درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس ششم
درس 2: اندازهگیری و محاسبات تقریبی
فعالیت (صفحهٔ 137 کتاب درسی)
|
|
|
|
|
|
هر یک از ابزارهای اندازه گیری تا حدّی میتوانند مقدار دقیق چیزی را که اندازه میگیرند نشان دهند. برای مثال دقّت خط کشی که فقط واحد سانتی متر دارد یک سانتی متر است. امّا دقّت خط کشی که واحد میلی متر را نیز دارد یک میلی متر است.
اگر شما بخواهید جرمتان را اندازه بگیرید، روی وزنه معمولاً نشانههای کیلوگرم را میخوانید و اگر عقربهی شمارش مثلاً کمی بیشتر از 63 باشد آن را به جای مثلاً 63/4، 63 کیلوگرم میخوانید. پس جرم شما تقریب زده میشود و به صورت یک مقدار تقریبی بیان میشود. امّا اختلاف این مقدار تقریبی با مقدار واقعی کمتر از 1 (کیلوگرم) است. میگوییم ترازو جرم اشخاص و اشیا را با تقریب کمتر از 1 کیلوگرم نشان میدهد.
حال اگر بخواهیم جرم یک بسته زعفران را حساب کنیم، این کار را با کدام یک از ترازوهای زیر انجام میدهیم؟
- ترازویی که جرم اشخاص را اندازه میگیرد.
- ترازوی خواربارفروشی که جرم اجسام تا 10 کیلوگرم را نشان میدهد.
- ترازویی که جرمهای تا حدّاکثر 100 گرم را نشان میدهد و دقّت آن تا 0/1 گرم است. ×
مانند نمونه در مثالهای زیر میزان تقریب را پیشنهاد کنید؛
- اندازه گیری جرم یک انسان $\leftarrow $ با تقریب کمتر از 1 کیلوگرم
- اندازه گیری تب یک کودک بیمار $\leftarrow $ با تقریب کمتر از یک درجه
- اندازه گیری جرم یک قطعهی فلزّی گرانبها $\leftarrow $ با تقریب کمتر از 0/1 یا 0/01 گرم یا حتی 1 گرم
کار در کلاس (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
1- قطر یک سکّهی 2000 ریالی را روی خط کش و بدون توجّه به میلی مترها بخوانید. چند سانتی متر است؟ بین 1 و 2 سانتیمتر
2- قطر همان سکّه را با سانتی متر و میلی متر بخوانید. چقدر است؟ 1 سانتیمتر و 5 میلیمتر
3- مانند نمونه دقّت اندازه گیری هر یک از ابزارهای اندازه گیری را بنویسید.
الف) خط کش مدرّج با سانتی متر و میلی متر شمار با تقریب کمتر از 0/1 سانتی متر (1 میلی متر)
ب) متر خیّاطی که فقط سانتی متر شمار دارد با تقریب کمتر از 1 سانتیمتر
پ) صفحهی کیلومتر شمار خودرو با تقریب کمتر از 5 کیلومتر
تمرین (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
1- طول و عرض و ارتفاع یک جعبه دستمال کاغذی را با تقریب کمتر از 1 سانتی متر اندازه گیری کنید و حجم آن را به دست آورید.
$23\times 11\times 8=2024$
2- طول و عرض و ارتفاع یک قوطی کبریت را با تقریب کمتر از 1 میلی متر اندازه گیری کنید و حجم آن را به دست آورید.
$51\times 33\times 13=21879$
3- جرم خودتان و یکی از دوستان یا افراد فامیل را اندازه گیری کنید. مقدار تقریبی عددها را با تقریب کمتر از 1 کیلوگرم به روش گرد کردن بنویسید.
$35/27\simeq 35$
$35/84\simeq 36$
فعالیت (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
1- فرش فروشی برای محاسبهی قیمت یک فرش دستباف ابتدا مساحت فرش را با اندازه گیری طول و عرض آن حساب کرد. محاسبات او را کامل کنید.
