درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- مشابه آنچه که برای ریشه‌های دوم، سوم، چهارم و پنجم گفته شد، می‌توان برای ریشه‌های دیگر مثلاً ریشهٔ ششم نیز عمل کرد. جدول زیر را که مربوط به ریشه‌های مختلف عدد 64 است، کامل کنید.

ریشه‌های هشتم	ریشه‌ هفتم	ریشه‌های ششم	ریشه‌ پنجم	ریشه‌های چهام	ریشه‌ سوم	ریشه‌های دوم
$\sqrt[8]{64}$ $-\sqrt[8]{64}$	$\sqrt[7]{64}$	$\sqrt[6]{64}=2$ $-\sqrt[6]{64}=-2$	$\sqrt[5]{64}$	$-\sqrt[4]{64}$ و $\sqrt[4]{64}$	$\sqrt[3]{64}=4$	و $\sqrt{64}=8$ $-\sqrt{64}=-8$

ریشه‌های ششم عدد 64 اعداد $\sqrt[6]{64}$ و $-\sqrt[6]{64}$ یا همان 2 و 2- هستند؛ زيرا ${{2}^{6}}=64$ و ${{(-2)}^{6}}=64$ دربارهٔ ریشه‌های هفتم و هشتم عدد 64 چه می‌توانید بگویید؟
64 یک ریشه هفتم و دو ریشه هشتم دارد.
به طور کلی اگر $n\in \mathbb{N}$، دربارهٔ ریشهٔ $n$ام عدد 64 چه می‌‌توان گفت؟
اگر عددی زوج باشد، آن‌گاه ریشه‌های nام عدد 64 برابر است با $\sqrt[n]{64}$ و $-\sqrt[n]{64}$ و اگر $n\in \mathbb{N}$ عددی فرد باشد آنگاه ریشه‌ی nام عدد 64 برابر است با:
در حالت کلی‌تر اگر $a$ یک عدد مثبت باشد و $n\in \mathbb{N}$، درباره. تعداد ريشه‌های $n$ام $a$ چه می‌توان گفت؟
اگر n فرد باشد a یک ریشه nام دارد که همان $\sqrt[n]{a}$ است و اگر n زوج باشد a دارای دو ریشه n‌ام $\sqrt[n]{a}$ و $-\sqrt[n]{a}$ است. 
2- جدول زیر را که دربارهٔ ریشه‌های مختلف عدد 64- است، تکمیل کنید.

ریشه‌ هشتم	ریشه‌ هفتم	ریشه‌ ششم	ریشه‌ پنجم	ریشه‌ چهام	ریشه‌ سوم	ریشه‌ دوم
وجود ندارد	$\sqrt[7]{-64}$	وجود ندارد	$\sqrt[5]{-64}$	وجود ندارد	$\sqrt[3]{-64}=-4$	وجود ندارد

ریشه‌های زوج 64- وجود ندارند؛ زیرا عددی وجود ندارد که به توان عددی زوج برسد و مساوی 64- شود.
دربارهٔ ریشه‌های $n$ام $(n\in \mathbb{N})-64$ بحث کنید.
ریشه nام 64- برای n‌های فرد برابر $\sqrt[n]{-64}$ است و ریشه nام 64- برای n‌های زوج وجود ندارد.
اگر $a$ یک عدد منفی و $n\in \mathbb{N}$ باشد، دربارهٔ ریشه $n$ام چه می‌توان گفت؟
ریشه nام عدد a برای n‌های فرد برابر $\sqrt[n]{a}$ است و ریشه nام عدد a برای n‌های زوج وجود ندارد.
اگر $n\ge 2$ یک عدد طبیعی باشد، $b$ را یک ریشهٔ $n$ام عدد $a$ می‌نامیم. هرگاه: ${{b}^{n}}=a$

3- جدول زير را کامل کنيد.

