درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 2: معادلهٔ درجهٔ دوم و تابع درجه 2
روش تغییر متغیر برای حل معادله
در پایهٔ دهم، روش‌های مختلفی را برای حل معادلهٔ درجه 2 آموختیم. یکی از دلایل اهمّیت این معادلات آن است که معادلات دیگری نیز وجود دارند که قابل تبدیل به معادلهٔ درجه دوم‌اند؛ مانند معادلات گویا و گنگ که درس سوم به آنها اختصاص یافته است. در اینجا با روش تغییر متغیر برای حل دستهٔ خاصّی از معادله‌ها آشنا می‌شویم که یک شیوهٔ کارآمد برای حل انواع معادله است.
مثال: معادلهٔ زیر را حل کنید.
${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0$
حل: با وجود آنکه این معادله از نوع درجهٔ 4 است، می‌توان آن را به روش معادله درجهٔ دوم حل کرد. برای این کار به‌جای عبارت ${{x}^{2}}$، متغیر (مجهول) جدیدی مثل $u$ قرار می‌دهیم. به این کار تغییر متغیر می‌گوییم.
${{x}^{2}}=u\Rightarrow {{u}^{2}}-10u+9=0$
این معادله را به روش کلی و همچنین به روش تجزیه حل می‌کنیم:
روش تجزیه:
$(u-1)(u-9)=0$
$ \Rightarrow
\begin{cases}
u = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-1 \end{cases} \\
u = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \begin{cases} x=3 \\ x=-3 \end{cases}
\end{cases}$
روش کلی:
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac$
$={{(-10)}^{2}}-4(1)(9)=64$
$u=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{10\pm \sqrt{64}}{2(1)}$
$ \Rightarrow \begin{cases} u = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-1 \end{cases} \\ u = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \begin{cases} x=3 \\ x=-3 \end{cases} \end{cases}$
کار در کلاس (صفحه 11 کتاب درسی)
معادله‌های زیر را حل کنید.
$2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-4=0$ -الف
${{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$ -ب
مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجه 2
گاهی به‌جای مقدار دقیق ریشه‌های یک معادلهٔ درجهٔ 2، تنها مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها اهمیت دارد که در این صورت بدون حل معادله می‌توان این مقادیر را به‌دست آورد. معمولاً مجموع دو ریشه را با $S$ و حاصل ضرب آنها را با $P$ نمایش می‌دهیم یعنی اگر $\alpha $ و $\beta $ ریشه‌های معادله باشند: $\alpha +\beta =S$ و $\alpha \beta =P$.
فعالیت (صفحه 12 کتاب درسی)
می‌دانیم که معادلهٔ درجهٔ دوم در حالت کلی به‌صورت زیر است:
$(1)a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a\ne 0)$
1) می‌خواهیم بررسی کنیم که چگونه می‌توان بدون حل این معادله دربارهٔ وجود و تعداد جواب‌های حقیقی آن اظهار نظر کرد.
الف- در این معادله اگر ضرایب $a$ و $c$ هم علامت نباشند، دربارهٔ علامت $\Delta $ چه می‌توان گفت؟
ب- اگر $a$ و $c$ هم علامت نباشند، آنگاه معادلهٔ (1) دارای ............... ریشهٔ حقیقی متمایز است.
2) معادلهٔ زیر را در نظر می‌گیریم:
$3{{x}^{2}}+5x-1=0$
الف- توضیح دهید که چرا این معادله دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز است.
ب- آیا بین ضرایب معادله و مجموع ریشه‌ها ($S$) رابطه‌ای وجود دارد؟ برای پاسخ به این سؤال، معادله را حل می‌کنیم:
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac=.......$
$\left\{ \begin{align}
& \alpha =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=....... \\
& \beta =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=....... \\
\end{align} \right.$
$S=\alpha +\beta =\frac{{}}{{}}+\frac{{}}{{}}=.......$
ملاحظه می‌شود که: $S=-\frac{b}{a}$.
