درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان

1- مشتق تابع‌های زیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نقطهٔ $x = 4$ به‌دست آورید.

$f(x) = 2$ (الف
$f'(4) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2 - 2}}{h} = 0$

$g(x) =  - 3x + 4$ (ب
$g'(4) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 3(4 + h) + 4 - ( - 3 \times 4 + 4)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 12 - 3h + 4 + 12 - 4}}{h} =  - 3$

$u(x) = x - {x^2}$ (ج
$u'(4) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(4 + h) - {{(4 + h)}^2} - (4 - {{(4)}^2})}}{h} =  - 7$

2- مشتق تابع $g(x) = \frac{1}{x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ را در نقطهٔ $x = 2$ به‌دست آورید.

$g'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{2 + h}} - \frac{1}{2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2 - 2 - h}}{{2(2 + h)}}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - h}}{{2h(2 + h)}} =  - \frac{1}{4}$

3- تابع دوضابطه‌ای $f$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ و قانون زیر در نظر بگیرید:

$(x) = \left\{ \begin{gathered}
  2{x^2} - 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 3 \hfill \cr 
   - x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

پیوستگی و مشتق‌پذیری این تابع را در $x = 3$ بررسی کنید.

ابتدا پیوستگی تابع $f$ در نقطهٔ 3 را بررسی می‌کنیم. به‌دلیل، تفاوت قانون $f$ در دو طرف 3 برای یافتن حد تابع در این نقطه، حدهای چپ و راست را بررسی می‌کنیم.

$\begin{equation} \left.\begin{aligned} 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} (2{x^2} - 10) = 8 \hfill \cr 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} ( - x + 11) = 8 \hfill \cr 
 \end{aligned} \right\} \end{equation} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) =  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)$

بنابراین حد تابع در این نقطه وجود دارد و برابر مقدار تابع در این نقطه است. پس $f$ در این نقطه پیوسته است.
برای تشخیص مشتق‌پذیری تابع $f$ نیز باید وجود و یکسانی حدهای چپ و راست نسبت تغییرات تابع به تغییرات متغیر را بررسی کنیم.

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{f(3 + h) - 8}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{2{{(3 + h)}^2} - 10 - 8}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{18 + 12h + 2{h^2} - 18}}{h}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{h(12 + 2h)}}{h} = 12 \cr} $

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f(3 + h) - 8}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ - (3 + h) + 11 - 8}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ - 3 - h + 3}}{h}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ - h}}{h} =  - 1 \cr} $

این محاسبه نشان می‌دهد حد کسر $\frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h}$ در $h = 0$ وجود ندارد و تابع $f$ در $x = 3$ مشتق‌پذیر نیست.

4- نشان دهید تابع دوضابطه‌ای زیر در $x =  - 1$ مشتق‌پذیر است. سپس مشتق آن را در این نقطهٔ به‌دست آورید.

$v(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  4{x^2} + 2x - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant  - 1 \hfill \cr 
   - 6x - 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

به‌دلیل تفاوت قانون تابع در دو طرف نقطة 1- باید حدهای چپ و راست کسر نسبت تغییرات تابع به تغییرات متغیر را جداگانه بررسی کنیم. توجه داشته باشید که $v( - 1) =  - 2$.

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{v( - 1 + h) - v( - 1)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{4{{( - 1 + h)}^2} + 2( - 1 + h) - 4 - ( - 2)}}{h}  \cr 
  &  = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{4 - 8h + 4{h^2} - 2 + 2h - 2}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{4{h^2} - 6h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{2h(2h - 3)}}{h} =  - 6 \cr} $

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{v( - 1 + h) - v( - 1)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ - 6( - 1 + h) - 8 - ( - 2)}}{h}  \cr 
  &  = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ - 6h}}{h} =  - 6 \cr} $

با توجه به محاسبه بالا می‌توان گفت $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v( - 1 + h) - v( - 1)}}{h}$ وجود دارد و تابع $v$ در نقطهٔ $x =  - 1$ مشتق‌پذیر است و مشتق آن 6- است.

5- تابع دوضابطه‌ای $g$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

$g(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} - x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 0 \hfill \cr 
  ax + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

الف) نشان دهید $g$ در $x = 0$ پیوسته است.

برای بررسی پیوستگی تابع $g$ در $x = 0$، حد چپ و حد راست آن را در این نقطه محاسبه می‌کنیم.

$\begin{equation} \left.\begin{aligned} 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ({x^2} - x + 1) = 1 \hfill \cr 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (ax + 1) = 1 \hfill \cr 
 \end{aligned} \right\} \end{equation} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 1$

از آنجا که $g(0) = 1$، تابع $g$ در $x = 0$ پیوسته است.

