درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان
پودمان 1: کاربرد برخی تابعها در زندگی روزمره
تابعهای چندضابطهای
احمد میدانست هزینهٔ گاز مصرفی خانه، تابعی از میزان مصرف گاز است. او میخواست قانون این تابع را بهدست آورد، اما با مشکلی روبرو شد که در کلاس آن را مطرح کرد.
- احمد گفت: من فکر میکردم که هزینهٔ مصرف گاز تابعی از میزان مصرف گاز است. اما شنیدم که دولت برای صرفهجویی در مصرف آب، برق و گاز، هزینهٔ مصرف آن را با یک قانون ثابت اندازهگیری نمیکند. مثلاً، تا یک میزان از مصرف گاز، آن را مجانی حساب میکند و تا یک میزان دیگر از مصرف، آن را با تعرفه کم حساب میکند و مصارف بالا را با تعرفههای زیاد حساب میکند. وقتی قانون ثابتی برای محاسبهٔ هزینهٔ گاز نباشد، آیا باز هم میتوانیم بگوییم هزینهٔ گاز، تابعی از میزان مصرف گاز است؟
- دبیر گفت: آیا با مشخص شدن میزان مصرف گاز، میتوان هزینهٔ گاز را بهطور مشخص بهدست آورد؟
- احمد گفت: حتماً میتوان این کار را کرد، چون دولت هزینهٔ مصرف گاز را حساب میکند و قبض آن را به خانهها میفرستد. پس، هزینهٔ گاز، تابعی از میزان مصرف گاز است. اما برای محاسبهٔ هزینهٔ گاز، قانون یکسانی را نمیتوانیم بهکار ببریم. آیا این موضوع مشکلی ایجاد میکند؟
- دبیر گفت: خیر، قانون یک تابع به معنای مشخص بودن روش محاسبهٔ مقدار تابع است، نه اینکه حتماً فرمول ثابتی در کار باشد. ممکن است شیوهٔ محاسبهٔ مقدار تابع برای مقادیر مختلف فرق کند. فعالیت زیر کمک میکند که شیوهٔ محاسبهٔ مقدار تابع هزینهٔ برق را مشخص کنید.
فعالیت (صفحهٔ 3 کتاب درسی)
واحد مصرف برق کیلوواتساعت (kwh) است. یکی از مهندسان شرکت برق برای هدفمندکردن الگوی مصرف برق، طرحی پیشنهاد کرد. براساس این طرح، مصرف کمتر از 10 کیلووات ساعت در ماه مجانی است و برای مصارف از 10 تا کمتر از 100 کیلووات ساعت، به ازای هر کیلووات ساعت 50 تومان هزینه حساب میشود. همچنین برای مصارف از 100 تا 500 کیلووات ساعت، به ازای هر کیلووات ساعت 120 تومان محاسبه میگردد و بیشتر از 500 کیلووات ساعت برق منزل قطع میشود.
1- فرض کنید $f$، تابعی باشد که طبق قانون آن هزینهٔ مصرفی براساس این طرح محاسبه میشود. دامنهٔ این تابع را مشخص کنید.
${D_f} = \left[ {0\,,\,500} \right]$
2- جدول زیر را که رابطهٔ بین برخی از مقادیر میزان مصرف برق و هزینهٔ آن را نشان میدهد، کامل کنید.
| 500 | 200 | 100 | 70 | 10 | 5 | 0 | مصرف برق در ماه (کیلو وات ساعت) |
| 60000 | 24000 | 120000 | 3500 | 0 | 0 | 0 | هزینهٔ برق مصرفی (تومان) |
3- اگر میزان مصرف برق در یک ماه را با $x$ نشان دهیم، در هر یک از حالتهای زیر، قانون (یا ضابطهٔ) $f(x)$ را مشخص کنید.
الف) $0 \leqslant x < 10$ ضابطهٔ $f(x) = 0$
ب) $10 \leqslant x < 100$ ضابطهٔ $f(x) = 50x$
ج) $100 \leqslant x < 500$ ضابطهٔ $f(x) = 120x$
4- $f(37)$ و $f(120)$ هر یک چه معنایی دارند؟ مقادیر آنها را بیابید.
$f(37)$ هزینهٔ مصرف 37 کیلووات برق میباشد و $f(37) = 50 \times 37 = 1850$.
$f(120)$ هزینهٔ مصرف 120 کیلووات برق میباشد و $f(120) = 120 \times 120 = 14400$.
در این فعالیت تابعی را بررسی کردیم که روی بازههای مختلف، قانونهای مختلفی داشت. برای یافتن مقدار این تابع در یک نقطه، ابتدا باید مشخص شود که آن نقطه در چه بازهای قرار دارد. برای رسم نمودار این تابع باید نمودار آن را در بازههای مختلف با توجه به قانون آن بازه رسم کنیم و این نمودارها را با هم در نظر بگیریم.
اگر دامنهٔ تابعی از چند بازۀ جدا از هم تشکیل شده باشد و روی هر کدام از این بازهها قانون جداگانهای استفاده شده باشد، برای نوشتن قانون این تابع، هر کدام از این بازهها را جداگانه مینویسیم و قانون تابع در آن بازه را روبروی آن مینویسیم. برای مثال قانون تابع $f$ در فعالیت اول را بهصورت زیر مینویسیم.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 10 \hfill \cr
50x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10 \leqslant x < 100 \hfill \cr
120x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,100 \leqslant x \leqslant 500 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
این شیوهٔ تعریف، نشان میدهد که به ازای هر مقدار $x$ در بازهٔ $\left[ {0,500} \right]$ مقدار تابع در $x$ تعریف میشود. پس، دامنهٔ این تابع بازهٔ $\left[ {0,500} \right]$ است. نمودار این تابع به شکل زیر است:
تابعی که مانند تابع فعالیت بالا باشد، تابع چندضابطهای مینامند، زیرا ضابطه یا قانون آن در بازههای مختلف، متفاوت است.
برای رسم نمودار تابعهای چند ضابطهای، نمودار آنها را در بازههای مشخص شده رسم میکنیم و نمودارهای بهدست آمده را همزمان با هم در نظر میگیریم.
مثال 1
تابع $g$ با دامنهٔ $\left[ {0,8} \right]$ را بهصورت زیر درنظر بگیرید و نمودار آن را رسم کنید.
$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 5 \hfill \cr
3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \leqslant x \leqslant 8 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
ابتدا نمودار تابع $x + 1$ را در دامنهٔ $\mathbb{R}$ رسم میکنیم، سپس قسمتی از آن را که در بازهٔ $\left[ {0,5} \right)$ قرار دارد، در نظر میگیریم. همچنین نمودار تابع $g(x) = 3$ (تابع ثابت) را در دامنهٔ $\mathbb{R}$ رسم میکنیم و قسمتی از آن را که در بازهٔ $\left[ {5,8} \right]$ قرار دارد، در نظر میگیریم.
مثال 2
تابع $f$ با دامنهٔ $\left[ { - 3,5} \right]$ را بهصورت زیر درنظر بگیرید و نمودار آن را رسم کنید.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \leqslant x < - 1 \hfill \cr
x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < x \leqslant 5 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
در بازه $\left[ { - 3, - 1} \right)$، قانون تابع بهصورت $f(x) = {x^2} - 1$ است. نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم، برای این منظور میتوان نمودار تابع $y=x^2$ را در $\mathbb{R}$ رسم کرد، یک واحد به پایین انتقال داد و سپس بخشی از نمودار را که در بازهٔ $\left[ { - 3, - 1} \right)$ است در نظر گرفت. در بازهٔ $\left[ { - 1,1} \right]$، قانون تابع، بهصورت $f(x) = x + 1$ است و نمودار آن، قسمتی از یک خط است که آن را در این بازه رسم میکنیم. در بازهٔ $\left( {1,5} \right]$، قانون تابع بهصورت $f(x) = 2$ (تابع ثابت) است. نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم. برای یافتن نقاط ابتدایی و انتهایی نمودار میتوان مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کرد.
مثال 3
نمودار تابع چند ضابطهای زیر را رسم کنید.
$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr
- {x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
دامنهٔ این تابع $\mathbb{R}$ است. قانون این تابع روی بازهٔ $\left( { - \infty ,0} \right)$ بهصورت $g(x) = {x^2} - 1$ است. نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم. قانون این تابع، روی بازه $\left[ {0, + \infty } \right)$ بهصورت $g(x) = - {x^2} + 1$، است. نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم.