پ- درستی نتیجه فوق را در معادلهٔ زیر هم بررسی می‌کنیم:
$3{{x}^{2}}-7x=0\Rightarrow x(3x-7)=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \alpha =....... \\
& \beta =....... \\
\end{align} \right.$
$S=\alpha +\beta =.......+.......=\frac{7}{3}=-\frac{b}{a}$
ت- درستی نتیجهٔ بالا را در حالت کلی ثابت می‌کنیم. فرض کنیم برای معادلهٔ (1)، مقدار $\Delta $ مثبت باشد. پس معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز مثل $\alpha $ و $\beta $ دارد:
$\left. \begin{align}
& \alpha =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \\
& \beta =\frac{........}{.......} \\
\end{align} \right\}\Rightarrow S=\alpha +\beta =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{.......}{.......}=.......$
ث- با مفروضات قسمت قبل، ثابت کنید: $P=\alpha .\beta =\frac{c}{a}$
$P=\alpha .\beta =\left( \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \right)\left( \frac{.......}{.......} \right)=.......$
با توجه به این فعالیت می‌توان گفت:
کار در کلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
در معادلهٔ $-2{{x}^{2}}+x+5=0$ بدون حل معادله، مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها را به‌دست آورید.
تشکیل معادله درجه 2 با استفاده از $S$ و $P$
گاهی برای حل یک مسئله، لازم است برای آن معادله‌ای بنویسیم و سپس آن معادله را حل کنیم. در برخی موارد، این معادله درجه 2 خواهد بود. مثلاً می‌خواهیم با مجموع و حاصل ضرب دو عدد، معادلهٔ درجه دومی بسازیم که آن دو عدد ریشه‌های معادله باشند. برای این کار فرض می‌کنیم آن دو عدد (ریشه‌های معادله)، $\alpha $ و $\beta $ باشند. معادلهٔ مورد نظر را می‌توان به شکل زیر نوشت:
$(x-\alpha )(x-\beta )=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{x}^{2}}-(\alpha +\beta )x+a\beta =0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{x}^{2}}-Sx+P=0$
بنابراین نشان دادیم که:
کار در کلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
1) دو عدد حقیقی بیابید که مجموع آنها 1/5- و حاصل ضربشان 7- باشد.
2) آیا مستطیلی با محیط $11cm$ و مساحت $6c{{m}^{2}}$ وجود دارد؟ اگر جواب مثبت است، طول و عرض آن را مشخص کنید.
حل: اگر ابعاد مستطیل را $\alpha $ و $\beta $ بنامیم، داریم:
$=11\Rightarrow 2(\alpha +\beta )=11\Rightarrow \alpha +\beta =\frac{11}{2}\Rightarrow \beta =\frac{11}{2}-\alpha $ محیط
$=6\Rightarrow \alpha .\beta =6\Rightarrow \alpha (\frac{11}{2}-\alpha )=6$ مساحت
الف- معادلهٔ بالا را ساده کنید و از حل آن $\alpha $ و $\beta $ را به‌دست آورید.
ب- با استفاده از $S$ و $P$ و تشکیل یک معادلهٔ درجه دوم، این مسئله را حل کنید.
3) معادلهٔ درجهٔ دومی بنویسید که ریشه‌های آن $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ و $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ باشند.
ماکزیمم و مینیمم تابع درجهٔ دوم
سهمی با ضابطهٔ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ را در نظر می‌گیریم. از سال گذشته می‌دانیم که طول رأس این سهمی $x=-\frac{b}{2a}$ است.
الف- اگر $a\gt 0$، آنگاه دهانهٔ سهمی رو به بالاست و به ازای $x=-\frac{b}{2a}$ کمترین (مینیمم) مقدار تابع درجهٔ دوم موردنظر به‌دست می‌آید.
ب- اگر $a\lt 0$، آنگاه دهانهٔ سهمی رو به پایین است و به ازای $x=-\frac{b}{2a}$ بیشترین (ماکزیمم) مقدار تابع درجهٔ دوم موردنظر حاصل می‌شود.
مثال: ماکزیمم یا مینیمم تابع با ضابطهٔ $f(x)=-{{x}^{2}}+2x+3$ را در صورت وجود به‌دست آورید.
حل: چون $a=-1$ منفی است، پس دهانهٔ سهمی رو به پایین است و این سهمی ماکزیمم دارد. این تابع به ازای $x=-\frac{b}{2a}=1$ بیشترین مقدار خود را خواهد داشت که برابر است با $f(1)=4$.
تذکر: همچنان که در شکل دیده می‌شود، در این مثال نقطهٔ (1,4) رأس سهمی و نقطهٔ ماکزیمم آن است. در این حالت منظور از مقدار ماکزیمم سهمی، عرض این نقطه، یعنی 4 است.
مثال: یک پنجره به شکل مستطیلی است که در بالای آن یک مثلث متساوی‌الاضلاع قرار گرفته است. اگر محیط پنجره $4m$ باشد، ابعاد مستطیل را طوری بیابید که پنجره حداکثر نوردهی را داشته باشد.
