درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی کلاس هفتم
درس 4: حجم و سطح
فعالیت (صفحهٔ 79 کتاب درسی)
1- یک مستطیل به طول و عرض داده شده را به دو صورت زیر لوله میکنیم تا استوانه به دست آید.
برای به دست آوردن شعاع دایره، محیط آن را دو برابر عدد پی یا تقریباً 6 تقسیم میکنیم.
$60\div 6\simeq 10$
$40\div 6\simeq 6/6$
در هر حالت حجم استوانه را به دست آورید. مانند نمونه از رابطههای جبری کمک بگیرید. برای سادهتر شدن محاسبهها عدد پی $(\pi )$ را 3 در نظر بگیرید. در هر حالت ابتدا شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را تشخیص دهید.
${{V}_{1}}={{h}_{1}}\times {{S}_{1}}={{h}_{1}}\times {{r}_{1}}\times {{r}_{1}}\times \pi =(10\times 10\times \pi )\times 40=4000\pi $
${{V}_{2}}={{h}_{2}}\times {{S}_{2}}=(6/6\times 6/6\times \pi )\times 60=2613/6\pi $
با مقایسهٔ حجمها و با توجه به اینکه هر دو حجم با یک مستطیل ساخته شده است، چه نتیجهای میگیرید؟
هر چه شعاع دهانه یک استوانه بزرگتر باشد حجمش بیشتر است.
2- یک کارخانهٔ تولید چای دو نوع بسته بندی به شکلهای زیر ارائه می کند. هر دو نوع قوطی با ورق روی اندود (مصوب فرهنگستان galvanized) درست شدهاند. در کدام یک چای بیشتری جا میگیرد؟
حجم دو قوطی را به دست میآوریم عدد پی را 3 در نظر میگیریم.
ارتفاع × عرض × طول = حجم قوطی مکعب شکل
$=10\times 10\times 10=1000$
$=(5\times 5\times \pi )\times 10=750$ ارتفاع × مساحت دایره = حجم قوطی استوانه شکل
در کدام یک ورق روی اندود بیشتری برای ساخت قوطی به کار رفته است؟ در محاسبات خود عدد $\pi $ را 3 در نظر بگیرید.
باید مساحت کل دو قوطی را به دست آوریم.
با توجه به عددهای بالا اگر شما مدیر کارخانه باشید، کدام نوع بسته بندی را انتخاب میکنید؟ چرا؟
کدام نوع بسته بندی در حمل و نقل بهتر است و جای کمتری میگیرد؟ چرا؟ بستهبندی مکعب شکل
6 × مساحت یک وجه = مساحت کل قوطی مکعب شکل
$=(10\times 10)\times 6=600$
مساحت دایره پایین + مساحت دایره بالا + مساحت جانبی = مساحت کل قوطی استوانه شکل
$=(10\times \pi )\times 10+(5\times 5\times \pi )+(5\times 5\times \pi )=100\pi +25\pi +25\pi =150\pi =450$
در ساخت قوطی مکعب شکل ورق گالوانیزه بیشتری مصرف شده است.
کار در کلاس (صفحهٔ 79 کتاب درسی)
ارتفاع × عرض × طول = حجم جعبه شیرینی
با توجه به اندازههای داده شده، حجم (گنجایش) جعبه را پیدا کنید.
$=20\times 20\times 5=2000$
اگر به جای 5 سانتی متر لبهها را 6 سانتی متر در نظر بگیریم، جعبهای که با همین مقوا ساخته میشود، حجم بیشتری دارد یا کمتر؟ کمتر میشود.
$=18\times 18\times 6=1944$ حجم جعبه شیرینی با لبه 6 سانتی متری
فعالیت (صفحهٔ 80 کتاب درسی)
مستطیل ABCD را حول محوری که از AD میگذرد، دوران میدهیم. شکل زیر نشان میدهد که مستطیلها چگونه حرکت میکنند.
شما هم مانند شکل مقابل کاغذی را روی مدادی بچسبانید و آن را بچرخانید و حرکت مستطیل را تماشا کنید.
با چرخاندن این مستطیل چه حجمی به وجود میآید؟ استوانه
مشخصات آن حجم را بنویسید.
ارتفاع استوانه طول مستطیل است و شعاع دایره استوانه عرض مستطیل است.
کار در کلاس (صفحهٔ 80 کتاب درسی)
1- سطحی مثل شکل مقابل را حول محور d دوران میدهیم.
حجم چه شکلی ساخته میشود؟ میتوانید با یک فرفره و چرخاندن آن حجم ایجاد شده را ببینید.
از این خاصیت در خرّاطی، تراشکاری و سفالگری برای ساختن حجمهای مختلف استفاده می کنند.
2- یک مستطیل را یک بارحول محور AD و یک بار حول محور AB دوران دهید. حجم حاصل از این دوران را حساب کنید.
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$=(4\times 4\times \pi )\times 2=32\pi $
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$=(2\times 2\times \pi )\times 4=16\pi $
تمرین (صفحهٔ 81 کتاب درسی)
1- یک مقوا به طول و عرض، $20\times 5$ را به شکل استوانه به ارتفاع 5 در آوردهایم. یک مقوای دیگر را نیز به ابعاد $10\times 10$ را به شکل یک استوانه در آوردهایم. با توجه به اینکه مساحت مقواها در دو حالت برابر است، کدام استوانه حجم بیشتری دارد؟
محیط را بر عدد پی و سپس بر 2 تقسیم میکنیم تا شعاع به دست آید.