متر 2/93 = عرض
متر 4/12 = طول
متر مربع $2/93=12/0716$$=4/12\times $ مساحت فرض
او مقدار تقریبی مساحت را به روش قطع کردن و با تقریب کمتر از 0/01 به دست آورد.
$12/0716\simeq 12/07$
اکنون شما اختلاف بین مقدار واقعی و مقدار تقریبی مساحت فرش را به دست آورید.
$12/0716-12/07=0/0016$
2- نجّاری برای محاسبهی مساحت یک ورق نئوپان مستطیلی شکل به صورت زیر عمل کرد.
محاسبات او را کامل کنید.
متر 1/71 = عرض
متر 3/46 = طول
او ابتدا طول و عرض ورق نئوپان را با تقریب کمتر از 0/1 به روش قطع کردن به دست آورد.
$3/4$$\simeq $ طول
$1/7$$\simeq $ عرض
سپس مساحت این ورق نئوپان را به دست آورد.
$=3/4\times 1/7=5/78$ مساحت
مساحت این ورق را با روش سؤال 1 هم به دست آورید. دو روش به دست آوردن مساحت در فعّالیت 1 و 2 را با هم مقایسه کنید.
در روش فعالیت یک ابتدا محاسبه و سپس تقریب میزنیم که طولانیتر $3/46\times 1/71=5/9166\simeq 5/9$ ولی جواب به مقدار واقعی نزدیکتر است.
کار در کلاس (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
1- جرم یک برگهی کاغذ 3/5 گرم است. جرم یک بستهی 500 تایی از این برگهها چند کیلوگرم است؟ به دو روش حساب کنید و جواب را با تقریب کمتر از یک گرم (0/001 کیلوگرم) به دست آورید.
1) روش قطع کردن
-
الف) تقریب جرم برگه: $3/5\ \text{g} \to 3\ \text{g}$
$\Rightarrow 500 \times 3 = 1500\ \text{g}$ -
ب) بدون تقریب جرم برگه و سپس قطع کردن نتیجه:
$500 \times 3/5 = 1750\ \text{g} \to 1750\ \text{g}$
مقایسه: $1500\ \text{g}$ ↔ $1750\ \text{g}$
2) روش گرد کردن
-
الف) تقریب جرم برگه: $3/5\ \text{g} \to 4\ \text{g}$
$\Rightarrow 500 \times 4 = 2000\ \text{g}$ -
ب) بدون تقریب جرم برگه و سپس گرد کردن نتیجه:
$500 \times 3/5 = 1750\ \text{g} \to 1750\ \text{g}$
مقایسه: $2000\ \text{g}$ ↔ $1750\ \text{g}$
نتایج حاصل از هر دو نوع تقریب نشان میدهند که بهتر است تقریب را در پایان محاسبه انجام دهیم، نه در آغاز؛ زیرا در غیر این صورت خطای نهایی بیشتر میشود.
2- دو عدد 0/13 و 0/12 را در نظر بگیرید.
الف) ابتدا حاصل جمع دو عدد را به دست آورید و سپس جواب را با تقریب کمتر از 0/1 به روش گرد کردن تقریب بزنید.
$0/12+0/13=0/25\simeq 0/3$
ب) ابتدا هر عدد را با تقریب کمتر از 0/1 گرد کنید، سپس حاصل جمع را به دست آورید.
$\begin{matrix}0/12\simeq 0/1 \\0/13\simeq 0/1 \\\end{matrix}\Rightarrow 0/12+0/13\simeq 0/1+0/1=0/2$
آیا نتیجهها یکی هستند؟ خیر
3- دو عدد 0/13 و 0/12 را در نظر بگیرید. مراحل (الف) و (ب) سؤال (2) را به روش قطع کردن انجام دهید. آیا نتیجهها یکی هستند؟ بله
$0/12+0/13=0/25\simeq 0/2$
$\begin{matrix}0/12\simeq 0/1 \\0/13\simeq 0/1 \\\end{matrix}\Rightarrow 0/1+0/1=0/2$
4- جاهای خالی را پر کنید.
