درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم الکتروتکنیک

واحد یادگیری 1: شناخت کمیت‌های مغناطیسی و سلف در جریان متناوب 

جریان الکتریکی، میدان مغناطیسی تولید می‌کند. اورستد اولین کسی بود که به بررسی ارتباط بنیادی میان جریان الکتریکی و مغناطیس پرداخت و نظریه الکترومغناطیس را ارائه کرد. وی برای تشریح این نظریه با قرار‌دادن یک عقربه مغناطیسی در تمام نقاط مختلف اطراف یک هادی حامل جریان مطابق شکل 1 مشاهده کرد عبور جریان الکتریکی باعث انحراف عقربه مغناطیسی می‌شود. و با تغییر جهت جریان الکتریکی در هادی جهت عقربه‌های مغناطیسی تغییر می‌کند.

جهت میدان مغناطیسی مدارهای هادی حامل جریان الکتریکی

برای تعیین جهت میدان الکترومغناطیسی اطراف هادی حامل جریان الکتریکی علاوه بر استفاده از عقربه مغناطیسی می‌توان از قانون شست (Thumb Rule) نیز استفاده کرد. برای این منظور مطابق شکل 2 باید شست دست راست را در جهت جریان الکتریکی هادی قرار داد تا بقیه انگشتان به‌صورت بسته جهت میدان الکترومغناطیسی را نشان دهند.
مشاهده می‌کنید مانند جهت جریان می‌توان جهت میدان مغناطیسی را نیز به کمک نقطه $\left(  \bullet  \right)$ و ضربدر $\left(  \times  \right)$ مشخص کرد.

چگالی فوران مغناطیسی اطراف یک هادی حامل جریان الکتریکی

اورستد در ادامه آزمایش‌های خود، هادی حامل جریان الکتریکی را از میان یک صفحه مقوایی عبور داد و بر روی صفحه مقوایی براده‌های آهن پاشید (شکل 3).

وی مشاهده کرد براده‌های آهن در مسیرهای دایره‌ای منظم شدند و هرچه از هادی فاصله می‌گیرند از فشردگی آنها کاسته می‌شود و این پدیده در سرتاسر طول هادی صادق است. برای درک این پدیده برشی از فضای اطراف هادی در سطح مقطع A در شکل 4 نشان داده شده است.

دو ناحیه ${A_1}$ و ${A_2}$ با مقاطع مساوی به فاصله ${r_1}$ و ${r_2}$ از هادی در سطح مقطع A بزرگ‌نمایی شده‌اند. چگالی فوران مغناطیسی ناحیه ${A_2}$ که در فاصله دورتری نسبت به ناحیه ${A_1}$ از هادی واقع است کمتر می‌باشد. پس با افزایش فاصله از هادی حامل جریان، میدان مغناطیسی ضعیف‌تر می‌شود و چگالی فوران مغناطیسی B کاهش می‌یابد.

محاسبه چگالی فوران مغناطیسی اطراف یک هادی حامل جریان الکتریکی

آمپر و ماکسول دانشمندانی بودند که ثابت کردند چگالی فوران مغناطیسی B اطراف هادی حامل جریان با شدت جریان الکتریکی هادی نسبت مستقیم و با فاصله از هادی نسبت عکس دارد و رابطه زیر را برای تعیین مقدار چگالی فوران مغناطیسی B در نقطه‌ای به فاصله r از یک هادی حامل جریان به شدت I را بر اساس شکل 5 ارائه کردند.

$B = k\frac{I}{r}$

در این رابطه:
$B$ چگالی فوران میدان مغناطیسی برحسب $\left[ {\frac{{wb}}{{{m^2}}}} \right]$ یا تسلا $\left[ T \right]$
$K$ ضریبی است که به محیط اطراف هادی بستگی دارد و برای هوا مقدار آن $2 \times {10^{ - 7}}$ برحسب $\left[ {\frac{{wb}}{{A.m}}} \right]$ است.
$I$ شدت جریان الکتریکی هادی برحسب $\left[ A \right]$
$r$ فاصله از هادی برحسب $\left[ m \right]$ است.

مثال: چگالی فوران میدان مغناطیسی در نقطه‌ای به فاصله $1cm$ از هادی حامل جریان $10A$ چند گاوس است؟

حل: واحد فاصله بر حسب متر تبدیل می‌شود.

$\frac{{1m}}{r} = \frac{{100cm}}{{1cm}}$
$r = \frac{{1 \times 1}}{{100}} = 0/01m$

چگالی میدان مغناطیسی از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$B = k\frac{I}{r}$
$B = 2 \times {10^{ - 7}} \times \frac{{10}}{{0/01}} = 2 \times {10^{ - 4}}\left[ {\frac{{wb}}{{{m^2}}}} \right]$

یا

$B = 2 \times {10^{ - 4}}\left[ T \right]$

واحد چگالی فوران مغناطیسی به گاوس تبدیل می‌شود:

$\frac{{1T}}{{2 \times {{10}^{ - 4}}T}} = \frac{{{{10}^4}G}}{B}$
$B = \frac{{2 \times {{10}^{ - 4}} \times {{10}^4}}}{1} = 2\left[ G \right]$

میدان مغناطیسی سیم‌پیچ حامل جریان الکتریکی

میدان مغناطیسی هادی حامل جریان الکتریکی در سرتاسر دو طرف هادی توزیع می‌شود و متمرکز نیست و مقدار چگالی فوران مغناطیسی B در هر نقطه از اطراف هادی متغیر و کم است. اگر هادی حامل جریان الکتریکی به صورت سیم‌پیچ در آورده شود ضمن اینکه این میدان مغناطیسی در درون سیم‌پیچ متمرکز می‌شود، چگالی فوران مغناطیسی B نیز افزایش می‌یابد (شکل 6).

سیم‌پیچ از پیچیدن چند دور هادی به وجود می‌آید. (شکل 7).

سیم‌پیچ را بوبین نیز میگویند. انواع سیم‌پیچ در شکل 8 نشان داده شده است.

با قراردادن سیم‌پیچ بر روی یک هسته از جنس مواد فرومغناطیس (Ferro magnetic) مطابق شکل 9 و عبور جریان الکتریکی از آن، میدان الکترومغناطیسی با چگالی B بیشتری نسبت به سیم‌پیچ با هسته هوا ایجاد می‌شود. هسته فرومغناطیس باعث می‌شود، میدان الکترومغناطیسی درون سیم‌پیچ متمرکزتر شود، لذا چگالی فوران مغناطیسی افزایش می‌یابد. مواد فرومغناطیسی خواص آهنربایی از خود نشان می‌دهند. آهن و آلیاژهای آهن، مواد فرومغناطیس هستند.

جهت میدان الکترومغناطیسی سیم‌پیچ حامل جریان الکتریکی

جهت میدان الکترومغناطیسی سیم‌پیچ حامل جریان الکتریکی از قاعده دست راست (Right-hand rule) تعیین می‌شود بدین منظور مطابق شکل 10 اگر انگشتان دست راست در جهت جریان الکتریکی سیم‌پیچ قرار گیرد شست جهت میدان الکترومغناطیسی را نشان می‌دهد. با تعیین جهت میدان الکترومغناطیسی محل قطب‌های N و S مشخص می‌شود. طبق قرارداد محل خروج فوران مغناطیسی را با حرف N و محل ورود آن را با حرف S نشان می‌دهند.

