درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

مثلث قائم الزاویهٔ $ABC$ را درنظر بگیرید.
الف) اندازهٔ وتر یعنی $x$ را بیابید و سپس مقدار عددی هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را برای زاویهٔ $\theta $ و $\alpha $ به دست آورید.

${{x}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=16+9=25\Rightarrow {{x}^{2}}=25\Rightarrow x=5$

$\sin \theta =\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

$\cos \theta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$

$\sin \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$

$\cos \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

$tan\theta =\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$

$tan\alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{AB}{AC}}{\frac{BC}{AC}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{4}{3}$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{3}{4}$

ب) با توجه به مقادیر عددی حاصل در قسمت (الف) مقدار ${{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta $  و ${{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a$ را به دست آورید.

${{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta ={{(\frac{3}{5})}^{2}}+{{(\frac{4}{5})}^{2}}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$  ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{(\frac{4}{5})}^{2}}+{{(\frac{3}{5})}^{2}}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ 

پ) درستی رابطهٔ ${{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta =1$ را با استفاده از تعریف و اضلاع مثلث، بررسی کنید.

${{(\sin \theta )}^{2}}+{{(\cos \theta )}^{2}}={{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta ={{(\frac{BC}{AC})}^{2}}+{{(\frac{AB}{AC})}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{A{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=1$

ت) مشابه قسمت (پ) درستی رابطهٔ ${{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1$ را بررسی کنید.

${{(\sin \alpha )}^{2}}+{{(\cos \alpha )}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{(\frac{AB}{AC})}^{2}}+{{(\frac{BC}{AC})}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{A{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=1$  

با توجه به رابطهٔ بالا، یعنی ${{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1$ جاهای خالی را پر کنید:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha \Rightarrow \sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }$ (الف

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }$ (ب

رابطه‌های تانژانت برحسب کسینوس و کتانژانت بر حسب سینوس

در این قسمت رابطه‌ای برای تانژانت بر حسب کسینوس یک زاویه و همچنین رابطه ای برای کتانژانت برحسب سینوس، به دست می‌آوریم:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow \frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }+\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$ 

$\Rightarrow {{\tan }^{2}}\alpha +1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}(\cos \alpha \ne 0)\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}(1)$

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow \frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }+\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }$

$\Rightarrow 1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}(\sin \alpha \ne 0)\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}(2)$

3- اگر $90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $ و $\tan \alpha =\frac{-3}{4}$، آنگاه سایر نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $\alpha $ را به دست آورید.
  زاویه‌ای در ربع دوم است و بنابراین کسینوس و کتانژانت آن منفی و سینوس ان مثبت است.

$\begin{align}
  & 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow 1+{{(\frac{-3}{4})}^{2}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow \frac{25}{16}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } \\ 
 & \Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{16}{25}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{4}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-4}{5} \\ 
\end{align}$

$ \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}=\frac{\sin \alpha }{\frac{-4}{5}}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{3}{5}$

$ \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\Rightarrow \cot \alpha =-\frac{4}{3}$ 

1- با فرض بامعنی بودن هر کسر، درستی هر یک از تساوی‌های زیر را بررسی کنید:

${{\sin }^{4}}\theta -{{\cos }^{4}}\theta ={{\sin }^{2}}\theta -{{\cos }^{2}}\theta $ (الف

$\frac{1}{\cos \alpha }+\cot \alpha =\frac{\tan \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha }$ (ب

$=\frac{\tan \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\tan \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\sin \alpha }+\cot \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }+\cot \alpha =$ طرف راست

2- کدام یک از تساوی‌های زیر یک اتحاد است؟ چرا؟

${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =1-2\sin \alpha \sin \alpha $ (الف

الف) اتحاد نیست. زیرا برای مثال به ازای $\alpha =\frac{\pi }{4}$ تساوی برقرار نیست.

$={{\sin }^{4}}\frac{\pi }{4}+{{\cos }^{4}}\frac{\pi }{4}={{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}}+{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ سمت چپ

اتحاد نیست $1-2\sin \alpha \cos \alpha =1-2(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})=1-2\times \frac{1}{2}=1-1=0\Rightarrow \frac{1}{2}\ne 0\Rightarrow $ =سمت راست

${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha $ (ب

اتحاد است.

${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha ={{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha +2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha -2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha $

$\begin{align}
  & =({{\sin }^{4}}\alpha +2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha )-2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha ={{({{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha )}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha  \\ 
 & =1-2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha  \\ 
\end{align}$

3- با ضرب کردن طرفینِ اتحاد مثلثاتی $1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$ در $\cot \alpha $ یک اتحاد مثلثاتی بسازید؛ سپس درستی آن را اثبات کنید.

$\cot \alpha \times \left\lfloor 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } \right\rfloor \Rightarrow \cot \alpha +({{\tan }^{2}}\alpha )(\cot \alpha )=\frac{\cot \alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }$

$\Rightarrow \cot \alpha +\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }\times \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow \cot \alpha +\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }$ 

$\Rightarrow \cot \alpha +\tan \alpha =\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }$

اثبات این اتحاد به صورت زیر است:

$\Rightarrow \cot \alpha +\tan \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha }{\sin \alpha .\cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }$

1- فرض کنید $\alpha $ زاویه‌ای در ناحیهٔ دوم مثلثاتی باشد و $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$. نسبت‌های دیگر مثلثاتیِ زاویهٔ $\alpha $ به دست آورید.
در ربع دوم، سینوس مثبت، تانژانت منفی و کتانژانت منفی است.