پاسخها را با هم مقایسه کنید. در روش گرد کردن جواب دقیقتر و به مقدار واقعی نزدیکتر است.
فعالیت (صفحهٔ 140 کتاب درسی)
1- عبارت زیر به دو روش محاسبه شده است. محاسبهها را کامل کنید.
آیا پاسخها یکی است؟ خیر
مثلاً اگر بخواهید عبارتی مانند این $3\times (60-7\times 4)$ را حساب کنید، چگونه عمل میکنید؟
2- برای انجام عملیات اگر عبارت پرانتز داشت، ابتدا داخل پرانتزها را حساب میکنیم: محاسبه را کامل کنید. فلشهای قرمز رنگ راهنمای ترتیب عملیات است:
پرانتزها راهنمای ترتیب عملیاتاند. محاسبهها را از داخلیترین پرانتزها شروع کنید.
اگر از پرانتز استفاده نشده باشد، مانند $8-2\times 3=$ چطور؟
اگر ترتیب عملیات با پرانتز مشخّص نشده باشد ابتدا باید ضربها و تقسیمها و سپس جمعها و تفریقها را از چپ به راست انجام دهیم.
با این قرارداد اکنون بگویید حاصل $8-2\times 3$ چیست؟
$8-2\times 3=8-6=2$
کار در کلاس (صفحهٔ 140 کتاب درسی)
1- با توجّه به قرارداد، حاصل هر عبارت را به دست آورید.
$5+(3-(1+(0/71-0/03)))\div 3=$ (الف
$5+(3-(1+0/68))\div 3=5-(3-1/68)\div 3=5-1/32\div 3=5-0/44=4/56$
$4+21+52-5-2=77-5-2=72-2=70$$8\div 2+3\times 7+4\times 13-5-2=$ (ب
2- عدد 4/25 به روش قطع کردن را با تقریب کمتر از 1 بنویسید. سپس حاصل ضرب سمت راست را انجام دهید:
با تقریب کمتر از، $4$$4/25=$
$=4\times 4=16$$4\times 4/25$
مقدار واقعی 4/25 را در سمت چپ نشان داده و سپس آن را 4 برابر کردهایم. توضیح دهید که حذف 0/25 چه تأثیری در 4 برابر شدن آن دارد.
با حذف 0/25، هنگام 4 برابر شدن یک واحد کامل کم میشود.
3- احمد حاصل ضرب $34/2\times 11/2$ را به روش قطع کردن و با تقریب کمتر از 1 حساب کرد و عدد 374 را به دست آورد.
$34/2\times 11/2\simeq 34\times 11=374$
محسن حاصل را به روش قطع کردن و با تقریب کمتر از 10 به دست آورد:
$34/2\times 11/2\simeq 30\times 10=300$
کدام یک به مقدار واقعی نزدیکتر است؟ جواب احمد
نتیجه: هرچه مقدار تقریب کمتر باشد دقت بیشتر و جواب به مقدار واقعی نزدیکتر است.
$34/2\times 11/2=383/4$
4- طبق قرارداد، محاسبهها را با رعایت ترتیب انجام عملیات انجام دهید.
$1/1-0/2\times 1/5=1/1-0/3=0/8$$1/1-0/2\times (0/43+1/07)=$ (الف
$3+1/2\times 3=3+3/6=6/6$$4/5\div 1/5+1/2\times 3=$ (ب
5- حاصل عبارتهای زیر را به دست آورید و سپس با تقریب کمتر از 0/1 به روش گرد کردن تقریب بزنید.