کار در کلاس (صفحهٔ 7 کتاب درسی)
1- تابع با قانون $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \leqslant x < 1 \hfill \cr
3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x < 4 \hfill \cr
- x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \leqslant x \leqslant 7 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$ را در نظر بگیرید.
الف) دامنهٔ تابع $f$ را بنویسید.
${D_f} = \left[ { - 2,7} \right]$
ب) مقادیر $f(5),f(4),f(2),f(1),f( - 1)$ را تعیین کنید.
$f(5) = - 3,f(4) = - 2,f(2) = 3,f(1) = 3,f( - 1) = 0$
ج) نمودار $f$ را رسم کنید.
2- فرض کنید در محاسبهٔ هزینهٔ گاز مصرفی خانگی، طبق دستورالعمل زیر عمل شود. دامنه و قانون تابعی که هزینهٔ گاز مصرفی را بیان میکند، بهدست آورید و نمودار آن را رسم کنید.
1- مصرف حداکثر تا حجم 5 متر مکعب، مجانی است.
2- مصرف حداکثر تا 50 متر مکعب، 5 مترمکعب آن مجانی و بقیه هر متر مکعب 200 تومان است.
3- مصرف حداکثر تا 100 متر مکعب، تا 50 متر مکعب آن طبق قانون قبلی و بقیهٔ آن هر متر مکعب 300 تومان است.
4- مصرف بیش از 100 متر مکعب، گاز قطع میشود.
دامنهٔ ${D_f} = \left[ {0,100} \right]$
ضابطهٔ
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 5 \hfill \cr
200(x - 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \leqslant x \leqslant 50 \hfill \cr
9000 + 300(x - 50)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,50 < x \leqslant 100 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
که ساده شدهٔ آن بهصورت زیر است:
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 5 \hfill \cr
200x - 1000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \leqslant x < 50 \hfill \cr
300x - 6000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,50 \leqslant x \leqslant 100 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
برای رسم بهتر نمودار این تابع بهتر است $\frac{{f(x)}}{{1000}}$ را رسم کنیم. نمودار $\frac{{f(x)}}{{1000}}$ به شکل زیر است:
مسائل (صفحهٔ 8 تا 11 کتاب درسی)
1- در زیر چهار تابع و سه نمودار داده شده است. مشخص کنید که هر نمودار مربوط به کدام تابع است؟
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 2 \hfill \cr
- x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
- x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$h(x) = \left\{ \begin{gathered}
- x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr
x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$k(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 1 \hfill \cr
- x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
جواب: نمودار اول $k(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 1 \hfill \cr
- x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$ نمودار دوم پایین سمت راست $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
- x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$ نمودار پایین سمت چپ $h(x) = \left\{ \begin{gathered}
- x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \hfill \cr
x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
2- نمودار زیر نمایش یک تابع چند ضابطهای است. دامنه و قانون آن را بنویسید.
با توجه به نمودار داده شده، در بازه $\left[ { - 4, - 1} \right]$ قانون تابع بهصورت $f(x) = - 3$ (تابع ثابت) است. در بازهٔ $( - 1,2)$ قانون تابع بهصورت $f(x) = 2$ (تابع ثابت) میباشد. در بازهٔ $\left[ {2,4} \right]$، قانون تابع بهصورت $f(x) = x + 1$ میباشد. برای پیدا کردن قانون تابع خطی کافیست از روی نمودار، شیبخط مشخص شود و با امتداد دادن خط محل برخورد آن با محور عرضها مشخص شود.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
- 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 4 \leqslant x \leqslant - 1 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < x < 2 \hfill \cr
x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
3- تابع با قانون $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
- {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \leqslant x < 1 \hfill \cr
- 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1 \hfill \cr
- x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < x \leqslant 5 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$ را در نظر بگیرید.
الف) دامنهٔ تابع $g$ را بنویسید. $\left[ { - 3,5} \right]$
ب) مقادیر $g(3),g(1),g( - 2)$ را بهدست آورید.
با توجه به اینکه 2- در بازهٔ $\left[ { - 3,1} \right)$ است، و در این بازه، قانون تابع بهصورت $g(x) = - {x^2}$ است داریم: $g( - 2) = - {( - 2)^2} = - 4$
برای محاسبه مقدار تابع در $x = 1$، در این نقطه، قانون تابع بهصورت $g(x) = - 2$ است. پس $g(1) = - 2$.
چون3 در بازه $\left( {1,5} \right]$ قرار دارد، و قانون تابع روی این بازه بهصورت $g(x) = - x + 3$ است، نتیجه میشود: $g(3) = - (3) + 3 = 0$
ج) نمودار تابع $g$ را رسم کنید.
در بازه $\left[ { - 3,1} \right)$، قانون تابع بهصورت $g(x) = - {x^2}$ است و نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم. در $x = 1$، قانون تابع بهصورت $g(x) = - 2$ و نمودار آن، نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}
\,\,1 \hfill \cr
- 2 \hfill \cr
\end{matrix} \right]$ است در بازه $\left( {1,5} \right]$، قانون تابع بهصورت $g(x) = - x + 3$ است و نمودار آن قسمتی از خط است که آن را در این بازه رسم میکنیم.
4- نمودار تابع چند ضابطهای زیر را رسم کنید.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant - 1 \hfill \cr
1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 < x < 1 \hfill \cr
{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
در بازهٔ $\left( { - \infty , - 1} \right]$ قانون تابع بهصورت $f(x) = {x^2} - 1$ است، نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم. (برای این منظور میتوان نمودار تابع $y = {x^2}$ را یک واحد به پایین منتقل کرده و سپس بخشی از نمودار که در بازهٔ $\left( { - \infty , - 1} \right]$ است را در نظر گرفت. مانند بالا در بازه $( - 1,1)$ قانون تابع بهصورت $f(x) = 1 - {x^2}$ است، نمودار آن را در این بازه رسم میکنیم. برای این منظور میتوان نمودار تابع $f(x) = {x^2}$ را یک واحد به بالا منتقل کنیم و سپس بخشی از نمودار را که در بازهٔ $( - 1,1)$ قرار دارد را در نظر گرفت. در بازهٔ $\left[ {1, + \infty } \right)$ قانون تابع بهصورت $f(x) = {x^2} - 1$ که برای قسمت اول آن را رسم کردهایم، حال بخشی از آن را انتخاب میکنیم که در بازهٔ $\left[ {1, + \infty } \right)$ قرار داشته باشد.
5- گردشگری در شیراز برای خرید چند کارت پستال به مغازه رفت و تصمیم گرفت از یک نوع کارت، تعدادی خریداری کند. از این نوع کارت، 40 عدد موجود بود. این کارتها طبق جدول زیر فروخته میشد.
| خرید | هزینه |
| خرید حداکثر تا 10 کارت | هر کارت 3 هزار تومان |
| خرید بیش از 10 کارت تا حداکثر 20 کارت | 10 کارت اول مطابق قانون قبلی و مازاد بر 10 کارت، هر کارت 2 هزار تومان |
| خرید بیش از 20 کارت | 20 کارت اول مطابق قانون قبلی و مازاد بر 20 کارت، هر کارت 1 هزار تومان |
هزینهٔ پرداخت شده توسط گردشگر، تابعی از تعداد کارتهای خریداری شده است.
اگر $x$ تعداد کارتهایی باشد که این گردشگر خریداری میکند، دامنه و قانون این تابع را بهدست آورید.
الف) نمودار آن را رسم کنید.
ب) هزینۀ خرید 14 کارت چقدر است؟
ج) هزینۀ خرید 23 کارت چقدر است؟
اگر $x$ تعداد کارتهای خریداری شده و $f(x)$ هزینه پرداخت شده برحسب هزار تومان باشد؛ با توجه به جدول داده شده داریم:
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant 10 \hfill \cr
30 + 2(x - 10)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,11 \leqslant x \leqslant 20 \hfill \cr
50 + (x - 20)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,21 \leqslant x \leqslant 40 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
دامنهٔ این تابع مجموعهٔ $\left\{ {0,1,2,...,40} \right\}$ است. اگر دامنهٔ این تابع را بهصورت بازهٔ $\left[ {0,40} \right]$ در نظر بگیریم، نمودار آن به شکل زیر است. البته، دامنهٔ این تابع مجموعهای گسسته است و نمودار واقعی آن بهصورت تعدادی نقطهٔ گسسته از نمودار زیر است که برخی نقاط آن در شکل زیر مشخص شده است.
