درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم ساختمان
پودمان 2: محاسبۀ طول و زاویه
واحد یادگیری 3: روشهای محاسبۀ طول
کار با ماشینحساب و آشنایی با نرمافزار Excel
ماشینحساب
یکی از کارهای مهم در اجرای هر ساختمان محاسبه مقدار مصالح و وسایل لازم و تعیین هزینه اجرای آن است که اصطلاحاً به آن، متره و برآورد میگویند. در این فصل نحوه محاسبه مقدار مصالح در ساختمان معرفی میشود.
در مهندسی ما اغلب نیاز به انجام محاسبات داریم. اگر محاسبات ساده باشد میتوان به طور ذهنی آنها را انجام داد ولی اگر اعداد بزرگتر شوند، ماشینحساب الکترونیکی مورد نیاز است. چندین ماشینحساب با مارکهای مختلف در بازار موجود هستند ولی بیشتر آنها دارای دکمههای زیر هستند که ضمن آشنایی با آنها با حل چند مثال، کار کردن با ماشینحساب را فرا میگیریم.
برخی از کلیدهای مهم ماشینحساب به شرح زیر میباشند:
$+$ جمع دو یا چند عدد
$-$ تفریق یک عدد از عدد دیگر
$\div $ تقسیم یک عدد بر عدد دیگر
$\times $ ضرب دو یا چند عدد
$AC$ پاککردن یا لغوکردن محاسبۀ موجود
$SHIFT$ این کلید وقتی استفاده میشود که عملکرد دوم کلیدها مدنظر است
$MODE$ از این کلید برای انجام تنظیمات ماشینحساب استفاده میشود
$\sqrt {\,\,\,\,\,} $ محاسبۀ ریشۀ دوم یک عدد
${\root 3 \of {\,\,\,\,} }$ محاسبۀ ریشۀ سوم یک عدد
${{x^2}}$ محاسبۀ مربع یک عدد
${{x^3}}$ محاسبۀ مکعب یک عدد
$ \wedge $ با فشاردادن این کلید، یک عدد میتواند به هر توانی برسد
$\pi $ کلید عدد پی ($\pi $)
$\sin$ و $\tan$ و $\cos$ برای تعیین سینوس، کسینوس و تانژانت از این کلیدها استفاده میشود.
$SHIFT+ \cos$ و $SHIFT+ \sin$ و $SHIFT+ \tan$ اگر سینوس/کسینوس/تانژانت یک زاویه داده شود، با استفاده از این کلیدها زاویه به دست میآید
$\log$ برای به دست آوردن لگاریتم اعداد بر مبنای 10 از این کلید استفاده میشود
${{{10}^{^x}}}$ برای انجام عملیات معکوس لگاریتم، از این کلید (آنتی لگاریتم) استفاده میشود
${EXP}$ این کلید 10 را به توان عدد داده شده میرساند
${a\frac{b}{c}}$ برای انجام محاسبات مربوط به کسرها از این کلید استفاده میشود
$M^+$ این کلید برای وارد کردن یک مقدار به حافظه استفاده میشود
$\%$ این کلید پاسخ را به صورت درصد نشان میدهد
${^\circ \ , ' , "}$ این کلید برای تبدیل یک زاویه به درجه، دقیقه و ثانیه استفاده میشود
${\,\,)\,\,}$ و ${\,\,(\,\,}$ این کلیدها برای درج پرانتز در فرمولهای پیچیده استفاده میشود
${DEL}$ با فشار این کلید میتوان اعداد را در موقعیت مکاننمای جاری پاک کرد
در عملیات ریاضی تقدم و تأخر عملیات محاسباتی به ترتیب زیر است:
1- محاسبه عبارات داخل پرانتز
2- محاسبه توانها و رادیکالها
3- محاسبه ضرب و تقسیم
4- محاسبه جمع و تفریق
پرسش کلاسی
مثال 1: محاسبه کنید:
$37/80 - 40/12 + 31/55$
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 2: محاسبه کنید: $\tfrac{{34/9 \times 57/3}}{{41/66}}$
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 3: محاسبه کنید: $\tfrac{{87/3 \times 67/81}}{{23/97 \times 40/5}}$
حل: راه حل اول:
$87/3 \times 67/81 \div 23/97 \div 40/5=$
راه حل دوم:
$87.3 \times 67.81 \div (23.97 \times 40.5)$
مثال 4: محاسبه کنید: $\sqrt {4/5} \times \sqrt {5/5} + \sqrt {3/4} $
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 5: حاصل $\pi {r^2}$ را محاسبه کنید اگر r=2/25 باشد.
