درسنامه آموزشی ریاضی (2) کلاس یازدهم هنرستان
پودمان 2- تابعهای خطی و درجۀ دوم و کاربرد آنها در حل معادلهها و نامعادلهها
تابعهای خطی
محمد علاقهٔ زیادی به گیاهان و پرورش آنها داشت. او با کمک مادرش، در باغچهٔ حیاط خانهشان، انواع گل و گیاه را کاشته بود و هر روز به آنها رسیدگی میکرد. او به اندازهٔ رشد هر کدام از این گیاهان دقت میکرد. برخی از آنها در روزهای متوالی رشدهای متفاوت و برخی دیگر رشد یکنواختی داشتند. محمد به مادرش گفت: جالب است! نحوهٔ رشد هر کدام از این گیاهان با هم فرق دارد.
مادر محمد که دبیر ریاضی بود به او گفت: دقیقاً همینطور است. پیشنهاد میکنم دو یا سه گیاه را انتخاب کنی و هر روز طول آنها را اندازه بگیری. در این صورت میتوانی نحوهٔ رشد طولی هر کدام را بهتر درک کنی.
محمد به مادرش گفت: اگر مدتی این کار را انجام دهم، آیا میتوانم پیشبینی کنم هر کدام از آنها بعد از یک ماه چقدر رشد طولی خواهند کرد؟
مادرش گفت: بله، باید یک مدل ریاضی برای رفتار رشد طولی آنها بنویسی تا بتوانی مقدار رشد طولی آنها را در روزهای آینده پیشبینی کنی.
انجام فعالیت پایین میتواند پاسخی برای این سؤال فراهم سازد.
فعالیت 1 (صفحه 35 کتاب درسی)
نوعی بامبو پس از آنکه به ارتفاع 20 سانتیمتر میرسد، بهطور تقریبی در هر ساعت 3/8 سانتیمتر رشد میکند. ارتفاع بامبو تابعی از زمان است و اگر ارتفاع بامبو را (برحسب سانتیمتر) پس از $t$ ساعت با $h(t)$ نشان دهیم داریم: $h(t)=20+3/8t$.
اگر رشد بامبو را در یک شبانهروز در نظر بگیریم، دامنه این تابع $\left[ 0,24 \right]$ خواهد بود.
1) جدول زیر را کامل کنید و اختلاف مقادیر تابع را در داخل مربع ها بنویسید.
نمودار زیر، نمودار تابع $h(t)=20+3/8t$ را نشان میدهد.
2) به ازای هر یک واحد افزایش مقدار $t$، مقدار $h$ چه تغییری میکند؟
3) رابطهٔ بین دو کمیت $h$ و $t$، خطی است یا غیر خطی؟ چرا؟
4) $h(2)$ چه چیزی را نشان میدهد؟ $h(18)$ چطور؟
5) اگر $h(a)=39$، $a$ را پیدا کنید. این مقدار چه چیزی را نشان میدهد؟
همانطور که میبینید در فعالیت (1)، $h$ و $t$ با هم رابطهٔ خطی دارند و قانون تابعی که رابطهٔ آنها را توصیف میکند، یک چند جملهای درجهٔ 1 است. در این تابع به ازای هر 1 واحد افزایش متغیر تابع، مقدار تابع 3/8 واحد افزایش مییابد. نمودار این تابع، یک خط راست با شیب 3/8 است.
مثال 1
تابع خطی $f(x)=-2x+1$ را با دامنهٔ $\left[ -1,3 \right]$ در نظر بگیرید. مقدار تابع را در دو نقطه به طولهای 1- و 3 به کمک قانون آن به دست آورید و نمودار آن را رسم کنید.
داریم $f(-1)=3\,,\,f(3)=-5$. پس $\left[ \begin{align} & -1 \\ & 3 \\ \end{align} \right]$ و $\left[ \begin{align} & 3 \\ & -5 \\ \end{align} \right]$ دو نقطه از نمودار این تابع هستند و نمودار این تابع به شکل زیر است.
جدول زیر تعدادی از نقاط روی این خط را نشان میدهد.
