درسنامه آموزشی فیزیک (2) کلاس یازدهم تجربی
فصل 1: قانون کولن
همانطور که میدانیم نیروی الکتریکی که دو جسم باردار بر هم وارد میکنند میتواند جاذبه یا دافعه باشد. اگر بارهای الکتریکی دو جسم همنام باشند، این نیرو دافعه است (شکل 1-6). و اگر ناهمنام باشند، این نیرو جاذبه است.
فعالیت 1-1 (کار در کلاس) (صفحهٔ 5 کتاب درسی)
مطابق شکل، دو نیِ پلاستیکی را از نزدیکی یک انتهای آنها خم کنید و پس از مالش دادن با پارچهای پشمی نزدیک یکدیگر قرار دهید. اگر نیها به خوبی باردار شده باشند، نیروی دافعهٔ آنها را میتوانید به وضوح بر روی انگشتان خود حس کنید.
نیها در اثر مالش با پارچهی پشمی دارای بارهای همنام (منفی) شده و نیروی دافعه بین بارهای همنام در انگشتان حس میشود.
نیروی الکتریکی بین دو جسم باردار، به چه عاملهایی بستگی دارد و اندازهٔ این نیروها را از چه رابطهای میتوان محاسبه کرد؟ شارل آگوستین کولُن، دانشمند فرانسوی برای نخستین بار با انجام آزمایشهای ساده و هوشمندانهای توانست عاملهای مؤثر بر نیروی الکتریکی بین دو ذرّهٔ باردار را که اصطلاحاً بار نقطهای خوانده میشود، شناسایی کند. نتیجهٔ آزمایشهای او امروزه به نام قانون کولن خوانده میشود. شکل 1-7 طرحی از آزمایش کولن را نشان میدهد.
قانون کولن بیان میدارد:
اندازهٔ نیروی الکتریکی (الکتروستاتیکی) بین دو بار نقطهای که در راستای خط واصل آنها اثر میکند، با حاصل ضرب بزرگی آنها متناسب است و با مربع فاصلهٔ بین آنها نسبت وارون دارد.
بنابراین، اندازهٔ این نیرو برابر است با
(2-1) $F=k\frac{|{{q}_{1}}||{{q}_{2}}|}{{{r}^{2}}}$
که در آن ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{2}}$ بارهای الکتریکی دو بار نقطهای برحسب کولن $(C)$، $r$ فاصلهٔ بین دو بار برحسب متر $(m)$، و $F$ بزرگی نیروی الکتریکی وارد بر هر بار برحسب نیوتون $(N)$ است. در این رابطه $k$ ثابت الکتروستاتیکی یا ثابت کولن نام دارد و برابر است با
$k=8/98755179\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}}\approx 9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}}$
در شکل 1-8، ${{\overrightarrow{F}}_{12}}$ نیرویی است که بار الکتریکی نقطهای ${{q}_{1}}$ به بار نقطهای ${{q}_{2}}$ وارد میکند و ${{\overrightarrow{F}}_{21}}$ نیرویی است که بار الکتریکی نقطهای ${{q}_{2}}$ به بار نقطهای ${{q}_{1}}$ وارد میکند. این دو نیروی الکتریکی (بنا به قانون سوم نیوتون) هم اندازه، هم راستا، و در خلاف جهت همدیگرند. به عبارتی:
${{\overrightarrow{F}}_{12}}=-{{\overrightarrow{F}}_{21}}\Rightarrow {{F}_{12}}={{F}_{21}}=F$
مثال 1-2
الف) در مدل بور برای اتم هیدروژن، فاصله الکترون از پروتون هسته در حالت پایه $5/3\times {{10}^{-11}}m$ است (شکل را ببینید). اندازه نیروی الکتریکی که پروتون به الکترون وارد میکند را محاسبه کنید.
ب) در هستهٔ اتم هلیم دو پروتون به فاصلهٔ تقریبی $r=2/4\times {{10}^{-15}}m$ از هم قرار دارند. اندازه نیرویی که پروتونها بر هم وارد میکنند را محاسبه کنید.
پاسخ:
الف) با استفاده از قانون کولن برای بزرگی نیروی الکتریکی بین دو ذرّهٔ باردار داریم:
$F=k\frac{|{{q}_{1}}||{{q}_{2}}|}{{{r}^{2}}}=k\frac{|{{q}_{e}}||{{q}_{p}}|}{{{r}^{2}}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{{{(1/60\times {{10}^{-19}}C)}^{2}}}{{{(5/3\times {{10}^{-11}}m)}^{2}}}=8/2\times {{10}^{-8}}N$
ب) با استفاده از قانون کولن داریم:
$F=k\frac{|{{q}_{p}}||{{q}_{p}}|}{{{r}^{2}}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{{{(1/60\times {{10}^{-19}}C)}^{2}}}{{{(2/4\times {{10}^{-15}}m)}^{2}}}=40N$
که این به مراتب بزرگتر از نیروی محاسبه شده در قسمت الف است. این نیروی بزرگ، از جنس دافعه است. بنابراین، هسته اتم باید فرو بپاشد. از اینجا نتیجه میگیریم که باید نیروی دیگری وجود داشته باشد که مانع فروپاشی هسته شود. به این نیرو، نیروی هستهای گفته میشود.
