خانه
گاما

درسنامه آموزشی ریاضی (2) فنی کلاس یازدهم مشترک شاخۀ فنی و حرفه‌ای

پودمان 5- آمار توصیفی

بازدید20/3 K
تاریخ بروزرسانی1400/05/2

خط بهترین برازش

علی در کارگاه پیراهن‌دوزی مردانه مشغول کار است. او پارچه‌ها را برای بُرِش آماده می‌‌کند. روزی امیر، مسئول کارگاه، وارد شد.

امیر گفت: علی صبر کن. برش‌ها را متوقف کن. باز هم مرجوعی داریم.

علی گفت: دوباره چه اشکالی پیش آمده؟

امیر گفت: مثل دفعه‌های قبل. یکی می‌گوید یقه‌اش اندازه است ولی مچ آن تنگ است و دیگری می‌گوید مچ اندازه است ولی یقه‌اش تنگ است. بالاخره نفهمیدیم باید با اندازه چه کسی کار کنیم! ولی باید فکری کرد. اگر همین‌طور پیش برویم، مشتری‌هایمان را از دست می‌دهیم.

علی گفت: این جدول اندازه‌هایی است که معمولاً طبق آن برش می‌زنم.

سایز 46 48 50 52
قد بالا تنه 45 45 45 45
نصف کارور پشت 21 22 23 24
نصف دور پشت 21 22 23 24
نصف دور سینه 6+46 6+48 6+50 6+52
دور گردن 36 38 40 42
قد پیراهن 75 76 77 78
کادر آستین 38 40 42 44
قد آستین 60 60 61 61
دور مچ 23 24 25 26

امیر گفت: ظاهراً این اندازه‌ها مناسب نسل جدید ما نیست. باید فکری کرد.

علی گفت: یعنی باید برویم پسرهای شهر را ردیف کنیم و دور گردن و دور مچ دستشان را اندازه بگیریم؟!

امیر گفت: اگر برای نجات کسب و کارم مجبور به این کار شوم، شاید هم بله!

فکر می‌کنید آیا امیر مجبور به انجام چنین کاری می‌شود؟ اصولاً در وضعیت‌های مشابه آیا امکان دارد که همهٔ افراد جامعه را اندازه‌گیری کنیم؟ در چنین وضعیت‌هایی شرکت‌های تولیدی چه می‌کنند؟

فعالیت زیر به شما کمک می‌کند تا فرایندی را که تولیدکنندگان بزرگ طی می‌کنند بهتر درک کنید.

فعالیت 1 (صفحه 117 کتاب درسی)

 

نظریه‌ای وجود دارد که نشان می‌دهد بین اندازهٔ دور مچ دست و اندازهٔ دور گردن افراد یک رابطهٔ خطی وجود دارد. تولیدکنندگان با داشتن این رابطه می‌توانند اندازه‌های مناسبی برای محصولات خودشان در نظر بگیرند. برای آشنایی با فرایند پیدا کردن این رابطه، اندازه دور گردن و دور مچ دست 15 نفر در جدول زیر آورده شده است.

اندازهٔ دورگردن ($y$ برحسب $cm$) اندازهٔ دور مچ ($x$ برحسب $cm$)
33/5 14/8
33 15
35/2 15/4
34/2 15/7
33/7 16/1
32/2 16/2
35/5 16/2
35/8 16/2
36/4 16/3
37/3 16/7
35/5 16/9
36/6 17/1
38/5 17/2
46/8 17/6
38/3 17/8

در صفحهٔ مختصات زیر، نقطه‌هایی مشخص شده است که طول هر نقطه، نشان دهندهٔ اندازهٔ دور مچ و عرض آن نشان دهندهٔ اندازهٔ دور گردن یک نفر است.

1) آیا نقاط، روی یک خط راست قرار دارند؟

2) خطی (به‌طور تقریبی) رسم کنید که تا حد ممکن با نقاط مشخص شده در صفحه، کمترین فاصله را داشته باشد. سعی کنید نیمی از نقاط در بالای خط و نیمی دیگر زیر خط و با فاصلهٔ یکسان از خط قرار گیرند.

3) اطلاعات جدول صفحۀ قبل را در $Excel$ وارد کنید و طبق دستورالعمل صفحهٔ 120 ، به کمک $Excel$ خطی رسم کنید که کمترین فاصله را با نقاط مشخص شده روی صفحه داشته باشد.

4) اگر $x$ اندازهٔ دور مچ و $y$ اندازهٔ دور گردن باشد، معادلهٔ خط رسم شده را به کمک $Excel$ طبق دستورالعمل صفحه 120 پیدا کنید.

5) ستون ${y}'$ را با دو رقم اعشار کامل کنید. (${y}'$ اندازه دور گردن به کمک معادلهٔ خط است.)