حل: با توجه به شکل داریم:
$=4\Rightarrow 3x+2y=4\Rightarrow y=2-\frac{3}{2}x$ محیط پنجره
در کلاس دهم دیدیم که مساحت مثلث $ABC$ از رابطهٔ $S=\frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin B$ به‌دست می‌آید. بنابراین مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع $x$ برابر $\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}$ است. (چرا؟) پس:
$:S=x.y+\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}$ مساحت پنجره
به‌جای $y$ معادل آن را برحسب $x$ قرار می‌دهیم.
$S=x(2-\frac{3}{2}x)+\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}=2x-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}$
$S=\frac{\sqrt{3}-6}{4}{{x}^{2}}+2x$
این تابع دارای ماکزیمم است (چرا؟) و بیشترین مقدار آن به ازای $x=-\frac{b}{2a}$ حاصل می‌شود.
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{\frac{6-\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{6-\sqrt{3}}\simeq 0/94(m)$
$y=2-\frac{3}{2}x\simeq 2-\frac{3}{2}(0/94)=0/59(m)$
کار در کلاس (صفحه 14 کتاب درسی)
1) تعیین کنید کدام یک از سهمی‌های زیر ماکزیمم و کدام یک مینیمم دارند. سپس مقدار ماکزیمم یا مینیمم هر یک را مشخص کنید.
$g(x)=-{{(x+1)}^{2}}+3$ -الف
$h(x)={{x}^{2}}-4x+9$ -ب
2) قرار است در کنار یک رودخانه، محوطه‌ای مستطیل شکل ایجاد کنیم. برای این کار لازم است سه ضلِع محوطه نرده‌کشی شود. اگر تنها هزینهٔ نصب 100 متر نرده را در اختیار داشته باشیم، ابعاد مستطیل را طوری تعیین کنید که مساحت آن بیشترین مقدارِ ممکن گردد.
صفرهای تابع درجه 2
همان‌گونه که می‌دانیم، نمودار هر تابع درجه دوم، یک سهمی است. به عنوان مثال فرض کنیم فوتبالیستی توپی را با زاویهٔ ${45^ \circ }$ نسبت به سطح زمین و با سرعت اولیهٔ $20m/s$ شوت کند. معادلهٔ مسیر حرکت این توپ، یک تابع درجه دو با ضابطهٔ $y=\frac{-1}{40}{{x}^{2}}+x$ است که نمودار آن مانند شکل زیر است. در این رابطهٔ $x$ مسافت افقی طی شده و $y$ ارتفاع توپ از سطح زمین است.
الف- حداکثر ارتفاع توپ را به‌دست آورید.
ب- به‌نظر شما حداکثر مسافت افقی طی شده توسط توپ چقدر است؟
برای آنکه طول نقاط برخورد نمودار این تابع با محور $x$ها را به‌دست آوریم، باید قرار دهیم $y=0$.
$y=0\Rightarrow x(\frac{-1}{40}x+1)=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & x=40 \\ \end{align} \right.$
این نقاط را روی نمودار نشان دهید و توضیح دهید که این اعداد از نظر فیزیکی چه معنایی می‌دهند.
همچنین عرض نقطهٔ برخورد نمودار هر تابع مثل $f$ با محور $y$ها، همان $f(0)$ است. به عبارت دیگر در تابع درجه 2 با ضابطهٔ $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$، عدد ثابت $c$ نشان دهندهٔ محل برخورد نمودار آن با محور $y$هاست. به‌عنوان مثال، به شکل زیر توجه کنید.
مثال: معادلهٔ سهمی زیر را بنویسید.
حل: با توجه به شکل دیده می‌شود که نمودار تابع، محور افقی را در نقاطی با طول‌های 1 و 2 قطع کرده است. پس ضابطهٔ آن به‌صورت زیر است:
$y=a(x-1)(x-2)$
با توجه به نمودار، $a$ را به‌دست می‌آوریم.
