درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 2: وارون یک تابع و تابع یک به یک
وارون یک تابع
کار در کلاس (صفحه 57 کتاب درسی)
الف- هر مایل تقریباً 1/6 کیلومتر است. تعیین کنید که هر یک از جملات سمت راست مربوط به کدام یک از رابطه‌های سمت چپ است.
این رابطه برای تبدیل تقریبی «مایل» به کیلومتر است.
$f(x)=\frac{8}{5}x$
این رابطه برای تبدیل تقریبی «کیلومتر» به «مایل» است.
$g(x)=\frac{5}{8}x$
ب- تندی 30 مایل بر ساعت تقریباً معادل تندی چند کیلومتر بر ساعت است؟
هر تابع با ضابطهٔ $y=f(x)$ بیان می‌کند که متغیر $y$ چه ارتباطی با متغیر $x$ دارد و چگونه می‌توان با در دست داشتن مقدار $x$، مقدار $y$ را به‌دست آورد. اما گاهی مهم است که بدانیم چگونه می‌توان از مقدار $y$ به مقدار $x$ رسید. تبدیل یکای اندازه‌گیری نمونه‌ای ساده از این حالت است.
به خاطر دارید که یک تابع را می‌توان با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نشان داد.
برای مثال وارون تابع $f=\left\{ (6,4),(5,3),(2,1) \right\}$ برابر با ${{f}^{-1}}=\left\{ (4,6),(3,5),(1,2) \right\}$ است.
کار در کلاس (صفحه 57 کتاب درسی)
وارون تابع‌های داده شده را حساب کنید.
| ${{s}^{-1}}=$ | $s=\left\{ (4,1),(1,4),(3,3),(2,5) \right\}$ |
| ${{t}^{-1}}=$ | $t=\left\{ (5,1),(1,4),(4,3),(2,3) \right\}$ |
| ${{u}^{-1}}=$ | $u=\left\{ (2,3),(5,2),(4,1),(3,4) \right\}$ |
فعالیت (صفحه 58 کتاب درسی)
1) در دستگاه مختصات داده شده نمودار تابع $f$ رسم شده است.
الف- تابع $f$ صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.
ب- تابع ${{f}^{-1}}$ را به‌صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.
پ- در همین دستگاه مختصات، نمودار ${{f}^{-1}}$ را رسم کنید.
ت- نمودار $f$ و ${{f}^{-1}}$ چه ارتباطی با هم دارند؟
«نمودار $f$ و ${{f}^{-1}}$ نسبت به …………………… قرینهٔ یکدیگرند».
2) الف- در هر مورد بیان کنید چرا نمودار داده شده معرف یک تابع است و سپس وارون آن را رسم کنید.
|
|
|
ب- عبارت زیر را کامل کنید.
3) نمودار وارون تابع داده شده را رسم کنید.
تابع یک به یک
فعالیت (صفحه 59 کتاب درسی)
1) الف- به نمونهٔ داده شده دقت کنید. با کمک نمودار پیکانی، وارون توابع داده شده را به‌دست آورید.
ب- در جدول مقابل گزینه‌های درست را انتخاب کنید.
| ${{s}^{-1}}$ یک تابع است. | بله / خیر |
| ${{t}^{-1}}$ یک تابع است. | بله / خیر |
| ${{u}^{-1}}$ یک تابع است. | بله / خیر |
پ- عبارت زیر را کامل کنید.
وارون تابع $f$، خود یک تابع است؛ هرگاه در زوج‌های مرتب متفاوت تابع $f$ مؤلفه‌های ………… تکراری وجود نداشته باشد.
تذکر: وارون هر تابع یک‌به‌یک، خود یک تابع است.
ت- تابِع $f=\left\{ (1,2),(-2,4),(2,-1),(-1,2) \right\}$ را در نظر بگیرید. تعیین کنید که این تابع یک‌به‌یک است یا خیر؟
2) نمودارهای پیکانی زیر بیانگر تابع اثر انگشت و تابع گروه خونی علی و رضا است.
الف- مشخص کنید که کدام نمودار پیکانی مربوط به اثر انگشت و کدام نمودار پیکانی مربوط به گروه خونی است.
ب- آیا $f$ و$g$ هر دو تابع‌اند؟
پ- در مورد تابع بودن ${{f}^{-1}}$ و ${{g}^{-1}}$ چه می‌توان گفت؟
ت- کدام یک از دو تابع $f$ و $g$ یک‌به‌یک هستند؟
ث- عبارت‌های زیر را کامل کنید.
با دانستن گروه خونی یک انسان، هویت او به‌طور یکتا تعیین …… .
با دانستن اثر انگشت یک انسان، هویت او به‌طور یکتا تعیین …… .