6- برخی بیماران مبتلا به دیابت، برای کنترل قند خون، از انسولین استفاده میکنند. سه ساعت پس از دریافت دارو، تأثیر انسولین روی قند خون به حداکثر میرسد. پس از این زمان، این تأثیرگذاری تا پنج ساعت تقریباً ثابت میماند، سپس کاهش پیدا میکند و تا هنگام نوبت تزریق بعدی ثابت میماند.
سطح انسولین در یک بیمار را میتوان با تابع زیر مدلسازی کرد. در اینجا، $f(t)$ نشاندهندهٔ سطح انسولین $t$ ساعت پس از تزریق انسولین است.
$f(t) = \left\{ \begin{gathered}
40t + 100\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant t \leqslant 3 \hfill \cr
220\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 < t \leqslant 8 \hfill \cr
- 80t + 860\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8 < t \leqslant 10 \hfill \cr
60\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10 < t \leqslant 24 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
اگر بیمار، انسولین را در ساعت 7 صبح دریافت کند، سطح انسولین خون او را در هر یک از زمانهای زیر پیدا کنید.
با توجه به اینکه $t$ زمان سپری شده پس از تزریق انسولین برحسب ساعت میباشد و با توجه به اینکه زمان تزریق ساعت 7 صبح بوده است، داریم:
الف) 8 صبح: در ساعت 8 صبح، یک ساعت از زمان تزریق گذشته است و در نتیجه $t = 1$. با توجه به قانون تابع میتوان گفت:
$f(1) = 40 \times 1 + 100 = 140$ به عبارت دیگر سطح انسولین پس از یک ساعت از تزریق 140 میباشد.
ب) 11 صبح: در ساعت 11 صبح، سه ساعت از زمان تزریق گذشته است، بنابراین $t = 4$ و باید طبق ضابطهٔ دوم تابع عمل کنیم و داریم: $f(4) = 220$
ج) 4 بعد از ظهر: در ساعت 4 بعد از ظهر، نه ساعت از زمان تزریق گذشته است، بنابراین $t = 9$ و باید طبق ضابطهٔ سوم تابع عمل کنیم و داریم: $f(9) = - 80 \times 9 + 860 = 140$
د) 6 بعد از ظهر: در ساعت 6 بعد از ظهر، یازده ساعت از زمان تزریق گذشته است، بنابراین $t = 11$ و باید طبق ضابطهٔ چهارم تابع عمل کنیم و داریم: $f(11) = 60$
7- تابعی دو ضابطهای با دامنۀ $\left[ { - 2,2} \right]$ مثال بزنید که نمودار آن از دو پارهخط تشکیل شده باشد.
توابع بسیاری را میتوان مثال زد که بهطور نمونه در زیر یک مورد آمده است:
8- وضعیتی در زندگی روزمره را بهصورت تابعی سه ضابطهای توصیف کنید که نمودار آن بهصورت زیر باشد.
وضعیتهای مختلفی از زندگی روزمره را میتوان مثال زد. بهطور نمونه میتوان گفت: اگر محور $x$ها زمان سپری شده برحسب ساعت و محور $y$ها فاصله هنرجو (برحسب کیلومتر) تا منزل یکی از دوستان او باشد، میتوان گفت: هنرجویی صبح از منزل خارج میشود تا به منزل دوست خود برود. پس از یک ساعت که بهطور یکنواخت راه رفته است با طی 2 ساعت به خانه دوست خود میرسد. 3 ساعت در منزل دوست خود میماند و سپس به خانه باز میگردد و پس از یک ساعت به منزل میرسد.
9- دولت هزینهٔ مصرف برق خانگی مناطق مختلف کشور را متفاوت محاسبه میکند. با استفاده از اطلاعات منطقهای از کشور که در آن زندگی میکنید، تابعی معرفی کنید که هزینهٔ مصرف برق برحسب میزان مصرف برق در ماه را در منطقهٔ شما بیان کند. سپس نمودار آن را رسم کنید.
مطابق با آخرین مصوبه وزیر نیرو، تعرفههای برق و شرایط عمومی آنها برای کلیه مشترکین تحت پوشش شرکتهای برق منطقهای و توزیع نیروی برق برای اجرا از تاریخ 95/5/1 به شرح زیر است:
| 1- تعرفه مناطق عادی و ماههای غیرگرم مناطق گرمسیر | |
| متوسط انرژی مصرفی ماهانه (کیلووات ساعت در ماه) |
قیمت پایه هر کیلو وات ساعت (ریال) |
| 0 تا 100 | 450 |
| مازاد بر 100 تا 200 | 535 |
| مازاد بر 200 تا 300 | 1125 |
| مازاد بر 300 تا 400 | 2035 |
| مازاد بر 400 تا 500 | 3345 |
| مازاد بر 500 تا 600 | 3936 |
| مازاد بر 600 | 4446 |
| 2- تعرفه ماههای گرم در مناطق گرمسیر 1 | |
| متوسط انرژی مصرفی ماهانه (کیلووات ساعت در ماه) |
قیمت پایه هر کیلو وات ساعت (ریال) |
| 0 تا 1000 | 150 |
| مازاد بر 1000 تا 1500 | 166 |
| مازاد بر 1500 تا 2000 | 180 |
| مازاد بر 2000 تا 3500 | 750 |
| مازاد بر 3500 تا 4500 | 1351 |
| مازاد بر 4500 تا 6000 | 1736 |
| مازاد بر 6000 | 2025 |
تعرفه شماره 1: مصارف خانگی
| 3- تعرفه ماههای گرم در مناطق گرمسیر 2 | |
| متوسط انرژی مصرفی ماهانه (کیلووات ساعت در ماه) |
قیمت پایه هر کیلو وات ساعت (ریال) |
| 0 تا 1000 | 330 |
| مازاد بر 1000 تا 1500 | 750 |
| مازاد بر 1500 تا 2000 | 1275 |
| مازاد بر 2000 تا 3500 | 1575 |
| مازاد بر 3500 تا 4500 | 1876 |
| مازاد بر 4500 تا 6000 | 2025 |
| مازاد بر 6000 | 2176 |
| 4- تعرفه ماههای گرم در مناطق گرمسیر 3 | |
| متوسط انرژی مصرفی ماهانه (کیلووات ساعت در ماه) |
قیمت پایه هر کیلو وات ساعت (ریال) |
| 0 تا 1000 | 975 |
| مازاد بر 1000 تا 1500 | 976 |
| مازاد بر 1500 تا 2000 | 1736 |
| مازاد بر 2000 تا 3500 | 1836 |
| مازاد بر 3500 تا 4500 | 2025 |
| مازاد بر 4500 تا 6000 | 2176 |
| مازاد بر 6000 | 2335 |
| 5- تعرفه ماههای گرم در مناطق گرمسیر 3 | |
| متوسط انرژی مصرفی ماهانه (کیلووات ساعت در ماه) |
قیمت پایه هر کیلو وات ساعت (ریال) |
| 0 تا 100 | 361 |
| مازاد بر 100 تا 200 | 421 |
| مازاد بر 200 تا 300 | 750 |
| مازاد بر 300 تا 400 | 1200 |
| مازاد بر 400 تا 500 | 1726 |
| مازاد بر 500 تا 600 | 2251 |
| مازاد بر 600 | 2701 |
حداکثر بهای پرداختی بدون احتساب اضافه پرداختی و تخفیف بند 1 شرایط اختصاصی به ازای هر کیلووات ساعت بهطور متوسط در مناطق عادی و ماههای غیر گرم مناطق گرمسیر 1650 ریال و در ماههای گرم مناطق گرمسیر 1650 ریال میباشد.
تابعهای مثلثاتی
مجید در فکر حرکت چرخ و فلک شهر بازی پارسال بود. او یاد گرفته بود که چگونه طول مسیر طی شده توسط یکی از کابینهای چرخ و فلک را برحسب زاویهٔ چرخش محاسبه کند، اما میخواست بداند که چگونه میتواند ارتفاع کابین را در هر لحظه از سطح زمین محاسبه کند. او با خود گفت: وقتی زاویهٔ چرخش کابین مشخص باشد، موقعیت کابین کاملاً مشخص است؛ پس ارتفاع آن از سطح زمین نیز مشخص میشود. بنابراین میتوان ارتفاع کابین را برحسب زاویهٔ چرخش بهدست آورد.
