معادلهٔ استاندارد دایره: نمایش مستقیم مرکز و شعاع
۱. مفهوم پایه: مرکز و شعاع در یک نگاه
هر دایره در صفحهٔ مختصات با دو ویژگی اصلی تعیین میشود: مرکز که یک نقطهٔ ثابت است و شعاع که فاصلهٔ ثابت از مرکز تا هر نقطه روی دایره میباشد. اگر مرکز را با $(\alpha,\beta)$ و شعاع را با $r$ نشان دهیم، بر اساس تعریف هندسی دایره، مجموعهٔ تمام نقاط $(x,y)$ که فاصلهٔ آنها تا مرکز برابر $r$ است، دایره را میسازند. با استفاده از فرمول فاصلهٔ اقلیدسی2 داریم:
با مربع کردن دو طرف (با فرض $r \ge 0$) به معادلهٔ استاندارد دایره میرسیم:
نکته کلیدی: در این معادله، $\alpha$ و $\beta$ مختصات مرکز هستند و $r$ شعاع دایره (عدد مثبت) میباشد. علامت منفی در عبارتهای $(x-\alpha)$ و $(y-\beta)$ بسیار مهم است.
۲. خواندن مرکز و شعاع از روی معادلهٔ استاندارد
فرض کنید معادلهٔ دایره به صورت استاندارد نوشته شده است. برای پیدا کردن مرکز و شعاع کافی است آن را با فرم کلی مقایسه کنید.
مثال ۱: معادلهٔ $(x-3)^2+(y+2)^2=16$ را در نظر بگیرید.
- مقایسه با $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$ نشان میدهد $\alpha = 3$ و $\beta = -2$ (چون $y+2 = y-(-2)$). بنابراین مرکز در نقطهٔ $(3,-2)$ قرار دارد.
- $r^2 = 16$ ⇒ $r = 4$ (شعاع همیشه نامنفی است).
مثال ۲: معادلهٔ $(x+1)^2+y^2=9$. این معادله را به صورت $(x-(-1))^2+(y-0)^2=3^2$ بازنویسی میکنیم. پس مرکز $(-1,0)$ و شعاع $3$ است.
| معادلهٔ استاندارد | مرکز $(\alpha,\beta)$ | شعاع $r$ |
|---|---|---|
| $(x-2)^2+(y-5)^2=25$ | $(2,5)$ | $5$ |
| $(x+4)^2+(y-1)^2=4$ | $(-4,1)$ | $2$ |
| $x^2+(y+3)^2=7$ | $(0,-3)$ | $\sqrt{7}$ |
۳. نوشتن معادلهٔ استاندارد از روی مرکز و شعاع
اگر مرکز $(\alpha,\beta)$ و شعاع $r$ مشخص باشد، مستقیماً در فرمول جایگذاری میکنیم.
مثال ۳: دایرهای به مرکز $(-1,4)$ و شعاع $3$ را بنویسید.
با جایگذاری $\alpha=-1$ و $\beta=4$ و $r=3$ داریم:
۴. تبدیل معادلهٔ عمومی به استاندارد با روش تکمیل مربع
معادلهٔ عمومی دایره به شکل $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ است. برای یافتن مرکز و شعاع، باید آن را به فرم استاندارد تبدیل کنیم. این کار با تکمیل مربع برای متغیرهای $x$ و $y$ انجام میشود.
مثال گامبهگام: معادلهٔ $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ را در نظر بگیرید.
- گام ۱: جملات $x$ و $y$ را کنار هم مینویسیم: $(x^2-4x)+(y^2+6y)=3$
- گام ۲: برای $x$: ضریب $x$ برابر $-4$ است. نصف آن $-2$ و مربع آن $4$ میشود. $x^2-4x+4=(x-2)^2$
- گام ۳: برای $y$: ضریب $y$ برابر $6$ است. نصف آن $3$ و مربع آن $9$ میشود. $y^2+6y+9=(y+3)^2$
- گام ۴: به دو طرف معادله، مقادیر $4$ و $9$ را اضافه میکنیم: $(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9$
- گام ۵: ساده میکنیم: $(x-2)^2+(y+3)^2=16$
- نتیجه: مرکز $(2,-3)$ و شعاع $r=4$.
۵. کاربرد عملی: تعیین دایره از روی سه نقطه
در نقشهبرداری و طراحی، گاهی سه نقطه روی دایره مشخص است. برای یافتن معادلهٔ دایره، مختصات سه نقطه را در معادلهٔ عمومی $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ قرار میدهیم و دستگاه سه معادله را حل میکنیم. سپس با تکمیل مربع، مرکز و شعاع به دست میآید.
مثال عینی: نقاط $A(0,0)$، $B(4,0)$ و $C(0,3)$ روی یک دایره قرار دارند. با جایگذاری در معادلهٔ عمومی و حل دستگاه، به $D=-4$، $E=-3$ و $F=0$ میرسیم. معادله به صورت $x^2+y^2-4x-3y=0$ درمیآید. با تکمیل مربع: $(x-2)^2+(y-1.5)^2=6.25$ ⇒ مرکز $(2,1.5)$ و شعاع $2.5$.
۶. چالشهای مفهومی
چالش ۱: آیا معادلهٔ $x^2+y^2+2x+2y+5=0$ یک دایره است؟
پاسخ: با تکمیل مربع: $(x+1)^2-1+(y+1)^2-1+5=0 \Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=-3$. از آنجا که مجموع مربعات نمیتواند منفی باشد، این معادله هیچ نقطهٔ حقیقی ندارد و دایره نیست. شرط وجود دایره آن است که پس از تکمیل مربع، مقدار سمت راست (مجذور شعاع) مثبت باشد.
چالش ۲: چرا در معادلهٔ استاندارد از $(x-\alpha)$ استفاده میشود نه $(x+\alpha)$؟
پاسخ: این فرمول بر اساس فاصلهٔ نقطهٔ $(x,y)$ از مرکز $(\alpha,\beta)$ نوشته میشود. فاصلهٔ افقی برابر $|x-\alpha|$ است. اگر مرکز در سمت چپ مبدأ باشد (مانند $\alpha=-2$) آنگاه $x-(-2)=x+2$ ظاهر میشود. بنابراین شکل $(x+\text{عدد})$ در واقع همان $(x-(\text{عدد منفی}))$ است.
چالش ۳: اگر معادله به صورت $(x-2)^2+(y-1)^2=0$ باشد، چه شکلی دارد؟
پاسخ: در این حالت $r^2=0$ ⇒ $r=0$. معادله فقط در نقطهٔ $(2,1)$ صدق میکند. بنابراین دایره به یک نقطه (دایرهٔ تباهیده) تبدیل میشود. در تعریف استاندارد، دایره نیاز به شعاع مثبت دارد.
۷. جمعبندی
پاورقی
1 تکمیل مربع (Completing the Square): روشی جبری برای تبدیل یک عبارت درجه دوم به مجموع یک مربع کامل و یک جملهٔ ثابت.
2 فاصلهٔ اقلیدسی (Euclidean Distance): فاصلهٔ معمولی بین دو نقطه در صفحه با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