همانطور که مشاهده میشود، با هر 1 واحد افزایش متغیر، مقدار تابع 2 واحد کاهش مییابد و این نشان میدهد شیب خط 2- است.
کار در کلاس 1 (صفحه 37 کتاب درسی)
رضا علاقهٔ زیادی به طراحی داشت. او تا سال قبل، 5 طرح رسم کرده بود و تصمیم گرفت از این به بعد هر ماه 2 طرح ارائه کند و این کار را تا 12 ماه ادامه دهد.
1) رضا قبل از این تصمیم، چند طرح داشت؟ او در آخر ماه اول چند طرح داشت؟ در آخر ماه پنجم چطور؟
2) اگر تعداد ماههای سپری شده را با $x$ و تعداد کل طرحها پس از $x$ ماه را با $f(x)$ نمایش دهیم، قانون تابع $f$ و دامنهٔ آن را بنویسید.
3) مقادیر $f(0)\,,\,f(10)$ را بهدست آورید و معنای آن را بیان کنید. آیا $f(-1)$ معنایی دارد؟
4) اگر دامنهٔ تابع را بازهٔ $\left[ 0,\,12 \right]$ در نظر بگیریم، نمودار تابع را رسم کنید.
5) اگر $f(a)=17$ مقدار $a$ را بهدست آورید و معنای آن را بیان کنید.
با مرور آنچه که دربارهٔ تابعهای خطی دیدیم، مشاهده میشود که در برخی از تابعهای خطی، با افزایش مقدار متغیر، مقدار تابع به میزان ثابتی افزایش مییابد و در برخی دیگر به میزان ثابتی کاهش مییابد. آیا میتوان تابعهای خطی پیدا کرد که با افزایش یا کاهش مقدار متغیر، مقدار تابع تغییر نکند؟
در فعالیت زیر این نوع از تابعهای خطی مورد بررسی قرار میگیرند.
فعالیت 2 (صفحه 38 کتاب درسی)
خودرویی از نقطهٔ $A$ شروع به حرکت میکند و پس از طی 2 کیلومتر پشت چراغ قرمز میایستد. مدت زمان چراغ قرمز 20 ثانیه است.
1) مقدار مسافت طی شده به وسیلهٔ خودرو از نقطه $A$، پس از 2 ثانیه توقف پشت چراغ قرمز چقدر است؟ پس از 5 ثانیه چطور؟
2) جدول زیر را کامل کنید.
| 20 | 10 | 5 | 2 | 0 | $t$ (زمان توقف برحسب ثانیه) |
| ... | ... | ... | ... | ... | $d$ (مسافت طی شده برحسب کیلومتر) |
3) نمودار تابع را از زمان $t=0$ تا زمان $t=20$ رسم کنید.
4) با تغییر زمان ($t$)، مسافت طی شده ($d$) چه تغییری میکند؟
در بازهٔ زمانی $\left[ 0\,,20 \right]$ که چراغ، قرمز است و خودرو پشت چراغ قرمز متوقف است، گرچه زمان میگذرد، مسافت طی شدهٔ خودرو از نقطهٔ $A$، 2 کیلومتر است و تغییری نمیکند. قانون این تابعِ خطی، به صورت $f(t)=2$ است و نمودار آن پاره خطی به موازات محور $x$هاست. در این فعالیت تابعی را بررسی کردیم که به ازای تمام مقادیر دامنه، مقداری ثابت دارد. این نوع تابعها، سادهترین نوع توابع خطی هستند.
اگر $f$ یک تابع ثابت باشد قانون آن به صورت $f(x)=c$ میباشد که در آن $c$ یک عدد مشخص است. نمودار تابع ثابت با دامنهٔ $\mathbb{R}$ خطی به موازات محور $x$ها (شیب صفر) است.
کار در کلاس 2 (صفحه 39 تا 40 کتاب درسی)
1) نمودارهای زیر چند تابع خطی را نشان میدهند. مشخص کنید کدام نمودار، مربوط به تابع ثابت است؟ دلیل خود را توضیح دهید.