مجید فکر خود را در کلاس درس ریاضی مطرح کرد و در مورد درستی آن پرسید.
- دبیر گفت: بله، حتماً میتوان ارتفاع کابین از سطح زمین را برحسب زاویهٔ چرخش کابین بهدست آورد.
- سعید گفت: در این صورت، آیا میتوانیم نتیجه بگیریم، ارتفاع کابین از سطح زمین، تابعی از زاویهٔ چرخش آن است؟
- دبیر گفت: بله، اگر به تعریف تابع دقت کنیم، وقتی میگوییم کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) است، یعنی با مشخص شدن مقداری برای کمیت (الف)، مقدار کمیت (ب) نیز دقیقاً مشخص میشود. چون با مشخص شدن زاویهٔ چرخش کابین، ارتفاع آن نیز دقیقاً مشخص میشود، میتوانیم بگوییم که ارتفاع کابین از سطح زمین تابعی از زاویهٔ چرخش آن است.
- سعید گفت: ولی قانون این تابع و دامنهٔ آن چیست؟
- دبیر گفت: برای بهدست آوردن قانون این تابع، انجام فعالیت زیر میتواند به شما کمک کند.
فعالیت (صفحهٔ 12 کتاب درسی)
فرض کنید شعاع دایرهٔ چرخ و فلکی 10 متر باشد. برای سادگی محاسبه، نقطهٔ شروع حرکت کابین را در ارتفاع 10 متری از سطح زمین طبق شکل زیر در نظر بگیرید (نقطهٔ $A$). مقدار زاویهٔ چرخش برحسب رادیان را با $x$ و ارتفاع کابین از سطح زمین برحسب متر را با $h$ نشان دهید.
1- ارتفاع کابین را وقتی زاویهٔ چرخش صفر است، پیدا کنید.
در نقطهٔ ابتدای حرکت که زاویهٔ چرخش صفر است، ارتفاع 10 متر است.
2- در مثلث قائمالزاویهٔ $OCB$ طول پارهخط $BC$ را برحسب $\sin x$ بنویسید.
در مثلث قائمالزاویهٔ $OCB$ با استفاده از تعریف سینوس زاویههای تند داریم: $BC = 10\sin x$
3- قانون تابعی که $h$ را برحسب زاویهٔ تند $x$ بیان میکند، بنویسید.
$h = BC + CH = 10\sin x + 10$
4- یک زاویهٔ باز دلخواه مانند $x$ در شکل زیر در نظر بگیرید و درستی رابطهٔ بین $x$ و $h$ را که در بند (3) بهدست آوردید، در این حالت بررسی کنید.
$h = BH = BC + CH = 10\sin (\pi - x) + 10 = 10 + 10\sin x$
در فعالیت (2) دیده میشود که ارتفاع کابین برحسب زاویهٔ چرخش، در حالتی که نقطهٔ متناظر زاویهٔ چرخش در ربع اول و دوم قرار داشته باشد، بهصورت $h = 10 + 10\sin x$ است. برای سایر زاویههای چرخش (ربع سوم و چهارم) نیز میتوان نشان داد که این تساوی برقرار است.
اگر چرخ و فلک بیش از یک دور در جهت مثبت یا در جهت منفی بچرخد، باز هم رابطهٔ بین $x$ و $h$ به همین صورت برقرار است، زیرا نسبتهای مثلثاتی یک زاویه فقط به مکان نقطهٔ متناظر آن روی دایره بستگی دارد.
- سعید گفت: پس، تابع با قانون $f(x) = 10 + 10\sin x$، ارتفاع کابین چرخ و فلک را برحسب زاویهٔ چرخش آن بهدست میدهد. اما دامنهٔ این تابع چیست؟
- دبیر گفت: دامنهٔ این تابع بستگی به آن دارد که این کابین از شروع تا پایان حرکت چند دور میزند. برای مثال، اگر چرخ و فلک 3 دور بزند، زاویههای چرخش (برحسب رادیان) از صفر تا $3 \times 2\pi $ خواهند بود و دامنهٔ این تابع، بازهٔ $\left[ {0,6\pi } \right]$ است.
برای اشاره به تابعهایی که متغیر آنها زاویه است و در قانون آنها از نسبتهای مثلثاتی آن زاویه استفاده میشود، معمولاً از اصطلاح تابعهای مثلثاتی استفاده میشود. طبق قرارداد، در تابعهای مثلثاتی، متغیر (زاویه) همواره برحسب رادیان در نظر گرفته میشود.
کار در کلاس (صفحهٔ 14 کتاب درسی)
تابع $f(x) = 10 + 10\sin x$ ارتفاع کابین چرخ و فلکی را برحسب زاویهٔ چرخش آن ($x$ برحسب رادیان) نشان میدهد. این چرخ و فلک 5 دور چرخیده است.
الف) دامنهٔ این تابع را بنویسید.
از آنجا که چرخوفلک 5 دور چرخیده است و به ازای هر دور، زاویه چرخش $2\pi $ رادیان بیشتر میشود، دامنهٔ این تابع عبارت است از: $D = \left[ {0,10\pi } \right)$
ب) $f(\frac{\pi }{6})$ چه چیزی را نشان میدهد؟ این مقدار را بیابید.
$f(\frac{\pi }{6})$ ارتفاع کابین در زاویهٔ چرخش $\frac{\pi }{6}$ را نشان میدهد. $f(\frac{\pi }{6}) = 15$.
ج) به ازای چه زاویههایی، کابین در پایینترین نقطه قرار دارد؟
در زاویههای $8\pi + \frac{{3\pi }}{2},6\pi + \frac{{3\pi }}{2},4\pi + \frac{{3\pi }}{2},2\pi + \frac{{3\pi }}{2},\frac{{3\pi }}{2}$ کابین در سطح زمین قرار میگیرد و ارتفاع صفر است.
د) $f(\frac{\pi }{2})$ را بیابید. در این حالت، وضعیت کابین از لحاظ ارتفاع چگونه است؟
$f(\frac{\pi }{6}) = 20$، در این حالت، کابین در بالاترین ارتفاع قرار دارد.
تابع با قانون $f(x) = \sin x$ یکی از سادهترین تابعهای مثلثاتی است. دامنهٔ این تابع میتواند هر بازهای از اعداد حقیقی باشد، زیرا $x$ زاویهٔ چرخش است و زاویهٔ چرخش، هر عدد حقیقی میتواند باشد. در فعالیت زیر بعد تغییرات مقادیر این تابع را در یک دامنهٔ داده شده، برحسب تغییرات متغیر $x$ بررسی میکنیم.
فعالیت (صفحهٔ 15 کتاب درسی)
متحرکی را روی نقطۀ A از دایرهٔ مثلثاتی زیر در نظر بگیرید که دایره را یک دور طی میکند.
1- جملات زیر را کامل کنید (زاویهٔ چرخش را برحسب رادیان در نظر بگیرید).
الف) اگر زاویهٔ چرخش این متحرک را با $x$ نشان دهیم، $x$ از صفر تا 1 تغییر میکند.
ب) وقتی $x$ از صفر تا $\frac{\pi }{2}$ افزایش مییابد، $\sin x$ از صفر تا 1 (افزایش/ کاهش) مییابد.
ج) وقتی $x$ از $\frac{\pi }{2}$ تا $\pi $ افزایش مییابد، $\sin x$ از 1 تا 0 (افزایش/ کاهش) مییابد.
د) وقتی $x$ از $\pi $ تا $\frac{{3\pi }}{2}$ افزایش مییابد، $\sin x$ از 0 تا 1- (افزایش/ کاهش) مییابد.
ه) وقتی $x$ از $\frac{{3\pi }}{2}$ تا $2\pi $ افزایش مییابد، $\sin x$ از 1- تا 0 (افزایش/ کاهش) مییابد.
2- با توجه به نتایج بهدست آمده در باالا، جدول زیر را کامل کنید. افزایش یا کاهش مقادیر تابع را با فلش نمایش دهید (دو مورد در جدول مشخص شده است).
3- با مشخص کردن نقاط جدول در دستگاه مختصات زیر، نمودار تابع با قانون $f(x) = \sin x$ را در دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ بهطور تقریبی رسم کنید.
شکل زیر نمودار تابع $\sin x$ را با دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ نشان میدهد.
