زمانی صفر ${{t}_{2}}=20s$ حرکت با شتاب ثابت است. به این ترتیب از معادلهٔ 1-8 داریم:
$v=at+{{v}_{0}}\Rightarrow (2/0m/s)=a(20s)+(-2/0m/s)\Rightarrow a=0/20m/{{s}^{2}}$
در این صورت با توجه به معادلهٔ 1-10، در لحظهٔ ${{t}_{1}}=10s$ داریم:
$x=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+{{v}_{0}}t+{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{2}(0/20m/{{s}^{2}}){{(10s)}^{2}}+(-2/0m/s)(10s)+0\Rightarrow {{x}_{1}}=-10m$
در لحظهٔ ${{t}_{2}}=20s$ داریم:
$x=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+{{v}_{0}}t+{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{1}{2}(0/20m/{{s}^{2}}){{(20s)}^{2}}+(-2/0m/s)(20s)+0\Rightarrow {{x}_{2}}=0$
در بازهٔ زمانی $20s$ تا $40s$، حرکت با سرعت ثابت روی خط راست است. به این ترتیب با توجه به معادلهٔ 1-7، جابه جایی در این بازهٔ زمانی برابر است:
$\Delta x=v\Delta t\Rightarrow \Delta x=(2/0m/s)(40s-20s)=40m$
در نتیجه متحرک در لحظهٔ ${{t}_{3}}=40s$ در مکان ${{x}_{3}}={{x}_{2}}+\Delta x=0+40m=40m$ قرار دارد.
در بازهٔ زمانی $40s$ تا $50s$، حرکت با شتاب ثابت است. به این ترتیب داریم:
$\Delta x=(\frac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{2})\Delta t=(\frac{2/0m/s+0}{2})(10s)\Rightarrow \Delta x=10m$
در نتیجه متحرک در لحظهٔ ${{t}_{4}}=50s$ در مکان ${{x}_{4}}={{x}_{3}}+\Delta x=40m+10m=50m$ قرار دارد.
ث) در شکل زیر جابه جایی و مسافت طی شده توسط متحرک در کل زمان حرکت نشان داده شده است.
ج) مساحت سطح زیر نمودار سرعت زمان که با رنگ زرد در شکل مشخص شده است، برابر جابه جایی متحرک است. به این ترتیب برای هر یک از بازههای زمانی داریم:
$\Delta {{x}_{2}}=\frac{1}{2}(2/0m/s)(10s)=10m$ $\Delta {{x}_{1}}=\frac{1}{2}(-2/0m/s)(10s)=-10m$
$\Delta {{x}_{4}}=\frac{1}{2}(2/0m/s)(10s)=10m$ $\Delta {{x}_{3}}=(2/0m/s)(20s)=40m$
$\Delta x=\Delta {{x}_{1}}+\Delta {{x}_{2}}+\Delta {{x}_{3}}+\Delta {{x}_{4}}=-10m+10m+40m+10m=50m$
همان طور که از نتیجهٔ بالا دیده میشود، مساحت سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در کل زمان حرکت، با جابه جایی متحرک برابر است.
پرسش ۱-۷ (صفحهٔ ۲۱ کتاب درسی)
نمودار شتاب - زمان متحرکی که در امتداد محور $x$ حرکت میکند مطابق شکل زیر است. توضیح دهید چگونه هر یک از نمودارهای سرعت - زمان شکلهای الف، ب و پ میتواند متناظر با این نمودار شتاب - زمان باشد.
هر سه نمودار میتوانند متناظر با نمودار شتاب - زمان باشند. زیرا:
در شکل (الف) در مرحلهٔ اوّل متحرک دارای حرکت یکنواخت در جهت محور $x$ است $({{a}_{1}}=0,{{v}_{1}}>0)$ در مرحلهٔ دوم حرکت با شتاب ثابت کُندشونده در جهت محور $x$ است $({{a}_{2}}<0,{{v}_{2}}>0)$ و در مرحلهٔ سوم متحرک با حرکت یکنواخت در جهت محور $x$ حرکت میکند $({{a}_{3}}=0,{{v}_{3}}>0)$ و جابهجایی کل متحرک ثابت است.
در شکل (ب) متحرک در خلاف جهت محور $x$ حرکت میکند. در مرحلهٔ اول حرکتش یکنواخت $({{v}_{1}}<0,{{a}_{1}}=0)$ است، در مرحلهٔ دوم حرکتش شتابدار و تُندشونده $({{v}_{2}}<0,{{a}_{2}}<0)$ و در مرحلهٔ سوم حرکتش یکنواخت $({{v}_{3}}<0,{{a}_{3}}=0)$ است.
