خاصیت توزیعپذیری ضرب ماتریس نسبت به جمع: A(B+C) = AB + AC
شرایط ابعادی برای توزیعپذیری ضرب ماتریس
برای اینکه قانون توزیعپذیری $A(B+C)=AB+AC برقرار باشد، باید ابعاد ماتریسها به گونهای باشد که همه عملیات تعریف شوند. فرض کنید A ماتریسی به ابعاد $m \times n$ باشد. آنگاه B و C باید هر دو ابعاد $n \times p$ داشته باشند تا:
- جمع $B+C$ تعریف شود (همبعد بودن B و C)
- ضرب $A(B+C)$ تعریف شود (تعداد ستونهای A برابر تعداد سطرهای $B+C$ باشد)
- ضربهای $AB$ و $AC$ نیز به طور جداگانه تعریف شوند
مثال عملی: فرض کنید A یک ماتریس $2 \times 3$، B و C ماتریسهای $3 \times 4$ باشند. در این حالت، $B+C$ نیز $3 \times 4$ خواهد بود و ضرب $A(B+C)$ نتیجهای $2 \times 4$ میدهد. سمت راست نیز $AB$ و $AC$ هر دو $2 \times 4$ هستند و جمعشان همان نتیجه را میدهد.
اثبات گامبهگام قانون توزیعپذیری
برای اثبات $A(B+C)=AB+AC$، درایه $(i,j)$ دو سمت را با هم مقایسه میکنیم. فرض کنید A به ابعاد $m \times n$ و B و C به ابعاد $n \times p$ باشند.
گام اول: درایه $(i,j)$ ماتریس $A(B+C)$ از ضرب سطر $i$ام A در ستون $j$ام $B+C$ به دست میآید:
گام دوم: با استفاده از خاصیت توزیعپذیری اعداد حقیقی (یا مختلط) در جمع، جمله داخل جمع را باز میکنیم:
گام سوم: جمع را به دو جمع جداگانه تقسیم میکنیم:
گام چهارم: طبق تعریف ضرب ماتریس، جمع اول برابر $[AB]_{ij}$ و جمع دوم برابر $[AC]_{ij}$ است. بنابراین:
از آنجا که این برابری برای تمام $i,j$ برقرار است، تساوی ماتریسی $A(B+C)=AB+AC$ اثبات میشود.
مثال عددی عینی برای درک بهتر
فرض کنید ماتریسهای زیر را داریم:
ابتدا سمت چپ قانون را محاسبه میکنیم: $B+C = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$. سپس $A(B+C) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(6)+(2)(7) & (1)(6)+(2)(9) \\ (3)(6)+(4)(7) & (3)(6)+(4)(9) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6+14 & 6+18 \\ 18+28 & 18+36 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 24 \\ 46 & 54 \end{bmatrix}$.
حال سمت راست: $AB = \begin{bmatrix} (1)(5)+(2)(7) & (1)(6)+(2)(8) \\ (3)(5)+(4)(7) & (3)(6)+(4)(8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+14 & 6+16 \\ 15+28 & 18+32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$ و $AC = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(0) & (1)(0)+(2)(1) \\ (3)(1)+(4)(0) & (3)(0)+(4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. جمع آنها: $AB+AC = \begin{bmatrix} 19+1 & 22+2 \\ 43+3 & 50+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 24 \\ 46 & 54 \end{bmatrix}$ که دقیقاً با سمت چپ برابر است.
| ابعاد A | ابعاد B و C | قانون توزیع A(B+C) | وضعیت |
|---|---|---|---|
| $2 \times 3$ | $3 \times 4$ | برقرار است | مجاز |
| $2 \times 3$ | $2 \times 4$ | غیرقابل تعریف (جمع B+C ممکن نیست) | نامجاز |
| $3 \times 3$ | $3 \times 2$ | برقرار است | مجاز |
کاربرد عملی در حل دستگاه معادلات خطی
فرض کنید دستگاه معادلات خطی به صورت $AX = B$ داده شده است و میخواهیم جوابی به شکل $X = X_p + X_h$ (جواب خصوصی به اضافه جواب همگن) پیدا کنیم. با استفاده از قانون توزیع: $A(X_p + X_h) = AX_p + AX_h$. اگر $AX_p = B$ و $AX_h = 0$، آنگاه مجموع نیز جواب دستگاه است. این اصل پایه بسیاری از روشهای عددی در نرمافزارهای مهندسی مانند متلب1 است.
چالشهای مفهومی
خیر، شرط اصلی این است که ابعاد ماتریسها اجازه انجام عملیات را بدهند. اگر B و C همبعد نباشند، جمع آنها تعریف نشده و قانون توزیع معنا ندارد. همچنین اگر تعداد ستونهای A با تعداد سطرهای B برابر نباشد، ضرب تعریف نمیشود.
بله، $(B+C)A = BA + CA$ نیز برقرار است، اما باید دقت کنید که ترتیب ضرب اهمیت دارد. در حالت اول، A در سمت چپ جمع قرار دارد و در حالت دوم، A در سمت راست. به دلیل ناجابهجایی ضرب ماتریس، این دو قانون مستقل هستند و نمیتوان یکی را از دیگری نتیجه گرفت.
زیرا ضرب ماتریس بر اساس جمع حاصلضرب درایههای سطر در ستون تعریف میشود. اندیس $k$ روی ستونهای A (که با سطرهای B و C متناظر است) جمع میشود. این شیوه اثبات، ارتباط مستقیم با تعریف ضرب ماتریس دارد و کاملاً دقیق است.
پاورقی
1 متلب (MATLAB): یک محیط نرمافزاری برای محاسبات عددی و ماتریسی که پایه بسیاری از الگوریتمهای آن بر قوانین جبر خطی مانند توزیعپذیری استوار است.