${{{e}'}^{2}}$ خطا:
${e}'=y-{y}''$		 ${y}''$ ${{e}^{2}}$ خطا:
$e=y-{y}'$		 ${y}'$ اندازهٔ دور گردن
($y$ برحسب $cm$)		 اندازهٔ دور مچ
($x$ برحسب $cm$)
0/41 0/64 32/86 2/4 1/55+ 31/95 33/5 14/8
            33 15
1/65 1/29 33/91 2/52 1/59 33/61 35/2 15/4
0/06 0/235- 34/44 0/06 0/25- 34/45 34/2 15/7
            33/7 16/1
9/67 3/11- 35/31 13/22 3/64- 35/84 32/2 16/2
0/04 0/19 35/31 0/12 0/34- 35/84 35/5 16/2
0/24 0/49 35/31 0 0/04- 35/84 35/8 16/2
            36/4 16/3
            37/3 16/7
            35/5 16/9
0/08 0/29- 36/86 3/02 1/74- 38/34 36/6 17/1
            38/5 17/2
      50/01 7/07 29/73 46/8 17/6
0/04 0/19 38/11 3/94 1/99- 40/28 38/3 17/8

6) آیا مقادیر به‌دست آمده به کمک معادلهٔ خط، با مقادیر اندازه‌گیری شده برابرند؟ چرا؟

7) ستون خطا ($e$)، اختلاف مقدار واقعی و مقدار تخمین زده شده را کامل کنید.

8) به کمک دستور $\sum $ در $Excel$ مجموع خطاها (ستون $e$) را به‌دست آورید. آیا این عدد مجموع واقعی خطاها را نشان می‌دهد؟ چرا؟

9) مجموع مجذور خطاها را به‌دست آورید.

10) فکر می‌کنید چرا مجذور خطاها را به‌دست می‌آوریم؟

یک کاربرگ $excel$ باز کنید. در ستون اول اندازه‌های دور مچ (محور $x$ها) و در ستون دوم اندازه‌های دور گردن (محور $y$ها) را وارد کنید. به منظور رسم نمودار، اطلاعات دو ستون را گرفته، از منو‌ی $insert$، $chart type$ (نوع نمودار) و سپس $scatter$ (پَراکَنش) را انتخاب کنید.

به منظور پیدا کردن معادلهٔ خط بهترین برازش، روی یکی از نقطه‌ها، راست کلیک کنید و گزینهٔ $Add TrendLine$ را انتخاب کنید و در پنجره‌ای که باز می‌شود، گزینه $Display Equation on Chart$ را انتخاب کنید.

در آمار، نموداری را که در فعالیت (1) رسم کردید، نمودار پَراکَنش می‌نامند. خطی که در فعالیت (1) به کمک $excel$ رسم شد، خط بهترین برازش نام دارد. این نام‌گذاری به این دلیل است که این خط، بهترین رابطهٔ خطی ممکن بین دو کمیت «اندازهٔ دور مچ» و «اندازهٔ دور گردن» را نشان می‌دهد. شیب مثبت خط نشان می‌دهد که با افزایش اندازهٔ دورمچ، اندازهٔ دور گردن نیز افزایش می‌یابد. از نمودار پراکنش و خط بهترین برازش برای بررسی رابطهٔ بین دو کمیت استفاده می‌شود. در نمودار فعالیت (1)، هر نقطه در صفحه مختصات، نشان دهندهٔ اندازهٔ دور مچ دست (طول نقطه) و اندازهٔ دور گردن (عرض نقطه) یک نفر است.

ادریان لژاندر در سال 1805 با یافتن ضریب زاویه و عرض از مبدأ آن خط، روشی برای رسم خط بهترین برازش پیدا کرد. او در این روش سعی کرد تا مجموع مجذور خطاهای بین مقدار واقعی و مقدار محاسبه شده، کمترین مقدار شود. خط به‌دست آمده با این روش را خط بهترین برازش و این روش را روش کمترین مجذورات می‌نامند. همان‌طور که در فعالیت (1) مشاهده کردید، به دلیل اینکه مقادیر خطاها مثبت یا منفی هستند (خطا زمانی صفر است که نقطه دقیقاً روی خط قرار داشته باشد) مجموع خطاها، مقدار خطای واقعی را نشان نمی‌دهد. به همین دلیل مجموع مجذور خطاها را به‌دست می‌آوریم تا علامت‌ها خطاها تأثیرگذار نباشد. برای رفع این مشکل می‌توان از قدر مطلق خطاها نیز استفاده کرد، ولی به دلیل دشواری انجام محاسبات با قدر مطلق، از مجذور خطاها استفاده می‌کنیم.

فعالیت 2 (صفحه 122 کتاب درسی)

 

1) در فعالیت (1) با حذف سطر مربوط به 17/6 (در ستون اول)، نقطهٔ $\left[ \begin{align} & 17/6 \\ & 46/8 \\ \end{align} \right]$ را از داده‌هایتان خارج کنید؛ و خطی رسم کنید که کمترین فاصله را با نقاط داشته باشد.

2) ستون ${y}''$ را با دو رقم اعشار کامل کنید. (${y}''$ اندازه دور گردن به کمک معادلهٔ جدید خط است.)

3) ستون ${e}'$ را کامل کنید.

