ضرب عدد حقیقی در بردار (ضرب اسکالر)
تعریف جبری ضرب اسکالر
در ریاضیات، به ضرب یک عدد حقیقی در یک بردار، «ضرب اسکالر» میگوییم. اگر $r$ یک عدد حقیقی و $\vec{a} = (a_1 , a_2)$ یک بردار در صفحه باشد، حاصل ضرب آن به صورت زیر تعریف میشود:
به عبارت ساده، هر مؤلفهٔ بردار در عدد حقیقی $r$ ضرب میشود. به همین دلیل، این عمل را «ضرب اسکالر» نیز مینامند، زیرا عدد $r$ اسکالر1 نامیده میشود. برای نمونه، فرض کنید $\vec{a} = (3 , -2)$ و $r = 4$. با استفاده از قانون بالا داریم:
اندازه بردار حاصل از ضرب اسکالر
یکی از ویژگیهای مهم این عمل، رابطهٔ میان اندازهٔ بردار جدید و اندازهٔ بردار اولیه است. اندازهٔ بردار $r\vec{a}$ برابر است با حاصلضرب قدرمطلق عدد $r$ در اندازهٔ بردار $\vec{a}$. اگر اندازهٔ بردار $\vec{a}$ را با $\|\vec{a}\|$ نشان دهیم، خواهیم داشت:
دلیل این رابطه به فرمول اندازهٔ بردار برمیگردد: $\| r\vec{a} \| = \sqrt{(r a_1)^2 + (r a_2)^2} = \sqrt{r^2 (a_1^2 + a_2^2)} = |r| \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = |r| \cdot \|\vec{a}\|$.
برای مثال، بردار $\vec{a} = (4 , 3)$ را در نظر بگیرید. اندازهٔ آن برابر $\|\vec{a}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ است. اگر این بردار را در $r = -2$ ضرب کنیم، بردار $(-8 , -6)$ حاصل میشود. اندازهٔ بردار جدید برابر $\sqrt{64+36}=10$ است که همان $|-2| \times 5 = 2 \times 5 = 10$ میباشد.
تأثیر عدد حقیقی بر جهت بردار
عدد حقیقی $r$ نه تنها اندازه، بلکه جهت بردار را نیز تغییر میدهد. این تأثیر را میتوان در سه حالت دستهبندی کرد:
- اگر $r \gt 0$، جهت بردار $r\vec{a}$ با جهت $\vec{a}$ یکسان است.
- اگر $r \lt 0$، جهت بردار حاصل، دقیقاً مخالف جهت بردار اولیه خواهد بود.
- اگر $r = 0$، بردار حاصل، بردار صفر $(0,0)$ میشود که نقطهٔ مبدأ است و جهت مشخصی ندارد.
به عنوان مثال، بردار $\vec{u} = (1 , 2)$ را در نظر بگیرید. ضرب آن در $r = 3$ بردار $(3 , 6)$ را میدهد که همچنان به سمت یک ربع (دستهٔ اول) اشاره دارد. اما ضرب در $r = -1$ بردار $(-1 , -2)$ را ایجاد میکند که در جهت کاملاً مخالف، یعنی به سمت ربع سوم، قرار میگیرد.
| عدد حقیقی ($r$) | تأثیر بر اندازه | تأثیر بر جهت | مثال با $\vec{a}=(2,1)$ |
|---|---|---|---|
| $r=2$ | افزایش مییابد (ضریب $2$) | همجهت | $(4,2)$ |
| $r=\frac{1}{2}$ | کاهش مییابد (ضریب $0.5$) | همجهت | $(1,0.5)$ |
| $r=-3$ | افزایش (ضریب $3$) | مخالف | $(-6,-3)$ |
| $r=0$ | صفر | نامشخص (بردار صفر) | $(0,0)$ |
کاربرد عملی: تغییر مقیاس در فیزیک و گرافیک
در فیزیک، اگر بردار مکان ذرهای برابر $\vec{x} = (3 , 4)$ متر باشد، آنگاه بردار جابهجایی در زمان $t$ ثانیه با سرعت ثابت $v$ برابر است با $\vec{d} = v t \cdot \hat{u}$ که در آن $\hat{u}$ بردار یکهٔ جهت حرکت است. این دقیقاً نمونهای از ضرب اسکالر است. در گرافیک کامپیوتری، برای بزرگنمایی (اسکیل) یک شکل، مختصات رأسهای آن شکل در عددی بزرگتر از یک ضرب میشود. برای نمونه، مثلثی با رأس $(1,1)$ و $(2,3)$ و $(4,1)$ پس از ضرب در $r=2$ به مثلثی با ابعاد دو برابر تبدیل میشود.