2) در صفحهٔ مختصات زیر، مثلثی با رئوس $A=\left[ \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right]$ و $B=\left[ \begin{align} & 3 \\ & 0 \\ \end{align} \right]$ و $C=\left[ \begin{align} & 0 \\ & 2 \\ \end{align} \right]$ رسم کنید.
الف- در جدول زیر، $x$ طول نقطهای از خط $L$ (مانند $E$) است و $S$ (تابعی از $x$) مساحت مثلث $ABE$ است. جدول زیر را کامل کنید و اختلاف مقادیر تابع را در داخل مربعها بنویسید.
ب- قانون این تابع را بنویسید و توضیح دهید چرا $S$ تابعی خطی از $x$ است؟
پ- با استفاده از جدول، نمودار تابع را رسم کنید.
میدانیم نمودار هر تابع خطی با دامنهٔ $\mathbb{R}$ یک خط راست است. نمودار تابع خطی $f(x)=ax+b$ با تغییر مقادیر $a$ و $b$ چگونه تغییر میکند؟ فعالیت زیر، میتواند پاسخی برای این سؤال فراهم کند.
فعالیت 3 (صفحه 40 کتاب درسی)
تابع خطی $f(x)=ax+b$ را در نظر بگیرید. با استفاده از جئوجبرا مطابق دستورالعمل نرمافزار زیر، دو لغزنده برای $a$ و $b$ در نظر بگیرید.
1) با ثابت نگهداشتن $a$ و تغییر مقادیر $b$، نمودار تابع چگونه تغییر میکند؟ وضعیت خطهای بهدست آمده، نسبت به هم چگونه است؟
2) با ثابت نگهداشتن $b$، به ازای مقادیر مختلف $a$، نمودار تابع چگونه تغییر میکند؟
3) اگر $a$ مثبت باشد، زاوهٔ خط با جهت مثبت محور طولها چگونه است؟ اگر $a$ منفی باشد، زاویهٔ خط با جهت مثبت محور طولها چگونه است؟
فعالیت بالا نشان میدهد که با ثابت ماندن $a$ و تغییر $b$ نمودار تابع، خطهایی هستند که با یکدیگر موازی هستند. اگر $b$ افزایش یابد، این خط به موازات خود به بالا منتقل میشود و اگر $b$ کاهش یابد، این خط به موازات خود به پایین منتقل میشود و با صفرشدن $b$، خط از مبدأ میگذرد. با ثابت ماندن $b$ و تغییر $a$ خطهایی بهدست میآیند که شیبهای مختلفی دارند و همگی از یک نقطه میگذرند. اگر $a$ مثبت باشد، زاویهٔ خط با جهت مثبت محور طولها، زاویهٔ تند و اگر $a$ منفی باشد این زاویه باز است.
مثال 3
نمودار همهٔ تابعهای خطی با قانون $f(x)=ax+3$ در چه نقطهای مشترک هستند؟
تابعهای خطی $f(x)=ax+3$ را در نظر میگیریم.
برای مثال:
اگر $a=1$ باشد، در این صورت قانون تابع $f(x)=x+3$.
اگر $a=2$ باشد، در این صورت قانون تابع $2(x)=2x+3$ است.
اگر $a=-1$ باشد، در این صورت قانون تابع $f(x)=-x+3$.
مشاهده میکنیم که برای مقدارهای مختلف $a$، تابعهای مختلفی بهدست میآید. برای رسم نمودار این تابعها به کمک جئوجبرا، ابتدا لغزندهای به نام $a$ تعریف میکنیم (مطابق دستورالعمل زیر). با کلیک راست روی نمودار، گزینهٔ ردیابی را فعال میکنیم تا بتوانیم نمودار این تابعها را هم زمان مشاهده کنیم.
شکل زیر نمودار برخی از این تابعها را نشان میدهد.
همانطور که مشاهده میکنیم نمودار این تابعها، در نقطهٔ $\left[ \begin{align} & 0 \\ & 3 \\ \end{align} \right]$ همدیگر را قطع میکنند. پس تمام این تابعهای خطی از نقطهٔ $\left[ \begin{align} & 0 \\ & 3 \\ \end{align} \right]$ میگذرد.