4) مجموع مجذور خطاها را برای مقادیر به‌دست آمده برای ${y}''$ به‌دست آورید و با جواب قسمت 10 در فعالیت (1) مقایسه کنید.

5) فکر می‌کنید کدام خط برای پیش‌بینی مناسب‌تر است؟ چرا این اتفاق می‌افتد؟

در آمار، نقطهٔ $\left[ \begin{align} & 17/6 \\ & 46/8 \\ \end{align} \right]$ را که با بقیهٔ داده‌ها تفاوت قابل ملاحظه‌ای دارد، دادهٔ پَرت می‌نامند. معمولاً اگر داده‌های پرت را از داده‌ها خارج کنیم درک بهتری از وضعیت به‌دست می‌آوریم.

در بسیاری از موارد خط بهترین برازش، رابطهٔ خطی مناسبی را بین دو کمیت به ما می‌دهد، و از طریق آن می‌توان مقدارهای متناظر بین این کمیت‌ها را پیش‌بینی و از این پیش‌بینی‌ها در برنامه‌ریزی‌ها استفاده کرد. معمولاً تولیدکنندگان، از این روش برای تولید محصولاتی که برای عموم عرضه می‌شود، استفاده می‌کنند.

کار درکلاس 1 (صفحه 125 کتاب درسی)

 

برخی از هنرآموزان عقیده دارند که درصد قبولی هنرجویان در یک کلاس با تعداد هنرجویان در کلاس رابطه دارد. جدول زیر تعداد هنرجویان در کلاس‌های مختلف یک هنرستان و درصد قبولی آنها در امتحان پایان سال را نشان می‌دهد.

درصد قبولی تعداد هنرجویان در کلاس
80 10
60 15
50 30
80 12
50 25
50 24
70 15
70 60
40 28
80 12

1) نمودار پراکنش را رسم کنید.

2) خط بهترین برازش را رسم کنید.

3) پیش‌بینی می‌کنید چند درصد از هنرجویان در یک کلاس 40 نفره قبول می‌شوند.

4) برخی عقیده دارند نقطهٔ $\left[ \begin{align} & 60 \\ & 70 \\ \end{align} \right]$ (اطلاعات مربوط به یک کلاس 60 نفره) یک دادهٔ پرت (مربوط به یک وضعیت غیر معمول) است. فکر می‌کنید اگر در تحلیل خود این داده را کنار بگذارید، بهتر است یا خیر؟ توضیح دهید چرا؟

5) این داده را خارج کنید و پاسخ سؤال (3) را مجدداً به‌دست آورید.

مسائل (صفحه 126 تا 129 کتاب درسی)

 

1) در نمودارهای زیر، هر نقطه نشان دهندهٔ مقادیر متناظر بین دو کمیت است. در کدام نمودارها، بین این دو کمیت رابطه‌ای وجود دارد؟ رابطهٔ بین این دو کمیت را در هر نمودار، از لحاظ افزایشی یا کاهشی بودن یکی برحسب دیگری، توصیف کنید.

2) نمودار زیر رابطهٔ بین مدت زمانی که فرد رانندگی می‌کند و مسافت باقی‌مانده تا مقصد را نشان می‌دهد.

کدام یک از نمودارهای زیر، خط بهترین برازش برای نمودار پراکنش بالا را نشان می‌دهد؟ توضیح دهید.

3) جدول زیر طول قد و فاصلهٔ نوک دو انگشت وسط 20 نفر را (در حالتی که دست‌ها از طرفین کاملاً باز است) برحسب سانتی‌متر نشان می‌دهد.

فاصله بین نوک انگشتان طول قد
181 180
154 156
168 168
148 147
138 131
160 159
142 154
154 155
181 178
175 175
130 135
175 180
186 178
158 161
139 139
148 154
156 156
154 152
175 170
152 156

الف- نمودار پراکنش این داده‌ها را رسم کنید.

ب- آیا رابطه‌ای بین طول قد و فاصلهٔ نوک دو انگشت وسط افراد دیده می‌شود؟ توضیح دهید.

پ- خط بهترین برازش را رسم کنید و معادلهٔ آن را به‌دست آورید.

ت- به کمک معادله یا نمودار، با داشتن طول قد خودتان، فاصلهٔ نوک دو انگشت وسط خودتان را تخمین بزنید.

ث- فاصلهٔ نوک دو انگشت وسط خودتان را اندازه بگیرید. آیا با مقدار تخمین زده شده تفاوت دارد؟ اگر بله، توضیح دهید چرا؟

4) سینا می‌گوید: اگر ریاضی شما خوب باشد، علوم شما نیز خوب است. علی می‌خواهد درستی این گفته را بررسی کند. به همین دلیل نمرهٔ ریاضی و علوم 7 نفر را پرسید. داده‌هایی که علی به‌دست آورده در جدول زیر ثبت شده است.

8 6/5 10 16 9 5/5 17 نمره ریاضی
10 9 11 15 10 8 15 نمره علوم

الف- نمودار پراکنش این داده‌ها را رسم کنید.

ب- آیا با گفتهٔ سینا موافق‌اید؟ دلیل خود را توضیح دهید.