فعالیت (صفحه 60 کتاب درسی)
1) در شکل داده شده، با وصل کردن نقاط مشخص شده به هم، نموداری رسم کنید که تابع باشد.
الف- آیا تابعی که رسم کرده‌اید یک‌به‌یک است؟
ب- با کامل کردن عبارت زیر مشخص کنید که چگونه با در دست داشتن نمودار یک تابع، می‌توان تشخیص داد که آیا آن تابع یک‌به‌یک است یا خیر؟
2) کدام یک از توابع زیر یک‌به‌یک است؟
به‌دست آوردن ضابطهٔ تابع وارون یک تابع خطی غیر ثابت
اگر $f$ تابعی یک‌به‌یک باشد و ${{f}^{-1}}$ تابع وارون آن باشد، نمودار زیر ارتباط $f$ و ${{f}^{-1}}$ نشان می‌دهد. (${{R}_{f}}$ نماد بر تابع $f$ است).
فعالیت (صفحه 61 تا 62 کتاب درسی)
تابع با ضابطهٔ $f(x)=2x+1$ را در نظر می‌گیریم.
الف- به کمک نمودار $f$ توضیح دهید که چرا $f$ یک‌به‌یک است.
ب- نمودار زیر را توضیح دهید:
$(7,3)\in {{f}^{-1}}$ و $(3,7)\in f$
به عبارت دیگر $f(3)=7$ و ${{f}^{-1}}(7)=3$
پ- در حالت کلی برای هر عضو دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $f(x)=2x+1$، داریم:
ت- بنابراین می‌توان نوشت:
$f(x)=2x+1\,\,\,\,\,\,(x\in {{D}_{f}})$
${{f}^{-1}}(y)=\frac{y-1}{2}\,\,\,\,\,(y\in {{R}_{f}})$
آنچه که اهمیت دارد این است که دامنه ${{f}^{-1}}$ همان برد $f$ است. بنابراین یک نمایش مناسب برای ${{f}^{-1}}$ به‌صورت زیر است:
${{f}^{-1}}(x)=\frac{x-1}{2}$
وارون تابع با ضابطهٔ $f(x)=2x+1$، چنین محاسبه می‌شود:
$\begin{align} & f(x)=2x+1\Rightarrow y=2x+1 \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow 2x=y-1 \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=\frac{y-1}{2} \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow {{f}^{-1}}(y)=\frac{y-1}{2} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-1}{2} \\ \end{align}$
کار در کلاس (صفحه 62 تا 63 کتاب درسی)
1) هر تابع خطی غیرثابت یک‌به‌یک است. (چرا؟) وارون هر یک از توابع خطی زیر را به‌دست آورید.
$f(x)=x+5$ -الف
$g(x)=4x$ -ب
$u(x)=2x+3$ -پ
$v(x)=\frac{2}{3}x-4$ -ت
2) الف- چرا نمودار داده شده، نمودار یک تابع یک‌به‌یک نیست؟
ب- با حذف تنها یک نقطه، نمودار زیر را به یک تابع یک‌به‌یک تبدیل کنید. مسئله چند جواب دارد؟
کار در کلاس (صفحه 63 کتاب درسی)
الف- به نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)={{x}^{2}}-4x+3$ در شکل زیر، دقت کنید.
با محدود کردن دامنهٔ این تابع روی کدام بازه‌های زیر می‌توان یک تابع یک‌به‌یک ساخت؟
$\square \,\left[ 1,4 \right)$
$\square \,\left[ 0,2 \right]$
ب- آیا هر تابع درجهٔ 2، تابعی یک‌به‌یک است؟ چرا؟
تمرین (صفحه 63 تا 64 کتاب درسی)
1) وارون تابع $f=\left\{ (2,3),(-2,1),(-1,2) \right\}$ را به‌دست آورید.
2) نمودار وارون تابع داده شده در شکل زیر را رسم کنید.
3) ضابطهٔ وارون هر یک از توابع با ضابطه‌های زیر را بیابید.
$f(x)=5x-2$ -الف
$f(x)=\frac{3}{5}x+4$ -ب
$f(x)=\frac{-7x+3}{5}$ -پ
4) می‌خواهیم با حذف تعدادی از نقاط نمودار زیر، آن را به یک تابع یک‌به‌یک تبدیل کنیم. حداکثر چند نقطه می‌تواند باقی بماند؟
5) نمودار تابعی با دامنهٔ $\left[ 0,2 \right]$ و برد $\left[ 2,5 \right]$ را رسم کنید:
الف- به شرطی که این تابع یک‌به‌یک باشد.
ب- به شرطی که این تابع یک‌به‌یک نباشد.
6) با حذف بخشی از نمودار نیم دایرهٔ داده شده، نمودار یک تابع یک‌به‌یک را مشخص کنید.