$20\div 3=6/6$ قطر
$6/6\div 2=3/3$ شعاع
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$=(3/3\times 3/3\times \pi )\times 5=54/45\pi $
$10\div 3=3/3$ قطر
شعاع $3/3\div 2=1/6$
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$=(1/6\times 1/6\times \pi )\times 10=25/6\pi $
هر چه شعاع دهانه استوانه بزرگتر باشد حجم آن بیشتر است.
2- با شکل مقابل یک منشور درست کردهایم. مساحت جانبی آن را پیدا کنید.
عرض × طول = مساحت مستطیل
$=18\times 10=180$
3- یک صابون مکعب مستطیل شکل به حجم 32 سانتیمتر مکعب پس از چند بار مصرف، کوچک شده و به ابعاد $2\frac{1}{2}$ و 4 و $1\frac{1}{2}$ سانتی متر تبدیل شده است. چند درصد این صابون استفاده شده است؟
32 = حجم صابون بزرگ
$=2/5\times 4\times 1/5=15$ حجم صابون کوچک
$=32-15=17$ حجم صابون استفاده شده
$\frac{17}{32}=\frac{x}{100}\to x=53/125$
4-یک استوانه که با یک مقوا به طول 20 سانتی متر و عرض 10 سانتیمتر ساخته شده به طور تقریبی چه حجمی دارد؟ (ارتفاع استوانه 20 است.)
ابتدا با استفاده از محیط شعاع دایره را به دست میآوریم. محیط را بر عدد پی و سپس بر 2 تقسیم میکنیم تا شعاع به دست آید.
$10\div 3/14=3/18$
$3/18\div 2=1/59\approx 1/6$
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$(1/6\times 1/6\times \pi )\times 20=161$
5- اگر یک حجم از بالا و سمت راست و روبه رو به صورت زیر دیده شود، آن حجم را رسم کنید.
6- شکل مقابل گستردهٔ یک منشور را نشان میدهد.
مساحت جانبی منشور را پیدا کنید.
$=2\times 10=20$ مساحت یک وجه
$=3\times 20=60$ مساحت جانبی
7- با توجه به حجم منشور و ابعاد آن، اندازهٔ ضلعهای گستردهٔ آن را بنویسید.
8- حجم مقابل از راست، بالا و روبه رو چگونه دیده میشود؟
مرور فصل 6 (صفحهٔ 82 کتاب درسی)
مفاهیم و مهارتها
در این فصل واژههای زیر به کار رفتهاند. مطمئن شوید که میتوانید با جملات خود آنها را تعریف کنید. برای هر کدام یک مثال بزنید.
- حجم هندسی
- حجم منشوری
- مساحت جانبی
- مساحت کل
- گسترده
در این فصل روشهای اصلی زیر مطرح شدهاند. با یک مثال هر کدام را توضیح دهید و در دفتر خود یک خلاصهٔ درس تهیه کنید.
- انواع حجمهای هندسی
- حجم مخروطی و حجم منشوری
- قاعده، وجه، یال و رأس حجمهای منشوری
- مقطع زدن یک حجم منشوری
- رابطهٔ پیدا کردن حجمهای منشوری
- رابطهٔ پیدا کردن مساحت جانبی حجمهای هندسی
- رابطهٔ پیدا کردن مساحت کل حجمهای منشوری
- ساختن یک حجم به کمک گستردهٔ آن
- دوران سطح حول یک محور و ساختن حجم
- مقایسهٔ حجمهایی که با یک سطح مشخص درست شدهاند.
کاربرد
کاربرد این فصل در زندگی روزمره فراوان است. در دنیایی از اجسام زندگی میکنیم و نیاز داریم حجمهای مختلف را اندازه بگیریم و برای ساختن حجمها نیز از سطحها (کاغذ، مقوا،ورق و …) استفاده میکنیم.
تمرینهای ترکیبی (صفحهٔ 82 کتاب درسی)
در صورتی که تمرینهای ترکیبی زیر را بتوانید انجام دهید، مطمئن میشوید، این فصل را به خوبی آموختهاید.
1- حجم، مساحت جانبی و مساحت کل شکلهای زیر را به دست آورید.
استوانه به شعاع قاعدهٔ 2 و ارتفاع 2 منشور چهار پهلو با قاعدهٔ مربع به ضلع 2 و ارتفاع 20
ارتفاع × عرض × طول = حجم منشور 4 پهلو
$=2\times 2\times 20=80$
$=20\times 2=40$ مساحت یک وجه مکعب
$=40\times 4=160$ مساحت جانبی مکعب
$=160+4+4=168$ مساحت کل مکعب
ارتفاع × مساحت دایره = حجم استوانه
$=(2\times 2\times \pi )\times 2=8\pi $
ارتفاع استوانه × محیط دایره = مساحت جانبی
$=(4\times \pi )\times 2=8\pi $ مساحت جانبی استوانه
$=8\pi +4\pi +4\pi =16\pi $ مساحت کل استوانه
2- الف) با توجه به شکل مکعب مستطیل اندازه ضلعهای خواسته شده روی گستردهٔ آن را مشخص کنید.
ب) حجم شکل مقابل را به دست آورید.
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم
مساحت نیمدایره - مساحت مثلث + مساحت مربع = مساحت قاعده
$=20\times 20=400$ ضلع × ضلع = مساحت مربع
$\times \pi \div 2=5\times 5\times \pi \div 2=12/5\pi $ شعاع × شعاع = مساحت نیم دایره
$\div 2=20\times 15\div 2=150$ ارتفاع × قاعده = مساحت مثلث
$=400+150-12/5\pi =550-37/5=512/5$ مساحت قاعده
$=512/5\times 60=30750$ حجم