شارل آگوستین کولن (1806-1736 م)
شارل آگوستین کولن در فرانسه به دنیا آمد. او در دانشگاه مباحث متنوعی از قبیل فلسفه، ریاضیات، نجوم و شیمی را آموخت، و در طی دوازده سال پس از فارغ التحصیلی شغلهای متنوعی در شاخههای مختلف مهندسی داشت و مدتی را نیز خارج از فرانسه گذراند. کولن پس از بازگشت به پاریس در سال 1785 میلادی تقریباً همزمان با بنیامین فرانکلین آزمایش معروف خود را در مورد اینکه نیروی بین دو بار ذرّهای با مربع فاصلهٔ بین آنها نسبت وارون دارد، به چاپ رساند. نتیجهٔ این آزمایش که به قانون کولن معروف شده است از هر آزمون و تجربهای سربلند بیرون آمده است و تاکنون هیچ استثنایی برای آن یافت نشده است. کولن معتقد بود چنین قانونی برای قطبهای مغناطیسی نیز برقرار است، گرچه هیچ وقت نتوانست به چنین رابطهای برسد. نام کولن یکی از 72 نامی است که روی برج ایفل ثبت شده است.
خوب است بدانید: $DNA$
اطلاعات ژنتیکی در مولکولهای خاصی به نام دِنا $(DNA)$ وجود دارد. در واقع دِنا دارای اطلاعات و دستورهایی برای تعیین و ایجاد صفات ارثی ما و همهٔ جانداران است. در مولکولهای دِنا چهار نوع باز به نامهای آدنین $(A)$، سیتوزین $(C)$، گوانین $(G)$ و تیمین $(T)$ وجود دارد. دِنا مولکولی دو رشتهای است که به صورت مارپیچ دوگانه پیچیده شده است. همانطور که در شکل نشان داده شده است این دو رشته توسط نیروهای الکتریکی به یکدیگر پیوند خوردهاند. مثلاً در شکل میبینیم که همواره آدنین و تیمین در دو طرف رشته و مقابل هم قرار دارند. به همین ترتیب $G$ و $C$ نیز در دو طرف رشته و مقابل هم قرار دارند.
بارهای مثبت در یک طرف رشته و بارهای منفی در طرف دیگر، دو رشته را به هم زیپ میکنند. این جاذبه آن قدر هست که رشتهها از هم نگسلد، اما به حد کافی ضعیف نیز هست تا در فرایند رونویسی از هم گسیخته گردد.
برایند نیروهای الکتریکی: اگر به جای دو ذرّهٔ باردار، تعدادی بار نقطهای داشته باشیم، نیروی الکتریکی وارد بر هر ذرّه، برایند نیروهایی است که هر یک از ذرّههای دیگر به تنهایی بر آن ذره وارد میکند.
فرض کنید $n$ ذرّهٔ باردار داشته باشیم که در نزدیکی بار نقطهای ${{q}_{0}}$ قرار دارند. آن گاه نیروی خالص (برایند) وارد بر بار نقطهای ${{q}_{{}^\circ }}$ با جمع برداری زیر داده میشود:
${{\vec{F}}_{{{T}_{{}^\circ }}}}={{\vec{F}}_{10}}+{{\vec{F}}_{20}}+...{{\vec{F}}_{{{n}_{{}^\circ }}}}$
شکل 1-9 نیروی وارد بر بار ${{q}_{{}^\circ }}$ از سوی چهار بار دیگر را نشان میدهد.
در این کتاب، مثالهایی را بررسی میکنیم که در آنها نیروهای الکتریکی وارد بر یک ذرّهٔ باردار در یک راستا قرار دارند یا عمود بر یکدیگرند.
${{\vec{F}}_{{{T}_{{}^\circ }}}}={{\vec{F}}_{10}}+{{\vec{F}}_{20}}+{{\vec{F}}_{30}}+{{\vec{F}}_{40}}$
پرسش 1-2 (صفحهٔ 8 کتاب درسی)
سه ذرّه باردار مانند شکل زیر، روی یک خط راست قرار دارند و فاصلهٔ بارهای سمت راست و چپ از بار میانی برابر است.