کار در کلاس 3 (صفحه 42 کتاب درسی)
1) وضعیت خطهای به معادلهٔ $2y+5x=c$ را به ازای مقادیر مختلف $c$، توصیف کنید. شیب این خطها چقدر است؟
2) وضعیت خطهای به معادلهٔ $2y+cx=4$ را به ازای مقادیر مختلف $c$، توصیف کنید. این خطها از چه نقطه مشترکی میگذرند؟
3) آیا هر خطی در صفحهٔ مختصات، نمودار یک تابع خطی است؟ چرا؟
استفاده از نرمافزار
لغزنده در جئوجبرا
از نوار ابزار نرمافزار جئوجبرا دو Slider یا لغزنده به نامهای $a$ و $b$ انتخاب کنید و دامنه تغییرات برای هر کدام تعریف کنید.
سپس در قسمت وارد کردن تابع، فرمول تابع را که شامل $a$ و $b$ است بنویسید.
برای تغییر مقدار $a$ و $b$، نقطه روی لغزنده را حرکت دهید.
مسائل (صفحه 44 تا 45 کتاب درسی)
1) در زیر، جدول مقادیر مربوط به چهار تابع داده شده است. کدام جدول میتواند مربوط به یک تابع خطی باشد؟
| 1 | 0 | 1- | 2- | $x$ |
| 40- | 25- | 10- | 5 | $g(x)$ |
| 1 | 0 | 1- | 2- | $x$ |
| 1 | 0 | 1- | 8- | $f(x)$ |
| 3 | 2 | 1 | 0 | $x$ |
| 7 | 5 | 3 | 1 | $k(x)$ |
| 1 | 0 | 1- | 2- | $x$ |
| 5 | 5 | 5 | 5 | $h(x)$ |
1) علی در یک شرکت بیمه کار میکند. او 1,000,000 تومان به عنوان حقوق پایه دریافت میکند و به ازای هر مشتری جدید که جذب میکند، 50,000 تومان به حقوقش اضافه میشود.
الف- قانونی برای حقوق علی بهعنوان تابعی از تعداد مشتریهایی که ماهانه جذب میکند، بنویسید.
ب- اگر او در یک ماه 12 مشتری جدید برای شرکت جذب کرده باشد، میزان حقوق او در آن ماه چقدر خواهد بود؟
پ- چرا این تابع خطی است؟
ت- اگر علی بخواهد در یک ماه 2,000,000 تومان حقوق بگیرد، در این ماه چند مشتری باید جذب کند؟
3) آرمان سوار بر یک کشتی، در فاصلهٔ 10 کیلومتری از ساحل قرار دارد و با سرعت ثابت 3 کیلومتر بر ساعت از ساحل دور میشود. این حرکت 5 ساعت ادامه داشته است.
الف- قانون و دامنهٔ تابع مربوط به فاصلهٔ آرمان از ساحل (برحسب کیلومتر) را برحسب $t$ (زمان برحسب ساعت) بنویسید.
ب- آرمان پس از 2 ساعت در چه فاصلهای از ساحل خواهد بود؟
پ- چرا این تابع خطی است؟ شیب نمودار این تابع مثبت است یا منفی؟
4) دمای هوا در شهر تهران در تابستان، در طول یک هفته، در ساعت 1 ظهر، 35 درجهٔ سانتیگراد بوده است.
الف- جدول زیر را کامل کنید.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | $d$ (روز) |
| $t$ (دما برحسب درجه سانتیگراد) |
ب- دامنه و قانون این تابع را بنویسید.
پ- آیا این تابع، یک تابع ثابت است؟ چرا؟
ت- نمودار تابع را در دامنهاش رسم کنید.
5) رابطهٔ بین دو واحد اندازهگیری دما، درجهٔ سانتیگراد ($c$) و درجهٔ فارنهایت ($F$) با قانون $F(c)=\frac{9}{5}c+32$ بیان میشود.
الف- مقدارهای $F(28)$ و $F(-40)$ را محاسبه کنید و معنای آن را بیان کنید.
