درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم ساختمان

پودمان 4: محاسبۀ حجم و وزن

بازدید9/3 K

تاریخ بروزرسانی1400/06/19

واحد یادگیری 6: روش‌های محاسبۀ حجم

مترمکعب (${m^3}$)، واحد حجم

یک مترمکعب، حجم مکعبی است که طول هر بعد آن یک متر می‌باشد.

$V = 1{m^3}$

تبدیل‌های واحد حجم (V)

جدول 6-1- ضرایب تبدیل یکاهای حجم
${10^{ - 9}}$ کیلومترمکعب $k{m^3}$	${10^{ - 6}}$ هکتومترمکعب $h{m^3}$	${10^{ - 3}}$ دکامترمکعب $da{m^3}$	$1$ مترمکعب ${m^3}$	${10^3}$ دسی‌مترمکعب $d{m^3}$ (لیتر Lit)	${10^6}$ سانتی‌مترمکعب $c{m^3}$ (سی سی cc یا میلی لیتر ml)	${10^9}$ میلیمترمکعب $m{m^3}$

پرسش کلاسی

مثال: 100000 لیتر چند متر مکعب است؟

$100000d{m^3} \times \tfrac{{1{m^3}}}{{{{10}^3}d{m^3}}} = {10^5} \times \tfrac{1}{{{{10}^3}}} = {10^2}{m^3} = 100{m^3}$

پیدا کردن رابطه بین اعداد در جدول صفحۀ قبل می‌تواند در به خاطر سپردن آنها کمک زیادی نماید.

محاسبه حجم احجام منشوری

حجم احجام منشوری برابر است با مساحت قاعده × ارتفاع
حجم منشور با مساحت قاعدۀ S و ارتفاع h برابر است با Sh

حجم استوانه با شعاع قاعدۀ r و ارتفاع h برابر است با $\pi {r^2}h$

حجم مکعب به ضلع a برابر است با ${a^3}$

حجم مکعب مستطیل به اضلاع قاعدة a و b و ارتفاع h برابر است با a.b.h

پرسش کلاسی

مثال 1: شکل زیر یک کانال را نشان می‌دهد. حجم خاکبرداری این کانال را بر حسب مترمکعب محاسبه کنید.

مساحت مقطع کانال $S = \tfrac{{a + b}}{2} \times h = \tfrac{{1/20 + 2/20}}{2} \times 0/8$
$S = 1/36{m^2}$

حجم خاک برداری $V = S \times L = 1/36 \times 12 = 16/32{m^2}$

پرسش کلاسی

مثال 2: شکل روبه‌رو یک لوله بتنی را نشان می‌دهد. مطلوب است:
الف) فضایی که این لوله اشغال می‌کند
ب) حجم داخل لوله
ج) حجم بتن لازم برای ساخت لوله

حل:
الف) برای محاسبه فضایی که لوله اشغال می‌کند باید حجم کل لوله را محاسبه کنیم:

$r = 0/5m$
$R = 0/5 + 0/1 = 0/6m$
${V_{kol}} = {S_{kol}}.L = \pi {R^2} \times L = 3/14 \times 0/{6^2} \times 4 \Rightarrow V = 4/52{m^3}$

ب) حجم داخل لوله

${V_{dakhel}} = {S_{dakhel}}.L = \pi {r^2} \times L = 3/14 \times 0/{5^2} \times 4 \Rightarrow V = 3/14{m^3}$

ج) برای محاسبه حجم بتن باید سطح مقطع جداره لوله را در طول آن ضرب نماییم. داریم:

$V = S.L = \pi ({R^2} - {r^2}) \times L = 3/14 \times (0/{6^2} - 0/{5^2}) \times 4 \Rightarrow V = 1/38{m^3}$

نکته: برای محاسبه حجم بتن می‌توان حجم داخل لوله را از حجم کل نیز کم کرد. یعنی:

${V_{beton}} = {V_{kol}} - {V_{dakhel}} \Rightarrow {V_{beton}} = 4/52 - 3/14 = 1/38{m^3}$