![مودار تابع $\sin x$ را با دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_ZGJSSg8WUsKKHqdhx7Lo.png)
توجه داشته باشید که مقادیر $x$ روی محور طولها، اندازهٔ زاویهها برحسب رادیان است. برای مثال، $\pi $ رادیان یعنی تقریباً 3/14 رادیان و $2\pi $ رادیان تقریباً 6/28 رادیان است؛ بنابراین دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ تقریباً همان $\left[ {0,6/28} \right]$ است.
با ادامهٔ حرکت، پس از یک دور کامل روی دایرهٔ مثلثاتی، تغییرات سینوس زاویهٔ چرخش در بازهٔ $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$، همانند تغییرات آن در بازهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ است. زیرا اگر به زاویهای مضرب صحیحی از $2\pi $ را اضافه یا از آن کم کنیم، نسبتهای مثلثاتی آن تغییر نمیکنند.
بنابراین، نمودار این تابع در بازههای دیگر، مانند $...\,,\,\left[ { - 2\pi ,0} \right]\,,\,\left[ {2\pi ,4\pi } \right]\,,\,\left[ {4\pi ,6\pi } \right]\,,\,...$ مشابه نمودار این تابع در بازهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ است. پس، برای رسم نمودار این تابع در بازههای دیگر، میتوان نمودار بالا را به اندازهٔ مضارب صحیح $2\pi \approx 6/28$ به چپ یا راست منتقل کرد. برای مثال، نمودار $f(x) = \sin x$ در بازهٔ $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$ بهصورت زیر است:
![نمودار $f(x) = \sin x$ در بازهٔ $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_KxS1H4PuIoS2lE3RYHDz.jpg)
نمودار $f(x) = \sin x$ در بازهٔ $\left[ { - 2\pi ,0} \right]$ بهصورت زیر است:
![نمودار $f(x) = \sin x$ در بازهٔ $\left[ { - 2\pi ,0} \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_z5h7165Q9xgM0m6wY0VI.jpg)
بنابراین، نمودار $f(x) = \sin x$ در $R$ بهصورت زیر است:
هر نقطه از نمودار بالا متناظر یک زاویهٔ چرخش روی دایرهٔ مثلثاتی است. برای مثال، در شکل زیر، دو زاویهٔ چرخش $\frac{\pi }{6}$ و $2\pi + \frac{{3\pi }}{4}$ با نقطهٔ متناظر آنها روی نمودار تابع $\sin x$ مشخص شده است.
مثال 5
نمودار تابع $g(x) = \cos x$ را در دامنة $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم کنید.
چگونگی تغییرات مقدار $\cos x$ برحسب $x$، مشابه تغییرات $\sin x$ برحسب $x$ است.
با تغییر $x$ از صفر تا $\pi $ مشاهده میشود که مقدار $\cos x$ از 1 تا 1- کاهش مییابد. سپس، با تغییر $x$ از $\pi $ تا $2\pi $ مقدار $\cos x$ از 1- تا 1 افزایش مییابد. شکل زیر، نمودار تابع $\cos x$ را در دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ نشان میدهد.
![نمودار تابع $\cos x$ را در دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_wGU0bZGo1FdrthVOQ9k5.jpg)
با افزایش مقادیر $x$ (بیش از $2\pi $ رادیان) و ادامۀ حرکت نقطه $A$ (پس از یک دور کامل روی دایره مثلثاتی)، مانند سینوس، تغییرات $\cos x$ در بازۀ $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$ مشابه تغییرات آن در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ است. زیرا اگر به زاویهای مضرب صحیحی از $2\pi $ را اضافه یا از آن کم کنیم، نسبتهای مثلثاتی آن تغییر نمیکنند. بنابراین، نمودار تابع $\cos x$ در بازههای دیگر، مانند $...\,,\,\left[ { - 2\pi ,0} \right]\,,\,\left[ {2\pi ,4\pi } \right]\,,\,\left[ {4\pi ,6\pi } \right]\,,...$، همان انتقال یافتهٔ نمودار تابع $\cos x$ در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ است. پس، برای رسم نمودار تابع $\cos x$ در بازههای دیگر، میتوان نمودار این تابع در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ را به اندازهٔ مضارب صحیح $2\pi \approx 6/28$ به چپ یا راست منتقل کرد.
برای مثال، نمودار $\cos x$ در بازه $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$ بهصورت زیر است:
![نمودار $\cos x$ در بازه $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_4nQAk8iTF4SKLRRE9wH1.jpg)
همچنین، نمودار $\cos x$ در بازهٔ $\left[ { - 2\pi ,0} \right]$ بهصورت زیر است:
![نمودار $\cos x$ در بازهٔ $\left[ { - 2\pi ,0} \right]$](https://gama.ir/uploads/tutorials/2026/06/3398_PQ9QbD63YvnL1WO7v8S8.jpg)
بنابراین، نمودار تابع $g(x) = \cos x$ در $R$ به شکل زیر است:
هر نقطه از این نمودار، متناظر یک زاویهٔ چرخش روی دایرهٔ مثلثاتی است. برای مثال، در شکل زیر دو زاویهٔ چرخش $\frac{\pi }{4}$ و $\frac{{5\pi }}{4}$ با نقطهٔ متناظر آنها روی نمودار تابع $\cos x$ مشخص شده است.
مثال 6
تابع مثلثاتی $h(x) = 2\sin x$ با دامنهٔ $R$ را در نظر بگیرید. مقدار این تابع در نقطهٔ $x$ با ضرب 2 در $\sin x$ حاصل میشود. نمودار این تابع و تابع $\sin x$ با هم در شکل زیر رسم شدهاند.
همانطور که در شکل دیده میشود، عرض نقاط نمودار تابع $2\sin x$ با ضرب 2 در عرض نقاط نمودار تابع $\sin x$ بهدست میآیند.
مثال 7
تابعهای $\sin (2x)$ و $2\sin x$ را در بازهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم کنید و تفاوت آنها را توضیح دهید.
همانطور که مشاهده میشود این دو تابع تفاوتهای مهمی با هم دارند و با هم مساوی نیستند. مقادیر تابع $2\sin x$ از 2 تا 2- تغییر میکنند ولی مقادیر تابع $\sin (2x)$ از 1 تا 1- تغییر میکنند. در بازهٔ $\left[ {\pi ,2\pi } \right]$ نمودار تابع $2\sin x$ در بازۀ $\left[ {0,\pi } \right]$ تکرار نمیشود ولی نمودار تابع $\sin (2x)$ تکرار میشود.
مثال 8
تابع مثلثاتی $f(x) = 3 + \sin x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید. برای رسم نمودار این تابع، ابتدا نمودار $\sin x$ را رسم میکنیم. سپس با انتقال این نمودار به اندازهٔ 3 واحد به بالا نمودار تابع $f$ بهدست میآید.
مثال 9
تابع مثلثاتی $f(x) = 10 + 10\sin x$ را که در فعالیت (2) بهدست آمده است، در نظر بگیرید. برای رسم نمودار این تابع، ابتدا نمودار $10\sin x$ را رسم میکنیم که به شکل زیر در میآید.
سپس، انتقال این نمودار به اندازهٔ 10 واحد به بالا، نمودار تابع $f(x) = 10 + 10\sin x$ را میسازد. نمودار این تابع با دامنة $\left[ {0,6\pi } \right]$ به شکل زیر است. نقاط متناظر در دو حالت از چرخ و فلک در نمودار نشان داده شده است.
کار در کلاس (صفحهٔ 22 کتاب درسی)
1- نمودار تابع $f(x) = 10 + 10\sin x$ را که در فعالیت (2) بهدست آمده است، با دامنهٔ $\left[ {0,6\pi } \right]$ در نظر بگیرید.
الف) هر یک از نقاط $E,D,C,B$ روی نمودار، متناظر کدام زاویهٔ چرخش است؟ مکان کابین روی چرخ و فلک را در هر کدام از این چهار نقطه مشخص کنید.
$B$: متناظر صفر رادیان، $C$: متناظر $2\pi + \frac{\pi }{2}$، $D$: متناظر $2\pi + \frac{\pi }{2}$ و $E$: متناظر $6\pi $
ب) نقطهای را روی نمودار مشخص کنید که نشان میدهد کابین یک دور چرخیده است.