پ- خط بهترین برازش را رسم کنید.

ت- پیش‌بینی می‌کنید نمرهٔ علوم دانش‌آموزی که در آزمون ریاضی 14 شده است، چند باشد؟

5) جدول زیر، نمرات ریاضی و زبان 10 دانش‌آموز را نشان می‌دهد.

8 13 14 17 1 2 13 9 4/5 19 نمره ریاضی
9 9 13 12 2 18 18 6 8 10 نمره زبان

الف- نمودار پراکنش این داده‌ها را رسم کنید. (طول هر نقطه نمرهٔ ریاضی و عرض هر نقطه نمرهٔ زبان یک دانش‌آموز است).

ب- آیا بین نمرهٔ ریاضی و نمرهٔ زبان دانش‌آموزان رابطه‌ای مشاهده می‌کنید؟ دلیل خود را توضیح دهید.

پ- خط بهترین برازش را رسم کنید و به کمک معادلهٔ آن و یا نمودار، نمرهٔ زبان دانش‌آموزی را که در آزمون ریاضی 15 گرفته است، پیش‌بینی کنید.

ت- نقطه‌های نشان دهندهٔ نمرهٔ ریاضی و زبان کدام دو دانش‌آموز با نمرات بقیهٔ دانش‌آموزان هماهنگی ندارد؟

ث- این دو داده را از داده‌هایتان حذف کنید و خط بهترین برازش را رسم کنید و این بار نمرهٔ زبان دانش‌آموزی را که در آزمون ریاضی 15 گرفته است، پیش‌بینی کنید.

ج- آیا تفاوتی بین دو پیش‌بینی شما وجود دارد؟ دلیل خود را توضیح دهید.

6) جدول زیر داده‌های مربوط به اندازهٔ کفش و قد 12 مرد را نشان می‌دهد.

سایز کفش قد (سانتی‌متر)
44 175
43 182
40 170
44 173
42 170
46 185
46 177
43 172
42 165
42 178
44 175
46 183

الف- نمودار پراکنش و خط بهترین برازش را به کمک $excel$ رسم کنید.

ب- با استفاده از نمودار، اندازهٔ کفش مردی را که قد او 180 سانتی‌متر است پیش‌بینی کنید.

پ- باستان شناسان ردپایی به اندازهٔ 58 سانتی‌متر پیدا کرده‌اند. پیش‌بینی می‌کنید طول قد این انسان چقدر بوده است؟

7) دانش‌آموزی برای توصیف داده‌هایش، نمودار پراکنش را رسم کرد. او برای رسم نمودن خط بهترین برازش، اولین نقطه و آخرین نقطه را به هم وصل کرد. آیا او خط بهترین برازش را درست رسم کرده است؟ دلیل خود را توضیح دهید.

درون‌یابی و برون‌یابی

فعالیت 3 (صفحه 130 تا 131 کتاب درسی)

 

برخی تحقیقات در حوزهٔ بانکداری نشان می‌دهند بین نرخ سود بانکی و میزان سرمایه‌ای که بانک جذب می‌کند همبستگی وجود دارد. یکی از بانک‌ها، میزان سرمایهٔ خود را در زمان‌های مختلف که سود بانکی مختلفی پرداخت می‌کرده است، بررسی و در جدول زیر ثبت کرده است.

سرمایه (میلیون تومان) نرخ سود بانکی (درصد)
25 10
26 8
21 9
15 11
17 11
19 11
27 10
26 9
31 7
36 6
39 6
40 5

1) به کمک $excel$ خط بهترین برازش را برای این اطلاعات رسم کنید.

2) اگر نرخ سود 10/5 درصد تعیین شود، مقدار سرمایهٔ جذب شده را پیش‌بینی کنید.

3) اگر نرخ سود به 12 درصد افزایش یابد، مقدار سرمایهٔ جذب شده را پیش‌بینی کنید.

4) اگر نرخ سود به 18 درصد افزایش یابد، مقدار سرمایهٔ جذب شده را پیش‌بینی کنید.

5) در کدام حالت پیش‌بینی شما به واقعیت نزدیک‌تر خواهد بود؟ توضیح دهید.

در وضعیت بالا در جدول داده‌ها، مقادیر درصد سود پرداختی $x$ در بازهٔ بستهٔ $\left[ 5,11 \right]$ قرار دارد. در قسمت (2) می‌خواهیم سرمایهٔ جذب شده با پرداخت 10/5 درصد سود را پیش‌بینی کنیم. توجه داشته باشید که 10/5 در بازهٔ تغییرات $x$ قرار دارد. ولی در قسمت‌های (3) و (4) می‌خواهیم سرمایهٔ جذب شده را برای درصد سودهای پرداختی خارج از این بازه پیش‌بینی کنیم. پیش‌بینی‌هایی مانند وضعیت (2) را درون‌یابی و پیش‌بینی‌هایی مانند وضعیت‌های (3) و (4) را برون‌یابی می‌نامند.