جهت میدان مغناطیسی سیم‌پیچ نیز تابع جهت جریان سیم‌پیچ است و با تغییر جهت جریان، جهت میدان مغناطیسی تغییر می‌کند (شکل 11).

مثال: سیم‌پیچ حامل جریان الکتریکی (شکل 12) میدان الکترومغناطیسی با فوران $3/14mwb$ در هسته تولید می‌کند. چگالی فوران مغناطیسی در هسته چند تسلا است؟

حل: چگالی فوران از رابطه $\varphi  = \frac{B}{A}$ به‌دست می‌آید. ابتدا واحد فوران را به وبر تبدیل می‌کنیم و سپس مساحت سطح مقطع  A را محاسبه می‌کنیم:

$\frac{{1wb}}{\varphi } = \frac{{{{10}^3}mwb}}{{3/14}} \Rightarrow \varphi  = \frac{{3/14}}{{{{10}^3}}} = 3/14 \times {10^{ - 3}}\left[ {wb} \right]$
$A = \frac{{\pi {d^2}}}{4}$
$A = \frac{{\pi {{\left( 2 \right)}^2}}}{4} = 3/14\left[ {c{m^2}} \right]$
$\frac{{1{m^2}}}{A} = \frac{{{{10}^4}c{m^2}}}{{3/14}} \Rightarrow A = \frac{{1 \times 3/14}}{{{{10}^4}}} = 3/14 \times {10^{ - 4}}\left[ {{m^2}} \right]$
$B = \frac{\varphi }{A}$
$B = \frac{{3/14 \times {{10}^{ - 3}}}}{{3/14 \times {{10}^{ - 4}}}} = 10\left[ {\frac{{wb}}{{{m^2}}}} \right] = 10\left[ T \right]$

ضریب نفوذ مغناطیسی

ضریب نفوذ مغناطیسی $\mu $ معیاری است که میزان گذردهی هسته را در مقابل خطوط نیروی مغناطیسی نشان می‌دهد. میدان مغناطیسی سیم‌پیچ حامل جریان $I$ با هسته هوا در (شکل 13) نشان داده شده است.

اگر درون این سیم‌پیچ هسته فرومغناطیس قرار داده شود چگالی فوران مغناطیسی B در هسته به شدت افزایش می‌یابد (شکل 14).

از مقایسه (شکل‌های 13 و 14) می‌توان نتیجه گرفت. هسته فرومغناطیس نسبت به هسته هوا ضریب نفوذ مغناطیسی $\mu $ بزرگتری دارد و چگالی فوران مغناطیسی بزرگتری به‌دست می‌آید.

قانون القای الکترومغناطیسی فارادی (Michael Faraday)

«قانون القای الکترومغناطیسی فارادی» یکی از اساسی‌ترین قوانین مغناطیسی در فیزیک است. طرز کار وسایل الکتریکی که الکترومغناطیس در آنها نقش دارد به کمک قانون القای الکترومغناطیسی فاراده قابل فهم است؛ قانون القای الکترومغناطیس فاراده در تحلیل طرز کار وسایل تبدیل انرژی الکترومکانیکی اعم از موتور یا ژنراتور کاربرد فراوان دارد.

قانون القای الکترومغناطیسی فاراده و روابط حاکم بر آن را می‌توان با انجام چند آزمایش به‌دست آورد.

آزمایش 1: مداری متشکل از یک حلقه هادی که دو سر آن به یک گالوانومتر متصل است در شکل 15 نشان داده شده است.

اگر یک آهنربای دائم از طرف قطب N آن مطابق شکل 16 داخل حلقه شود، عقربه گالوانومتر منحرف می‌شود. انحراف عقربه گالوانومتر به معنای عبور جریان از گالوانومتر است.

درصورتی‌که آهنربای دائم نسبت به حلقه، مطابق شکل 17 حرکتی نداشته باشد، عقربه گالوانومتر منحرف نخواهد شد.

وقتی‌که آهنربای دائم از حلقه، مطابق شکل 18 دور شود، عقربه گالوانومتر در جهت عکس حالت قبل منحرف می‌شود. یعنی جهت جریان در حلقه تغییر کرده است.

در ادامه آزمایش اگر قطب S آهنربای دائم مطابق شکل 19 داخل حلقه شود، عقربه گالوانومتر برخلاف حالتی که قطب N وارد حلقه شد منحرف می‌گردد.

در این حالت نیز درصورتی‌که آهنربای دائم نسبت به حلقه، مطابق شکل 20 حرکتی نداشته باشد، عقربۀ گالوانومتر منحرف نخواهد شد.

بدین‌ترتیب در این آزمایش پدیده‌ای مشاهده می‌شود که در اثر حرکت آهنربای دائم نسبت به حلقه به وجود آمده است.

در آزمایش 1 جریانی که در حلقه برقرار می‌شود را «جریان القایی» (Induced Current) می‌نامند. می‌دانید عامل جاری‌شدن جریان در هر مدار الکتریکی نیروی محرکه (E) است. جریان القایی نیز ناشی از یک نیروی محرکه است که آن را «نیروی محرکه القایی» (Electro Motive Force) می‌نامند. نیروی محرکه القایی را به اختصار با EMF نشان می‌دهند.

فاراده با آزمایش‌هایی نظیر این آزمایش، توانست قانونی به دست آورد که به «قانون القای الکترومغناطیسی فاراده» مشهور شد. وی بر اساس این آزمایش‌ها متوجه شد که تغییر فوران مغناطیسی عامل ایجاد نیروی محرکه القایی است؛ لذا قانون القای الکترومغناطیس فاراده را چنین تعریف کرد:

«مقدار نیروی محرکه القایی در هر مدار با آهنگ تغییر فوران متناسب است.»

فاراده به کمک این قانون برای محاسبه مقدار نیروی محرکه القایی رابطه ریاضی زیر را ارائه کرد. این رابطه بیان ریاضی قانون القای الکترومغناطیسی فاراده است.

$e\alpha \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}$

در این رابطه:
${\Delta \varphi }$ تغییرات فوران مغناطیسی بر حسب وبر $\left[ {wb} \right]$
${\Delta t}$ مدت زمان وقوع تغییرات فوران مغناطیسی بر حسب ثانیه $\left[ s \right]$
$e$ نیروی محرکه القایی بر حسب ولت $\left[ V \right]$ است.

نیروی محرکه القایی e در عمل بسیار حائز اهمیت است. چراغ‌های اتاقی که در آن، این کتاب را می‌خوانید با استفاده از نیروی محرکۀ القایی حاصل از یک ژنراتور روشن می‌شوند.