نقطهٔ $F$
ج) به ازای چه مقادیری از زاویهٔ چرخش در دامنۀ تابع، کابین در پایینترین نقطه است؟
در زاویههای $4\pi + \frac{{3\pi }}{2},2\pi + \frac{{3\pi }}{2},\frac{{3\pi }}{2}$
د) به ازای چه مقادیری از زاویهٔ چرخش در دامنۀ تابع، کابین در بالاترین نقطه است؟
در زاویههای $4\pi + \frac{\pi }{2},2\pi + \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$
2- نمودارهای تابعهای $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ را با دامنهٔ $R$ در نظر بگیرید.
الف) آیا میتوان با انتقال یکی به چپ یا راست، دیگری را بهدست آورد؟ مقدار این انتقال چقدر است؟
بله، میتوان نمودار تابع $\sin x$ را به اندازهٔ $\frac{\pi }{2}$ موازی محور $x$ها، به سمت چپ انتقال داد، در اینصورت برای نمونه نقاط $A3,A2,A1$ روی نقاط $B3,B2,B1$ از نمودار $\cos x$ قرار میگیرند و نهایتاً دو نمودار برهم منطبق میشوند. درستی این مطلب بهدلیل درستی تساوی $\sin (x) = \cos (x - - )$ است که در صورت آمادگی هنرجویان میتوانید آن را مطرح کنید. بهطور مشابه میتوان گفت با انتقال نمودار تابع $\cos x$ به اندازهٔ $ - $ به راست نمودار تابع $\sin x$ بهدست میآید که نشاندهندهٔ درستی تساوی $\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos (x)$ است.
ب) چه شباهتهایی بین این دو نمودار میبینید؟
برخی از شباهتها عبارت است از:
در هر کدام از نمودارها:
- عرض پایینترین نقطهٔ 1- و عرض بالاترین نقطهٔ 1 است. (نقاط $A2,B2$ و همچنین $A4,B4$)
- فاصلهٔ بین بالاترین نقاط متوالی $2\pi $ است. (فاصلهٔ بین $B5,B2$ و همچنین $A5,A2$)
- فاصلهٔ طول بالاترین نقطه از طول پایینترین نقطهٔ بعد (قبل) از آن $\pi $ است. (فاصلهٔ $B2,B4$ و همچنین $A2,A4$)
- فاصلهٔ بین دو نقطهٔ متوالی که محور $x$ها را قطع میکند $\pi $ است. (فاصلهٔ $A1,A3$ و همچنین $B1,B3$)
- دو نقطه که اختلاف طول آنها $2\pi $ است عرض برابر دارند.
- نمودار یکی با انتقال افقی نمودار دیگری به اندازهٔ مناسب بهدست میآید.
مسائل (صفحهٔ 23 کتاب درسی)
1- برای تابع $u(x) = 4\sin x - 3\cos (2x)$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$، مقادیر $u(2)$ و $u(\frac{\pi }{6})$ و $u(3\pi )$ را بهدست آورید. (در صورت نیاز از ماشین حساب استفاده کنید.)
$\eqalign{
& u(x) = 4\sin x - 3\cos (2x) \cr
& u(3\pi ) = 4\sin 3\pi - 3\cos (2 \times 3\pi ) = 4 \times 0 - 3 \times 1 = - 3 \cr
& u(\frac{\pi }{6}) = 4\sin \frac{\pi }{6} - 3\cos (2 \times \frac{\pi }{6}) = 4 \times \frac{1}{2} - 3 \times \frac{1}{2} = \frac{{4 - 3}}{2} = \frac{1}{2} \cr
& u(2) = 4\sin (2) - 3\cos (2 \times 2) \approx 4 \times (0/9) - 3 \times ( - 0/65) = 5/55 \cr} $
2- سه تابع $f(x) = 3\cos x$ و $g(x) = \cos x + 2$ و $h(x) = 3\cos x - 2$ را با دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ در نظر بگیرید.
الف) نمودار هر یک از این تابعها را به همراه نمودار تابع $\cos x$ در دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم کنید.
عرض نقاط نمودار تابع $3\cos x$ با ضرب 3 در عرض نقاط نمودار تابع $\cos x$ بهدست میآیند.
نمودار تابع $\cos x + 2$ از طریق انتقال نمودار تابع $\cos x$ به اندازه 2 واحد به بالا رسم شده است.
ب) با توجه به نمودارهای بهدست آمده توضیح دهید که نمودار این تابعها چگونه از روی نمودار تابع $\cos x$ بهدست میآید.
برای رسم نمودار تابع $3\cos x - 2$، عرض نقاط نمودار تابع $\cos x$ را در 3 ضرب کرده تا نمودار تابع $3\cos x$ بهدست آید. سپس نمودار جدید به اندازه 2 واحد به پایین انتقال داده شده است.
3- با رسم نمودارهای دو تابع $\sin (2x)$ و $2\sin x.\cos x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ (به کمک جئوجبرا) درستی تساوی $\sin (2x) = 2\sin x.\cos x$ را بررسی کنید.
با رسم نمودارهای دو تابع $\sin (2x)$ و $2\sin x\cos x$ معلوم میشود دو نمودار برهم منطبقاند و تساوی داده شده درست است. برای آنکه دو نمودار جداگانه دیده شوند مناسب است که یکی را 2 واحد به بالا منتقل کنیم.
4- به کمک نمودار تابع $f(x) = \cos x$ با دامنهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$، جوابهای معادلە، $\cos x = 0$ را در بازهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ بهدست آورید.
با توجه به نمودار میتوان گفت نمودار تابع $\cos x$ محور طولها را در دو نقطهٔ قطع میکند و طول این نقاط $x = \frac{\pi }{2}$ و $x = \frac{{3\pi }}{2}$ است که همان جوابهای معادله $\cos x = 0$ در بازهٔ $\left[ {0,2\pi } \right]$ است.
5- دو تابع $f(x) = \cos x$ و $g(x) = \sin (x + \frac{\pi }{2})$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید. سه زاویۀ دلخواه برای $x$ در نظر بگیرید و درستی تساوی $f(x) = g(x)$ را بررسی کنید. به کمک رسم نمودار این دو تابع (با جئوجبرا) تحقیق کنید که آیا تساوی $f(x) = g(x)$ به ازای هر مقدار $x$ برقرار است.
به دلخواه سه زاویه برای $x$ از دامنه $R$ انتخاب کرده و آنها را در دو تابع $f$ و $g$ جاگذاری کرده و مقادیر آنها را محاسبه میکنیم. بهطور مثال:
$x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
f(0) = {\cos ^0} = 1 \hfill \cr
g(0) = \sin \left( {0 + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \hfill \cr
\end{gathered} \right.\,\,\,\, \Rightarrow f(0) = g(0)$
$x = - \pi \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
f( - \pi ) = \cos ( - \pi ) = - 1 \hfill \cr
g( - \pi ) = \sin \left( { - \pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \hfill \cr
\end{gathered} \right.\,\,\,\, \Rightarrow f( - \pi ) = g( - \pi )$
$x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \cr
g\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2}} \right) \hfill \cr
\end{gathered} \right.\,\,\,\, \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = g\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$
با کمک رسم نمودارهای دو تابع $\cos x$ و $\sin (x + \frac{\pi }{2})$ ملاحظه میشود تمامی نقاط این دو نمودار برهم منطبق هستند. بنابراین تساوی $f(x) = g(x)$ به ازای هر مقدار $x$ برقرار است.
خواندنی
غیاثالدین جمشید کاشانی، (808-758 هجری شمسی) در طول کمتر از 50 سال عمرش، رابطه بین محیط دایره و قطر آن را برای اولینبار بیان نمود، اندازه صحیح عدد پی ($\pi $) را بهدست آورد و توانست قسمت اعشاری آن را تا شانزده رقم اعشار حساب کند. او کاشف حقیقی کسر اعشاری بوده و دستهبندی معادلات درجۀ اول تا چهارم و حل عددی معادلات درجه چهارم و بالاتر را انجام داد. کاشانی ضمناً توانست سینوس یک درجه را تا چندین رقم اعشار حساب کند. محاسبه سینوس (جیب) زاویه یک درجه با دقت هفده رقم اعشاری بهروش ابتکاری و حل یک معادله درجه سوم با مقداری که امروزه محاسبه میشود، همخوانی دارد.