الف) جهت نیروی الکتریکی خالص وارد بر بار الکتریکی میانی را تعیین کنید.
|
|
$\left\{ \begin{matrix} {{q}_{1}}=q \\ {{q}_{2}}=q \\ {{q}_{3}}=-q \\ \end{matrix} \right.$ |
ب) اگر ذرّهٔ سمت راست به جای $q$، بار $-q$ داشته باشد، جهت نیروی الکتریکی خالص وارد بر بار میانی چگونه خواهد بود؟
 |
$\left\{ \begin{matrix} {{q}_{1}}=-q \\ {{q}_{2}}=q \\ {{q}_{3}}=-q \\ \end{matrix} \right.$ |
چون بارها هم اندازه و در فاصلهی یکسانی از هم قرار دارند، دو نیروی هم اندازه، در یک راستا و در خلاف جهت هم به بار میانی وارد و نیروی خالص صفر میشود.
مثال 1-3
سه ذرّه با بارهای ${{q}_{1}}=+2/5\mu C$، ${{q}_{2}}=-1/0\mu C$ و ${{q}_{3}}=+4/0\mu C$ در نقطههای $A$، $B$ و $C$ مطابق شکل زیر ثابت شدهاند. نیروی الکتریکی خالص وارد بر بار ${{q}_{3}}$ را محاسبه کنید.
پاسخ: نیروی الکتریکی خالصی که بر بار ${{q}_{3}}$ وارد میشود، برایند دو نیرویی است که از طرف بارهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{2}}$ بر آن وارد میشوند. برای محاسبهٔ این نیرو، نیرویی را که هر یک از بارهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{2}}$ در نبود دیگری، بر بار ${{q}_{3}}$ وارد میکند، محاسبه میکنیم.
نیروی الکتریکی وارد ${{q}_{3}}$، برایند این دو نیرو است.
فاصلهٔ بین بارهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{3}}$ را با ${{r}_{13}}$ و فاصلهٔ بین بارهای ${{q}_{2}}$ و ${{q}_{3}}$ را با ${{r}_{23}}$ نشان میدهیم. با استفاده از رابطهٔ 1-2 داریم:
${{F}_{13}}=k\frac{|{{q}_{1}}||{{q}_{3}}|}{r_{13}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(2/5\times {{10}^{-6}}C)(4/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(6/0m)}^{2}}}=2/5\times {{10}^{-3}}N$
${{F}_{23}}=k\frac{|{{q}_{2}}||{{q}_{3}}|}{r_{23}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(1/0\times {{10}^{-6}}C)(4/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(2/0m)}^{2}}}=9/0\times {{10}^{-3}}N$
نیرویی که بار ${{q}_{1}}$ بر بار ${{q}_{3}}$ وارد میکند، دافعه و نیرویی که بار ${{q}_{2}}$ بر بار ${{q}_{3}}$ وارد میکند جاذبه است.
مطابق شکل، نیروهای ${{\overrightarrow{F}}_{13}}$ و ${{\overrightarrow{F}}_{23}}$ در جهتهای مخالف یکدیگرند و برایند آنها برابر است با
${{\overrightarrow{F}}_{T}}={{\overrightarrow{F}}_{23}}+{{\overrightarrow{F}}_{13}}$
بنابراین، اندازهٔ نیروی برایند برابر با تفاضل اندازهٔ آنهاست:
${{F}_{T}}={{F}_{23}}-{{F}_{13}}=6/5\times {{10}^{-3}}N$
و جهت آن در جهت نیروی بزرگتر $({{\overrightarrow{F}}_{23}})$، یعنی از سمت راست به طرف چپ، است. اگر محور $x$ را روی خط واصل سه بار و جهت مثبت آن را به سمت راست درنظر بگیریم و بردار یکهٔ محور $x$ را، $\overrightarrow{i}$ بنامیم، داریم:
${{\overrightarrow{F}}_{T}}=(-6/5\times {{10}^{-3}}N)\overrightarrow{i}$
تمرین 1-2 (صفحهٔ 9 کتاب درسی)
در مثال 1-3، نیروی خالص وارد بر بار ${{q}_{2}}$ را به دست آورید.