اگر به‌جای استفاده از یک حلقه سیم، از سیم‌پیچی با N حلقه، آزمایش فاراده تکرار شود، در هر حلقه سیم‌پیچ نیروی محرکه القایی ایجاد می‌شود و این نیروهای محرکه با یکدیگر جمع می‌شوند تا نیروی محرکه القایی سیم‌پیچ به‌دست آید؛ لذا مقدار نیروی محرکه القایی در سیم‌پیچ از رابطه زیر تعیین می‌شود.

$e = N\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}$

نیروی محرکه القایی e جریان القایی در سیم‌پیچ جاری می‌کند که از رابطه زیر به‌دست می‌آید: 

مثال: فوران یک سیم‌پیچ 1000 دوری در مدت 10 میلی‌ثانیه به اندازه 5 میلی‌وبر افزایش می‌یابد. مقدار نیروی محرکه القایی سیم‌پیچ چند ولت است. اگر یک مقاومت $1000\Omega $ به سیم‌پیچ وصل شود جریان آن چند آمپر خواهد بود؟ (از مقاومت سیمپیچ صرف‌نظر شود)

حل:

$e = N\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = 1000 \times \frac{{5\left[ {mw} \right]}}{{10\left[ {ms} \right]}} = 500\left[ V \right]$
$i = \frac{V}{R} = \frac{{500}}{{1000}} = 0/5\left[ A \right]$

آزمایش 2: حلقه هادی متصل به یک گالوانومتر در بیرون میدان مغناطیسی B ناشی از دو قطب N و S یک آهنربای قوی در شکل 21 نشان داده شده است. حلقه در جهت نشان داده شده از درون میدان مغناطیسی عبور داده می‌شود.

با حرکت حلقه در هنگام ورود به میدان مغناطیسی، فورانی که از سطح حلقه می‌گذرد افزایش می‌یابد و هنگام خروج از میدان مغناطیسی، فورانی که از سطح حلقه می‌گذرد کاهش می‌یابد و به صفر می‌رسد. این تغییر فوران طبق قانون القای الکترومغناطیسی فاراده در حلقه نیروی محرکه القا می‌کند و گالوانومتر منحرف می‌شود.

لحظه ورود حلقه به درون میدان مغناطیسی را شکل 22 نشان می‌دهد. در این لحظه فوران مغناطیسی بخشی از سطح حلقه را می‌پوشاند. تصویر حلقه روی قطب S این موضوع را نشان می‌دهد.

هر چه حلقه بیشتر وارد میدان مغناطیسی می‌شود فوران بیشتری سطح حلقه را می‌پوشاند (شکل 23).

این تغییر فوران طبق قانون فاراده نیروی محرکه القایی در حلقه ایجاد می‌کند. لذا گالوانومتر منحرف می‌شود.

شکل 24 لحظه‌ای را نشان می‌دهد که حلقه به‌صورت کامل وارد میدان مغناطیسی شده است.

تصویر حلقه روی قطب S این موضوع را نشان می‌دهد. با اینکه تمام فوران مغناطیسی سطح حلقه را پوشانده است اما حرکت حلقه در این لحظه موجب تغییر فوران در سطح حلقه نخواهد شد. لذا در آن نیروی محرکه القا نمی‌شود و گالوانومتر صفر را نشان می‌دهد.

لحظه خروج حلقه در شکل 25 نشان داده شده است.

در این لحظه فوران مغناطیسی بخشی از سطح حلقه را می‌پوشاند و دوباره تغییرات فوران در سطح حلقه ایجاد می‌شود. بنابراین در حلقه نیروی محرکه القا می‌شود و گالوانومتر را در جهت مخالف منحرف می‌کند. در لحظه خروج حلقه از میدان مغناطیسی فورانی که سطح حلقه را می‌پوشاند رو به کاهش است در صورتی که در زمان ورود حلقه به میدان مغناطیسی فورانی که سطح حلقه را می‌پوشاند رو به افزایش بوده است. لذا گالوانومتر به هنگام خروج حلقه از میدان مغناطیسی، برخلاف جهت ورود حلقه به میدان مغناطیسی، منحرف می‌شود.

لحظه خروج حلقه از میدان مغناطیسی در شکل 26 نشان داده شده است.

مشاهده می‌شود سطحی از حلقه که توسط فوران پوشانده شده است رو به کاهش است. لذا تغییرات فوران در سطح حلقه، در آن نیروی محرکه القا می‌کند و عقربه گالوانومتر را منحرف خواهد کرد.

خروج کامل حلقه از میدان مغناطیسی در شکل 27 نشان داده شده است. در این لحظه فورانی از سطح حلقه نمی‌گذرد و تغییرات فوران آن به صفر رسیده است لذا در آن نیروی محرکه القا نمی‌شود و گالوانومتر صفر را نشان می‌دهد.

قانون لنز

در پدیده القای الکترومغناطیسی پلاریته نیروی محرکه القایی و جهت جریان القایی مشخص نشد. پلاریته نیروی محرکه القایی و جهت جریان القایی با استفاده از «اصل بقای انرژی» تعیین خواهد شد. در این مبحث اصل بقای انرژی به‌صورت «قانون لنز» بیان می‌شود که توسط آقای لنز در سال 1834 میلادی ارائه گردید. طبق این قانون:
«جریان القایی در جهتی برقرار می‌شود که با عامل به‌وجود آورنده خود مخالفت کند.»

قانون لنز در مورد جریان‌های القایی به کار می‌رود. از آنجایی که جریان در مدار بسته جاری می‌شود، لذا قانون لنز در مدارهای بسته کاربرد پیدا می‌کند.

در (شکل 28) مقطع یک حلقه هادی و یک آهنربا نشان داده شده است. هنگامی‌که قطب N آهنربا به طرف حلقه «حرکت» داده می‌شود، مطابق آزمایش 1 فاراده، جریان القایی در حلقه جاری می‌شود. این جریان، میدان مغناطیسی در اطراف حلقه تولید خواهد نمود.

طبق قانون لنز جهت جریان القایی به گونه‌ای است که با عامل به‌وجودآورنده‌اش مخالفت می‌کند؛ بدین معنی که میدان مغناطیسی ناشی از جریان القایی با حرکت آهنربا به سمت حلقه مخالفت خواهد کرد. یعنی قطب N میدان حلقه مقابل قطب N آهنربا قرار می‌گیرد تا با ایجاد نیروی دافعه مانع حرکت آهنربا به سمت حلقه شود. با مشخص‌شدن محل قطب‌های N و S اطراف حلقه جهت میدان مغناطیسی آن تعیین می‌شود. اکنون بنا به قانون دست راست مطابق (شکل 29) جهت جریان القایی تعیین می‌شود.

وقتی آهنربا به طرف حلقه «حرکت» می‌کند، جریان القایی ظاهر می‌شود. به بیان قانون القای الکترومغناطیسی فاراده، این «حرکت‌دادن» همان «تغییر فوران» است که جریان القایی را تولید می‌کند و طبق قانون لنز میدان مغناطیسی ناشی از جریان القایی با این «حرکت‌دادن» مخالفت خواهد کرد.