ب- دمای صفر درجهٔ سانتیگراد، معادل چند درجهٔ فارنهایت است؟
پ- اگر $F(c)=212$، مقدار $c$ را حساب کنید. $c$ چه چیزی را نشان میدهد؟
تابعهای درجهٔ دوم
گفتگو
صدرا در ایام تعطیلات تابستان به همراه خانوادهاش به شهر تبریز سفر کرده بود. آنها با استفاده از یک دفترچهٔ راهنما که از ایستگاه گردشگری شهر دریافت کرده بودند، هر روز از یک مکان تاریخی یا یک موزه دیدن میکردند. آن روز برای بازدید به مسجد کبود رفته بودند. صدرا تمام مدت به سقف مسجد خیره و محو زیبایی آن شده بود.
او به پدرش گفت: معماران چگونه توانستهاند انحنای گنبد را با این دقت ایجاد کنند. آیا معماران در زمان قدیم از ریاضیات مربوط به این معماری اطلاع داشتهاند؟! پدرش به او گفت که بهتر است این سؤال را از دبیر ریاضیاش بپرسد. وقتی صدرا این موضوع را برای دبیرش تعریف کرد، دبیر ریاضی گفت: این منحنیها از سادهترین نوع منحنیها در ریاضی هستند، که منحنیهای درجهٔ دوم نامیده میشوند. نمونهای از این منحنیها، نمودار $f(x)={{x}^{2}}$ است.
فعالیت 4 (صفحه 47 کتاب درسی)
به کمک جئوجبرا نمودار تابع $y={{x}^{2}}$ را رسم کنید و به سؤالات زیر پاسخ دهید. (در هر مرحله یک لغزنده تعریف کنید).
1) نمودار تابعهای درجهٔ دوم $y={{x}^{2}}+p$ را به ازای مقادیر مختلف $p$ رسم کنید. وضعیت نمودار تابع $y={{x}^{2}}+p$ را با نمودار تابع $y={{x}^{2}}$ توصیف کنید.
2) نمودار تابعهای درجهٔ دوم $y={{(x-q)}^{2}}$ را به ازای مقادیر مختلف $q$ رسم کنید. وضعیت نمودار تابع $y={{(x-q)}^{2}}$ را با نمودار تابع $y={{x}^{2}}$ توصیف کنید.
3) نمودار تابعهای درجهٔ دوم $y=k{{x}^{2}}$ را به ازای مقادیر مختلف مثبت و منفی برای $k$ رسم کنید. با تغییر علامت $k$ از مثبت به منفی چه تغییری در نمودار ایجاد میشود؟
در فعالیت (4)، با شکل کلی نمودار برخی از تابعهای درجهٔ دوم آشنا شدید. نمودار هر تابع درجهٔ دوم از طریق نمودار تابع $y=a{{x}^{2}}$ با انتقال به پایین یا بالا (قسمت (1)) و انتقال به چپ یا راست (قسمت (2)) ساخته میشود. نمودار $y=a{{x}^{2}}$ برای حالت $0\lt a$ و $a\lt 0$ در زیر آمده است.
|
|
|
مثال 5
الف- نمودار تابع $y={{(x-2)}^{2}}-1$ را رسم میکنیم.
نمودار این تابع همان نمودار تابع $y={{x}^{2}}$ است که به اندازهٔ 2 واحد به سمت راست و به اندازهٔ 1 واحد به پایین منتقل شده است.
ب- اگر نمودار تابع درجهٔ دوم $y=k{{(x-q)}^{2}}+p$ به شکل زیر باشد، علامت $k$ و مقدار $p$ و $q$ را تعیین کنید.
به سمت پایین بودن نمودار، نشان میدهد که $k\lt 0$. این شکل نشان میدهد که نمودار تابع $y=k{{x}^{2}}$، 1 واحد به راست و 2 واحد به بالا منتقل شده است، پس $q=1$ و $p=2$.
کار در کلاس 4 (صفحه 48 کتاب درسی)
نمودارهای زیر مربوط به تابع درجهٔ دوم $y=k{{(x-q)}^{2}}+p$ میباشد، علامت $k$ و مقدار $p$ و $q$ را تعیین کنید.
|
|
|
مسائل (صفحه 49 کتاب درسی)
1) نمودارهای زیر مربوط به تابع درجهٔ دوم، $y=k{{(x-q)}^{2}}+p$ هستند. علامت $k$ و مقدار $q$، $p$ را تعیین کنید.
|
|
|
2) نمودار روبهرو مربوط به یک تابع درجهٔ دوم است. مشخص کنید که کدام قانون، مربوط به این نمودار است.