در برون‌یابی هرچه از ابتدا یا انتهای بازه دورتر شویم، ممکن است پیش‌بینی‌ها با خطاهای زیاد همراه و حتی غیر واقعی شوند.

کار درکلاس 2 (صفحه 132 تا 133کتاب درسی)

 

میزان مصرف اکسیژن توسط خرچنگ‌ها و دمای آب با هم رابطه دارند. نرخ مصرف اکسیژن نوعی خرچنگ در زیر آب در جدول زیر آورده شده است.

5/5 10 12/5 15 1/5 20 دما ($^{{}^\circ }C$)
4/5 5/5 9 12 17 23 نرخ مصرف اکسیژن
($Mmol/kg/Min$)

1) نمودار پراکنش و خط بهترین برازش این داده‌ها را رسم کنید.

2) به کمک نمودار، مقدار تقریبی دما را در حالتی که نرخ مصرف اکسیژن $14Mmol/kg/Min$ است، پیدا کنید.

3) به کمک معادلهٔ خط بهترین برازش، نرخ مصرف اکسیژن این خرچنگ را در زیر آب در دماهای ${{0}^{{}^\circ }}C$، ${{17}^{{}^\circ }}C$، ${{50}^{{}^\circ }}C$ و ${{150}^{{}^\circ }}C$ پیش‌بینی کنید.

4) برای پیش‌بینی مقدار اکسیژن درکدام دماها از درون‌یابی و برای کدام دماها از برون‌یابی استفاده کردید؟

5) پیش‌بینی در کدام وضعیت با خطای زیاد همراه و یا آنکه غیر واقعی است؟ توضیح دهید.

مسائل (صفحه 134 تا 135کتاب درسی)

 

1) مهرناز می‌خواهد آزمایشی انجام دهد که به کمک آن، تأثیر نور را بر سرعت غذاسازی توسط گیاه از طریق فتوسنتز بررسی کند.

مهرناز لامپ را در 100 متری گیاه قرار داد و تعداد حباب‌هایی را که توسط گیاه در یک دقیقه تولید شد شمرد. سپس لامپ را نزدیک‌تر کرده و در هر حالت، تعداد حباب‌های ایجاد شده توسط گیاه در دقیقه را شمرد. او نتایج را در جدول زیر ثبت کرد.

تعداد حباب‌ها در دقیقه فاصلهٔ لامپ از گیاه برحسب متر
10 100
20 80
28 70
32 60
37 40
37 20

الف- نمودار پراکنش و خط بهترین برازش را برای این داده‌ها رسم کنید.

ب- با استفاده از نمودار، جملۀ زیر را کامل کنید:

هر چه فاصلهٔ لامپ از گیاه ............... باشد، سرعت فتوسنتز .............. است.

پ- اگر لامپ در 10 سانتی‌متری گیاه قرار داشته باشد، تعداد حباب‌ها در دقیقه را پیش‌بینی کنید.

ت- اگر لامپ را در 2 سانتی‌متری گیاه قرار دهیم، برای پیدا کردن تعداد حباب‌هایی که گیاه تولید می‌کند از برون‌یابی استفاده می‌کنیم یا درون‌یابی؟ فکر می‌کنید در این وضعیت این پیش‌بینی چقدر درست باشد؟

2) ایمان برای شرکت در مسابقات دو 100 متر، تمرین می‌کند. جدول زیر، زمان به پایان رساندن مسیر را برحسب ثانیه در پایان هر هفته تمرین نشان می‌دهد.

زمان به پایان رساندن مسیر تعداد هفته‌های تمرین
13 1
12 2
11/5 3
11/25 4
11 5

الف- نمودار پراکنش و خط بهترین برازش را برای این داده‌ها رسم کنید.

ب- به کمک نمودار یا معادلهٔ خط بهترین برازش، زمان به پایان رساندن مسیر توسط ایمان پس از 14 هفته را پیش‌بینی کنید.

پ- آیا پیش‌بینی شما درست است؟ برای پاسخ به این سؤال رکورد جهانی دو 100 متر مردان را از اینترنت پیدا کنید.

ت- برای این پیش‌بینی از درون‌یابی استفاده کردید یا برون‌یابی؟ آیا پاسخ به‌دست آمده معنادار است؟ توضیح دهید چرا؟

3) جدول زیر تعداد کشورهای شرکت کننده در المپیک تابستانی را از سال 1948 تا سال 2000 نشان می‌دهد.

تعداد کشورها سال تعداد کشورها سال
92 1976 59 1948
80 1980 69 1952
140 1984 72 1956
160 1988 83 1960
169 1992 93 1964
197 1996 112 1968
199 2000 121 1972

الف- نمودار پراکنش و خط بهترین برازش را برای این داده‌ها رسم کنید.

ب- به کمک معادلهٔ خط بهترین برازش، تعداد کشورهای شرکت کننده در المپیک 2004 و المپیک 2016 را پیش‌بینی کنید.

پ- با مراجعه به اینترنت، تعداد کشورهای شرکت کننده در سال 2004 و سال 2016 را پیدا کنید. این تعداد را با پیش‌بینی‌های خودتان مقایسه کنید. در صورت وجود اختلاف، توضیح دهید چرا این اختلاف وجود دارد.