$\frac{5}{2}+\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{5}{2}+\frac{16}{15}=\frac{75}{30}+\frac{32}{30}=\frac{107}{30}=3/56\simeq 3/6$$2\frac{1}{2}+1\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}=$ (الف
$6+(3+(1+(0/71-0/39)))\div 3=$ (ب
$6+(3+(1+0/32)\div 3=6+(3+1/32)\div 3=6+4/32\div 3=6+1/44=7/44\simeq 7/4$
تمرین (صفحهٔ 141 کتاب درسی)
1- حاصل عبارت را با دو روش (ابتدا تقریب، سپس محاسبه - ابتدا محاسبه، سپس تقریب)، با تقریب کمتر از 1 و به روش گرد کردن به دست آورید.
چون رقم دهم همهی اعداد و همچنین رقم دهم مقدار واقعی کمتر از 5 است پس جواب به هر دو روش قطع کردن و گرد کردن یکی است.
$5+7-6=6$$5/37+7/44-6/48\simeq $ تقریب
$5/37+7/44-6/48=6/33\simeq 6$ محاسبه
2- حاصل عبارتها را با تقریب کمتر از 1 و به روش قطع کردن به دست آورید. روشی مناسب (ابتدا تقریب، سپس محاسبه ابتدا محاسبه، سپس تقریب) انتخاب کنید. در هر مورد اختلاف پاسخ تقریبی و عدد واقعی را به دست آورید.
$12/21-6/82=5/39$$4/31+7/9-6/82=$
مقدار واقعی $12\frac{1}{4}-\frac{5}{6}=12\frac{3}{12}-\frac{10}{12}=11\frac{15}{12}-\frac{10}{12}=11\frac{5}{12}$$13\frac{1}{4}-1\frac{5}{6}=$
$=5/39-5=0/39$ اختلاف $=4+7-6=5\to $ تقریب، محاسبه
$=12-11\frac{5}{12}=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ اختلاف $=13-1=12\to $ تقریب، محاسبه
$=0/39$ اختلاف $=5/39\simeq 5$ محاسبه، تقریب
$=11\frac{5}{12}-11=\frac{5}{12}$ اختلاف $=11\frac{5}{12}\simeq 11$ محاسبه، تقریب
3- حاصل عبارتها را به دست آورید. میتوانید ابتدا عدد اعشاری را به کسر و یا کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید. باید تشخیص دهید کدام مناسبتر است.
$13/1-12=1/1$$13/1-1/2\times 10=$
$12-0/4+1/6=11/6+1/6=13/2$$12-\frac{2}{5}+1\frac{3}{5}=$
$10-0/1\times 1/2=10-0/12=9/88$$10-0/1\times (4/7-3/5)=$
$3/25-1/17=2/08$$3\frac{1}{4}-1/17=$
$3/13$$4/3-1/17=$
$\frac{2}{10}\times \frac{10}{7}=\frac{2}{7}$$0/2\times 1\frac{3}{7}=$
$4\frac{3}{10}+1\frac{2}{3}=4\frac{9}{30}+1\frac{20}{30}=5\frac{29}{30}$$4/3+1\frac{2}{3}=$
4- با توجّه به اینکه $\frac{1}{3}=0/33333$، مقدار $\frac{7}{3}$ با تقریب کمتر از 0/1 به دو روش زیر محاسبه کنید:
$2/1$$\frac{7}{3}=7\times \frac{1}{3}\simeq 7\times 0/3=$
تا 5 رقم اعشار، $2/33333\simeq 2/3$$\frac{7}{3}=7\div 3\simeq $
برای آنکه پاسخها یکسان باشد چه پیشنهادی دارید؟ در ردیف اول، ابتدا کسر $\frac{1}{3}$ را با رقمهای بیشتری در نظر گرفته (مثلاً دو رقم اعشار) و ضرب را انجام دهیم و سپس با تقریب کمتر از 0/1 جواب را بنویسیم.