81 دارای دو ریشهٔ چهارم $\sqrt[4]{81}=3$ و $-\sqrt[4]{81}=-3$ است.	$a=81$ $n=4$	$a$ دارای دو ریشهٔ $n$ام $\sqrt[n]{a}$ و $-\sqrt[n]{a}$ است.	$n$ زوج	$a>0$
125 دارای یک ریشه سوم $\sqrt[3]{125}=5$ است.	$a=125$ $n=5$	a دارای یک ریشه nام، $\sqrt[n]{a}$ است.	$n$ فرد
16- ریشه چهارم ندارد.	$a=-16$ $n=4$	ریشهٔ $n$ام وجود ندارد.	$n$ زوج	$a<0$
27- دارای یک ریشه سوم $\sqrt[3]{-27}=-3$ است.	$a=-27$ $n=3$	a دارای یک ریشهnام $\sqrt[n]{a}$ است.	$n$ فرد

4- در سال نهم دیدید که:
برای هر دو عدد مثبت $a$ و $b$: $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$            برای هر دو عدد $a$ و $b$: $\sqrt[3]{a}\times \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$
آیا رابطهٔ بالا دربارهٔ $\sqrt[4]{a}\times \sqrt[4]{b}$ نيز برقرار می‌باشد؟ مثال بزنيد.
با توجه به اینکه 4 یک عدد زوج است، با $a$ و $b$ .................باشند.

$\sqrt[4]{16}\times \sqrt[4]{81}=2\times 3=.........$

$\sqrt[4]{16}\times \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{..........}=6$

درباره $\sqrt[5]{a}\times \sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{ab}$ چه می‌توان گفت؟
آیا $a$ و $b$ حتماً باید نامنفی باشند؟ مثالی از $a$ و $b$ منفی ارائه کنید و نشان دهید تساوی همواره برقرار است.

1- حاصل هر عبارت را به دست آورید:

$\sqrt[7]{128}$

$\sqrt[8]{256}=2$

$\sqrt[9]{-1}=-1$

$\sqrt[4]{625}=5$

$-\sqrt[4]{0/0016}$

$\sqrt[5]{\frac{-1}{32}}=\frac{-1}{2}$

$\sqrt[7]{-128}=-2$

$\sqrt[6]{0}=0$

2- با توجه به اینکه

$\begin{array}{*{35}{l}}
   \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}  \\
   \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ } & {{\left( \sqrt[5]{2} \right)}^{3}}=\sqrt[5]{2}\times \sqrt[5]{2}\times \sqrt[5]{2}  \\
   \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \begin{matrix}
   \text{ }\!\!~\!\!\text{   }\!\!~\!\!\text{ } & \text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   {} & {}  \\
\end{matrix}=\sqrt[5]{{{2}^{3}}}  \\
   {} & {}  \\
\end{array}$

به طور کلی داریم:

قرارداد: به طور کلی این قرارداد را اعمال می‌کنیم:

بنابراین باید به یاد داشته باشیم که ریشه‌های زوج برای عددهای منفی بی معنا هستند. پس هرگاه $\sqrt{x}$ نوشتیم، از آن می‌فهمیم که $x\ge 0$ است. تساوی‌های فوق را می‌توان به صورت مقابل نمایش داد:

$\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

درستی رابطهٔ $\sqrt[k]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[k]{a} \right)}^{^{m}}}$ را با مقداردهی‌های مختلف به $k$ ،$m$ و $a$  بررسی کنید (اگر $k$ زوج باشد، $a$ باید مثبت باشد).

$\sqrt[k]{{{a}^{m}}}=\sqrt[k]{a\times a\times ...\times a}=\sqrt[k]{a}\times \sqrt[k]{a}\times ...\times \sqrt[k]{a}={{(\sqrt[k]{a})}^{m}}$

${{(\sqrt[k]{a})}^{m}}$	$\sqrt[k]{{{a}^{m}}}$	$m$	$a$	$k$
${{(\sqrt[2]{4})}^{3}}=8$	$\sqrt[2]{{{4}^{3}}}=8$	3	4	2
${{(\sqrt[3]{-27})}^{5}}=-243$	$\sqrt[3]{-{{27}^{5}}}=-243$	5	27-	3

1- جدول زير را کامل کنيد.

$(2=\left| 2 \right|)$            $\sqrt[4]{{{2}^{4}}}=2$	$n=4$ $a=2$	$n$ زوج	$a\ge 0$	$\sqrt[n]{{{a}^{n}}}$
$\sqrt[3]{{{2}^{3}}}=2$	$n=3$ $a=2$	$n$ زوج
$(2=\left| -2 \right|)$           $\sqrt[4]{{{(-2)}^{4}}}=2$	$n=4$ $a=-2$	$n$ فرد	$a<0$
$\sqrt[3]{{{(-2)}^{3}}}=-2$	$n=3$ $a=-2$	$n$ فرد

اگر $a\ge 0$ از جدول بالا نتیجه می‌گیریم:
و اگر $a<0$ آنگاه

2- جدول زیر را کامل کنید.

