درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 1: ترسیم‌های هندسی
انسان از دیرباز برای حل بسیاری از مسائل خود از ترسیم‌های هندسی کمک گرفته است. فرض کنید بخواهیم زمینی مثلث شکل را تنها با کشیدن یک دیوار مستقیم به دو قسمت هم مساحت تقسیم نماییم. چگونه می‌توان این کار را انجام داد؟
فعالیت (صفحه 26 کتاب درسی)
1) یک نقطهٔ ثابت در صفحه، مانند $O$ را درنظر بگیرید و تمام نقاطی را که به فاصلهٔ ثابت 2 سانتی‌متر از آن هستند درنظر بگیرید. این نقاط چه شکلی را تشکیل می‌دهند؟
2) یک دایره به مرکز $O$ و به شعاع 2 سانتی‌متر بکشید و یک نقطهٔ دلخواه روی آن درنظر بگیرید. فاصلهٔ این نقطه تا مرکز دایره چقدر است؟
نتیجه: دایرهٔ $C(O,\,r)$ (بخوانید دایرهٔ $C$ به مرکز $O$ و به شعاع $r$) را در نظر بگیرید. هر نقطه که از نقطه $O$ به فاصله $r$ باشد ……… دایره قرار دارد و هر نقطه که ……… دایره قرار دارد از نقطهٔ $O$ به فاصلهٔ $r$ است.
3) مانند آنچه برای نقاط روی دایره انجام داده شد، یک بار برای نقاط داخل دایره و یک بار برای نقاط بیرون دایره نتایج مشابهی به‌دست آورید.
4) خطی مانند $d$ در نظر بگیرید. تمام نقاطی را که به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر از خط $d$ هستند مشخص کنید. این نقاط چه شکلی یا شکل‌هایی را تشکیل می‌دهند؟
5) نقطهٔ $P$ به فاصله 1 سانتی‌متر از خط ${{d}_{1}}$ قرار دارد.
الف- تمام نقاطی را که به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر از نقطهٔ $P$ هستند، مشخص کنید.
ب- نقاطی از خط ${{d}_{1}}$ را که به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر از نقطهٔ $P$ هستند، مشخص کنید.
6) نقاط $A$ و $B$ را به فاصلهٔ 5 سانتی‌متر از هم درنظر بگیرید. به مرکز $A$ و به شعاع 4 سانتی‌متر یک کمان رسم کنید و سپس به مرکز $B$ و به شعاع 3 سانتی‌متر کمانی دیگر رسم کنید تا دو کمان یکدیگر را در نقاطی مانند $X$ و $Y$ قطع کند.
الف- اندازهٔ اضلاع مثلث‌های $AXB$ و $AYB$ را مشخص کنید.
ب- توضیح دهید که چگونه می‌توانید مثلثی به طول ضلع‌های داده شدهٔ 4 و 5 و 7 رسم کنید.
برخی خواص عمود منصف و ترسیم آن
1- در شکل مقابل پاره‌خط $AB$ و عمودمنصف آن مشخص شده‌اند. نقطه‌ای دلخواه مانند $W$ روی عمودمنصف $AB$ در نظر بگیرید و نشان دهید $W$ از دو سرِ $AB$ به یک فاصله است.
2- پاره‌خط $AB$ و نقطهٔ $W$ مانند شکل مقابل به گونه‌ای قرار دارند که $W$ از دو سر $AB$ به یک فاصله است (یعنی $AW=BW$) نشان دهید $W$ روی عمودمنصف $AB$ قرار دارد.
(راهنمایی: از $W$ به $A$ و $B$ و به وسط $AB$ وصل کنید و با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها نشان دهید $W$ روی عمودمنصف $AB$ قرار دارد.)
فعالیت (صفحه 27 کتاب درسی)
1) نقطهٔ $P$ در صفحه مشخص شده است. چند خط می‌توانید رسم کنید که از نقطهٔ $P$ نمایند؟
2) دو نقطهٔ $A$ و $B$ در صفحه مشخص شده‌اند. چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از هر دو نقطهٔ $A$ و $B$ عبور نمایند؟
3) به‌نظر شما برای اینکه یک خط مشخص شود حداقل چند نقطه از آن باید مشخص شده باشد؟
رسم عمودمنصف یک پاره‌خط داده شده
می‌خواهیم عمودمنصف پاره‌خط $AB$ را رسم کنیم.
1- دهانهٔ پرگار را بیش از نصف طول $AB$ باز کنید و یک بار به مرکز نقطهٔ $A$ و بار دیگر به همان شعاع و به مرکز $B$ کمان بزنید تا دو کمان یکدیگر را در نقاطی مانند $P$ و $Q$ قطع کنند.
2- آیا نقاط $P$ و $Q$ نقاطی متعلق به عمودمنصف $AB$ هستند؟ چرا؟
3- آیا با داشتن نقاط $P$ و $Q$ می‌توان عمودمنصف $AB$ را مشخص کرد؟ چرا؟
4- حال عمودمنصف $AB$ را رسم کنید.
رسم خط عمود بر یک خط، از نقطه‌ای روی آن
خط $d$ و نقطهٔ $M$ روی آن مانند شکل مشخص شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از $M$ بگذرد و بر خط $d$ عمود باشد.
1- به کمک پرگار نقاطی مانند $A$ و $B$ بر خط $d$ بیابید $AM=MB$ باشد.
2- عمودمنصف پاره‌خط $AB$ را رسم کنید.
3- عمودمنصف پاره‌خط $AB$ خطی است که بر خط $d$ ………… و از نقطهٔ ………… .
رسم خط عمود بر یک خط، از نقطه‌ای غیر واقع بر آن
خط $d$ و نقطهٔ $P$ مانند شکل داده شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از نقطهٔ $P$ بگذرد و بر خط $d$ عمود باشد.