پرسش کلاسی

مثال 3: حجم شکل 6-7 که یک ستون بتنی را نشان می‌دهد، چند مترمکعب است؟

$r = \tfrac{d}{2} = \tfrac{{40}}{2} = 20cm$

مساحت مقطع $S = \pi {r^2} = 3/14 \times {20^2} = 1256c{m^2}$

$V = S \times h = 1256 \times 300 = 376800c{m^3}$

$V = 376800c{m^3} \times \tfrac{{1{m^3}}}{{{{100}^3}c{m^3}}} = 0/38{m^3}$

1- یک جعبۀ چوبی مکعب‌شکل به ابعاد داخلی $0/5m \times 0/5m \times 0/5m$ و ضخامت دیوارۀ 2 سانتی‌متر موجود است.
الف- حجم داخل جعبه چند سانتی‌مترمکعب و چند مترمکعب است؟
ب- اگر بخواهیم داخل جعبه را رنگ بزنیم، سطح رنگ‌کاری چند مترمربع است؟

2- یک استخر آب به صورت مکعب‌مستطیل ساخته ‌شده است. کف آن از بتن به ضخامت 20cm و دیوارۀ آن از بتن به ضخامت 20 سانتی‌متر که داخل آن عایق‌کاری گردیده و یک دیوار 10 سانتی‌متری محافظ عایق هم کشیده شده است. سطح داخلی دیواره نیز با ماسه سیمان لیسه‌ای اندود شده است. موارد زیر را محاسبه کنید:
الف- حجم بتن کف (${m^3}$)
ب- حجم آجرکاری (${m^3}$)
پ- سطح عایق‌کاری کف و دیواره‌ها (${m^3}$)
ت- سطح اندود دیواره‌ها (${m^3}$)
ث- ظرفیت آب استخر (${m^3}$)
ج- حجم بتن دیوار (${m^3}$)

3- برای یک کارگاه ساختمانی، احتیاج به یک منبع آب با ظرفیت 27000 لیتر داریم. اگر منبع به شکل مکعب ساخته شود، طول هر ضلع آن چند متر است؟

4- قسمتی از یک جاده به طول 73 متر، مطابق شکل خاک‌ریزی می‌شود. محاسبه نمایید که باید چند مترمکعب خاک‌ریزی شود.

5- تونلی به طول 840 متر با مشخصات طبق شکل 6-9 مفروض است. مطلوب است:
الف- محاسبۀ حجم حفاری انجام‌شده به متر مکعب.
ب- محاسبۀ حجم بتن ریزی انجام‌شده به متر مکعب.

6- قرار است یک انبار به ابعاد داخلی 10 متر در 6 متر و به ارتفاع 5 متر را با دیوارهای 35 سانتی‌متری بسازیم. در صورتی که در و پنجرۀ این انبار سطحی معادل 20% سطح دیوارها داشته باشند:
الف- حجم آجرکاری را به مترمکعب محاسبه کنید.
ب- سطح اندود داخلی و خارجی را به مترمربع محاسبه کنید.

7- در یک ساختمان بتنی، از ستون‌های با مقطع دایره استفاده شده است. در صورتی که از 10 عدد ستون دایره به قطر 50cm و 16 عدد ستون دایره به قطر 60cm استفاده شود و ارتفاع همۀ ستون‌ها برابر 3/20 متر باشد:
الف- حجم بتن مصرفی در ستون‌ها را بر حسب مترمکعب محاسبه کنید.
ب- در صورت رنگ‌آمیزی ستون‌ها، سطح رنگ‌آمیزی چند مترمربع است؟

8- در یک پارک، تعداد 22 عدد آب‌نما مطابق شکل زیر وجود دارد. در صورتی که این آب‌نماها از بتن ساخته شده باشند و ضخامت دیوار و کف آنها 10 سانتی‌متر باشد:
الف- حجم بتن مصرفی را حساب کنید.(${m^3}$)
ب- گنجایش آب این آب نماها در مجموع چقدر است؟ (${m^3}$)
پ- سطح رنگ‌آمیزی داخل و خارج این آب نماها چقدر است؟ (${m^2}$)

9- شکل زیر مقطع یک جدول سادۀ بتنی کنار خیابان به طول 500 متر را نشان می‌دهد:
الف- حجم بتن 300 کیلو سیمان بر حسب مترمکعب چقدر است؟
ب- حجم بتن 150 کیلو سیمان را بر حسب مترمکعب تعیین کنید.

