درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

در سال گذشته با برخی از اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. می‌توانید بگویید چرا به تساوی

(1)        ${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

اتحاد گفته می‌شود؟
چون این تساوی به ازای هر عدد حقیقی که به جای a و b قرار گیرد، درست است.

در حقيقت می‌توان $a$ و $b$ را در دو طرف با هر دو عدد دلخواه جایگزین کرد و برای دو طرف یک عدد به دست آورد. برای مثال اگر $a=\frac{1}{5}$ و $b=3$ اختیار شود.

${{(\frac{1}{5}+3)}^{2}}={{(\frac{1}{5})}^{2}}+2\times \frac{1}{5}\times 3+{{3}^{2}}$ 

${{(\frac{16}{5})}^{2}}=\frac{1}{25}+\frac{6}{5}+9\to \frac{256}{25}=\frac{256}{25}$

 یا اگر در رابطهٔ (1) به جای $b$، $-b$ قرار دهیم، به دست می‌آوریم:

(2)        ${{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$

گاهی هم دو اتحاد (1) و (2) را با هم می‌نویسیم:

(3)        ${{(a\pm b)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}$

اکنون شما می‌توانید اتحادهای دیگری به دست آورید.
1- با محاسبهٔ ${{\text{(a+b)}}^{\text{3}}}$ اتحاد دیگری به دست می‌آید که به اتحاد مکعب مجموع مشهور است.
جای خالی را در محاسبه تکمیل کنید.

$\begin{align}
  & {{(a+b)}^{3}}={{(a+b)}^{2}}(a+b)=({{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}})(a+b)={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+{{b}^{2a}}+{{b}^{3}} \\ 
 & ={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\ 
\end{align}$

که با جمع جملات متشابه در دو طرف دوم، اگر درست عمل کرده باشید، به صورت زیر در می‌آید.

می‌توانیم $b$ را در سرتاسر اتحاد فوق به $-b$ تبدیل کنیم و اتحاد دیگری به دست آوریم:

${{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}(-b)+3a{{(-b)}^{2}}+{{(-b)}^{3}}$

${{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}$

2- یک بار دیگر ${{(a-b)}^{3}}$ را از راه دیگر و با استفاده از اتحاد مربع تفاضل، یعنی اتحاد شمارهٔ (2) محاسبه کنید.

${{(a-b)}^{3}}={{(a-b)}^{2}}(a-b)=({{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}})(a-b)={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}$

3- اگر ابتدا طرف دوم هر یک از اتحادهای 4 گانهٔ فوق را بنویسیم، مثلاً

${{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}=(a-b)(a-b)(a-b)\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}(4)$

1- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید و ساده کنید.

$(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})={{a}^{3}}-{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+b{{a}^{2}}-a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}$

$(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}-b{{a}^{2}}-a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}$ 

2- با استفاده از پرسش 1، عبارت‌های ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ و ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}$ را تجزیه کنید و اتحادهای جدیدی به دست آورید.

$\left\{ \begin{matrix}
   {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})  \\
   {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})  \\
\end{matrix} \right.$

3- عبارت‌های زیر را مانند نمونه تجزیه کنید.

$\begin{align}
  & 8{{x}^{3}}-27={{(2x)}^{3}}-{{3}^{3}}=(2x-3)[{{(2x)}^{2}}+2x\times 3+{{3}^{2}}]= \\ 
 & (2x-3)(4{{x}^{2}}+6x+9) \\ 
\end{align}$

${{x}^{3}}+1={{x}^{3}}+{{1}^{3}}=(x+1)({{x}^{2}}-x+1)$

${{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)$ 

${{x}^{3}}-125={{x}^{3}}-{{5}^{3}}=(x-5)({{x}^{2}}+5x+25)$

${{x}^{6}}-1={{({{x}^{2}})}^{3}}-{{1}^{3}}=({{x}^{2}}-1)({{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)=(x-1)(x+1)({{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)$

واژه‌های مضرب و شمارنده را در حساب اعداد به خاطر دارید:

$12=3\times 4$

هر یک از عددهای 3 و 4 را یک شمارندۀ عدد 12 و عدد 12 را مضرب هر یک از این عددها می‌نامیم. 12 شمارنده‌های دیگری نیز دارد، از جمله خود عدد 12. عدد 3 مضرب‌های دیگری دارد، از جمله خود عدد 3 و همچنین هر یک از عددهای 6، 9، 15 و ... .
مشابه این در اتحاد مزدوج        ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)$
هر یک از عبارت‌های $a-b$ و $a+b$ یک عامل ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ هم مضرب $a-b$ وهم مضرب $a+b$ است.
آیا $a+b$ مضرب ديگری دارد؟
بله، تمام عبارت‌هایی که در تجزیه آنها عامل $a+b$ وجود دارد، مضرب $a+b$ است، مانند: $(a+b)(8{{b}^{2}}+1)$
1- مضرب‌های هر عبارت جبری از ضرب آن در عبارت‌های جبری دیگر به دست می‌آیند:
........ و $(a+b)(a-b)$ و $-4(a+b)$ و $(a+b){{(a+b)}^{2}}$ و $2(a+b)$ و $a+b$: بعضی از مضرب‌های $a+b$
بعضی از مضرب‌های $a-b$ را بنویسید.

${{a}^{3}}-{{b}^{3}}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{(a-b)}^{3}}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}...$ 

2- دو عبارت بنویسید $a-b$ شمارنده هر یک از آنها باشد.

${{(a-b)}^{2}}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{a}^{2}}-{{b}^{2}}$

3- عبارت $27{{a}^{3}}-1$ مضرب کدام یک از عبارت هاست؟
الف) $a-1$ 
ب) $3a-1$   *
پ)$9{{a}^{2}}+3a+1$   *
ت) $3a+1$
می‌دانیم $(9{{a}^{2}}+3a+1)$ $27{{a}^{3}}-1=(3a-1)$ بنابراین گزینه‌های ب و پ درست است.
4- کدام یک از عبارت‌های زیر گویا هستند؟

گویا است  $\frac{3x-\sqrt{7}}{{{x}^{2}}}$ (الف
گویا است  $\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+1}$ (ب
گویا نیست  $\sqrt[3]{x}-1$ (پ
گویا نیست  $\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+x-1$ (ت

نکته: یک عبارت گویا به ازای مقدارهایی از متغیر که مخرج آن صفر می‌شود، تعریف نمی‌گردد. (مقدار ندارد)
5- عبارت گویای زیر به ازای چه مقدارهایی از $x$ تعریف نمی‌شود؟

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{x}^{2}}+4}$

به ازای $x=1$ و  $x=-1$ تعریف نمی‌شود زیرا این دو عدد، عبارت‌های  $x-1$ و  $x+1$ که در مخرج هستند را صفر می‌کنند.
6- حاصل کسرهای زیر را به دست آورید و ساده کنید.

$\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{x-1}$ (الف
$\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{\sqrt{x}+1+2\sqrt{x}-2+3}{x-1}=\frac{3\sqrt{x}+2}{x-1}$

$\begin{align}
  & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{x}^{2}}-1}+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}=\frac{(x+1)({{x}^{2}}+1)(x-1)({{x}^{2}}+1)-({{x}^{2}}+1)+({{x}^{2}}-1)}{{{x}^{4}}-1} \\ 
 & =\frac{{{x}^{3}}+x+{{x}^{2}}+1+{{x}^{3}}+x-{{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}-1+{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}-1}=\frac{2{{x}^{3}}+2x-2}{{{x}^{4}}-1} \\ 
\end{align}$  (ب

1- صورت و مخرج هر کسر را تجزیه و عبارت را ساده کنید. (جاهای خالی را پر کنید)

$\frac{{{x}^{6}}+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}=\frac{({{x}^{2}}+1)({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}$ (الف

$\frac{{{x}^{3}}-1}{{{(x-1)}^{3}}}=\frac{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}{{{(x-1)}^{3}}}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{(x-1)}^{2}}}$ (ب

$\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}-1}=\frac{{{x}^{2}}+1}{({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}+1)}=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$ (ب

$\begin{align}
  & \frac{{{y}^{5}}-{{y}^{3}}-12y}{8{{y}^{2}}+16y}=\frac{y({{y}^{4}}-{{y}^{2}}-12)}{8y(y+2)}=\frac{y({{y}^{2}}-4)({{y}^{2}}+3)}{8y(y+2)}=\frac{y(y-2)(y+2)({{y}^{2}}+3)}{8y(y+2)} \\ 
 & =\frac{(y-2)({{y}^{2}}+3)}{8} \\ 
\end{align}$ (پ

2- اتحاد

${{a}^{3}}+1=(a+1)({{a}^{2}}-a+1)$

قرار دهید $a=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$ و حاصل را بازنویسی کنید:

${{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}^{3}}+1=(\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1)\times \left( {{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}^{2}}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1 \right)$

1- از سال گذشته به یاد داریم که برای گویا کردن مخرج کسرهایی که شامل یک عبارت رادیکالی هستند، می‌توانیم آن کسر را در یک عبارت رادیکالی مناسب، ضرب و تقسیم کنیم تا مخرج کسر گویا شود. در زیر کسرهای $\frac{5}{2\sqrt{3}}$ و $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ گویا شده‌اند. جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پرکنید.