ت- به کمک معادله یا نمودار، تعداد کشورهای شرکت‌کننده در سال 2028 را پیش‌بینی کنید. آیا این پیش‌بینی معنادار است؟ دلیل خود را توضیح دهید.

میانه

شما با انجام فعالیت زیر متوجه می‌شوید که آماردان‌ها چگونه داده‌ها را با هم مقایسه می‌کنند.

فعالیت 4 (صفحه 136 کتاب درسی)

 

1) داده‌های ارائه شده در لیست حقوق کارکنان را از کم به زیاد مرتب کنید.

2) عددی را پیدا کنید که تعداد حقوق‌های قبل از آن، با تعداد حقوق‌های بعد از آن برابر باشد.

اگر حقوق کارکنان را از کم به زیاد مرتب کنیم، عدد 1/3 (میلیون) در وسط قرار می‌گیرد، یعنی تعداد حقوق‌های قبل از عدد 1/3 (میلیون) با تعداد حقوق‌های بعد از آن برابر است؛ این عدد را میانه می‌نامند. در لیست حقوقی مرتب شده، حقوقی که قرار است طاها بگیرد بعد از عدد 1/3 (میلیون) است که از حقوق نیمی از کارکنان بیشتر است. با دقت بیشتر متوجه می‌شویم که اگر حقوق‌ها را از زیاد به کم نیز مرتب می‌کردیم، همین نتیجه به‌دست می‌آمد.

میانگین داده‌ها 2 میلیون تومان است و این عدد نشان نمی‌دهد چه تعداد از داده‌ها بیشتر یا کمتر از آن است. می‌دانیم عدد میانگین ممکن است در بین داده‌ها نباشد؛ برای مثال، عدد دو میلیون تومان در لیست حقوق کارکنان نیست. همچنین به علت وجود داده پرت (حقوق مدیر عامل 5/8 میلیون تومان است) در لیست حقوق، میانگین، خیلی بالا رفته است که تصوری اشتباه دربارهٔ میزان دریافت حقوق کارکنان در ما ایجاد می‌کند؛ زیرا فقط 2 نفر حقوق بیشتر از میانگین دارند و 7 نفر حقوق کمتر از میانگین دریافت می‌کنند.

میانگین و میانه، هر دو به توصیف وضعیت داده‌ها می‌پردازند و هر کدام ویژگی‌هایی از داده‌ها را بیان می‌کنند.

کار درکلاس 3 (صفحه 138 کتاب درسی)

 

1) تعداد روزهای مسافرت چند خانواده به‌صورت مقابل است. 8، 3، 6، 4، 3، 7، 5، 2 میانه این داده‌ها را بنویسید.

2) اگر تعداد داده بدون تکرار و .................. (فرد / زوج) باشد، میانه در داده‌ها قرار ندارد.

3) داده‌های زیر تعداد شرکت‌کنندگان شهرهای مختلف را در یک مسابقه نشان می‌دهد و میانهٔ داده‌ها عدد 17 است. در جای‌های خالی چه اعدادی می‌توانند قرار بگیرند؟ چرا؟

20   ،   20   ،   19   ،   19   ،   18    ،   ....   ،   ....   ،   15   ،   14   ،   13   ،   13   ،   12   ،   11

مسائل (صفحه 139 کتاب درسی)

 

1) مثالی بزنید که میانه در بین داده‌ها نباشد و مثالی بزنید که میانه در بین داده‌ها باشد.

2) اگر همهٔ داده‌ها 2 برابر شوند، میانه چه تغییری می‌کند؟

3) در جلسه‌های تمرین پرتاب نیزه، دو ورزشکار، پرتاب‌های مختلفی انجام داده‌اند. مسافت پرتاب شده توسط آنها برحسب متر به‌صورت زیر است:

70 ، 70 ، 55 ، 66 ، 58 ، 69 ، 66 ، 71 ، 63 ، 72 ، 60 ، 65 ، 70 : ورزشکار اول

70 ، 68 ، 59 ، 58 ، 68 ، 65 ، 71 ، 65 ، 72 ، 70 ، 60 ، 75 : ورزشکار دوم

میانه پرتاب دو ورزشکار را با هم مقایسه کنید. توضیح دهید در این مسئله، میانه چه چیزی را نشان می‌دهد. عملکرد کدام‌یک را بهتر ارزیابی می‌کنید؟

4) داده‌های مقابل را در نظر بگیرید: 8  ،  5  ،  3

الف- میانگین و میانهٔ این داده‌ها را حساب کنید.

ب- در داده‌ها به جای عدد 8، عدد 90 را بنویسید و مجدداً میانگین و میانه را حساب کنید.

با توجه به تغییرات انجام شده در قسمت «ب»، به سؤال‌های زیر پاسخ دهید.

پ- با تغییر یکی از داده‌ها (میانه / میانگین) همواره تغییر می‌یابد.

ت- میانه به کوچکی و بزرگی داده‌های قبل و بعد از خود بستگی (دارد / ندارد).