10- قسمتی از یک کانال مطابق شکل زیر گودبرداری می‌شود. طول این قسمت 91 متر است. محاسبه کنید که چند مترمکعب گودبرداری می‌شود؟

واحد یادگیری 7: محاسبۀ وزن

کیلوگرم (kg)، واحد جرم

یک کیلوگرم جرم استوانه‌ای از آلیاژ پلاتین - ایریدیم است که در اداره استاندارد بین‌المللی در نزدیکی شهر پاریس نگهداری می‌شود.

نیوتن (N)، واحد نیرو

یک نیوتن مقدار نیرویی است که به جرم یک کیلوگرم، شتاب یک متر بر مجذور ثانیه را بدهد.

تبدیل‌های واحد جرم (M)

جدول 7-1- ضرایب تبدیل یکاهای جرم
${10^{ - 3}}$ تن ton	$1$ کیلوگرم kg	${10^3}$ گرم gr

پرسش کلاسی

مثال: 0/25 تن چند گرم است؟

$0/25ton \times \tfrac{{{{10}^3}gr}}{{{{10}^{ - 3}}ton}} = 2/5 \times {10^{ - 1}} \times {10^6} = 2/5 \times {10^5}gr$

چگالی و واحدهای اندازه‌گیری آن

1- چگالی یک ماده، جرم واحد حجم آن ماده است. چگالی را با حرف یونانی $\rho $ (با تلفظ «رُ») نمایش می‌دهند.

چگالی برابر است با نسبت جرم به حجم

$\rho = \tfrac{m}{v}$

2- واحد اصلی اندازه گیری چگالی در سیستم SI کیلوگرم بر متر مکعب $\left( {\tfrac{{kg}}{{{m^3}}}} \right)$ است.

3- واحدهای دیگر چگالی گرم بر سانتی متر مکعب $\left( {\tfrac{{gr}}{{c{m^3}}}} \right)$ و تن بر متر مکعب $\left( {\tfrac{{ton}}{{{m^3}}}} \right)$ است.

پرسش کلاسی

مثال 1: یک کیلوگرم بر مترمکعب چند گرم بر سانتی‌متر مکعب است؟

نکته: برای تبدیل واحد کمیت‌هایی که به صورت کَسری می‌باشند مانند چگالی، همان قاعدۀ فصل دوم کتاب را اعمال می‌نماییم؛ با این تفاوت که تبدیل واحدهایی که در مخرج قرار دارند را به صورت معکوس در ضریب تبدیل واحدِ صورت ضرب می‌کنیم.

حل:

$1\tfrac{{kg}}{{{m^3}}} = 1kg \times \tfrac{{1000gr}}{{1kg}} \times \tfrac{{1{m^3}}}{{{{100}^3}c{m^3}}} = {10^{ - 3}}\tfrac{{gr}}{{c{m^3}}}$

مثال 2: یک تن بر مترمکعب چند کیلوگرم بر مترمکعب است؟

$1t \times \tfrac{{1kg}}{{{{10}^{ - 3}}t}} \times \tfrac{1}{{{m^3}}} = 1000\tfrac{{kg}}{{{m^3}}}$

وزن و واحد اندازه‌گیری آن

نیروی جاذبه‌ای را که از طرف زمین بر جرم یک جسم وارد می‌شود، «وزن» آن جسم می‌گویند.
یک نیوتن مقدار نیرویی است که اگر به جرم یک کیلوگرم وارد شود، شتابی برابر با یک متر بر مجذور ثانیه به آن می‌دهد.