اگر آهنربا مطابق (شکل 30) به عقب حرکت داده شود، مطابق آزمایش 1 فاراده نیز در این حالت جریان القایی در حلقه جاری می‌شود و طبق قانون لنز، میدان مغناطیسی ناشی از این جریان القایی نیز با عامل به‌وجودآورنده‌اش که همان «حرکت رو به عقب» آهنربا است مخالفت خواهد کرد؛ یعنی میدان حلقه، قطب S خود را در مقابل قطب N آهنربا قرار می‌دهد تا با ایجاد نیروی جاذبه مانع حرکت آهنربا شود.

با مشخص‌شدن محل قطب‌های N و S اطراف حلقه، جهت میدان مغناطیسی آن تعیین می‌شود. اکنون بنا به قانون دست راست مطابق (شکل 31) جهت جریان القایی حلقه تعیین می‌شود.

با توجه به (شکل‌های 29 و 31) مشاهده می‌شود جهت میدان مغناطیسی حلقه ناشی از جریان القایی همواره به‌گونه‌ای است که با «حرکت» آهنربا مخالفت می‌کند.

«حرکت» آهنربا به سمت حلقه یا دورشدن از حلقه همیشه تحت تأثیر نیروی مقاوم میدان مغناطیسی حلقه قرار می‌گیرد. از این رو لازم است نیرویی که صرف حرکت آهنربا می‌گردد کار انجام دهد.

به نظر شما کار انجام‌شده برای حرکت آهنربا به چه انرژیای تبدیل می‌شود؟

جهت میدان مغناطیسی جریان القایی به گونه‌ای است که همواره با عامل به‌وجودآورنده‌اش، «حرکت آهنربا» مخالفت می‌کند. این مخالفت در رابطه قانون القای الکترومغناطیسی فاراده با یک علامت منفی به‌صورت رابطه زیر نشان داده می‌شود.

$e =  - N\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}$

علامت منفی بیانگر همان قانون لنز است که در محاسبات دخالت داده نمی‌شود. لذا e به‌عنوان «نیروی ضدمحرکه القایی» معرفی می‌شود تا مخالفت آن بر اساس قانون لنز در نام آن گنجانیده شده باشد. نیروی ضدمحرکه القایی را به اختصار با Cemf نشان می‌دهند.

خودالقایی

خودالقایی القای الکترومغناطیسی ناشی از تغییرات فوران خود هادی می‌باشد. پدیده خودالقایی ناشی از تغییرات جریان نسبت به زمان ایجاد می‌شود. با عبور جریان از یک هادی در اطراف آن میدان مغناطیسی ایجاد می‌شود (شکل 32).

تغییر جریان هادی باعث تغییر میدان مغناطیسی اطراف آن خواهد شد. تغییر میدان مغناطیسی طبق قانون القای الکترومغناطیسی فاراده درون هادی نیروی محرکه القا می‌نماید. که آن را نیروی محرکه خودالقایی گویند. طبق قانون لنز «نیروی محرکه خودالقایی» با عامل به‌وجود آورنده‌اش، تغییرات جریان مخالفت می‌نماید. پدیده خودالقایی در سیم‌پیچ‌ها نیز همانند پدیده خودالقایی توضیح داده می‌شود.

نیروی محرکه خودالقایی متناسب با تغییرات جریان نسبت به زمان است و با رابطه زیر بیان می‌شود.

$e\alpha \frac{{\Delta i}}{{\Delta t}}$

برای تبدیل تناسب به تساوی در رابطه زیر از ضریبی به‌نام «ضریب خودالقایی» که با حرف L نشان داده می‌شود استفاده می‌شود.

$e = L\frac{{\Delta i}}{{\Delta t}}$

واحد ضریب خودالقایی  می‌باشد و آن را «هانری» گویند و با H نشان می‌دهند. یک هانری ضریب خودالقایی هادی یا سیم‌پیچی است که هرگاه در مدت یک ثانیه جریان آن یک آمپر تغییر کند نیروی محرکه خودالقایی یک ولت ایجاد شود.

مثال: جریان یک سیم‌پیچ با ضریب خودالقایی 0/5 هانری در مدت 0/2 ثانیه از صفر به 2 آمپر می‌رسد. نیروی محرکه خودالقایی چند ولت است؟

حل: تغییرات جریان برابر است با

$\Delta i = 2 - 0 = 2\left[ A \right]$

تغییرات زمان برابر است با:

$\Delta t = 0/2\left[ s \right]$

از رابطه زیر نیروی محرکه خودالقایی به‌دست می‌آید: 

$e = L\frac{{\Delta i}}{{\Delta t}}$
$e = 0/1 \times \frac{2}{{0/2}} = 1\left[ v \right]$

مثال: در مدار شکل 33 در صورت بازشدن کلید مقدار نیروی محرکه خودالقایی سیم‌پیچ در مدت 0/5 ثانیه چند ولت است؟

حل: تغییرات جریان برابر است با:

$\Delta i = 0 - 2 =  - 2\left[ A \right]$

تغییرات زمان برابر است با:

$\Delta t = 0/5\left[ s \right]$

از رابطه فوق نیروی محرکه خودالقایی به‌دست می‌آید:

$e = L\frac{{\Delta i}}{{\Delta t}}$
$e = 0/5 \times \frac{{ - 2}}{{0/5}} =  - 2\left[ v \right]$

برای محاسبه ضریب خودالقایی سیم‌پیچ از رابطه زیر استفاده می‌شود.

$L = \frac{{\mu {N^2}A}}{\ell }$

که در این رابطه:
$L$ ضریب خودالقایی سیم‌پیچ $\left[ H \right]$
$\mu $ ضریب نفوذ مغناطیسی $\left[ {\frac{{Wb}}{{A.m}}} \right]$
$N$ تعداد حلقه‌های سیم‌پیچ
$A$ سطح مقطع هسته سیم‌پیچ $\left[ {{m^2}} \right]$
$\ell $ طول متوسط هسته $\left[ m \right]$ است.

مثال: ضریب خودالقایی سیم‌پیچ شکل 34 را به‌دست آورید.

$\left( {\mu  = 2 \times {{10}^{ - 5}}\frac{{Wb}}{{A.m}}} \right)$

حل: از رابطه فوق داریم:

$L = \frac{{\mu {N^2}A}}{\ell }$
$L = \frac{{2 \times {{10}^{ - 5}} \times {{1000}^2} \times 0/05}}{{0/2}} = 1\left[ H \right]$

مدار الکتریکی معادل سیم‌پیچ

سیم‌پیچ علاوه بر ضریب خودالقایی L، مقاومت الکتریکی اهمی R نیز دارد. مقاومت الکتریکی اهمی ناشی از طول و سطح مقطع هادی سیم‌پیچ است و ضریب خودالقایی ناشی از نیروی محرکه خودالقایی می‌باشد که در اثر تغییرات جریان به‌وجود می‌آید. برای سیم‌پیچ مدار الکتریکی شامل اتصال سری مقاومت الکتریکی اهمی R و ضریب خودالقایی L معادل می‌نمایند (شکل 34).