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید.
مثال 6: مقدار عبارت روبهرو را به دست آورید:
$(2/2 \times 4/8) + (5/2 \times 3)$
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 7: مقدار عبارت روبهرو را به دست آورید:
$\tfrac{{{6^3} \times {4^4}}}{{{2^5}}}$
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 8: مقدار عبارت روبهرو را به دست آورید:
$10{\log _{10}}\left( {\tfrac{{4 \times {{10}^{ - 7}}}}{{2 \times {{10}^{ - 12}}}}} \right)$
حل: کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 9: مقدار عبارت روبهرو را به دست آورید:
$\frac{{\sin {{60}^\circ }}}{{\cos {{60}^\circ }}}$
حل: ابتدا کلید $\boxed{MODE}$ ماشینحساب را در حالت درجه قرار داده و سپس کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
مثال 10: مقدار زاویه را برحسب درجه، دقیقه و ثانیه به دست آورید اگر:
الف) سینوس زاویه برابر 0/6 باشد.
ب) کسینوس زاویه برابر 0/54 باشد.
ج) تانژانت زاویه برابر 0/63 باشد.
حل: ابتدا کلید $\boxed{MODE}$ ماشینحساب را در حالت درجه قرار داده و سپس کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید:
تمرین (صفحه 41 کتاب درسی)
1- محاسبه کنید:
$37/85 - 40/62 + 31/85 - 9/67$ (الف
$\frac{{33/9 \times 56/3}}{{45/66}}$ (ب
$\frac{{67/3 \times 69/81}}{{25/97 \times 20/5}}$ (ج
$\sqrt {4/9} \times \sqrt {8/5} \times \sqrt {7/4} $ (د
2- محاسبه کنید:$\pi {r^2}$ را اگر $r = 12/25$
3- مقدار عبارات زیر را به دست آورید:
الف) $(2/2 \times 9/8) + (5/2 \times 6/3)$
ب) $(4/66 \times 12/8) - (7/5 \times 5/95)$
ج) $(4/6 \times 10/8) \div (7/3 \times 5/5)$
4- مقدار هر یک از عبارات زیر را به دست آورید:
الف) $\frac{{{5^3} \times {3^4}}}{{{2^5}}}$
ب) $\frac{{{4^3} \times {6^4}}}{{{5^4}}}$
ج) $10\log \left( {\frac{{9 \times {{10}^{ - 8}}}}{{2 \times {{10}^{ - 11}}}}} \right)$
د) $\frac{{\sin {{70}^\circ}}}{{\cos {{60}^\circ}}}$
ه) $\frac{{\tan {{45}^{^\circ}}}}{{\cos {{35}^\circ}}}$
5- مقدار زاویه را بر حسب درجه به دست آورید اگر:
الف) سینوس زاویه برابر 0/58 باشد.
ب) کسینوس زاویه برابر 0/57 باشد.
ج) تانژانت زاویه برابر 0/66 باشد.
6- مقادیر عبارات زیر را به دست آورید:
الف) $\sin {62^\circ}42'35''$
ب) $\cos {32^\circ}22'35''$
ج) $\tan {85^\circ}10'20''$
7- حاصل عبارات زیر را تعیین کنید.
الف) $\frac{{12 \times {{10}^{ - 5}}}}{{3 \times {{10}^{ - 8}}}}$
ب) $8/5 \times {10^{ - 3}} \times \frac{4}{5} + \frac{2}{3}(\sqrt 3 - 1) \times {5^2}$
ج) $\sqrt {2{{(\frac{1}{2} + 3)}^2} - 1} + 4$
د) $\frac{{\cos {{80}^\circ} - \sin {{20}^\circ}}}{2} - \frac{1}{2}(\tan {60^\circ} - \cos {30^\circ})$
ه) $\frac{{0/005 \times {{10}^{ - 6}}}}{2} + \frac{{2/01 \times {{10}^{ - 5}} + 0/05}}{{4 - \frac{1}{2}}}$
8- زاویۀ $\alpha $ را به دست آورید.