واحد اندازه‌گیری وزن «نیوتون (N)» است.
برای محاسبۀ وزن یک جسم بر حسب نیوتن کافی است که جرم آن را بر حسب kg در عدد 9/81 ضرب کنید.

پرسش کلاسی

مثال 1: جرم یک جسم یک کیلوگرم است. وزن آن چقدر است؟

حل:

جرم = وزن$ \times 9/81 \Rightarrow 1 \times 9/81 = 9/81N$

نکته: به 9/81N، یک کیلوگرم نیرو هم می‌گویند و آن را با علامت kgf نشان می‌دهند.

$1kgf = 9/81N$

بنابراین می‌توانیم بگوییم:

کیلوگرم، واحد جرم است.
کیلوگرم نیرو، واحد وزن است.

مثال 2: وزن یک متر میل‌گرد به قطر18(18$\phi $) برابر2000gf می‌باشد. وزن یک شاخۀ 12 متری از این میل‌گرد چند کیلوگرم نیرو و وزن 10 شاخه از آن چند تن نیرو است؟

حل:

وزن یک شاخه بر حسب کیلوگرم نیرو

$12 \times 2000 = 24000gr = 24000 \times {10^{ - 3}} = 24kgf$

وزن یک شاخه بر حسب تن نیرو

$24 \times {10^{ - 3}} = 0/024tonf$

وزن ده شاخه بر حسب تن نیرو

$0/024 \times 10 = 0/24tonf$

محاسبات جرم، چگالی و حجم

برای محاسبات مربوط به جرم، چگالی و حجم از رابطۀ $\rho = \tfrac{m}{v}$ استفاده می‌کنیم.

پرسش کلاسی

مثال 1: حجم بتن مصرفی در یک ستون 2/5 مترمکعب است. اگر چگالی آن $2400\tfrac{{kg}}{{{m^3}}}$ باشد، وزن این ستون چند نیوتن است؟

حل:

$\rho = \tfrac{m}{v} \Rightarrow 2400\tfrac{{kg}}{{{m^3}}} = \tfrac{m}{{2/5{m^3}}}$

جرم ستون $(m) = 2400\tfrac{{kg}}{{{m^3}}} \times 2/5{m^3} = 6000kg$

وزن ستون$= 6000kg \times 9/81 = 58860N$

مثال 2: جرم یک قطعه چوب بلوط 873kg است.اگر جرم حجمی آن $900\tfrac{{kg}}{{{m^3}}}$ باشد، حجم آن چند متر مکعب است؟

حل:

حجم قطعه چوب $\rho = \tfrac{m}{v} \Rightarrow V = \tfrac{m}{\rho } = \tfrac{{378kg}}{{900\tfrac{{kg}}{{{m^3}}}}} = 0/42{m^3}$

1- شکل 7-1 مقطع یک آب‌روی بتنی را نشان می‌دهد که طول آن 11 متر است. در قسمتی از یک راه، تعداد 19 عدد از این آب‌روها مورد نیاز است.
الف- حجم بتن مصرفی چند مترمکعب است؟
ب- مقدار سیمان مورد نیاز چند کیلوگرم است؟ (بتن از نوع 350 کیلوگرم سیمان می‌باشد.)
پ- وزن یک عدد از این آب‌روها چند تن نیرو است؟ (در صورتی که چگالی بتن 2400 کیلوگرم بر مترمکعب باشد.)

2- شکل 7-2 مقطع یک آب‌روی سرپوشیدۀ بتنی کنار خیابان است. طول خیابان 1350 متر است:
الف- مقدار بتن مصرفی را بر حسب مترمکعب محاسبه کنید.
ب- مقدار سیمان لازم چند کیلوگرم است؟ (عیار سیمان مصرفی 350 کیلوگرم بر مترمکعب بتن می‌باشد.)

