درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان

1- نمودار یک تابع به‌صورت زیر داده شده است. وجود حد این تابع را در نقاط 2-، صفر، 2 و 3 بررسی کنید.

فرایندها و مهارت‌ها: استدلال، بازنمایی 
حد این تابع در نقطه $x =  - 2$، حد یک طرفه راست است، زیرا از نقاط دامنه این تابع، فقط از راست می‌توان به 2- نزدیک شد. طبق نمودار، حد این تابع در نقطهٔ $x =  - 2$ وجود دارد و برابر 1 است.
اما حد این تابع در نقطهٔ 3، حد یک طرفه چپ است. زیرا، از نقاط دامنهٔ این تابع، فقط از چپ می‌توان به 3 نزدیک شد. طبق نمودار، حد این تابع در این نقطه موجود است و برابر صفر است.
حدگیری این تابع در صفر یک حد دو طرفه است. از آنجا که نمودار تابع در دو طرف $x = 0$ با هم متفاوت‌اند، حدهای چپ و راست در $x = 0$ را جداگانه محاسبه می‌کنیم. طبق نمودار داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 2\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1$

با توجه به اینکه حدهای چپ و راست این تابع در $x = 0$  مساوی نیستند، این تابع در صفر حد ندارد.
به‌طور مشابه حدگیری این تابع در $x = 2$ یک حد دوطرفه است. چون نمودار تابع در دو طرف 2 با هم متفاوت‌اند، حدهای چپ و راست در این نقطه را جداگانه حساب می‌کنیم. طبق نمودار داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 1\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 1$

با توجه به اینکه حدهای چپ و راست در $x = 2$ مساوی 1 هستند، حد تابع در این نقطه، برابر 1 می‌باشد.

2- آیا تابع زیر در $x = 2$ حد دارد؟

$g(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  2 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 2 \hfill \cr 
  x - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

فرایندها و مهارت‌ها: استدلال
با توجه به اینکه این حدگیری دوطرفه است و قانون تابع در دو طرف $x = 2$ با هم متفاوت‌اند، حدهای چپ و راست در این نقطه را جداگانه حساب می‌کنیم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2 - {x^2} =  - 2\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x - 4 =  - 2$

با توجه به اینکه حدهای چپ و راست تابع $g$ در $x = 2$ با هم مساوی هستند، این تابع در این نقطه حد دارد و حد آن برابر 2- است.

3- نمودار تابع $f(x) = \left| x \right|$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ به شکل زیر است. آیا این تابع در صفر حد دارد؟ حد آن را در صورت وجود بیابید.

فرایندها و مهارت‌ها: استدلال، بازنمایی
از طریق نمودار دیده می‌شود این تابع در صفر حد دارد و حد آن صفر است. اما برای اثبات این مطلب به‌روش جبری باید قانون این تابع را به‌طور صریح بنویسیم.
این تابع در دو طرف صفر به‌صورت دو خط متفاوت است و قانون آن به‌صورت دوضابطه‌ای به شکل زیر نوشته می‌شود.

$f(x) = \left| x \right| = \left\{ \begin{gathered}
   - x\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr 
  x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

پس حد این تابع در صفر را با محاسبهٔ حدهای چپ و راست در صفر به‌دست می‌آوریم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0$

چون حدهای چپ و راست این تابع در صفر، هر دو صفر هستند، می‌توان گفت حد این تابع در صفر برابر صفر است.

4- تابع دو ضابطه‌ای زیر را در نظر بگیرید.

$g(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  ax + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x <  - 1 \hfill \cr 
  {x^2} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

فرایندها و مهارت‌ها: حل مسئله، استدلال

الف) آیا این تابع در نقطهٔ $x =  - 1$ حد چپ و حد راست دارد؟
بله؛ زیرا:

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} (ax + 2) =  - a + 2  \cr 
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} ({x^2} + a) = 1 + a \cr} $

ب) $a$ را به گونه‌ای تعیین کنید که این تابع در نقطهٔ $x =  - 1$ حد داشته باشد.
برای اینکه این تابع در $x = 1$ حد داشته باشد، بایستی حدهای چپ و راست تابع در این نقطه با هم برابر باشند.

$1 + a =  - a + 2 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

5- نمودار تابعی را رسم کنید که دامنهٔ آن بازۀ $\left[ {0,5} \right]$ باشد و حد چپ و حد راست در نقطهٔ $x = 4$ آن با هم متفاوت باشند.
فرایندها و مهارت‌ها: بازنمایی، حل مسئله
نمودارهای زیادی می‌توان رسم کرد. به‌طور مثال:

6- تابعی با دامنهٔ $\mathbb{R}$ معرفی کنید که حد چپ آن در نقطۀ 2 برابر 1- و حد راست آن در نقطۀ 2، برابر 5 باشد.
فرایندها و مهارت‌ها: حل مسئله، استدلال
تابع‌های زیادی می‌توان مثال زد. به‌طور مثال:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
   - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 2 \hfill \cr 
  \frac{{5x}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,2 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

7- تابعی دو ضابطه‌ای بنویسید که در صفر حد راست داشته باشد، ولی در صفر حد چپ نداشته باشد.
فرایندها و مهارت‌ها: حل مسئله، استدلال
تابع‌های زیادی می‌توان مثال زد. به‌طور مثال:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr 
  2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

1- آیا تابع زیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در $x = 1$ پیوسته است؟ نمودار این تابع را رسم کنید.