1- به کمک پرگار نقاطی مانند $A$ و $B$ را برخط $d$ به‌گونه‌ای بیابید که از نقطهٔ $P$ به یک فاصله باشند.
2- عمودمنصف پاره‌خط $AB$ را رسم کنید.
3- آیا عمودمنصف پاره‌خط $AB$ از نقطهٔ $P$ می‌گذرد؟ چرا؟
عمودمنصف پاره‌خط $AB$ برخط $d$ ………… و از نقطهٔ ………… .
رسم خط موازی با خط داده شده از نقطه‌ای غیر واقع بر آن
خط $d$ و نقطهٔ $P$ مانند شکل مقابل داده شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از نقطهٔ $P$ بگذرد و با خط $d$ موازی باشد.
1- خط ${{d}_{1}}$ را به‌گونه‌ای رسم کنید که از نقطهٔ $P$ بگذرد و بر خط $d$ عمود باشد.
2- خط ${{d}_{2}}$ را به‌گونه‌ای رسم کنید که از نقطهٔ $P$ بگذرد و بر خط ${{d}_{1}}$ عمود باشد.
3- خط ${{d}_{2}}$ نسبت به خط $d$ چه وضعیتی دارد؟ چرا؟ (خط ${{d}_{1}}$ را مورب درنظر بگیرید)
برخی خواص نیمساز و ترسیم آن
1- در شکل زیر نیم‌خط $Ow$ نیمساز زاویهٔ $vOu$ است. فرض کنید $P$ یک نقطهٔ دلخواه روی $Ow$ باشد. ثابت کنید فاصلهٔ نقطهٔ $P$ از دو ضلع زاویهٔ $vOu$ یکسان است. (یعنی اگر از نقطهٔ $P$ عمودهایی بر $Ov$ و $Ou$ رسم کنیم، طول آنها باهم برابر است.)
2- در شکل زیر فاصلهٔ نقطهٔ $P$ از دو ضلع زاویهٔ $vOu$ یکسان است. نشان دهید که نقطهٔ $P$ روی نیمساز زاویه قرار دارد.
(راهنمایی: پاره‌خط $OP$ را و دو عمود از نقطهٔ $P$ بر $Ou$ و $Ov$ رسم کنید و با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها نشان دهید $OP$ همان نیمساز زاویهٔ $uOv$ است.)
3- رسم نیمساز یک زاویه
الف) زاویهٔ $uOv$ را درنظر بگیرید. به مرکز $O$ و به شعاع دلخواه کمانی رسم کنید تا نیم‌خط‌های $Ou$ و $Ov$ را در نقاطی مانند $P$ و $Q$ قطع کند.
- طول پاره‌خط‌های $OP$ و $OQ$ نسب به هم چگونه‌اند؟
ب) دهانهٔ پرگار را کمی بیش از نصف طول پاره‌خط $PQ$ باز کنید و یک بار به مرکز $P$ و بار دیگر به مرکز $Q$ کمانی رسم کنید تا دو کمان مانند شکل یکدیگر را در نقطه‌ای مانند $W$ قطع کنند. طول پاره‌خط‌های $PW$ و $QW$ نسبت به هم چگونه‌اند؟
پ) پاره‌خط‌های $PO$، $WO$ و $WQ$ را رسم کنید. دو مثلث $OPW$ و $OQW$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟
- اندازهٔ زاویه‌های $POW$ و $QOW$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟
- پاره‌خط $OW$ .................. زاویهٔ $uOv$ است.
تمرین (صفحه 29 تا 30 کتاب درسی)
1) الف- دو پاره‌خط $AB$ و $CD$ مطابق شکل داده شده‌اند. نقطه‌ای بیابید که از دو نقطهٔ $A$ و $B$ به یک فاصله باشد و از دو نقطهٔ $D$ و $C$ نیز به یک فاصله باشد.
ب- نقطهٔ مورد نظر در قسمت (الف) را $O$ می‌نامیم. اگر نقطهٔ $O$ روی عمودمنصفِ پاره‌خط $BC$ باشد و $G$ دایره‌ای به مرکز $O$ و به شعاع $OA$ باشد، رأس‌های چهارضلعی $ABCD$ نسبت به دایرهٔ $G$ چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
2) مثلثی دلخواه رسم کنید و آن را $ABC$ بنامید. عمودمنصف‌های دو ضلع این مثلث را رسم کنید و نقطهٔ برخورد آنها را $O$ بنامید. به مرکز $O$ و به شعاع $OA$ یک دایره رسم کنید. نقاط $B$ و $C$ نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
3) مثلثی دلخواه رسم کنید و آن را $ABC$ بنامید. نیمسازهای دو زاویهٔ این مثلث را رسم کنید و نقطهٔ برخورد آنها را $O$ بنامید. از نقطهٔ $O$ بر سه ضلع مثلث عمود رسم کنید و پای یکی از عمودها را $H$ بنامید. به مرکز $O$ و به شعاع $OH$ دایره‌ای رسم کنید. اضلاع مثلث $ABC$ نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
4) فرض کنید نقطهٔ $A$ به فاصلهٔ 4 سانتی‌متر از خط $d$ باشد. روش رسم هریک از مثلث‌های زیر را توضیح دهید.
الف- مثلثی متساوی‌الساقین که $A$ یک رأس آن و قاعدهٔ آن بر خط $d$ منطبق باشد.
ب- مثلثی که شرایط (الف) را داشته باشد و طول ساق آن 6 سانتی‌متر باشد.
پ- مثلثی رسم کنید که شرایط قسمت (الف) را داشته باشد و مساحت آن $8c{{m}^{2}}$ باشد.
