درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم ساختمان

پرسش کلاسی

مثال: 150000 سانتی‌متر مربع چند کیلومتر مربع است؟

$150000c{m^2} \times \tfrac{{{{10}^{ - 6}}k{m^2}}}{{{{10}^4}c{m^2}}} = 1/5 \times {10^5} \times \tfrac{{{{10}^{ - 6}}}}{{{{10}^4}}} = 1/5 \times {10^{ - 5}}k{m^2}$

پرسش کلاسی

مثال: در شکل 5-2 مساحت ABC را به سه روش صفحۀ قبل محاسبه می‌کنیم.

با استفاده از اندازۀ قاعده و ارتفاع:

$s = \tfrac{1}{2}a.{h_A} = \tfrac{1}{2} \times 48m \times 26/81m = 643/44{m^2}$

با استفاده از اندازۀ دو ضلع و زاویۀ بین آنها:

$s = \tfrac{1}{2}ab\sin C = \tfrac{1}{2} \times 48 \times 37 \times \sin {46^\circ}26'$

$s = \tfrac{1}{2} \times 48 \times 37 \times 0/7246 = 643/44{m^2}$

با استفاده از اندازۀ سه ضلع:

$s = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $

$p = \tfrac{{a + b + c}}{2} = \tfrac{{48 + 37 + 35}}{2} = 60$

$s = \sqrt {60(60 - 48)(60 - 37)(60 - 35)} $

$s = \sqrt {60(12)(23)(25)} = \sqrt {414000} = 643/43{m^2}$

نکته: اختلاف حاصل در محاسبۀ مساحت به دلیل گرد کردن اعداد در محاسبات به وجود آمده است.

پرسش کلاسی

مثال 1: در شکل 5-17 مساحت چهارضلعی ABCD چند مترمربع است؟

حل: با رسم قطر BD چهارضلعی ABCD را به دو مثلث تبدیل می‌کنیم.

مساحت مثلث

${S_{ABC}} = \tfrac{1}{2}(85/26m)(74/37m)\sin {117^\circ}22' = 2815/57$

طول قطر BD

${(BD)^2} = {(85/26)^2} + {(74/37)^2} - 2(85/26)(74/37)\cos {117^\circ}22'$

${(BD)^2} = 18629/67 \Rightarrow BD = 136/49m$

مساحت مثلث BCD

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,p = \tfrac{{a + b + c}}{2}$

$p = \tfrac{{91/04 + 65/15 + 136/49}}{2} = 146/34$

${S_{BDC}} = \sqrt {146/34(146/34 - 91/04)(146/34 - 65/15)(146/34 - 136/49)} $

${S_{BDC}} = \sqrt {6471827/81}  = 2543/98$

مساحت چهارضلعی ABCD

${S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BDC}} = 2815/57 + 2543/98$

${S_{ABCD}} = 5359/55{m^2}$

پرسش کلاسی

مثال 2: قطعه زمینی به شکل ذوزنقۀ قائم‌الزاویه را به سه قطعه زمین به صورت مثلث قائم‌الزاویه تفکیک کرده‌ایم. در صورتی که مساحت ذوزنقه برابر 142/01 متر مربع و مساحت مثلث (1)، برابر 5/41 مترمربع باشد، مساحت و طول اضلاع مثلث‌های (2) و (3) چقدر است؟ (بر حسب مترمربع و متر.)

حل: برای حل این تمرین، ابتدا شکل آن را می‌کشیم و بعد گوشه‌ها را اسم‌گذاری می‌کنیم. طبق صورت مسئله، مساحت مثلث (1)، 5/41 مترمربع و اندازۀ ضلع BE، 4/33 متر است. پس با توجه به قائم‌الزاویه بودن مثلث، ضلع دیگر آن نیز قابل محاسبه است.

شکل کلی این زمین، ذوزنقه است که اضلاع BC و AD قاعده‌های کوچک و بزرگ آن و ضلع AB هم ارتفاع ذوزنقه هستند (اندازۀ AD در صورت مسئله داده شده و اندازۀ BC را هم برابر 2/50 متر به دست آورده‌ایم ).

${S_1} = \tfrac{{BE}}{2} \times BC$      $5/41 = \tfrac{{4/33}}{2} \times BC$

$5/41 = 2/165 \times BC \Rightarrow BC = \tfrac{{5/41}}{{2/165}} = 2/4988 \simeq 2/50m$

چون مساحت ذوزنقه را داریم، می‌توانیم طول AB را به دست بیاوریم:

$S = \tfrac{{AD + BC}}{2} \times AB$

$142/01 = \tfrac{{17/32 + 2/50}}{2} \times AB$

ارتفاع ذوزنقه

$142/01 = 9/91 \times AB \Rightarrow AB = \tfrac{{142/01}}{{9/91}} = 14/33m$

حال اندازۀ ضلع AE (از مثلث 2) را می‌توانیم حساب کنیم:

$AE = AB - BE = 14/33 - 4/33 = 10m$

و مساحت مثلث (2) می‌شود:

${S_2} = \tfrac{{10 \times 17/32}}{2} = 86/60{m^2}$

طول ضلع ED (ضلع سوم یا وتر مثلث 2) را به دست می‌آوریم:

$E{D^2} = A{D^2} + A{E^2}$

$E{D^2} = 17/{32^2} + {10^2} = 299/99 + 100 = 399/99 \simeq 400$

$ED = \sqrt {400}  = 20m$

وتر مثلث (2)
با توجه به شکل، مشاهده می‌کنیم که وتر به دست آمده، درواقع یک ضلع مثلث (3) هم می‌باشد. برای به دست آوردن ضلع EC (از مثلث 3)، باید از مثلث (1) کمک بگیریم؛ زیرا این ضلع در هر دو مثلث مشترک است. چون دو ضلع از مثلث (1) را داریم، پس ضلع سوم را حساب می‌کنیم:

$E{C^2} = B{C^2} + B{E^2}$

$E{C^2} = 2/{50^2} + 4/{33^2} = 6/25 + 18/75 = 25$

$EC = \sqrt {25}  = 5m$

با داشتن قاعده و ارتفاع مثلث (3)، مساحت آن می‌شود:

${S_3} = \tfrac{{5 \times 20}}{2} = 50{m^2}$

مساحت مثلث (3)

$C{D^2} = {5^2} + {20^2} = 25 + 400 = 425$

بالاخره اندازۀ وتر مثلث (3) (طول CD) می‎شود:

$CD = \sqrt {425}  = 20/61m$

کنترل صحت مساحت‌ها:

$5/41 + 86/6 + 50 = 142/01$

عملیات انجام شده صحیح است.

پرسش کلاسی

مثال 3: ابعاد یک اتاق مطابق شکل 5-20 است:
الف- اگر بخواهیم کف اتاق را با موزاییک فرش کنیم، چند مترمربع موزاییک لازم است؟
ب- در صورتی که بخواهیم دیوارهای اتاق را کاغذدیواری کنیم، چند مترمربع کاغذدیواری لازم است؟
پ- در صورتی که برای ازارۀ (سنگ پای دیوار) دیوارهای خارجی این ساختمان از سنگ تیشه‌ای استفاده شود، چند متر سنگ تیشه‌ای لازم است؟

حل: ابعاد مندرج روی شکل عبارت‌اند از:
3 متر عرض داخلی اتاق، 3 متر ارتفاع آن، $2/80 + 1/20 - 4$ متر طول داخلی اتاق، $2 \times 1/50$متر اندازۀ پنجره و 1/20 متر عرض در (ارتفاع در برابر 3 متر است).

الف- کف اتاق به شکل مستطیل است؛ پس مساحت آن که همان مساحت موزاییک کاری است برابر می‌شود با:
مقدار موزاییک لازم $S = 3 \times 4 = 12{m^2}$

ب- برای حل این قسمت، سطوح دیوارهای اتاق (سطح جانبی مکعب) را محاسبه و سطوح پنجره و در را از آن کم می‌کنیم.
برای محاسبۀ سطوح دیوارها می‌توان هر سطح را جداگانه حساب کرد و آنها را با هم جمع نمود. روش ساده‌تر آن است که محیط مستطیل را به دست آوریم و در ارتفاع ضرب کنیم. بنابراین:

محیط مستطیل

$3 + 4 + 3 + 4 = 14m$

سطح دیوارها با در و پنجره

$14 \times 3 = 42{m^2}$

سطح پنجره

$1/50 \times 2 = 3{m^2}$

سطح در

$1/20 \times 3 = 3/60{m^2}$

سطح در و پنجره

$3 + 3/60 = 6/60{m^2}$

سطح خالص دیوار یا سطح کاغذدیواری

$42 - 6/60 = 35/40{m^2}$

(باید توجه داشت که کناره‌های داخلی در و پنجره هم کاغذدیواری می‌شوند، ولی ما در حل این تمرین، آن قسمت‌ها را منظور نکردیم.)

پ- طول سنگ تیشه‌ای که در شکل 5-21، با خط‌‌ چین نشان داده شده، برابر است با محیط خارجی اتاق، منهای درِ ورودی.

اندازۀ طول خارجی اتاق

$4 + 0/35 + 0/35 = 4/70m$

اندازۀ عرض خارجی اتاق

$3 + 0/35 + 0/35 = 3/70m$

طول محیط خارجی اتاق

$4/70 + 3/70 + 4/70 + 3/70 = 16/80m$

طول سنگ رگی

$16/80 - 1/20 = 15/60m$

پرسش کلاسی

مثال: یک زمین به شکل پنج ضلعی غیرمنتظم ABCDE (شکل 5-27) داریم. طول اضلاع و طول دو قطر آن اندازه گیری شده‌است. مساحت این چندضلعی چند مترمربع است؟

حل: مساحت این پنج‌ضلعی برابر است با:

${S_{ABCD}} = {S_{ADE}} + {S_{ADB}} + {S_{BDC}}$
${S_{ADE}} = \sqrt {P(P - 40)(P - 37)(P - 45)} $   ,   $P = \tfrac{{37 + 40 + 45}}{2} = 61$
${S_{ADE}} = \sqrt {61(61 - 40)(61 - 37)(61 - 45)}  = \sqrt {491904} $
$\boxed{{S_{ADE}} = 701/36{m^2}}$
${S_{ADB}} = \sqrt {P(P - 45)(P - 43)(P - 32)} $    ,    $p = \tfrac{{45 + 43 + 32}}{2} = 60$
${S_{ADB}} = \sqrt {60(60 - 45)(60 - 43)(60 - 32)}  = \sqrt {428400} $
$\boxed{{S_{ADB}} = 654/52{m^2}}$
${S_{ADB}} = \sqrt {60(60 - 45)(60 - 43)(60 - 32)}  = \sqrt {428400} $
${S_{ADB}} = 654/52{m^2}$
${S_{BDC}} = \sqrt {P(P - 43)(P - 31)(P - 22)} $  ,   $P = \tfrac{{43 + 31 + 22}}{2} = 48$
${S_{BDC}} = \sqrt {48(48 - 43)(48 - 31)(48 - 22)}  = \sqrt {106080} $
$\boxed{{S_{BDC}} = 325/70{m^2}}$

مساحت پنج‌ضلعی

${S_{ABCDE}} = 701/36{m^2} + 654/52{m^2} + 325/70{m^2} = 1681/58{m^2}$