الف) $\tan (\alpha ) = \frac{3}{4}$
ب) $\cos (2\alpha + 1) = 0/6$
ج) $\frac{2}{3}\sin (\alpha ) = \frac{1}{2} - 0/{2^2} \times 3$
د) ${2^3}\cot \alpha = 20$
مفاهیم پایه واحدهای اندازهگیری و تبدیل آنها
کمیت (Quantity)
آن دسته از ویژگیهای هر پدیدۀ فیزیکی که قابل اندازهگیری بوده و مقدار آن با عدد بیان میشود. مثال: طول، زمان، وزن، مساحت، حجم و ... .
کمیتهایی که در رشتۀ ساختمان بیشتر با آن سر و کار داریم عبارتاند از: طول، سطح، حجم، زاویه، زمان، جرم و وزن
یکا یا واحد اندازهگیری: برای اندازهگیری یک کمیت بایستی آن را با مقدار ثابتی از آن کمیت مقایسه کرد، که به آن مقدار ثابت از کمیت، یکا یا واحد آن میگویند.
مثال: یکا یا واحد کمیت زمان، «ثانیه». «60 ثانیه» زمانی معادل 60 برابر یک ثانیه است.
اندازهگیری یک کمیت: اندازهگیری یک کمیت، مقایسۀ مقدار آن با یکای آن کمیت است. اندازۀ یک کمیت شامل دو قسمت است. قسمت اول عددی است که نشان دهندۀ بزرگی کمیت است و قسمت دوم نشان دهندۀ یکای کمیت میباشد.
مثال:
سامانۀ بینالمللی یکاها (SI=System International)
از معروفترین سامانههای واحدهای اندازهگیری در دنیا میتوان از سامانه (SI) نام برد. در این کتاب سامانۀ SI در کاربرد انواع کمیتها، حاکم خواهد بود.
| نیرو | زمان | جرم | طول | کمیت |
|---|---|---|---|---|
| نیوتون (N) | ثانیه (s) | کیلوگرم (kg) | متر (m) | (SI) |
یکا
متر (m)، واحد طول
یک متر، مسافتی است که نور در مدت $\tfrac{1}{{{\text{2 / 99792458}} \times {{10}^8}}}$ثانیه در خلأ میپیماید.
تبدیل واحدها (Unit Convertion)
الف) تبدیلهای واحد طول (L):
|
$0/001 = {10^{ - 3}}$ کیلومتر km |
$0/01 = {10^{ - 2}}$ هکتومتر hm |
$0/1 = {10^{ - 1}}$ دکامتر dam |
1 متر m |
10 دسیمتر dm |
$100 = {10^2}$ سانتیمتر cm |
$1000 = {10^3}$ میلیمتر mm |
محاسبۀ طول با استفاده از رابطۀ فیثاغورث
هرگاه دو ضلع از مثلث قائمالزاویهای معلوم باشد ضلع سوم را میتوان به کمک رابطۀ فیثاغورث محاسبه نمود.
قضیۀ فیثاغورث: در هر مثلث قائمالزاویه، مربع وتر برابر است با مجموع مربعهای دو ضلع دیگر
در تعریف فوق منظور از وتر، ضلع مقابل به زاویۀ قائمه میباشد.