سیم‌پیچ در جریان متناوب

سیم‌پیچ در جریان متناوب علاوه بر مقاومت الکتریکی اهمی R، به دلیل تغییرات جریان ناشی از فرکانس نیروی محرکه خودالقایی نیز در آن به‌وجود می‌آید.

جریان متناوب باعث ایجاد فوران در سیم‌پیچ می‌شود و نیروی محرکه خودالقایی ایجاد می‌کند. این نیروی محرکه خودالقایی با جاری‌شدن جریان در سیم‌پیچ مخالفت می‌نماید. مخالفت سیم‌پیچ در مقابل عبور جریان متناوب الکتریکی ناشی از اثر خودالقایی را «مقاومت القایی» گویند و با ${X_L}$ نشان می‌دهند و واحد آن اهم است. مقاومت القایی با ضریب خودالقایی ارتباط دارد و از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

${X_L} = 2\pi fL$

در این رابطه:
${X_L}$ مقاومت القایی $\left[ \Omega  \right]$
$f$ فرکانس $\left[ {HZ} \right]$
$L$ ضریب خودالقایی $\left[ H \right]$ است.

مثال: مقاومت القایی یک سلف $10mH$ در فرکانس 50 و 60 هرتز چند اهم است؟

حل:

${X_L} = 2\pi fL$
${X_L} = 2 \times 3/14 \times 50 \times 10 \times {10^{ - 3}} = 3/14\left[ \Omega  \right]$
${X_L} = 2 \times 3/14 \times 60 \times 10 \times {10^{ - 3}} = 3/768\left[ \Omega  \right]$

سلف

سلف، سیم‌پیچی است که از مقاومت الکتریکی R در مقایسه با مقاومت القایی ${X_L}$ آن صرف‌نظر شده است. در مدارات الکتریکی سلف‌ها به صورت سری یا موازی با یکدیگر اتصال پیدا می‌کنند.

الف) اتصال سری سلف‌ها

در اتصال سری سلف‌ها، ضریب خودالقایی کل برابر مجموع همه ضریب خودالقایی‌های موجود در مدار است که از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

${L_{eq}} = {L_1} + {L_2} + ... + {L_n}$

مثال: سه سلف با ضریب خودالقایی 2 و 4 و 6 میلی‌هانری به‌صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند. ضریب خودالقایی کل را به‌دست آورید.

حل: از رابطه زیر داریم:

${L_{eq}} = {L_1} + {L_2} + {L_3}$
${L_{eq}} = 2 + 4 + 6 = 12\left[ {mH} \right]$

ب) اتصال موازی سلف‌ها

در اتصال موازی سلف‌ها ضریب خودالقایی کل از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_2}}} + ... + \frac{1}{{{L_n}}}$

مثال: سه سلف با ضریب خودالقایی 4 و 6 و 12 میلی‌هانری به‌صورت موازی به یکدیگر متصل شده‌اند. ضریب خودالقایی کل را به‌دست آورید.

حل: از رابطه زیر داریم:

$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_2}}} + \frac{1}{{{L_3}}}$
$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}}$
$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{{3 + 2 + 1}}{{12}}$
$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{6}{{12}}$
$\frac{1}{{{L_{eq}}}} = \frac{{1 \times 12}}{6} = 2\left[ {mH} \right]$

همچنین، برای محاسبه مقاومت القایی معادل در مدارهای سری و موازی نیز می‌توان مشابه محاسبه ضریب خودالقایی معادل سلف عمل کرد. روابط محاسبه مقاومت القایی معادل، در مدار سری و موازی به‌صورت زیر است:

مدار سری:

${X_{{L_{eq}}}} = {X_{{L_1}}} + {X_{{L_2}}} + ... + {X_{{L_n}}}$

مدار موازی:

$\frac{1}{{{X_{{L_{eq}}}}}} = \frac{1}{{{X_{{L_1}}}}} + \frac{1}{{{X_{{L_2}}}}} + ... + \frac{1}{{{X_{{L_n}}}}}$

مثال: دو سلف با اتصال سری در یک مدار الکتریکی دارای مقاومت القایی 3 و 6 اهم می‌باشد. مقاومت القایی کل چند اهم است؟

حل: از رابطه زیر داریم:

${X_{{L_{eq}}}} = {X_{{L_1}}} + {X_{{L_2}}}$
${X_{{L_{eq}}}} = 3 + 6 = 9\left[ \Omega  \right]$

مثال: دو سلف با اتصال موازی در یک مدار الکتریکی دارای مقاومت القایی 3 و 6 اهم می‌باشند. مقاومت القایی کل چند اهم است؟

حل: از رابطه زیر داریم:

$\frac{1}{{{X_{{L_{eq}}}}}} = \frac{1}{{{X_{{L_1}}}}} + \frac{1}{{{X_{{L_2}}}}}$
$\frac{1}{{{X_{{L_{eq}}}}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{{{X_{{L_{eq}}}}}} = 2\left[ \Omega  \right]$

منحنی جریان و ولتاژ سلف در جریان متناوب

جریان سلف از ولتاژ دو سر آن ${90^ \circ }$ عقب‌تر است لذا سلف را یک عنصر «پس فاز» می‌شناسند. منحنی ولتاژ و جریان یک سلف در اتصال به منبع متناوب سینوسی در شکل 36 نشان داده شده است که در آن ${\theta _i} =  - {90^ \circ }$ و ${\theta _V} = 0$ می‌باشد.

با توجه به شکل 36 معادلات زمانی ولتاژ و جریان به‌صورت زیر خواهد شد:

$v\left( t \right) = {V_m}\sin \left( {\omega t + 0} \right)$
$v\left( t \right) = {I_m}\sin \left( {\omega t - {{90}^ \circ }} \right)$

و زاویه اختلاف فاز برابر خواهد شد:

$\varphi  = {\theta _V} - {\theta _i}$
$\varphi  = 0 - \left( { - 90} \right) =  + 90$

مثال: در مدار شکل 37 مطلوب است:

الف) مقاومت القایی سلف
ب) جریان سلف
ج) معادله زمانی جریان سلف

$V\left( t \right) = 50\sin \left( {1000t} \right)$

حل:

الف) از رابطه ${x_L}$ داریم: 

${x_L} = 2\pi fL = \omega L$
${x_L} = 1000 \times 10 \times {10^{ - 3}} = 10\left[ \Omega  \right]$

ب) از قانون اهم داریم:

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_m} = \frac{{{V_m}}}{{{x_L}}} = \frac{{50}}{{10}} = 5\left[ A \right]$

از رابطه جریان مؤثر به‌دست می‌آید.

${I_{rms}} = \frac{{{I_m}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = 3/54\left[ A \right]$

ج) جریان سلف از ولتاژ دو سر آن عقب‌تر است و داریم:

$i\left( t \right) = {I_m}\sin \left( {\omega t + \theta i} \right)$
$i\left( t \right) = 5\sin \left( {1000t + {{90}^ \circ }} \right)$

انرژی سلف

سلف انرژی الکتریکی را به‌صورت میدان مغناطیسی در خود ذخیره می‌سازد و ماکزیمم انرژی ذخیره شده در سلف از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

${W_L} = \frac{1}{2}LI_m^2$

که در این رابطه:
${W_L}$ ماکزیمم انرژی ذخیره‌شده در سلف $\left[ j \right]$
$L$ ضریب خودالقایی $\left[ H \right]$
${I_m}$ ماکزیمم جریان سلف $\left[ A \right]$ است.