الف- $f(x)={{(x-1)}^{2}}+1$
ب- $f(x)={{(x-1)}^{2}}-1$
پ- $f(x)={{(x+1)}^{2}}+2$
ت- $f(x)={{(x+1)}^{2}}-2$
3) فرید بسکتبال بازی میکند. تصویر زیر یک پرتاب او را به سمت سبد نشان میدهد. صفحهٔ مختصات طوری قرار داده شده است که مبدأ مختصات دقیقاً روی نقطهٔ پرتاب توپ قرار گیرد. ارتفاع توپ از سطح زمین در هر لحظه یک تابع درجهٔ دوم با قانون $h(x)=k{{(x-q)}^{2}}+p$ است. علامت $k$ و $p$ و $q$ را تعیین کنید.
کاربرد تابعها در حل معادلهها
گفتگو
برف شدیدی در حال باریدن بود. امیر و امین و چند نفر از هم کلاسیهایشان به همراه دبیر ریاضی خود قرار بود فردای آن روز به کوه بروند. پدر امیر که کوه نوردی حرفهای بود به آنها قول داده بود که به همراه گروه، فردا به کوه بیاید تا گروه را راهنمایی کند. او به گروه توصیه کرد لباس گرم همراه داشته باشند.
صبح زود، گروه در حال بالا رفتن از کوه بود که امیر گفت: من سردم شده است. پدرش به او گفت: بهتر است یکی از لباسهایی را که آوردهای بپوشی، هر چه بالاتر برویم، هوا سردتر میشود. امیر رو به دبیر ریاضی کرد و گفت: معلوم میشود دما به ارتفاع بستگی دارد. آیا دما، تابعی از ارتفاع است؟ دبیر گفت: بله همین طور است. در واقع به ازای هر 150 متر افزایش ارتفاع، 1 درجه از دمای هوا کاسته میشود. امین پرسید: آیا میتوانیم بفهمیم در چه ارتفاعی، دمای هوا صفر درجه میشود؟ دبیر قول داد که در کلاس، راجع به این موضوع بیشتر بحث کنند.
فعالیت 5 (صفحه 51 کتاب درسی)
اگر دما در سطح دریا 15 درجهٔ سانتیگراد باشد، در کوه دماوند رابطهٔ بین دما ($T$ برحسب درجه سانتیگراد) و ارتفاع از سطح دریا ($h$ برحسب متر) با قانون $T(h)=15-\frac{h}{150}$ مشخص میشود. در اینجا $T$ تابعی از $h$ است و دامنهٔ این تابع بازهٔ $\left[ 0,5610 \right]$ است. (5610، ارتفاع قلهٔ دماوند برحسب متر است)
1) $T(0)$ چه چیزی را نشان میدهد؟
2) در ارتفاع 1800 متری از سطح دریا، دما چند درجه است؟
3) نمودار تابع $T$ در زیر رسم شده است. با توجه به نمودار به سؤالهای زیر پاسخ دهید. روی محور افقی هر واحد را 100 متر در نظر میگیریم.
الف- $T$، از درجهٔ ................................ است.
ب- نمودار این تابع درچه نقطهای محور افقی (ارتفاع) را قطع میکند؟ این نقطه چه چیزی را نشان میدهد؟
4) جواب معادلهٔ $15-\frac{h}{150}=0$ را بیابید. جواب این معادله چه چیزی را نشان میدهد؟
5) از مقایسه (3) و (4) چه نتیجهای میگیرید؟
در فعالیت (5) دیدیم که نمودار تابع $T$، محور افقی را در نقطه $h=2250$ قطع میکند؛ یعنی دما، در ارتفاع 2250 متری از سطح دریا، صفر درجهٔ سانتیگراد است. همچنین دیدیم، برای پیدا کردن جواب معادلهٔ $15-\frac{h}{150}=0$، کافی است طول نقطهٔ برخورد نمودار تابع $T(h)=15-\frac{h}{150}$ با محور افقی را بیابیم.