5) میانه نمرات دانش‌آموزان یک کلاس 25 نفری، برابر 17 است. میانه چه اطلاعاتی درباره نمره‌های کلاس به شما می‌دهد؟

6) میانهٔ نمرات ریاضی در دو کلاس، 17 و 12 است. وضعیت نمرات دو کلاس را توصیف کنید.

7) میانگین 5 داده برابر با 17 و میانهٔ آنها 14 است. 5 عدد مثال بزنید که این شرایط را داشته باشند. این مسئله چند جواب می‌تواند داشته باشد؟

نمودار جعبه‌ای

در هنرستانی دو کلاس 16 نفری به نام‌های «تلاش» و «کوشش» بود که بین آنها آزمون هماهنگ درس ریاضی برگزار شد. دبیران این دو کلاس نتایج کار هنرجویان خود را برای ارائه در جلسهٔ دبیران آماده کردند. روز جلسه، مدیر از دبیران خواست نتایج این آزمون را گزارش کنند تا عملکرد کلاس‌ها مشخص شوند. دبیران این دو کلاس، فهرست نمرات را به همراه میانگین و میانهٔ نمرات به شکل زیر ارائه کردند:

کلاس تلاش: میانگین 16 و میانه 14/5 کلاس کوشش: میانگین 15 و میانه 16
کلاس کوشش کلاس تلاش
نمرهٔ هنرجویان نمرهٔ هنرجویان
10 18
17 14/5
12 18
15 14
20 19
10 9
17 14
17 19/5
10 14/5
10 19
15 18
19 14
17 13
12 14
19 14
20 19/5

مدیرگفت: درک عملکرد هنرجویان از طریق این فهرست دشوار است، بهتر است نموداری رسم شود تا درک بهتری داشته باشیم.

یکی از دبیرانی که آمار درس می‌داد گفت: بهتر است از نمودار جعبه‌ای استفاده کنیم.

شما با انجام فعالیت زیر می‌توانید با مفهوم نمودار جعبه‌ای و کاربردهای آن آشنا شوید.

فعالیت 5 (صفحه 141 کتاب درسی)

 

نمره‌هاب مرتب شدهٔ درس ریاضی کلاس «کوشش» به‌صورت زیر است.

20، 20، 19، 19، 17، 17، 17، 17، 15، 15، 12، 12، 10، 10، 10، 10

1) میانهٔ نمره‌ها را با نقطه‌ای به نام $M$ روی خط‌چین زیر مشخص کنید.

2) برای اعداد قبل از میانه، دوباره میانه را پیدا کنید و آن را روی‌خط چین با نقطهٔ $C$ مشخص کنید همچنین برای اعداد بعد از میانه، دوباره میانه را پیدا کنید و آن را روی خط‌چین با نقطهٔ $D$ مشخص کنید.

3) کمترین نمره را با نقطهٔ $A$ و بیشترین نمره را با نقطهٔ $B$ روی خط‌چین مشخص کنید.

4) مستطیلی رسم کنید که نقاط $C$ و $D$ روی عرض‌های این مستطیل (جعبه) قرار گیرند. پاره‌خطی از $A$ به $C$ و پاره‌خطی از $B$ به $D$ وصل کنید. درصد تعداد نمرات دانش‌آموزان در هر بازه را پیدا کرده و در جدول زیر را کامل کنید.

بعد از $D$ قبل از $D$ بین $C$ و $D$ قبل از $C$ بازه نمرات
        درصد تعداد نمرات هنرجویان

در فعالیت (5) میانه برابر 16 است، یعنی $M=16$. میانهٔ اعداد قبل از $M$ برابر 11 است، یعنی $C=16$. تعداد نمره‌های قبل از $C$، $\frac{1}{4}$ کل نمرات است؛ به همین دلیل آن را چارک اول می‌نامند و با ${{Q}_{1}}$ نشان می‌دهند. تعداد نمره‌های بعد از ${{Q}_{1}}$، سه برابر تعداد نمرات قبل از آن است. میانهٔ اعداد بعد از $M$ برابر 18 است، یعنی $D=18$. تعداد نمره‌های قبل از $D$، $\frac{3}{4}$ تعداد کل نمره‌ها است؛ به همین دلیل آن را چارک سوم می‌گویند و با ${{Q}_{3}}$ نشان می‌دهند. تعداد نمره‌های قبل از ${{Q}_{3}}$ سه برابر تعداد نمره‌های بعد از آن است. تعداد نمره‌های بین ${{Q}_{1}}$ و ${{Q}_{3}}$، یعنی آنهایی که درون جعبه قرار دارند، تقریباً 50 درصد تعداد کل نمره‌ها است.

هر یک از دو دنباله رسم شده در دو طرف جعبه نشان دهندهٔ تقریبا %25 داده‌ها است و بلندتر بودن دنبالهٔ سمت راست نشان می‌دهد پراکندگی تعداد تصادف‌ها در این قسمت بیشتر است. در این مثال تقریباً % 25 از داده ها از 7 تا 10/5 است. همچنین نزدیک بودن $M$ به ${{Q}_{1}}$ نشان می‌دهد پراکندگی تعداد تصادف‌ها بین آنها کمتر از پراکندگی تعداد تصادف‌های بین $M$ تا ${{Q}_{3}}$ است.