$\operatorname{Sin} 1 = 0/0174524064372835103712$
همچنین اختراع روش کنونی پیدا کردن ریشه n اُم عدد دلخواه به روش کاشانی در اصل همان روشی است که صدها سال بعد توسط پائولو روفینی (ریاضیدان ایتالیایی، 1765-1822 میلادی) و ویلیام جُرج هارنر (ریاضیدان انگلیسی، 1786-1837 میلادی)، بار دیگر اختراع شد! وی به تکمیل و تصحیح روشهای قدیمی انجام چهار عمل اصلی حساب پرداخت و روشهای جدید و سادهتری برای آنها اختراع کرد. در واقع، کاشانی را باید مبدع روشهای کنونی انجام چهار عمل اصلی حساب (بهویژه ضرب و تقسیم) دانست. همچنین او توانست قانونی برای تعیین مجموع اعداد طبیعی در توان چهارم ابداع نماید.
در مقدمه ترجمه روسی کتاب مفتاح الحساب آمده است: «کاشانی بزرگترین ریاضیدان و اخترشناس سده پانزدهم میلادی بود و اختراعات او را در بعضی از زمینهها باید نمونهای از حد کمال دانش در سدههای میانه دانست. روشهای عالی که کاشانی در محاسبههای خود بهکار میبرد و تکنیک استادانهای که در برآوردها و ارزیابیهای او دیده میشود، توجه خاص دانشمندان زمان ما را به خود جلب کرده است.»
تابع نمایی
حسن در حال مشاهدهٔ یک برنامهٔ تلویزیونی با عنوان «میزگرد تغییرات جمعیت و تأثیر آن بر توسعهٔ پایدار» بود. سخنان یکی از شرکتکنندگان در میزگرد توجه او را جلب کرد. این شرکتکننده ضمن بیان تأثیر تغییرات جمعیت بر رشد و توسعهٔ اقتصادی، به تغییر جمعیت کشور در طی سالهای 1390 تا 1395 اشاره کرد. او با پیشبینی میزان جمعیت در سالهای آینده، پیشنهادهایی برای برنامهریزی مناسب جهت ایجاد اشتغال، تأمین بهداشت و درمان عمومی و غیره مطرح میکرد.
حسن علاقهمند بود بداند که نحوهٔ پیشبینی مقدار جمعیت در سالهای آینده به چه صورت است. مجری برنامه چندبار از مدل ریاضی رشد جمعیت صحبت کرده بود. او به خاطر آورد که دبیر ریاضی گفته بود: پدیدههای طبیعی را میتوان به کمک ریاضی مدلسازی کرد و آنها را مورد تجزیه و تحلیل قرار داد. بنابراین تصمیم گرفت که سؤال خود را با دبیر ریاضی مطرح کند. دبیر با شنیدن سؤال حسن، ضمن ابراز خوشحالی از طرح این سؤال، گفت: برای نمایش تغییرات جمعیت در طول زمان از نوعی تابع استفاده میشود که در جلسات آینده به آن خواهیم پرداخت. او در روز موردنظر فعالیت زیر را مطرح کرد.
فعالیت (صفحهٔ 25 کتاب درسی)
جمعیت یکی از شهرهای ایران در سال 1390 یک میلیون نفر بوده است و نرخ رشد سالانهٔ جمعیت آن شهر 2 درصد است.
1- جمعیت شهر در پایان اولین سال چند برابر خواهد شد؟ 1/02 برابر.
2- در جدول زیر در هر مستطیل، یک عدد تواندار مناسب قرار دهید که جمعیت شهر را در پایان هر سال برحسب میلیون نفر نشان بدهد.
| جمعیت برحسب میلیون نفر | شمارهٔ سریال |
| $1/02$ | 1 |
| ${(1/02)^2}$ | 2 |
| ${(1/02)^3}$ | 3 |
| ${(1/02)^4}$ | 4 |
| ... | ... |
| ${(1/02)^x}$ | $x$ |
| ... | ... |
| ${(1/02)^20}$ | 20 |
3- اگر $f(x)$ جمعیت شهر، در پایان سال $x$ باشد و رشد سالانهٔ جمعیت این شهر تا 20 سال با 2 درصد ادامه یابد، ضابطه و دامنهٔ تابع $f$ را بنویسید.
$f(x) = {(1/02)^x}$ و دامنهٔ تابع بازهٔ $\left[ {0,20} \right]$ است. البته، در اینجا، تعداد سال میتواند عدد حقیقی باشد، اما اگر فقط پایان سال را درنظر داشته باشیم دامنهٔ تابع، مجموعهٔ $\left\{ {0\,,1\,,\,...\,,20} \right\}$ است.
در فعالیت بالا تغییرات جمعیت شهری را بررسی کردید که سالانه 2 درصد افزایش جمعیت داشت. یعنی، جمعیت این شهر هر سال 1/02 برابر میشود. جمعیت این شهر از سال 1390 به بعد، پس از $x$ سال بهصورت تابع با قانون $f(x) = {(1/02)^x}$ (برحسب میلیون نفر) است. قانون این تابع برای 20 سال و در پایان هر سال معتبر است، بنابراین دامنهٔ تابع، $\left\{ {1,2,....,20} \right\}$ است. قانون این تابع بهصورت یک عبارت تواندار است که متغیر در توان آن است. اینگونه تابعها را تابع نمایی مینامند.
با توجه به اینکه در توانرسانی به توان اعداد حقیقی دلخواه، پایه همواره مثبت است و توان هر عددی میتواند باشد، بنابراین دامنهٔ یک تابع با قانون $(0 < a),{a^x}$، میتواند هر زیر مجموعهای از $\mathbb{R}$ باشد.
کار در کلاس (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
تابع $f(x) = 5 \times {2^x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید، مقادیر زیر را بهدست آورید و در صورت امکان ساده کنید.
الف) $f(2)$: $5 \times {2^2} = 20$
ب) $f(0)$: $5 \times {2^0} = 5$
ج) $f( - 1)$: $5 \times {2^{ - 1}} = \frac{5}{2}$
د) $f(\frac{1}{3})$: $5 \times {2^{\frac{1}{3}}} = 5\root 3 \of 2 $
تابعهای نمایی ویژگیهای مشترک و رفتارهای خاصی دارند. برای آشنایی بیشتر با خواص و ویژگیهای تابعهای نمایی، فعالیت زیر را انجام دهید.
فعالیت (صفحهٔ 27 کتاب درسی)
تابع $f(x) = {3^x}$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید و سپس جدول زیر را کامل کنید.
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1- | 2- | 3- | $x$ |
| 27 | 9 | 3 | 1 | $\frac{1}{{3}}$ | $\frac{1}{{9}}$ | $\frac{1}{{27}}$ | ${3^x}$ |
1- با افزودن 1 واحد به مقدار $x$، مقدار $f(x + 1)$ چند برابر $f(x)$ خواهد شد؟
سه برابر خواهد شد، زیرا ${3^{x + 1}} = 3 \times {3^x}$
2- با افزایش مقدار $x$، مقدار تابع چه تغییری میکند (افزایش مییابد/ کاهش مییابد)؟
با افزایش $x$ مقدار $f(x)$ افزایش مییابد.
3- نقاطی از نمودار تابع را که در جدول بهدست آوردهاید، در صفحۀ مختصات زیر مشخص کنید و به کمک آنها نمودار تقریبی تابع را رسم کنید.
فعالیت بالا نشان میدهد تابع $f(x) = {3^x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ رفتاری افزایشی دارد، یعنی با افزایش مقدار $x$ مقدار $f(x)$ نیز افزایش مییابد. میزان افزایش مقادیر تابع بهگونهای است که با 1 واحد افزایش $x$، مقدار $f(x + 1)$ سه برابر $f(x)$ میشود. نمودار این تابع به شکل زیر است.
در مثال زیر رفتار یکی دیگر از اینگونه تابعها را بررسی میکنیم. در این مثال پایهٔ تابع نمایی، عددی بزرگتر از 1 است.
مثال 11
جدول زیر مربوط به تابع $f(x) = {(\frac{3}{2})^x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ است.
جدول نشان میدهد با افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار تابع یعنی ${(\frac{3}{2})^x}$، $\frac{3}{2}$ برابر (1/5 برابر) خواهد شد. نمودار این تابع به شکل زیر است.
نمودار این تابع در نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ محور $y$ها را قطع میکند و بالای محور طولها واقع است؛ زیرا مقادیر تابع همواره مثبت است. یکی از موارد استفاده از این نمودار، یافتن برخی از توانهای $\frac{3}{2}$ مانند یافتن مقدار تقریبی $\sqrt {1/5} $ (یعنی ${(1/5)^{\frac{1}{2}}}$) است. این محاسبه بدون استفاده از ماشین حساب به سادگی امکانپذیر نیست. با استفاده از نمودار میتوان دید مقدار $\sqrt {1/5} $ تقریباً 1/22 است؛ یعنی $\sqrt {1/5} \approx 1/22$.