در مثلث ABC شکل 3-2 زاویۀ °A=90 است. پس داریم: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$
پرسش کلاسی
مثال 1: در حماله مطابق شکل 3-3 اندازۀ L چه قدر است؟
طبق قضیۀ فیثاغورث داریم:
${L^2} = {1250^2} + {830^2}$
${L^2} = 1562500 + 688900 = 2251400$
$L = \sqrt {2251400} $
$L = 1500/47cm$
مثال 2: میخواهیم فاصلۀ دو نقطۀ A و B را که بین آنها مانعی وجود دارد تعیین کنیم. برای اینکار، مطابق شکل 3-4 مثلث قائمالزاویۀ ABC را تشیکل داده و اضلاع AC و BC را اندازهگیری کردهایم. فاصلۀ AB چند متر است؟
طبق رابطۀ فیثاغورث داریم:
${(BC)^2} = {(AC)^2} + {(AB)^2}$
${60^2} = {36^2} + {(AB)^2} \Rightarrow {(AB)^2} = {60^2} - {36^2}$
${(AB)^2} = 2304$
$AB = \sqrt {2304} \Rightarrow AB = 48m$
محاسبۀ طول با استفاده از نسبت تشابه شکلهای هندسی
در دو شکل متشابه، نسبت بین اضلاع متناظر عدد ثابتی است که به آن نسبت تشابه میگویند و آن را با حرف «K» نشان میدهند.
پرسش کلاسی
مثال 1: در شکل 3-6، خط BC موازی ضلع DE است؛ یعنی دو مثلث ABC و ADE متشابه هستند و داریم:
متر $AB = 9$، متر $BD = 18$ و متر $BC = 4$، طول ضلع DE چند متر است؟
حل: طبق تعریف نسبت تشابه داریم:
$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{DE}}$
$\frac{9}{{9 + 18}} = \frac{4}{{DE}} \Rightarrow DE = \frac{{4 \times \left( {9 + 18} \right)}}{9} \Rightarrow DE = 12m$
واحد یادگیری 4: روشهای محاسبۀ زاویه
واحدهای زاویه
درجه (Degree): یک درجه ${1^\circ }$، $\tfrac{1}{{360}}$ زاویۀ مرکزی دایرۀ کامل است. یک درجه برابر 60 دقیقه و هردقیقه معادل 60 ثانیه است.
رادیان (Radian): یک رادیان (1radian)، $\tfrac{1}{{2\pi }} = \tfrac{1}{{6/28}}$ زاویۀ مرکزی دایرۀ کامل است.
گراد (Grad): یک گراد (1grad)، $\tfrac{1}{{400}}$ زاویۀ مرکزی دایرۀ کامل است. یک گراد برابر 100 دقیقۀ گرادی است.
تبدیلهای واحد زاویه
|
$\tfrac{{400}}{{360}} = \tfrac{{10}}{9}grad$ گراد grad |
$\tfrac{\pi }{{180}}radian$ رادیان radian |
${1^\circ }$ درجه Degree(D) |
$60'$ دقیقه minute |
$3600''$ ثانیه second |
مثال: یک رادیان چند ثانیۀ درجهای است؟
1radian$ \times $$\tfrac{{3600''}}{{\tfrac{\pi }{{180}}radian}}$$ = $$\tfrac{{3600 \times 180}}{\pi }$$ = $$206265''$
محاسبۀ زوایای مثلث
الف. محاسبۀ زوایای مثلث قائمالزاویه: هرگاه در مثلث قائمالزاویه دو ضلع معلوم باشد، با استفاده از نسبتهای مثلثاتی میتوان زوایای مثلث را محاسبه نمود.