$h(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 1 \hfill \cr 
  0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1 \hfill \cr 
  2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < x \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

برای تشخیص وجود حد، حدهای چپ و راست در این نقطه را جداگانه بررسی می‌کنیم.

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (1 + {x^2}) = 2  \cr 
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2x = 2 \cr} $

با توجه به اینکه حدهای چپ و راست این تابع در $x = 1$ با هم برابر است، پس $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h(x) = 2$.

اما $h(1) = 0$، پس حد تابع $h$ را در نقطهٔ $x = 1$ با مقدار تابع در این نقطه مساوی نیست و تابع $h$ در این نقطه پیوسته نیست.

2- آیا تابع زیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ پیوسته است؟

$g(x) = \left\{ \begin{gathered}  
  \frac{{\sin x}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

وضعیت این تابع در نقاط ناصفر روشن است. با حدگیری از تابع در نقاط ناصفر دیده می‌شود حد تابع با مقدار تابع در این نقاط مساوی است. اما قبلاً دیده بودیم حد این تابع در صفر برابر 1 است و مقدار این تابع نیز در صفر برابر 1 است. پس در نقطه صفر هم پیوستگی برقرار است و این تابع همه‌جا پیوسته است.

3- تابع $f$ را با قانون زیر و دامنهٔ $\left[ {0,3} \right]$ در نظر بگیرید. نمودار این تابع را رسم کنید. در چه نقاطی این تابع ناپیوسته است؟ چرا؟

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 1 \hfill \cr 
  2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x < 2 \hfill \cr 
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

تابع $f$ با دامنه $\left[ {0,3} \right]$ در $x = 1$ و $x = 2$ پیوسته نیست. زیرا در این نقاط حد ندارد.

$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1\,\,\,\,,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 2  \cr 
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 2\,\,\,\,,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2 \cr} $

4- آیا تابع $g(x) = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}$ با دامنهٔ $\left( {0,\frac{\pi }{3}} \right)$ پیوسته است؟

اگر $a$ نقطه‌ای از دامنه این تابع باشد، داریم: $0 < a < \frac{\pi }{2}$. بنابراین با استفاده از حد  تقسیم دو تابع (حد تابع مخرج در این نقطه صفر نیست) داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {{\cos }^2}x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \sin x}} = \frac{{{{\cos }^2}a}}{{1 - \sin a}}$

بنابراین، این تابع در دامنهٔ داده شده، پیوسته است.

5- یک تابع با دامنهٔ $\mathbb{R}$ بنویسید که در صفر ناپیوسته باشد.

تابع‌های زیادی می‌توان مثال زد. به‌طور نمونه:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 
  0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

6- اگر تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  2(x - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr 
  \frac{{\sin x}}{x} + 2\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ در $x = 0$ پیوسته باشد، مقدار $b$ را محاسبه کنید.

بله، این تابع پیوسته است. زیرا نمودار این تابع بریدگی ندارد و روی هر بازه در دامنه‌اش پیوستگی دارد.

7- نمودار یک تابع با دامنهٔ $( - 1,2) \cup (0,1) \cup (1,2)$ به شکل زیر است. آیا این تابع پیوسته است؟

بله؛ اگر دامنهٔ یک تابع از اجتماع چند بازه جدا از هم تشکیل شده باشد، نمودار تابع نیز از چند قسمت جدا از هم تشکیل خواهد شد و با توجه به اینکه نمودار تابع داده شده روی هر بازه از دامنهٔ خود پیوسته می‌باشد، می‌توان گفت این تابع در دامنه داده شده پیوستگی دارد.

8- تابع با ضابطۀ $f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 2 \hfill \cr 
  ax - 2a + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 2 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ تعریف شده است، به ازای کدام مقدار $a$ در نقطه $x = 2$ پیوسته است؟

الف) بله پیوسته است، زیرا نمودار تابع روی هر بازه از دامنهٔ آن پیوستگی دارد.
ب) به‌دلیل پیوستگی تابع، حد تابع در هر نقطه برابر مقدار تابع در آن نقطه است. پس کافیست که مقدار تابع در این نقطه را از روی نمودار تابع به‌دست آوریم.

9- تابع با ضابطهٔ $f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  b - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 1 \hfill \cr 
  {x^2} - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 2 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ تعریف شده است، به‌ازای کدام مقدار $b$ تابع $f$ پیوسته است؟