متحرک در شکل (پ) در مرحلهٔ اوّل درای حرکت دارای حرکت یکنواخت در جهت محور $x$ $({{a}_{1}}=0,{{v}_{1}}>0)$ بوده و در مرحلهٔ دوم ترمز میکند و حرکتش با شتاب ثابت در جهت محور $x$ کُند شده تا سرعتش صفر میشود و سپس با همان شتاب ثابت در خلاف جهت محور $x$ به صورت تُندشونده به حرکتش ادامه میدهد و در مرحلهٔ سوم با حرکت یکنواخت در خلاف جهت محور $x$ حرکت میکند $({{a}_{3}}=0,{{v}_{3}}<0)$ و در نهایت به نقطهٔ شروع حرکت بر میگردد و جابهجایی کل آن صفر میشود.
تمرین ۱-۱۰ (صفحهٔ ۲۱ کتاب درسی)
آهویی در مسیری مستقیم در امتداد محور $x$ میدود. نمودار سرعت - زمان آهو در بازهٔ زمانی صفر تا $12/0s$ مطابق شکل است. در این بازهٔ زمانی
الف) مسافت کل پیموده شده توسط آهو را به دست آورید.
نقشهٔ راه: مساحت زیر نمودار $(v-t)$ با محور زمان برابر با جابهجایی آهو است و چون حرکت بر خط راست و در یک جهت است، جابهجایی و مسافت پیموده شده برابر هستند.
$=\Delta {{x}_{t}}=\frac{(3+12)\times 10}{2}+\frac{12\times 2}{2}=75+12=87m$ مسافت کل پیموده شده
ب) جابه جایی آهو را پیدا کنید.
$87m$. چون حرکت بر خط راست و در یک جهت است، اندازهٔ جابهجایی و مسافت طی شده برابر هستند.
پ) نمودار شتاب - زمان آهو را رسم کنید.
نقشهٔ راه: ابتدا شتاب در هر مرحله را به دست آورده و سپس نمودار شتاب - زمان را رسم میکنیم.
${{a}_{1}}=\frac{{{v}_{1}}-{{v}_{0}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{12-3}{10}=0/9m/{{s}^{2}}$
${{a}_{2}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}=\frac{0-12}{2}=-6m/{{s}^{2}}$
تمرین ۱-۱۱ (صفحهٔ ۲۱ کتاب درسی)
شکل مقابل نمودار شتاب - زمان یک ماشین اسباب بازی را نشان میدهد که در امتداد محور $x$ حرکت میکند. با فرض ${{x}_{0}}=0$ و ${{v}_{0}}=0$، در بازهٔ زمانی صفر تا $25/0s$،
الف) نمودارهای سرعت - زمان و مکان - زمان این ماشین را رسم کنید.
نقشهٔ راه: سطح زیر نمودار شتاب - زمان در هر بازهٔ زمانی برابر با تغییرات سرعت است،
بنابراین:
$0 \lt t \lt 5\to \Delta {{v}_{1}}={{a}_{1}}\Delta {{t}_{1}}\xrightarrow{{{v}_{0}}=0}{{v}_{1}}=2\times 5=10m/s$
$v_{1}^{2}-v_{0}^{2}=2{{a}_{1}}\Delta {{x}_{1}}\to 100-0=4\Delta {{x}_{1}}\to \Delta {{x}_{1}}=25m$
از رابطهٔ مستقل از زمان داریم:
از $5s$ تا $15s$ شتاب صفر است، بنابر این حرکت با سرعت ثابت است و از $15s$ تا $25s$ شتاب منفی است و تغییرات سرعت برابر است با:
${{v}_{3}}={{a}_{3}}\Delta {{t}_{3}}+{{v}_{2}}\xrightarrow[{{v}_{2}}=10m/s]{\Delta {{t}_{3}}=10s}{{v}_{3}}=-2\times 10+10=-10m/s$
در لحظهٔ $t=0s$ و $t=20s$ سرعت متحرک صفر شده است و هنگام رسم نمودار مکان - زمان باید شیب این نمودار در این دو لحظه صفر شود.
ب) با توجه به نمودار سرعت - زمان، مشخص کنید در کدام یک از بازههای زمانی، حرکت ماشین تندشونده، کُندشونده یا با سرعت ثابت است.
از $0$ تا $5s$ حرکت ماشین تُندشونده و از $5s$ تا $15s$ حرکت با سرعت ثابت است و از $15s$ تا $20s$ حرکت کُندشونده است و از $20s$ تا $25s$ حرکت تُندشونده است.
پ) شتاب متوسط ماشین را پیدا کنید.
${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{3}}-{{v}_{0}}}{\Delta t}=\frac{-10-0}{25}=-0/4m/{{s}^{2}}$
ت) جابه جایی ماشین را پیدا کنید.
نقشهٔ راه: سطح محصور در نمودار سرعت - زمان با محور زمان برابر با جابهجایی است، در نتیجه:
$\Delta x=\frac{(20+10)\times 10}{2}+\frac{5\times (-10)}{2}=150-25=125m$