پرسش کلاسی
مثال 1: در مثلث قائمالزاویۀ شکل 4-1 اندازۀ زاویههای B و C چند درجه است؟
$\tan \hat C = \frac{2}{5} = 0/4$
$ \Rightarrow \hat C = {\tan ^{ - 1}}(0/4)$
$ \Rightarrow \hat C = {21/80^\circ }$
$\tan \hat B = \frac{5}{2} = 2/5$
$ \Rightarrow \hat B = {\tan ^{ - 1}}(2/5) \Rightarrow \hat B = {68/20^\circ }$
مثال 2: در شکل 4-2 اندازۀ زاویۀ A چند درجه است؟
$\cos A = \frac{7}{{10}} = 0/7 \Rightarrow \hat A = {45^\circ }34'$
ب. محاسبۀ زوایای مثلث متساویالساقین: در مثلث متساویالساقین ABC (شکل 3-4) ارتفاع نظیر رأس A، نیمساز زاویه A، و عمود منصف ضلع مقابل به زاویۀ A بر هم منطبق میباشند؛ بنابراین با توجه به روابط مثلثاتی داریم:
$\sin (\frac{A}{2}) = \frac{{\frac{b}{2}}}{a} = \frac{b}{{2a}} \Rightarrow \sin (\frac{A}{2}) = \frac{b}{{2a}}$
با استفاده از رابطۀ فوق مقدار زاویۀ ($\tfrac{A}{2}$) را محاسبه نموده و سپس زاویۀ A را محاسبه مینماییم. با توجه به اینکه زوایای B و C با هم برابرند، خواهیم داشت:
$\hat A + \hat B + \hat C = {180^\circ } \Rightarrow \hat A + 2\hat B = {180^\circ } \Rightarrow \hat B = \hat C = \frac{{{{180}^\circ } - A}}{2}$
پرسش کلاسی
مثال: برای اندازهگیری زاویۀ A در گوشۀ یک زمین، دو طول مساوی 5 متری در روی دو ضلع آن جدا کرده و سپس ضلع سوم آن را اندازهگیری نمودهایم (شکل 4-4). اندازۀ زاویۀ A چند درجه است؟
حل:
$\sin \tfrac{A}{2} = \tfrac{b}{{2a}} = \tfrac{{7/76}}{{2 \times 5}} = 0/776 \Rightarrow \tfrac{{\hat A}}{2} = {50^\circ }54' \Rightarrow \hat A = {101^\circ }48'$
ج. محاسبۀ زوایای داخلی مثلث غیرمشخص:
1- رابطۀ کسینوسها: هر گاه سه ضلع مثلثی معلوم باشد با استفاده از رابطه کسینوسها میتوان زوایای مثلث را محاسبه نمود.
در مثلث ABC شکل 4-5 داریم:
${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$
${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B$
${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$
با استفاده از روابط بالا که به رابطۀ کسینوسها معروف است، میتوانیم زوایای مثلث را به صورت روبهرو بنویسیم:
$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$
$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$
$\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$
پرسش کلاسی
مثال 1: زوایای مثلث ABC شکل (4-6) چند درجه است؟
حل
$\cos A = \tfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2ab}} = \tfrac{{{8^2} + {6^2} - {{12}^2}}}{{2 \times 8 \times 6}} = \tfrac{{64 + 36 - 144}}{{2 \times 8 \times 6}}$
$\cos A = - 0/4583 \Rightarrow \hat A \simeq {117^\circ }17'$
برای زاویۀ B داریم:
$\cos B = \tfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \tfrac{{{{12}^2} + {6^2} + {8^2}}}{{2 \times 12 \times 6}} = \tfrac{{144 + 36 - 64}}{{2 \times 12 \times 6}} = 0/8056 \Rightarrow \hat B = {36^\circ }20'$
برای زاویۀ C داریم:
$\cos C = \tfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \tfrac{{{{12}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2 \times 12 \times 8}} = \tfrac{{144 + 64 - 36}}{{2 \times 12 \times 8}} = 0/8958 \Rightarrow \hat C \simeq {26^\circ }23'$
برای اطمینان از درستی محاسبات، زوایای به دست آمده را با هم جمع میکنیم که باید جمع آنها ° 180 شود.
2- رابطه سینوسها: هرگاه دو ضلع و زاویه مقابل به یکی از آنها در هر مثلث معلوم باشد با استفاده از رابطه سینوسها میتوان زوایای دیگر مثلث را محاسبه کرد.
$\hat A + \hat B + \hat C = {117^\circ }17' + {36^\circ }20' = {180^\circ }$
$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$
تمرین (صفحه 51 کتاب درسی)
زوایای مثلثهای شکلهای 4-8، 4-9 و 4-10 را محاسبه کنید.
د. محاسبه زوایای داخلی یک چندضلعی منتظم
به یک n ضلعی که اضلاع آن با هم برابر باشند، n ضلعی منتظم گفته میشود.
مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی برابر است با :
$(n - 2){180^\circ}$
تمرین (صفحه 52 کتاب درسی)
1- در مثلث شکل 4-11 مقدار زاویۀ $\gamma $ را به دست آورید.
$(\alpha = {24^\circ}18')$ و $(\beta = {47^\circ})$
2- در شکلهای 4-12 و 4-13 مقدار زاویۀ A را محاسبه نمایید.