$\cos \alpha =-\frac{3}{5}\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{(-\frac{3}{5})}^{2}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{4}{5}$$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{\frac{5}{1}}{-\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{-4}{3}$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$

2- اگر $\tan \alpha =\frac{-4}{3}$ و $\alpha $ زاویه‌ای در ناحیهٔ چهارم مثلثاتی باشد، نسبت‌های دیگر مثلثاتی زاویهٔ $\alpha $ را به دست آورید.
در ربع چهارم، سینوس منفی، کسینوس مثبت و کتانژانت منفی است.

${{\tan }^{2}}\alpha +1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{(-\frac{4}{3})}^{2}}+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow \frac{16}{9}+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$

$\Rightarrow \frac{25}{9}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{9}{25}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{3}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{3}{5}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow -\frac{4}{3}=\frac{\sin \alpha }{\frac{3}{5}}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{-4}{5}$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{-3}{4}\Rightarrow \cot \alpha =-\frac{3}{4}$

3- اگر $\sin 135{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}$، آنگاه نسبت‌های دیگر مثلثاتیِ زاویه $135{}^\circ $ را به دست آورید.
زاویه 135 درجه در ربع دوم قرار دارد و در ربع دوم کسینوس، تانژانت و کتانژانت منفی است.

$\cos \theta =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\theta }\Rightarrow \cos 135{}^\circ =-\sqrt{1-{{\sin }^{2}}135{}^\circ }=-\sqrt{1-{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}}=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos 135{}^\circ =-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1\Rightarrow \tan \theta =-1$ 

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{1}{-1}\Rightarrow \cot \theta =-1$

4- اگر $\tan 240{}^\circ =\sqrt{3}$، آنگاه نسبت‌های دیگر مثلثاتیِ زاویه $240{}^\circ $ را به دست آورید.
زاویه 240 درجه در ربع سوم قرار دارد و در ربع سوم سینوس و کسینوس منفی و کتانژانت مثبت است.

$1+{{\tan }^{2}}\theta =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\theta }\Rightarrow 1+{{(\sqrt{3})}^{2}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\theta }\Rightarrow {{\cos }^{2}}\theta =\frac{1}{4}\Rightarrow \cos \theta =\pm \frac{1}{2}\Rightarrow \cos \theta =\frac{-1}{2}$

$\tan \theta =\frac{sin\theta }{\cos \theta }\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{\sin \theta }{\frac{-1}{2}}\Rightarrow \sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \cot \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$

5- شخصی می‌خواهد عرض یک رودخانه را اندازه گیری کند. او ابتدا مطابق شکل، نقطه‌ای چون $C$ و سپس نقطه‌ای مانند $A$ را در امتداد $C$ و در طرف دیگر رودخانه مشخص می‌کند و به اندازه 200 متر از ه صورت افقی در امتداد رودخانه حرکت می‌کند تا به نقطهٔ $‌B$ برسد. اگر زاویهٔ دید این شخص (از نقطهٔ $‌B$ به نقطه‌ٔ $A$)، $20{}^\circ $ باشد و $\sin 20{}^\circ \simeq 0/34$ او چگونه می‌تواند عرض رودخانه را محاسبه کند؟ (پاسخ خود را تا دو رقم اعشار بر حسب متر بنویسید.)

برای اندازه‌گیری عرض رودخانه (ضلع AC ) داریم:

$1+{{\cot }^{2}}\theta =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\theta }\Rightarrow 1+{{\cot }^{2}}\theta =\frac{1}{{{(0/34)}^{2}}}\Rightarrow {{\cot }^{2}}\theta =2/76$

$\Rightarrow \cot \theta =\frac{BC}{AC}\Rightarrow 2/76=\frac{200}{AC}\Rightarrow AC=72/31m$

6- با فرض بامعنی بودن هر کسر، درستی هر یک از تساوی‌های زیر را بررسی کنید.

$ \frac{1}{\sin \theta }\times \tan \theta =\frac{1}{\not{\operatorname{s}in}\theta }\times \frac{\not{\operatorname{s}in}\theta }{\cos \theta }=\frac{1}{\cos \theta }$ (الف

$ \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }\times \frac{1-\sin \theta }{1-\sin \theta }=\frac{\cos \theta (1-\sin \theta )}{1-{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{\not{\cos }(1-\sin \theta )}{_{\cos \theta }^{{{\not{\cos }}^{2}}\theta }}=\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }$ (ب

$\frac{1+\tan \alpha }{1+\cot \alpha }=\frac{1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{\sin \alpha \not{(\cos \alpha +\sin \alpha )}}{\cos \alpha \not{(\cos \alpha +\sin \alpha )}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha $  (پ

$1-\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{1+\sin x}=1-\frac{1-{{\sin }^{2}}x}{1+\sin x}=1-\frac{(1-\sin x)\not{(1+\sin x)}}{\not{(1+\sin x)}}=1-(1-\sin x)=1-1+\sin x=\sin x$  (ت

$\frac{1}{\cos x}-\tan x=\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$ (ث