$\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{...}{...}$ 

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2}{\sqrt[3]{4}}\times \frac{...}{\sqrt[3]{{{4}^{2}}}}=\frac{...}{...}$ 

2- دو عبارت مانند $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ و $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ که شامل مجموع و تفاضل دو قسمت یکسان هستند را مزدوج یکدیگر می‌گوییم.
حاصل ضرب این دو عبارت را می‌توانیم به صورت زیر محاسبه کنیم:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})={{(\sqrt{a})}^{2}}-{{(\sqrt{b})}^{2}}=a-b$

همان طور که مشاهده می‌شود، سمت راست تساوی بالا فاقد یک عبارت رادیکالی است. از این روش برای گویا کردن مخرج کسرها استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال، برای گویا کردن $\frac{2}{\sqrt{3}+5}$ به صورت زیر عمل می‌کنیم.

$\frac{2}{\sqrt{3}+5}=\frac{2}{\sqrt{3}+5}\times \frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}-5}=\frac{2(\sqrt{3}-5)}{{{(\sqrt{3})}^{2}}-{{5}^{2}}}=\frac{2(\sqrt{3}-5)}{3-25}=\frac{5-\sqrt{3}}{11}$

مانند نمونه بالا، مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=$ 

$\frac{8}{3\sqrt{2}+4}=$ 

$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$ 

$\frac{h}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}=$ 

3- از اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب‌ها که به صورت زیر هستند، برای گویا کردن کسرهایی مانند $\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ و $\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ استفاده می‌کنیم. در هر کدام از اتحادهای زیر، قرار دهید $ x=\sqrt[3]{a}$،$y=\sqrt[3]{b}$  و آنها را بازنویسی کنید.

$\left\{ \begin{matrix}
   (x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})={{x}^{3}}-{{y}^{3}}  \\
   (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(.............)=...........  \\
\end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix}
   (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})={{x}^{3}}+{{y}^{3}}  \\
   (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(.............)=...........  \\
\end{matrix} \right.$

آیا سمت راست تساوی‌های بالا، شامل یک عبارت رادیکالی است؟
برای گویا کردن مخرج کسرهای $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$ و $\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1}$ به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}\times \frac{\sqrt[3]{{{2}^{2}}}+\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{{{2}^{2}}}+\sqrt[3]{2}+1}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{{{(\sqrt[3]{2})}^{3}}-{{1}^{3}}}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$

$\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1}=\frac{({{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1)}{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1)({{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1)}=\frac{({{(\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1)}{({{x}^{2}}-1)}$

مانند نمونه بالا، مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.

$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+1}=$ 

$\frac{1}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}=$ 

$\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2}=$ 

$\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+1}=$ 

1- هریک از عبارت‌های زیر را تاحد ممکن (به عبارت‌های گویا) تجزیه کنید.

${{x}^{4}}-{{y}^{4}}={{x}^{4}}-{{y}^{4}}={{({{x}^{2}})}^{2}}-{{({{y}^{2}})}^{2}}=({{x}^{2}}-{{y}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=(x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$ (الف

${{x}^{6}}-{{y}^{6}}={{({{x}^{3}})}^{2}}-{{({{y}^{3}})}^{2}}=({{x}^{3}}-{{y}^{3}})({{x}^{3}}+{{y}^{3}})=(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})(x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})$ (ب

$8{{a}^{3}}+27$ (پ

${{a}^{3}}{{b}^{6}}-8$ (ت

2- مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.

$\frac{3}{3+\sqrt{7}}$  (الف

$\frac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$  (ب

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}-2}=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{x}+4}{x-8}$ (پ

$\frac{6}{2\sqrt[3]{2}-1}$ (ت

3- با استفاده از اتحادها، حاصل ضرب‌های زیر را مانند نمونه به دست آورید.

$16\times 14=(15+1)(15-1)={{15}^{2}}-1=224$ (الف

${{105}^{2}}\Rightarrow {{(100+5)}^{2}}=10000+1000+25=11025$ (ب

${{9999}^{2}}$ (پ

${{105}^{3}}$ (ت

4- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.

$\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{5x}{x-1}$ (الف

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{x-1}$ (ب

5- اگر $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-4}=3$ ، حاصل عبارت $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-4}$  را به دست آورید.