ب) $a$ را طوری تعیین کنید که $g$ در $x = 0$ مشتق‌پذیر باشد. در این صورت $g'(0)$ چقدر خواهد بود؟

برای آنکه تابع $g$ در $x = 0$ مشتق‌پذیر باشد، لازم است حد کسر $\frac{{g(0 + h) - g(0)}}{h}$ در $h = 0$ موجود باشد. این شرط معادل با آن است که حد چپ و حد راست این کسر در $h = 0$ موجود و مساوی باشند.

$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{g(0 + h) - g(0)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{{h^2} - h + 1 - 1}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{h(h - 1)}}{h} =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{g(0 + h) - g(0)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ah + 1 - 1}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{ah}}{h} = a$

بنابراین، شرط مشتق‌پذیری این تابع آن است که $a =  - 1$. در نتیجه $g'(0) =  - 1$.

1- مشتق تابع $g(x) = 2x - 3{x^2}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را به‌دست آورید.

$\eqalign{
  & g'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) - g(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2(x + h) - 3{{(x + h)}^2} - (2x - 3{x^2})}}{h}  \cr 
  &  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2x + 2h - 3{x^2} - 6xh - 3{h^2} - 2x + 3{x^2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(2 - 6x - 3h)}}{h} = 2 - 6x \cr} $

2- مشتق تابع $f(x) = x - \frac{2}{x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ را به‌دست آورید.

$\eqalign{
  & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x + h - \frac{2}{{x + h}} - (x - \frac{2}{x})}}{h}\,\,{\mathop {\lim }\limits_{} ^h}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h - \frac{2}{{x + h}} + \frac{2}{x}}}{h}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{h{x^2} + x{h^2} - 2x + 2x - 2h}}{{x(x + h)}}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h{x^2} + x{h^2} + 2h}}{{hx(x + h)}}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h({x^2} + xh + 2)}}{{hx(x + h)}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}} \cr} $

3- تابع حرکت متحرکی روی محور به‌صورت $g(t) = {t^2} - 20t + 1$ با دامنهٔ $\left[ {0,20} \right]$ است. در اینجا $t$ زمان برحسب ثانیه و $g(t)$ مختص مکانی متحرک برحسب متر است.

الف) سرعت متحرک را در لحظهٔ دلخواه $t$ (در دامنهٔ تابع حرکت) به‌دست آورید.

$\eqalign{
  & g'(t) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(t + h) - g(t)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(t + h)}^2} - 20(t + h) + 1 - ({t^2} - 20t + 1)}}{h}  \cr 
  &  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{t^2} + 2th + {h^2} - 20t - 20h + 1 - {t^2} + 20t - 1}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(2t + h - 20)}}{h}  \cr 
  &  = 2t - 20 \cr} $

ب) متحرک در لحظهٔ $t = 0$ در کدام مکان قرار دارد و سرعت آن در این لحظه چقدر است و در کدام جهت در حال حرکت است؟

داریم $g(0) = 1$. یعنی این متحرک در لحظهٔ صفر در فاصله 1 متری سمت راست از مبدأ قرار دارد. همچنین $g'(0) = 2 \times 0 - 20 =  - 20$، یعنی در لحظهٔ صفر با سرعت 20 متر بر ثانیه در خلاف جهت محور در حال حرکت است.

ج) متحرک پس از چند ثانیه از شروع حرکت، می‌ایستد و در کدام مکان می‌ایستد؟

برای اینکه متحرک متوقف شود بایستی $g'(t) = 0$. از $2t - 20 = 0$ نتیجه می‌شود $t = 10$. یعنی پس از 10 ثانیه، متحرک ایست لحظه‌ای می‌کند. در زمان توقف، فاصله متحرک از مبدأ برابر است با $g(10) = 100 - 200 + 1 =  - 99$. یعنی متحرک در 99 متر سمت چپ مبدأ، توقف لحظه‌ای کرده است.

د) متحرک در لحظهٔ $t = 20$ در کدام مکان قرار دارد و سرعت آن در این لحظه چقدر است و در کدام جهت در حال حرکت است؟

$g(20) = 400 - 400 + 1 = 1$، یعنی این متحرک در فاصله 1 متری سمت راست از مبدأ قرار دارد و سرعت این متحرک در این لحظه برابر است با $g'(20) = 2(20) - 20 = 20$، یعنی با سرعت 20 متر در ثانیه در جهت محور در حال حرکت است.

هـ) چگونگی حرکت متحرک را در این بازهٔ زمانی توصیف کنید.

این متحرک در شروع حرکت، در مکان 1 متری سمت راست مبدأ قرار دارد و در این لحظه با سرعت 20 متر بر ثانیه رو به عقب (خلاف جهت محور) در حال حرکت است. متحرک 10 ثانیه رو به عقب حرکت می‌کند (در بازهٔ $(0,10)$، $g'(t) < 0$) و پس از طی 100 متر، ایست لحظه‌ای می‌کند و تغییر جهت می‌دهد و رو به جلو (در جهت محور) شروع به حرکت می‌کند. (در بازهٔ $(10,20)$، $0 < g'(t)$). نهایتاً در 10 ثانیهٔ بعدی، متحرک با حرکت رو به جلو به نقطهٔ شروع حرکت برمی‌گردد.