${{F}_{12}}=k\frac{|{{q}_{1}}||{{q}_{2}}|}{r_{12}^{2}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{2/5\times {{10}^{-6}}\times 1\times {{10}^{-6}}}{16}\simeq 1/4\times {{10}^{-3}}N\to {{\overrightarrow{F}}_{12}}=-(1/4\times {{10}^{-3}}N)\overline{i}$
${{F}_{32}}=k\frac{|{{q}_{3}}||{{q}_{2}}|}{r_{32}^{2}}=9\times {{10}^{9}}\times \frac{4\times {{10}^{-6}}\times 1\times {{10}^{-6}}}{4}=9\times {{10}^{-3}}N\to {{\overrightarrow{F}}_{32}}=+(9\times {{10}^{-3}}N)\overline{i}$
$\begin{align}
& {{\overrightarrow{F}}_{T}}={{\overrightarrow{F}}_{12}}+{{\overrightarrow{F}}_{32}}=(9\times {{10}^{-3}}N)\overline{i}-(1/4\times {{10}^{-3}}N)\overline{i}=(7/6\times {{10}^{-3}}N)\overline{i} \\
& \to {{\overrightarrow{F}}_{T}}=(7/6\times {{10}^{-3}}N)i\to {{F}_{T}}=7/6\times {{10}^{-3}}N \\
\end{align}$
پرسش 1-3 (صفحهٔ 9 کتاب درسی)
سه ذرّهٔ باردار مطابق شکل زیر، در سه گوشهٔ یک مربع قرار دارند.
الف) جهت نیروی الکتریکی خالص وارد بر بار سمت راست پایینی را تعیین کنید.
ب) اگر ذرّهٔ سمت چپ پایینی به جای $q$، بار $-q$ داشته باشد، جهت نیروی الکتریکی خالص وارد بر بار سمت راست پایینی چگونه خواهد بود؟
مثال 1-4
سه ذرّهٔ باردار مطابق شکل زیر در سه رأس مثلث قائم الزاویهای ثابت شدهاند. نیروی الکتریکی خالص وارد بر ذرّهٔ واقع در رأس قائمه را به دست آورده و اندازهٔ این نیرو را محاسبه کنید.
پاسخ: نیروی الکتریکی بین بارهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{2}}$ دافعه و نیروی بین بارهای ${{q}_{1}}$ و ${{q}_{3}}$، جاذبه است. با استفاده از رابطهٔ 1-2 داریم:
${{F}_{21}}=k\frac{|{{q}_{2}}||{{q}_{1}}|}{r_{21}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(4/0\times {{10}^{-6}}C)(2/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(3/0m)}^{2}}}=8/0\times {{10}^{-3}}N$
با توجه به دستگاه مختصات داده شده، ${{\overrightarrow{F}}_{21}}$ در جهت مثبت محور $x$ است. بنابراین، ${{\overrightarrow{F}}_{21}}=(8/0\times {{10}^{-3}}N)\overrightarrow{i}$ میشود. به همین ترتیب، برای نیروی بین بارهای ${{q}_{3}}$ و ${{q}_{1}}$ داریم:
${{F}_{31}}=k\frac{|{{q}_{3}}||{{q}_{1}}|}{r_{31}^{2}}=(9/0\times {{10}^{9}}N.{{m}^{2}}/{{C}^{2}})\frac{(3/0\times {{10}^{-6}}C)(2/0\times {{10}^{-6}}C)}{{{(3/0m)}^{2}}}=6/0\times {{10}^{-3}}N$
با توجه به دستگاه مختصات داده شده، ${{\overrightarrow{F}}_{31}}$ در جهت مثبت محور $y$ است. بنابراین، ${{\overrightarrow{F}}_{31}}=(6/0\times {{10}^{-3}}N)\overrightarrow{j}$ میشود. پس برایند نیروهای الکتریکی وارد بر بار ${{q}_{1}}$ برابر است با
${{\overrightarrow{F}}_{T}}={{\overrightarrow{F}}_{21}}+{{\overrightarrow{F}}_{31}}=(8/0\times {{10}^{-3}}N)\overrightarrow{i}+(6/0\times {{10}^{-3}}N)\overrightarrow{j}$
و بزرگی آن با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس، چنین به دست میآید:
${{F}_{T}}=\sqrt{F_{21}^{2}+F_{31}^{2}}=\sqrt{{{(8/0\times {{10}^{-3}}N)}^{2}}+{{(6/0\times {{10}^{-3}}N)}^{2}}}=1/0\times {{10}^{-2}}N$
تمرین 1-3 (صفحهٔ 10 کتاب درسی)
در مثال 1-4 الف) اگر علامت بار ${{q}_{3}}$ تغییر کند جهت نیروی برایند وارد بر بار ${{q}_{1}}$ چگونه خواهد شد؟
ب) اگر علامت بار ${{q}_{2}}$ تغییر کند، جهت نیروی برایند وارد بر بار ${{q}_{1}}$ چگونه خواهد شد؟
پ) آیا اندازهٔ نیروی برایند وارد بر بار ${{q}_{1}}$ در قسمتهای الف و ب با مقدار به دست آمده در مثال 1-4 متفاوت است؟
خیر، چون اندازه، زاویه و فاصلهی بین بارها تغییر نکرده، بزرگی نیروی برآیند وارد بر بار ${{q}_{1}}$ نیز تغییر نمیکند.