یک مثال روزمره: فرض کنید نقشهٔ یک شهر روی صفحهٔ مختصات رسم شده است. اگر مختصات یک ایستگاه پلیس برابر $(2 , -1)$ باشد و نقشه را با مقیاس $3$ بزرگ کنیم (یعنی هر فاصلهٔ واقعی $1$ متر در نقشه $3$ سانتیمتر نشان داده شود)، آنگاه مختصات جدید ایستگاه روی نقشه $(6 , -3)$ خواهد بود.
چالشهای مفهومی
پرسش ۱: آیا ضرب اسکالر با ضرب داخلی (نقطهای) تفاوت دارد؟
پاسخ: بله. ضرب اسکالر یک عدد حقیقی را در یک بردار ضرب میکند و حاصل آن یک بردار است. اما ضرب داخلی (یا ضرب نقطهای) دو بردار را در هم ضرب میکند و حاصل آن یک عدد اسکالر است. فرمول ضرب داخلی برای بردارهای $\vec{a}=(a_1,a_2)$ و $\vec{b}=(b_1,b_2)$ به صورت $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$ تعریف میشود.
پرسش ۲: چرا اندازهٔ بردار $r\vec{a}$ از حاصلضرب $|r|$ در $\|\vec{a}\|$ به دست میآید و نه خود $r$؟
پاسخ: زیرا اندازهٔ یک بردار همواره مقداری نامنفی است. اگر $r$ منفی باشد، ضرب مستقیم آن در اندازه، عددی منفی میداد که برای اندازه معنی ندارد. به همین دلیل از قدرمطلق استفاده میشود تا خروجی همواره مثبت یا صفر باشد. از نظر هندسی، طول بردار به علامت $r$ وابسته نیست، فقط به قدرمطلق آن بستگی دارد.
پرسش ۳: اگر $r\vec{a} = \vec{0}$ باشد، چه نتیجهای میتوان گرفت؟
پاسخ: از تساوی $r\vec{a} = (0,0)$ نتیجه میشود که یا $r = 0$ است یا $\vec{a} = \vec{0}$. اگر هر دو غیرصفر باشند، حاصل ضرب نمیتواند بردار صفر شود. این ویژگی برای حل معادلات برداری بسیار کاربردی است.
در این مقاله یاد گرفتیم که ضرب اسکالر (ضرب عدد حقیقی در بردار) مؤلفههای بردار را یکبهیک در آن عدد ضرب میکند. اندازهٔ بردار حاصل برابر قدرمطلق عدد در اندازهٔ بردار اولیه است و جهت بردار برای اعداد مثبت حفظ و برای اعداد منفی معکوس میشود. این عمل پایهٔ بسیاری از مفاهیم در فیزیک (مانند تکانه، نیرو و جابهجایی) و گرافیک رایانهای (بزرگنمایی) است. همچنین تأکید کردیم که ضرب اسکالر با ضرب داخلی تفاوت بنیادی دارد و در حل معادلات برداری، توجه به صفر بودن اسکالر یا بردار اهمیت زیادی دارد.
پاورقی
1 اسکالر (Scalar): کمیتی است که تنها دارای اندازه است و جهت ندارد. در مقابل بردار که هم اندازه و هم جهت دارد. اعداد حقیقی مانند دما، جرم و زمان مثالهایی از اسکالر هستند.