1- تابع $f(x) = \frac{1}{2}{x^2} - 4x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید. معادلهٔ خط مماس بر نمودار این تابع را در نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 
  \,\,2 \hfill \cr 
   - 6 \hfill \cr 
 \end{matrix}  \right]$ به‌دست آورید. با رسم نمودار این تابع و نمودار خط مماس، درستی معادلهٔ خط مماس را بررسی کنید.

اگر معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 
  \,\,2 \hfill \cr 
   - 6 \hfill \cr 
 \end{matrix}  \right]$ بر این منحنی به‌صورت $y = ax + b$ باشد، شیب خط از طریق زیر محاسبه می‌شود:

$f(x) = \frac{1}{2}{x^2} - 4x \Rightarrow f'(x) = x - 4 \Rightarrow f'(2) =  - 2 \Rightarrow a =  - 2$

برای یافتن $b$، می‌دانیم که خط مماس $y =  - 2x + b$ از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 
  \,\,2 \hfill \cr 
   - 6 \hfill \cr 
 \end{matrix}  \right]$ عبور می‌کند. پس $\left[ \begin{matrix} 
  \,\,2 \hfill \cr 
   - 6 \hfill \cr 
 \end{matrix}  \right]$ در معادلهٔ خط مماس صدق می‌کند. در نتیجه داریم:

$ - 6 =  - 2 \times 2 + b \Rightarrow b =  - 2$

پس معادله خط مماس منحنی در نقطه داده شده به‌صورت $y =  - 2x - 2$ است. به کمک جئوجبرا نمودار آن به‌صورت زیر است.

2- تابع $f(x) = \frac{2}{x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ را درنظر بگیرید. آیا نقطه‌ای هست که خط مماس بر نمودار این تابع، موازی محور طول‌ها باشد؟ چرا؟

می‌دانیم شیب خط مماس در نقطه تماس با مقدار مشتق تابع در آن نقطه برابر است. به این منظور ابتدا، مشتق تابع $f$ را محاسبه می‌کنیم.

$\eqalign{
  & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{2}{{x + h}} - \frac{2}{x}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2x - 2x - 2h}}{{x(x + h)}}}}{h}  \cr 
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 2h}}{{hx(x + h)}} =  - \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow f'(x) =  - \frac{2}{{{x^2}}} \cr} $

اگر خط مماس بر نمودار تابع، موازی محور طول‌ها باشد، بایستی شیب خط مماس برابر صفر باشد. با توجه به اینکه $f'(x) =  - \frac{2}{{{x^2}}}$ (شیب خط مماس) در هیچ نقطه‌ای از دامنهٔ تابع $(\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\})$ برابر صفر نمی‌شود. پس نقطه‌ای وجود ندارد که خط مماس بر نمودار تابع $f$، موازی محور طول‌ها باشد.

3- تابع $f(x) = \frac{1}{2}{x^2} + 2x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید.

الف) به کمک یک لغزنده در جئوجبرا، خط‌هایی به معادلهٔ $y = 3x + b$ را به ازای مقادیر مختلف $b$ رسم کنید. آیا یکی از این خط‌ها بر نمودار تابع $f$ مماس می‌شود؟

به کمک جئوجبرا، نمودار زیر رسم شده است:
با استفاده از یک لغزنده معلوم می‌شود خط به معادله $y = 3x - \frac{1}{2}$، بر نمودار تابع $f$ مماس می‌شود.

ب) با استفاده از مشتق $f$ نقطه‌ای را روی نمودار این تابع به‌دست آورید که خط مماس در آن نقطه موازی خط $y = 3x$ باشد.

باید نقطه‌ای روی نمودار تابع بیابیم که شیب خط مماس در آن نقطه برابر 3 شود. همان‌طور که می‌دانیم شیب خط مماس بر منحنی در یک نقطه با مشتق تابع در آن نقطه برابر است. با توجه به قانون تابع $f$ داریم: 

$f'(x) = x + 2$

با حل معادلهٔ $f'(x) = x + 2 = 3$ نتیجه می‌شود $x = 1$. پس در نقطه‌ای از نمودار تابع به طول 1 خط مماس بر نمودار تابع شیب 3 دارد و موازی خط $y = 3x$ است. برای یافتن معادلهٔ خط مماس، می‌دانیم معادلهٔ آن به‌صورت $y = 3x + b$ است. از آنجا که $f(1) = \frac{5}{2}$ این خط از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 
  1 \hfill \cr 
  \frac{5}{2} \hfill \cr 
 \end{matrix}  \right]$ می‌گذرد و مختصات این نقطه در معادلهٔ خط مماس صدق می‌کند. پس $\frac{5}{2} = 3 \times 1 + b$ و در نتیجهٔ $b =  - \frac{1}{2}$ و معادلهٔ خط مماس همان خط $y = 3x - \frac{1}{2}$ است.