در نمودار جعبه‌ای، تقریباً 50 درصد داده‌ها درون جعبه قرار می‌گیرند. اگر $M$ در وسط جعبه قرار داشته باشد، نشان می‌دهد پراکندگی داده‌ها از ${{Q}_{1}}$ تا $M$ همانند پراکندگی $M$ تا ${{Q}_{3}}$ است. هر چقدر $M$ از وسط جعبه به ${{Q}_{3}}$ نزدیک‌تر شود پراکندگی بین آن دو کمتر از پراکندگی بین ${{Q}_{1}}$ تا $M$ خواهد شد.

کار درکلاس 4 (صفحه 144 کتاب درسی)

 

1) میزان بارندگی (بر حسب میلی‌متر) در یک شهر طی 15 روز به صورت زیر گزارش شده است:

2، 0، 5، 1، 9، 0، 12، 15، 25، 5، 0، 8، 2، 3، 16

الف- چارک اول، میانه و چارک سوم چه اعدادی هستند؟

ب- تقریباً چند درصد داده‌ها بین ${{Q}_{1}}$ و ${{Q}_{3}}$ قرار دارند؟

پ- نمودار جعبه‌ای داده‌ها را رسم و آن را تفسیر کنید.

2) یک شرکت بیمه می‌خواهد بررسی‌هایی را برای پرداخت هزینه‌های بستری بیماران دچار حملهٔ قلبی انجام دهد. بعد از آنکه مدت بستری شدن (بر حسب روز) تعدادی بیمار پس از حمله قلبی در یک بیمارستان مشخص شد نمودار جعبه‌ای آن را به‌صورت زیر رسم کرده‌اند:

الف- میانهٔ داده‌ها چند است؟

ب- چارک اول چند است؟ چند درصد داده‌ها قبل از آن و چند درصد بعد از آن قرار دارند؟

پ- مقدار ${{Q}_{3}}$ چند است؟ این عدد نشان دهندهٔ چیست؟

ت- چند درصد داده‌ها درون جعبه قرار دارند؟

ث- بلندتر بودن دنبالهٔ سمت راست جعبه نشان دهندهٔ چیست؟

3) نمودار جعبه‌ای فهرست نمرات کلاس‌های تلاش و کوشش (در ابتدای این بخش) را رسم کنید. سپس با مقایسهٔ این نمودارها، به نظر شما کدام کلاس عملکرد بهتری دارد؟ چرا؟

مسائل (صفحه 145 تا 146 کتاب درسی)

 

1) نمودار جعبه‌ای نمره‌های زبان انگلیسی در یک کلاس به‌صورت زیر است:

الف- میانه برابر چه عددی است؟

ب- فاصله بین ${{Q}_{1}}$ و ${{Q}_{3}}$ چقدر است؟

پ- جند درصد از نمره‌ها قبل از ${{Q}_{3}}$ قرار دارند؟

2) نمودارهای زیر عملکرد دو کلاس را در درس عربی نشان می‌دهد.

الف- در کدام کلاس، نمرهٔ دانش‌آموزان پراکندگی کمتری دارد؟

ب- نیمی از دانش‌آموزان کلاس 1، نمره‌شان بیشتر از چند است؟

پ- کدام کلاس عملکرد بهتری دارد؟ چرا؟

ت- آیا می‌توان گفت 75 درصد دانش‌آموزان کلاس 1 از همهٔ دانش‌آموزان کلاس 2 بهتر عمل کرده‌اند؟

3) در یک تیم والیبال، کوتاه‌ترین قد 168 و بلندترین قد 203 سانتی‌متر و میانه برابر 4 سانتی‌متر است. اگر فاصلهٔ بین ${{Q}_{3}}$ و ${{Q}_{1}}$ برابر 11 باشد، آیا می‌توان نمودار جعبه‌ای قد افراد این تیم را رسم کرد؟

4) غلظت قند خون 12 نفر (برحسب $mMd{{m}^{-3}}$)، 30 دقیقه پس از مصرف غذا اندازه‌گیری شده است. نتایج به‌دست آمده به شرح زیر است.

الف- میانه و چارک‌های اول و سوم را پیدا کنید.

ب- اگر غلظت قند خون شما، 30 دقیقه پس از مصرف غذا 4/1 باشد، وضعیت خود را نسبت به این افراد توصیف کنید.

5) سجاد در رشته کشاورزی تحصیل می‌کرد. او تنوع تعداد نخودهای موجود در غلاف‌ها را بررسی کرد. تعداد نخودهای موجود در 17 غلاف به شرح زیر است.

4، 5، 8، 12، 10، 4، 3، 11، 5، 6، 5، 9، 8، 7، 10، 9، 7

نمودار جعبه‌ای این داده‌ها را رسم و تفسیر کنید.

پودمان 5: آمار توصیفی