مثال: از یک سلف با ضریب خودالقایی 0/2 هانری جریان متناوب سینوسی به معادله زمانی $i\left( t \right) = 4\sin \left( {500t - {{90}^ \circ }} \right)$ می‌گذرد. ماکزیمم انرژی ذخیره‌شده در سلف چند ژول است؟

حل: از رابطه داریم:

${W_L} = \frac{1}{2}LI_m^2$
${W_L} = \frac{1}{2}\left( {0/2} \right){\left( 4 \right)^2} = 1/6\left[ j \right]$

توان الکتریکی سلف

توان الکتریکی سلف صرف ذخیره‌سازی انرژی الکتریکی می‌شود، مقدار انرژی ذخیره‌شده در واحد زمان در سلف را «توان الکتریکی سلف» می‌گویند. 

توان الکتریکی سلف قادر به تبدیل‌کردن انرژی الکتریکی نیست لذا آن را «توان غیرمؤثر» یا «توان راکتیو» نیز می‌گویند و با حرف ${Q_L}$ نشان می‌دهند و واحد آن «ولت آمپرراکتیو» «VAR» است. توان الکتریکی سلف از رابطه زیر به‌دست می‌آید و آن را با علامت مثبت نشانه‌گذاری می‌کنند.

${Q_L} =  + {X_L}I_L^2$

که در این رابطه: 
${Q_L}$ توان الکتریکی سلف $\left[ {VAR} \right]$
${X_L}$ مقاومت القایی سلف $\left[ \Omega  \right]$
${I_L}$ جریان سلف $\left[ A \right]$ است.

مثال: یک سلف با مقاومت القایی 4 اهم با جریان مؤثر 3 آمپر مفروض است. توان الکتریکی سلف چقدر است؟

حل: از رابطه توان الکتریکی سلف داریم:

${Q_L} =  + {X_L}I_L^2$
${Q_L} =  + 4 \times {3^2} =  + 36\left[ {VAR} \right]$

واحد یادگیری 2: شناخت خازن در جریان متناوب

خازن

خازن تشکیل شده است از دو صفحه هادی که بین آنها عایق (Dielectric) قرار دارد (شکل 38- الف). عایق خازن‌ها را «دی‌الکتریک» نیز می‌گویند. جنس دی‌الکتریک می‌تواند هوا، خلأ، کاغذ، میکا و... باشد.

خازن را با علامت اختصاری شکل 38- ب نشان می‌دهند.

خازن در لغت به معنای ذخیره‌ساز است زیرا انرژی الکتریکی را به‌صورت میدان الکترواستاتیکی در خود ذخیره می‌کند.

ظرفیت خازن

ظرفیت خازن نسبت بار الکتریکی ذخیره‌شده به اختلاف پتانسیل صفحات می‌باشد و آن را با C‌ نشان می‌دهند و واحد آن  می‌باشد که به احترام مایکل فاراد به آن «فاراد» گویند و با حرف F نشان می‌دهند.

یک فاراد ظرفیت خازنی است که هرگاه اختلاف پتانسیل یک ولت بین صفحات آن ایجاد شود بار الکتریکی یک کولن در آن ذخیره شده است. ظرفیت خازن از رابطه زیر به دست می‌آید.

$C = \frac{q}{V}$

در این رابطه:
$C$ ظرفیت خازن برحسب فاراد $\left[ F \right]$
$q$ بار ذخیره شده برحسب کولن $\left[ C \right]$
$V$ اختلاف پتانسیل برحسب ولت $\left[ V \right]$ است.

مثال: یک خازن در اثر اعمال 20 ولت به دو سر آن بار الکتریکی معادل 80 کولن را ذخیره می‌کند. ظرفیت خازن چقدر است؟

حل:

$C = \frac{q}{V}$
$C = \frac{{80}}{{20}} = 4\left[ F \right]$

مثال: خازنی با ظرفیت $40\mu F$ را به ولتاژ 50 ولت اتصال می‌دهیم. مقدار بار الکتریکی ذخیره‌شده چقدر است؟

حل:

$q = CV$
$q = 40 \times {10^{ - 6}} \times 50 = 2000\left[ {\mu C} \right]$

مثال: یک خازن $10\mu F$ با بار $10\mu C$ چقدر اختلاف پتانسیل دارد؟

حل:

$V = \frac{q}{C}$
$V = \frac{{10 \times {{10}^{ - 6}}}}{{10 \times {{10}^{ - 6}}}} = 1\left[ V \right]$

عوامل مؤثر بر ظرفیت خازن

مهم‌ترین عوامل مؤثر در تعیین ظرفیت خازن عبارت‌اند از:
1- مساحت صفحات هادی
2- فاصله بین صفحات هادی
3- جنس عایق یا دی‌الکتریک

ظرفیت خازن متناسب با مساحت صفحات و فاصله صفحات از یکدیگر می‌باشد به طوری که ظرفیت خازن با مساحت صفحات نسبت مستقیم و با فاصله صفحات از یکدیگر نسبت عکس دارد (شکل 39).

هر چه مساحت صفحات هادی بزرگ‌تر باشد بار الکتریکی بیشتری را در خود ذخیره می‌کند. بنابراین خازن با صفحات بزرگ‌تر ظرفیت بیشتری خواهد داشت (شکل 40).

هر چه فاصله صفحات از یکدیگر بیشتر باشد ظرفیت خازن کمتر خواهد شد لذا خازن با فاصله صفحات کمتری دارای ظرفیت بیشتری خواهد شد (شکل 41).

شکل 41- تأثیر فاصلۀ بین صفحات بر ظرفیت خازن

جنس و کیفیت عایق یا دی‌الکتریک بین صفحات باردار خازن اثر مستقیم بر ظرفیت خازن دارد. دی‌الکتریک خوب و با کیفیت دی‌الکتریکی است که بتواند نیروی کولنی بین بارهای الکتریکی ذخیره‌شده بر روی صفحات باردار خازن را تحمل کند و خاصیت عایقی خود را از دست ندهد (شکل 42).

کیفیت عایق یا دی‌الکتریک در واقع استقامت الکتریکی عایق در مقابل میدان الکتریکی بین صفحات باردار خازن است. استقامت الکتریکی عایق‌ها در مقابل میدان الکتریکی بین صفحات باردار خازن را «ضریب نفوذ الکتریکی» می‌نامند و با $\varepsilon $ نشان می‌دهند. ضریب نفوذ الکتریکی هوا را با ${\varepsilon _ \circ }$ نشان می‌دهند و برابر است با:

${\varepsilon _{_ \circ }} = 8/85 \times {10^{ - 12}}\left[ {\frac{F}{m}} \right]$

نسبت ضریب نفوذ عایق‌های الکتریکی به ضریب نفوذ الکتریکی هوا را «ضریب نفوذ نسبی» گویند و با ${\varepsilon _r}$ نشان می‌دهند و از رابطه زیر به دست می‌آید.