${{(\sqrt[4]{16})}^{4}}={{2}^{4}}=16$	$n=4$ $a=16$	$n$ زوج	$a\ge 0$	${{(\sqrt[n]{a})}^{n}}$
${{(\sqrt[3]{8})}^{3}}={{2}^{3}}=8$	$n=3$ $a=8$	$n$ زوج
تعریف نشده ${{(\sqrt[4]{-16})}^{4}}\to $	$n=4$ $a=-16$	$n$ فرد	$a<0$
${{(\sqrt[3]{-8})}^{3}}={{(-2)}^{3}}=-8$	$n=3$ $a=-8$	$n$ فرد

اگر $a\ge 0$ آن گاه از جدول بالا نتیجه می‌گیریم که:
و اگر $a<0$ آن گاه

تساوی زیر به ازای چه مقادیری از $a$ و $n$ برقرار نیست؟

$\sqrt[n]{{{a}^{n}}}={{(\sqrt[n]{a})}^{n}}$

1- الف) یکی از علامت‌های < یا > یا = را در ... قرار دهید.

${{(0/5)}^{2}}>{{(0/5)}^{3}}$

$\sqrt{0/5}......\sqrt[3]{0/5}$

${{4}^{2}}{{.....4}^{3}}$

$\sqrt{4}.....\sqrt[3]{4}$

ب) وقتی 1> $a$ > 0 است، یکی از علامت‌های مقایسه را در ... قرار دهید.

${{a}^{2}}>{{a}^{3}}$

$\sqrt{a}<\sqrt[3]{a}$

پ) وقتی 1 < $a$ است، یکی از علامت‌های مقایسه را در ... قرار دهید.

${{a}^{2}}.....{{a}^{3}}$

$\sqrt{a}.....\sqrt[3]{a}$

2- الف) يکی از علامت‌های < = > را در مربع قرار دهید.

${{(-0/5)}^{2}}.....{{(-0/5)}^{3}}$

${{(-2)}^{2}}.....{{(-2)}^{3}}$

${{(-0/5)}^{3}}.....{{(-0/5)}^{5}}$

${{(-2)}^{3}}.....{{(-2)}^{5}}$

${{(0/5)}^{4}}.....{{(-0/5)}^{2}}$

${{(-2)}^{4}}.....{{(-2)}^{2}}$

3- با توجه به تعریف ریشهٔ (اگر $\sqrt[n]{a}=b$ آنگاه ${{b}^{n}}=a$)، نشان دهيد برای هر عدد $a$ و هر عدد طبیعی $n$ (به شرط با معنا بودن رادیکال) رابطه زیر برقرار است:

${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}=a$

اگر $\sqrt[n]{a}=b$ در این صورت ${{b}^{n}}=a$. پس داریم؛ ${{b}^{n}}={{(\sqrt[n]{a})}^{n}}=a$
4- آیا تساوی $\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$ برقرار است؟ $n$ را برابر 4 ،3 یا 5 بگیرید و به جای $a$ و $b$ مقدارهای عددی بدهید.
خیر، این رابطه برقرار نیست.

$\begin{matrix}
   n=3\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   \sqrt[3]{27+8}=\sqrt[3]{35}\simeq 3\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
   \sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{8}=3+2=5  \\
\end{matrix} \right.  \\
   n=4\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   \sqrt[4]{16+1}=\sqrt[4]{17}\simeq 2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
   \sqrt[4]{16}+\sqrt[4]{1}=2+1=3  \\
\end{matrix} \right.  \\
   n=5\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   \sqrt[5]{32+1}=\sqrt[5]{33}\simeq 2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
   \sqrt[3]{32}+\sqrt[5]{1}=2+1=3  \\
\end{matrix} \right.  \\
\end{matrix}$

5- عددهای زیر را مانند نمونه محاسبه کنید.

$\sqrt[5]{{{2}^{-5}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{{{2}^{5}}}}=\frac{1}{2}$

$\sqrt[7]{\frac{1}{128}}=\frac{1}{2}$

$\sqrt[4]{{{3}^{-4}}}=\sqrt[4]{\frac{1}{{{3}^{4}}}}=\frac{1}{3}$

6- به جای  $a$ و $b$ و عدد طبیعی $n$ عددهایی قرار دهید؛ به طوری که:
الف) تساوی $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ برقرار باشد.

$\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{2}{3}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{2}{3}$

ب) تساوی $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ برقرار نباشد.
اگر $a$ و $b$ مثبت باشند، تساوی به همهٔ مقادیر برقرارمی‌باشد.