$\Rightarrow 4=a(0-1)(0-2)\Rightarrow a=2$ نقطهٔ $(0,\,4)$ روی سهمی است
$\Rightarrow y=2(x-1)(x-2)\Rightarrow y=2{{x}^{2}}-6x+4$
کار در کلاس (صفحه 16 تا 17 کتاب درسی)
1) همچنان که از سال قبل می‌دانیم، تعداد صفرهای تابع درجه دوم $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ را با کمک علامت $\Delta $ می‌توان تشخیص داد. همچنین رو به بالا بودن یا رو به پائین بودن دهانهٔ سهمی از روی علامت $a$ مشخص می‌شود. جدول زیر را کامل کنید.
| $\Delta \lt 0$ | $\Delta =0$ | $\Delta \gt 0$ | $a$ |
|
|
|
$a\gt 0$ | |
|
|
$a\lt 0$ |
2) دربارهٔ تابع درجه دوم $f$، برای تشخیص علامت ریشه‌های احتمالی معادله $f(x)=0$ می‌توانیم از علامت $S$ و $P$ کمک بگیریم. در هریک از موارد زیر، مانند قسمت الف عمل کنید.
$y={{x}^{2}}+6x+5$ -الف
معادلهٔ $y=0$ دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد $\Delta =16\gt 0\Rightarrow $
ریشه‌ها هم علامت‌اند $P=\frac{c}{a}=5\gt 0\Rightarrow $
هر دو ریشه منفی‌اند $S=-\frac{b}{a}=-\lt 0\Rightarrow $
$y={{x}^{2}}+4x-5$ -ب
$y=3{{x}^{2}}-7x+1$ -پ
$y=-{{x}^{2}}+2x-1$ -ت
3) هرگاه نمودار تابع $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,(a\ne 0)$ را داشته باشیم، می‌توانیم به کمک آن، علامت ضرایب $a$، $b$ و $c$ را مشخص کنیم. به عنوان مثال نمودار تابع $f$ از مجموعه توابع داده شدهٔ زیر را در نظر می‌گیریم:
- دهانهٔ سهمی رو به بالاست؛ پس $a$ مثبت است.
- نمودار تابع $f$ محور $y$ها را در قسمت منفی‌ها قطع کرده است؛ پس $c$ منفی است.
- رأس سهمی در ربع چهارم قرار گرفته که در آن مقادیر $x$ مثبت‌ان؛ پس: $\frac{-b}{2a}\gt 0\Rightarrow b\lt 0$
توجه داریم که باتوجه به نمودار، مجموع دو ریشه، عددی مثبت است (چرا؟) و از این مطلب هم می‌توان منفی بودن علامت $b$ را نتیجه گرفت.
خلاصهٔ این اطلاعات در جدول بعد آمده است. جدول را کامل کنید.
| $r$ | $q$ | $p$ | $n$ | $m$ | $l$ | $k$ | $j$ | $i$ | $h$ | $g$ | $f$ | ویژگی |
| - | + | + | علامت $a$ | |||||||||
| - | + | - | علامت $b$ | |||||||||
| - | 0 | - | علامت $c$ | |||||||||
| صفر | دو | دو | تعداد ریشه‌های متمایز | |||||||||
| ریشه ندارد |
یکی منفی یکی صفر |
یکی منفی یکی مثبت |
علامت ریشه یا ریشه‌ها (در صورت وجود) |
تمرین (صفحه 18 کتاب درسی)
1) معادله‌های زیر را حل کنید.
${{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+8=0$ -الف
$4{{x}^{6}}+1=5{{x}^{3}}$ -ب
2) معادلهٔ درجهٔ دومی بنویسید که ریشه‌های آن $1-\sqrt{2}$ و $1+\sqrt{2}$ باشد.
3) مقدار ماکزیمم یا مینیمم توابع با ضابطه‌های زیر را به‌دست آورید.
$f(x)=-2{{x}^{2}}+8x-5$ -الف
$g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$ -ب
4) موشکی که به‌طور عمودی رو به بالا شلیک شده، $t$ ثانیه پس از پرتاب در ارتفاع $h$ متری از سطح زمین قرار می‌گیرد که معادلهٔ آن به‌صورت مقابل است. $h(t)=100t-5{{t}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(t\ge 0)$
الف- چقدر طول می‌کشد تا موشک به بالاترین ارتفاع ممکن خود برسد؟
ب- ارتفاع نقطهٔ اوج را بیابید.
پ- چند ثانیه پس از پرتاب، موشک به زمین باز می‌گردد؟
5) استادیومی به شکل زیر درحال ساخت است که در آن $x\ge 0$ و $y\ge 0$ و نیم دایره‌ها به شعاع $\frac{x}{2}$ هستند. اگر محیط استادیوم 1500 متر باشد، $x$ و $y$ را طوری بیابید که:
الف- مساحت مستطیل حداکثر مقدار ممکن گردد.
ب- مساحت استادیوم حداکثر مقدار ممکن شود.
6) ضابطهٔ جبری سهمی‌های زیر را بنویسید.