${\varepsilon _r} = \frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _ \circ }}}$

ضریب نفوذ نسبی تعدادی از عایق‌های الکتریکی در جدول نشان داده شده است.

جدول ضریب نفوذ نسبی عایق‌ها

نوع عایق	ضریب نفوذ نسبی عایق‌ها $\left( {{\varepsilon _r}} \right)$
هوا	1
تفلون	2
کاغذ آغشته به پارافین	2/5
روغن	4
میکا	5
اکسید آلومینیم	7
شیشه	7/5
اکسید تانتالیم	26
سرامیک	1200

ظرفیت خازن با توجه به ابعاد صفحات هادی و فاصله آن‌ها از یکدیگر و جنس عایق از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$C = \varepsilon \frac{A}{d}$

که در آن: 
$C$ ظرفیت خازن برحسب $\left[ F \right]$
$\varepsilon  = {\varepsilon _ \circ }{\varepsilon _r}$ ضریب نفوذ الکتریکی عایق برحسب $\left[ {\frac{F}{m}} \right]$
$A$ مساحت صفحات برحسب $\left[ {{m^2}} \right]$
$d$ فاصله بین صفحات برحسب $\left[ m \right]$ است.

مثال: ظرفیت خازنی که مساحت صفحات آن 0/5 مترمربع و فاصله بین صفحات آن 0/1 سانتی‌متر و نوع دی‌الکتریک به‌کار رفته در آن میکا باشد را به  دست آورید.

حل: با استفاده از جدول ضریب نفوذ نسبی $\left( {{\varepsilon _r}} \right)$ برای میکا برابر 5 است. همچنین می‌دانیم که ضریب نفوذ نسبی هوا برابر است با:

${\varepsilon _ \circ } = 8/85 \times {10^{ - 12}}$

بنابراین با توجه به مقادیر داده شده، مقدار C ظرفیت خازن را به‌دست می‌آوریم.

$\varepsilon  = {\varepsilon _ \circ }{\varepsilon _r}$
$\varepsilon  = 8/85 \times {10^{ - 12}}\left[ {\frac{F}{m}} \right]$
$A = 0/05\left[ {{m^2}} \right]$
$d = 0/1 \times {10^{ - 2}}\left[ m \right]$
$C = \varepsilon \frac{A}{d}$
$C = \frac{{8/85 \times {{10}^{ - 12}} \times 5 \times 0/05}}{{0/1 \times {{10}^{ - 2}}}} = 0/00221\mu f$

از جمله مشخصه‌های دیگر خازن ولتاژکار آن است که همراه با ظرفیت روی بدنه خازن نوشته می‌شود. در شکل 43 خازن با تحمل ولتاژ 400 ولت DC و ظرفیت 100 میکروفاراد نشان داده شده است.

مدار الکتریکی معادل خازن

خازن علاوه بر ظرفیت C، مقاومت الکتریکی R نیز دارد. مقاومت الکتریکی ناشی از سطح مقطع و ضخامت صفحات خازن است. برای خازن مدار الکتریکی شامل اتصال سری مقاومت الکتریکی R و ظرفیت خازن C معادل می‌نمایند (شکل 44).

خازن در جریان متناوب

خازن در جریان متناوب علاوه بر مقاومت الکتریکی R مربوط به صفحات هادی به دلیل تغییرات ولتاژ ناشی از فرکانس «مقاومت خازنی» دارد. مقاومت خازنی (Capacitor Reactance) با جاری‌شدن جریان در خازن مخالفت می‌کند. «مقاومت خازنی» را با ${X_c}$ نشان می‌دهند و واحد آن اهم است و از رابطه زیر به دست می‌آید:

${X_c} = \frac{1}{{2\pi fc}}$

در این رابطه: 
${X_c}$ مقاومت خازنی $\left[ \Omega  \right]$
$f$ فرکانس $\left[ {Hz} \right]$ 
$C$ ظرفیت خازن $\left[ F \right]$ است.

مثال: یک خازن با ظرفیت $100\mu F$ در فرکانس 50 هرتز مفروض است مقاومت خازنی آن چند اهم است؟

حل: از رابطه با U داریم: 

${X_C} = \frac{1}{{2\pi fc}}$
${X_C} = \frac{1}{{2 \times 3/14 \times 50 \times 100 \times {{10}^{ - 6}}}} = 31/85\left[ \Omega  \right]$

اتصال خازن‌ها

برای سادگی محاسبات از مقاومت الکتریکی R مربوط به صفحات هادی در مقایسه با مقاومت خازنی صرف‌نظر می‌شود و مدار الکتریکی معادل خازن مطابق شکل 45 در نظر گرفته می‌شود.

الف) اتصال سری خازن‌ها

ظرفیت خازن معادل ${C_{eq}}$ چند خازن با اتصال سری شکل 46 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + ... + \frac{1}{{{C_n}}}$

مثال: ظرفیت خازن معادل خازن‌های شکل 47 را به‌دست آورید.

$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}$
$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{60}}$
$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{{2 + 1}}{{60}} = \frac{3}{{60}}$
$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{{60}}{3} = 20\mu F$

مقاومت خازنی معادل ${X_C}$ خازن‌های اتصال سری شکل 48 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

${X_{{C_{eq}}}} = {X_{{C_1}}} + {X_{{C_2}}} + ... + {X_{{C_n}}}$

مثال: مقاومت خازنی معادل شکل 49 را به‌دست آورید.

حل:

${X_{{C_{eq}}}} = {X_{{C_1}}} + {X_{{C_2}}} + {X_{{C_3}}}$
${X_{{C_{eq}}}} = 3 + 2 + 1 = 6\left[ \Omega  \right]$

مثال: ظرفیت معادل مدار شکل 50 را به‌دست آورید.

حل:

$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + \frac{1}{{{C_3}}}$
$\frac{1}{{{C_{eq}}}} = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{12}} = \frac{{6 + 4 + 5}}{{60}} = \frac{{15}}{{60}}$
${C_{eq}} = \frac{{160}}{{15}} = 4\left[ {\mu F} \right]$

ب) اتصال موازی خازن‌ها

ظرفیت خازن معادل ${C_{eq}}$ چند خازن با اتصال موازی شکل 51 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

${C_{eq}} = {C_1} + {C_2} + ... + {C_n}$

مثال: ظرفیت خازن معادل خازن‌های شکل 52 را به‌دست آورید.

حل: 

${C_{eq}} = {C_1} + {C_2}$
${C_{eq}} = 100 + 50 = 150\mu F$

مقاومت خازنی معادل ${X_{{c_t}}}$ خازن‌ها با اتصال موازی شکل 53 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$\frac{1}{{{X_{{C_{eq}}}}}} = \frac{1}{{{X_{{C_1}}}}} + \frac{1}{{{X_{{C_2}}}}} + \frac{1}{{{X_{{C_3}}}}} + ... + \frac{1}{{{X_{{C_n}}}}}$

مثال: مقاومت خازنی معادل خازن‌های شکل 54 را به‌دست آورید.