مثال 12
تابع $f(x) = {(\frac{1}{3})^x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ یک تابع نمایی با پایهٔ $\frac{1}{3}$ است. جدول زیر مقادیر تابع به ازای برخی از مقادیر $x$ را نشان میدهد:
با افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار $f(x)$، $\frac{1}{3}$ برابر خواهد شد. بنابراین $f(x)$ کاهش مییابد. نمودار این تابع بهصورت زیر است.
نمودار این تابع در نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ محور $y$ها را قطع میکند و بالای محور $x$ها واقع است؛ زیرا مقادیر تابع همواره مثبت است.
با توجه به مثالهایی که از تابعهای نمایی بررسی کردیم، دربارهٔ رفتار این تابعها میتوان گفت:
در تابع نمایی $f(x) = {a^x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$، با افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار $f(x)$، $a$ برابر خواهد شد. اگر $1 < a$، با افزایش مقدار $x$، مقدار $f(x)$ افزایش خواهد یافت و اگر $0 < a < 1$، با افزایش مقدار $x$، مقدار $f(x)$ کاهش خواهد یافت. نمودار اینگونه تابعها همواره در بالای محور $x$ها واقع است زیرا هر توانی از یک عدد مثبت، عددی مثبت است. نمودار این تابع از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ میگذرد؛ زیرا $f(0) = {a^0} = 1$.
کار با ماشین حساب
با استفاده از ماشین حساب مقدار پسانداز فردی را که 8 میلیون تومان در این بانک سپردهگذاری کرده است، در پایان سال سوم برحسب میلیون تومان محاسبه کنید:
کار در کلاس (صفحهٔ 31 کتاب درسی)
1- دو جدول زیر نقاطی از صفحهٔ مختصات را مشخص میکنند. تعیین کنید نقاط نمایش داده شده در کدام جدول میتوانند نقاطی از نمودار یک تابع نمایی باشند. دلیل خود را بیان کنید و در هر کدام قانون تابعی را بنویسید که نقاط جدول میتوانند روی نمودار آن قرار گیرند.
نقاط مشخص شده در جدول «الف» روی نمودار تابع نمایی است، زیرا از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}
0 \hfill \cr
1 \hfill \cr
\end{matrix} \right]$ میگذرد و با هر واحد افزایش متغیر $x$، مقدار $y$، 4 برابر میشود قانون این تابع $f(x) = {4^x}$ میباشد.
در جدول «ب» با هر واحد افزایش متغیر $x$، مقدار $y$، 4 واحد افزایش مییابد بنابراین نقاط مشخص شده در این جدول روی نمودار یک تابع خطی است و شیب خط مربوط به این نمودار 4 میباشد با توجه به اینکه نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}
0 \hfill \cr
1 \hfill \cr
\end{matrix} \right]$ روی نمودار این تابع است قانون این تابع $f(x) = 4x + 1$ میباشد.
2- در هر کدام از نمودارهای زیر نوع تابع (تابع نمایی، تابع خطی، تابع درجه دوم) را مشخص کنید. اگر تابع نمایی باشد، آیا پایه بین صفر و یک است یا بزرگتر از یک؟
الف) تابع نمایی است و پایه بزرگتر از 1 است (با افزایش مقدار $x$، مقدار $y$ نیز افزایش مییابد).
ب) تابع درجهٔ دوم است. (نمودار سهمی است)
پ) تابع خطی است.
ت) تابع نمایی است و پایه کوچکتر از 1 است (با افزایش مقدار $x$، مقدار $y$ کاهش مییابد).
مسائل (صفحهٔ 34 کتاب درسی)
1- اگر $f(x) = {(\frac{1}{4})^x}$ و $g(x) = {5^x}$، مقادیر زیر را بهدست آورید و در صورت امکان ساده کنید.
$ = {(\frac{1}{4})^0} = 1$$f(0)$ (الف
$ = {5^{ - 1}} = \frac{1}{5}$$g( - 1)$ (ب
$ = {(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$f(\frac{1}{2})$ (ج
$ = {(\frac{1}{4})^{ - 1}} = 4$$f( - 1)$ (د
$ = {5^{\frac{1}{3}}} = \root 3 \of 5 $$g(\frac{1}{3})$ (هـ
2- در جدولهای زیر مقادیری از چهار تابع مشخص شدهاند. کدام جدول میتواند مربوط به یک تابع نمایی باشد؟ در این حالت، قانون آن تابع نمایی را مشخص کنید.
جدول قسمت (ب) مربوط به یک تابع نمایی است. زیرا افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار $y$، $\frac{1}{3}$ برابر شده است. در این حالت، مقدار تابع بهصورت $f(x) = {(\frac{1}{3})^x}$ است. جدول قسمت (پ) مربوط به یک تابع نمایی است. زیرا با افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار $y$، 0/5 برابر شده است. در این حالت، قانون تابع بهصورت $f(x) = {(\frac{1}{2})^x}$ است.
جدول قسمت (ت) مربوط به یک تابع نمایی است. زیرا با افزودن 1 واحد به متغیر $x$، مقدار $y$، 2 برابر شده است. در این حالت، قانون تابع بهصورت $f(x) = {2^x}$ است.
3- جدول زیر را طبق نمونه کامل کنید (دامنهٔ همهٔ تابعها $R$ است).
| محل تقاطع با محور $y$ها | تغییرات $y$ به ازای 1 واحد افزایش $x$ | قانون تابع | ردیف |
|---|---|---|---|
| $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ | 6 برابر | $y = {6^x}$ | 1 |
| $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ | 0/9 برابر | $y = {(0/9)^x}$ | 2 |
| $\left[ \begin{matrix} 0 \hfill \cr \frac{1}{3} \hfill \cr \end{matrix} \right]$ |
2 برابر | $y = \frac{1}{3} \times {2^x}$ | 3 |
| $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$ | $\frac{1}{5}$ برابر | $y = 3{(\frac{1}{5})^x}$ | 4 |
4- با افزایش مقادیر $x$، مقادیر کدام تابع افزایش و مقادیر کدام تابع کاهش مییابند؟ (دامنهٔ همهٔ این تابعها را $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید)
الف) $f(x) = {2^x}$ افزایش
ب) $g(x) = 200{(\frac{1}{3})^x}$ کاهش
ج) $h(x) = \frac{1}{3}{(\frac{3}{2})^x}$ افزایش
5- در سال 1400 شمسی جمعیت کشوری 30 میلیون نفر بوده است. اگر رشد جمعیت با نرخ 2 درصد در سال باشد، در سال 1410 جمعیت این کشور به چند میلیون نفر خواهد رسید؟
$f(x) = 5000000{(1/12)^n}$ (الف
$f(5) = 5000000{(1/12)^5} \approx 8811708$ (ب
6- تابع $f(x) = 3 \times {2^x}$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید.
الف) جدول مقادیر این تابع را در نقاط به طول 2- و 1- و 0 و 1 و 2 تشکیل دهید.
ب) نمودار این تابع، محور $y$ها را در چه نقطهای قطع میکند؟ $\left[ \begin{matrix}
0 \hfill \cr
3 \hfill \cr
\end{matrix} \right]$
ج) با یک واحد افزایش مقدار متغیر، مقدار تابع چه تغییری میکند؟
به ازای افزودن یک واحد به متغیر $x$، مقدار تابع $f$، دو برابر میشود.
7- تابع نمایی $f(x) = a{b^x}$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید. نمودار این تابع به شکل زیر است.
الف) قانون این تابع را بنویسید.
با توجه به اینکه محل برخورد نمودار تابع با محور $\left[ \begin{matrix}
1 \hfill \cr
6 \hfill \cr
\end{matrix} \right]$ که روی نمودار تابع است، میتوان گفت مقدار $b = 2$. پس قانون تابع بهصورت: $f(x) = 2 \times 3x$
ب) مقادیر $f(2)$ و $f( - 1)$ را بهدست آورید.
$\eqalign{
& f(2) = 2 \times {3^2} = 2 \times 9 = 18 \cr
& f( - 1) = 2 \times {3^{ - 1}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cr} $