3- شکل 7-3 مقطع آب‌روی بتنی کنار یک خیابان را که طول آن 1200 متر است نشان می‌دهد:
الف- مقدار بتن با عیار 350 کیلوگرم سیمان را بر حسب مترمکعب حساب کنید.
ب- مقدار بتن با عیار 150 کیلوگرم سیمان بر حسب مترمکعب چقدر است؟
پ- مقدار سیمان لازم را بر حسب کیلوگرم تعیین کنید.

4- برای اجرای یک پروژۀ عمرانی باید تعدادی لولۀ بتنی به طول 7/5 متر، قطر داخلی 4 متر و ضخامت دیوارۀ 25 سانتی‌متر، با تریلی از کارخانۀ تولید لوله به محل پروژه حمل شود. در صورتی که چگالی هر مترمکعب لوله 2800 کیلوگرم و جرم تریلی 30 تن باشد و در مسیر تریلی پلی با ظرفیت باربری حداکثر 95 تن (با در نظر گرفتن وضعیت تقسیم بار بر روی محورها) وجود داشته باشد، آیا تریلی مجاز است این محموله را از روی پل عبور دهد؟

5- به یک کارگاه ساختمانی 240 تن سیمان وارد شده است. در صورتی که در ساختمان الف $\tfrac{3}{8}$ آن و در ساختمان ب $\tfrac{2}{8}$ آن مورد نیاز باشد و بقیه را بخواهیم انبار کنیم، باید چند کیلوگرم سیمان در هر ساختمان تخلیه شود و چند کیلوگرم به انبار حمل گردد؟ در ضمن مقدار سیمان انبار شده چند کیسه خواهد بود؟ (جرم هر کیسه سیمان 50 کیلوگرم است.)

6- برای ساختن بتن در احداث پیِ یک ساختمان 3 مترمکعب آب مورد نیاز است.
الف- مقدار آب مورد نیاز چند لیتر است؟
ب- مقدار آب مورد نیاز چند دسی‌مترمکعب است؟
پ- در صورتی که برای نگهداری این مقدار آب بخواهیم از بشکه‌های 200 لیتری استفاده کنیم، چند عدد بشکه مورد نیاز است؟

7- برای یک کار اختصاصی، لولۀ بتنی طبق شکل زیر ساخته می‌شود. موارد زیر را محاسبه کنید:
الف- جرم یک لوله در صورتی که جرم یک مترمکعب بتن 2200 کیلوگرم باشد.
ب- در صورتی که ظرفیت حمل بار یک کامیون پنج تن باشد، چه تعداد از این لوله را می‌تواند حمل کند؟

8- گنجایش یک تانک ذخیرۀ آب 18 مترمکعب است. گنجایش تانک چند لیتر است؟

9- برای هر مترمکعب دیوارچینی، 620 عدد آجر فشاری لازم است. در صورتی که جرم هر آجر فشاری 1/75 کیلوگرم باشد، محاسبه کنید هر مترمکعب دیوارچینی چند کیلوگرم و چند تن آجر لازم دارد؟

10- در صورتی که برای ملات هر مترمکعب دیوارچینی، 85 کیلوگرم سیمان مصرف شود و حجم دیوارچینی 10 مترمکعب باشد، چند پاکت سیمان لازم است؟ (هر پاکت سیمان 50 کیلوگرم است.) چند تن سیمان لازم است؟

درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم ساختمان

پودمان 4: محاسبۀ حجم و وزن

واحد یادگیری 6: روش‌های محاسبۀ حجم

مترمکعب (${m^3}$)، واحد حجم

تبدیل‌های واحد حجم (V)

محاسبه حجم احجام منشوری

تمرین (صفحه 82 کتاب درسی)

واحد یادگیری 7: محاسبۀ وزن

کیلوگرم (kg)، واحد جرم

نیوتن (N)، واحد نیرو

تبدیل‌های واحد جرم (M)

چگالی و واحدهای اندازه‌گیری آن

وزن و واحد اندازه‌گیری آن

محاسبات جرم، چگالی و حجم

تمرین (صفحه 87 کتاب درسی)