حل:

$\frac{1}{{{X_{{C_{eq}}}}}} = \frac{1}{{{X_{{C_1}}}}} + \frac{1}{{{X_{{C_2}}}}}$
$\frac{1}{{{X_{{C_{eq}}}}}} = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}}$
$\frac{1}{{{X_{{C_{eq}}}}}} = \frac{2}{{30}}$
${X_{{C_{eq}}}} = \frac{{30}}{2} = 15\left[ \Omega  \right]$

ج) اتصال سری - موازی خازن‌ها

در اتصال مختلط خازن‌ها از روابط اتصال سری و موازی متناسب استفاده می‌کنیم.

مثال: ظرفیت خازن معادل مدار شکل 55 چند میکروفاراد است؟

حل: در این مدار ${{C_1}}$ و ${{C_2}}$ سری است که روابط سری را درباره این دو عمل می‌کنیم. ${{C_3}}$ و ${{C_4}}$ نیز با هم موازی‌اند و روابط موازی را درباره آنها عمل می‌کنیم. در نهایت، مجموعه ${{C_1}}$ و ${{C_2}}$ با مجموعه ${{C_3}}$ و ${{C_4}}$ سری هستند و از قوانین سری پیروی می‌کنند. بنابراین، می‌توان نوشت:

${C_{1,2}} = \frac{{{C_1}{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} = \frac{{6 \times 12}}{{6 + 12}} = 4\left[ {\mu F} \right]$
${C_{3,4}} = {C_3} + {C_4} = 10 + 6 = 16\left[ {\mu F} \right]$
${C_5} = \frac{{4 \times 16}}{{4 + 16}} = \frac{{16}}{5} = 3/2\left[ {\mu F} \right]$

مثال: مقاومت خازنی معادل شکل 56 را به‌دست آورید.

حل:

$\frac{1}{{{X_{{C_{34}}}}}} = \frac{1}{{{X_{{C_3}}}}} + \frac{1}{{{X_{{C_4}}}}}$
$\frac{1}{{{X_{{C_{34}}}}}} = \frac{4}{{120}}$
${X_{{C_{34}}}} = \frac{{120}}{4} = 30\left[ \Omega  \right]$

مدار به شکل 57 در می‌آید.

اکنون معادل سری ${{X_{{C_1}}}}$ و ${{X_{{C_2}}}}$ و ${{X_{{C_34}}}}$ را به‌دست می‌آوریم.

${X_{{C_{eq}}}} = {X_{{C_1}}} + {X_{{C_2}}} + {X_{{C_{34}}}}$
${X_{{C_{eq}}}} = 10 + 20 + 30 = 60\left[ \Omega  \right]$

انرژی خازن

خازن انرژی الکتریکی را به‌صورت میدان الکتریکی در خود ذخیره می‌سازد و ماکزیمم انرژی ذخیره‌شده در خازن از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

${W_C} = \frac{1}{2}CV_m^2$

که در این رابطه :
${W_C}$ ماکزیمم انرژی ذخیره‌شده در خازن $\left[ j \right]$
$C$ ظرفیت خازن $\left[ F \right]$
${V_m}$ ماکزیمم ولتاژ خازن $\left[ V \right]$ است.

مثال: به یک خازن با ظرفیت 50 میکروفاراد ولتاژ متناوب سینوسی به معادله زمانی $v\left( t \right) = 10\sin \left( {1000t} \right)$ وصل شده است. ماکزیمم انرژی ذخیره‌شده در خازن چند ژول است؟

حل:

${W_C} = \frac{1}{2}CV_m^2$
${W_C} = \frac{1}{2} \times 50 \times {10^{ - 6}} \times {\left( {100} \right)^2} = 0/25\left[ j \right]$

منحنی جریان و ولتاژ خازن در جریان متناوب

جریان خازن از ولتاژ دو سر آن 90 جلوتر است لذا خازن را یک عنصر «پیش‌فاز» می‌شناسند. منحنی ولتاژ و جریان خازن در اتصال به منبع متناوب سینوسی در شکل 58 نشان داده شده است که در آن ${\theta _V} = 0$ و ${\theta _i} = 90$ می‌باشد.

با توجه به شکل 58 معادلات زمانی ولتاژ و جریان به‌صورت زیر خواهد شد:

$v\left( t \right) = {V_m}\sin \left( {\omega t + 0} \right)$
$i\left( t \right) = {I_m}\sin \left( {\omega t + {{90}^ \circ }} \right)$

و زاویه اختلاف فاز $\phi $ برابر خواهد شد.

$\phi  = {\theta _V} - {\theta _i}$
$\phi  = 0 - \left( {90} \right) =  - {90^ \circ }$

مثال: در مدار شکل 59 مطلوب است:

$v\left( t \right) = 50\sin \left( {1000t} \right)$

الف) مقاومت خازنی
ب) جریان خازن
ج) معادله زمانی جریان خازن

حل: الف) از رابطه زیر داریم:

${X_C} = \frac{1}{{C\omega }}$
${X_C} = \frac{1}{{100 \times {{10}^{ - 6}} \times 1000}} = 10\left[ \Omega  \right]$

ب) از رابطه مقاومت الکتریکی داریم:

${I_m} = \frac{{{V_m}}}{{{X_C}}} = \frac{{50}}{{10}} = 5\left[ A \right]$
${I_{rms}} = \frac{{{I_m}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = 3/54\left[ A \right]$

جریان خازن از ولتاژ دو سر آن 90 درجه جلوتر است لذا داریم: 

$i\left( t \right) = 5\sin \left( {1000t + 90} \right)$

توان الکتریکی خازن

توان الکتریکی خازن صرف ذخیره‌سازی انرژی الکتریکی می‌شود. مقدار انرژی ذخیره‌شده در واحد زمان در خازن را «توان الکتریکی خازن» گویند. توان الکتریکی خازن قادر به تبدیل‌کردن انرژی الکتریکی نیست لذا آن را توان «غیرمؤثر» یا «توان راکتیو» (Reactive Power) نیز می‌گویند و با حرف c نشان می‌دهند و واحد آن «ولت آمپر راکتیو «VAR» است. توان الکتریکی خازن از رابطه زیر به‌دست می‌آید و آن را با علامت منفی نشانه‌گذاری می‌کنند.

${Q_c} =  - {X_c}I_c^2$

که در این رابطه:
${Q_c}$ توان الکتریکی خازن $\left[ {VAR} \right]$
${X_c}$ مقاومت خازنی $\left[ \Omega  \right]$ 
${I_C}$ جریان خازنی $\left[ A \right]$ است.

مثال: یک مقاومت خازنی 2 اهم با جریان مؤثر 4 آمپر مفروض است. توان الکتریکی خازن چقدر است؟

حل:

${Q_c} =  - {X_c}I_c^2$
${Q_c} =  - 2 \times {4^2} =  - 32\left[ {VAR} \right]$