در حالت کلی برای حل معادلهٔ $ax+b=0$ میتوان نمودار تابع $f(x)=ax+b$ را رسم کرد. طول محل برخورد نمودار این تابع با محور $x$ها همان جواب معادلهٔ $ax+b=0$ است.
همچنین، برای حل معادلهٔ درجهٔ دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ میتوان نمودار تابع $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ را رسم کرد. طول محلهای برخورد نمودار این تابع با محور $x$ها (در صورت وجود) همان جوابهای معادلهٔ درجهٔ دوم هستند.
از این روش میتوان برای حل همهٔ معادلهها استفاده کرد. هر معادلهای را میتوان به شکل کلی $f(x)=0$ نوشت که در آن $f$ تابعی با دامنهٔ مشخص است. با رسم نمودار $f$، محلهای برخورد نمودار با محور $x$ها (درصورت وجود) جوابهای معادلهٔ $f(x)=0$ هستند. در شکل روبهرو، نقاط ${{x}_{1}}$، ${{x}_{2}}$ و ${{x}_{3}}$ جوابهای معادلهٔ $f(x)=0$ هستند. اگر نمودار $f$ محور $x$ها را قطع نکند، به این معناست که معادلهٔ $f(x)=0$ جواب ندارد.
مثال 6
معادلهٔ $-{{x}^{2}}+2x-2=0$ را به کمک رسم نمودار حل کنید.
شکل زیر نمودار تابع $f(x)=-{{x}^{2}}+2x-2$ را نشان می دهد. این نمودار محور طولها را قطع نمیکند. پس معادلهٔ بالا جواب ندارد.
مثال 7
معادلهٔ ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1=0$ را به کمک رسم نمودار حل کنید.
نمودار تابع $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1$ را به کمک جئوجبرا رسم میکنیم (شکل زیر).
این نمودار، محور طولها را در نقاط $\pm 1$ قطع میکند، پس جوابهای آن معادله، $\pm 1$ هستند.
کار در کلاس 5 (صفحه 53 کتاب درسی)
آب از بالای آبشاری که ارتفاع آن 180 متر است، به رودخانه میریزد. تابع $h(t)=-5{{t}^{2}}+180$ ارتفاع یک قطرهٔ آب (بر حسب متر) از سطح رودخانه را بعد از $t$ ثانیه از جدا شدن از بالای آبشار نشان میدهد.
1) ارتفاع یک قطره آب از سطح رودخانه بعد از 2 ثانیه، چقدر است؟
2) نمودار تابع با قانون $h(t)$ و دامنهٔ $\mathbb{R}$ آورده شده است. (زمان را روی محور افقی و ارتفاع را روی محور عمودی، هر واحد 10 متر، در نظر بگیرید.) نمودار این تابع در چه نقطههایی محور $x$ها را قطع میکند؟ این نقطهها چه چیزی را نشان میدهند؟
3) جوابهای معادلهٔ $-5{{t}^{2}}+180=0$ مقادیری هستند؟ کدام جواب در شرایط این مسئله قابل قبول نیست؟ دلیل خود را بیان کنید.
4) دامنهٔ تابع $h$ را طوری تعیین کنید که قانون $h(t)$ ارتفاع قطره آب از سطح رودخانه را مشخص کند.
مسائل (صفحه 54 کتاب درسی)
1) اگر نمودار تابع $f$ به شکل زیر باشد، کدام گزینه جوابهای معادلهٔ $f(x)=0$ است.
الف- 2 و 2- و 1-
ب- 1 و 1- و 0/8
پ- 2 و 0/8 و 1-
ت- معادله جواب ندارد.
2) شکل زیر نمودار خط به معادلهٔ $y=ax+2$ است. با استفاده از شکل $a$ را پیدا کنید.
3) معادلات زیر را به کمک رسم نمودار با استفاده از جئوجبرا حل کنید.
الف- $3x-6=0$
ب- $-3{{x}^{2}}-2x=16$
پ- ${{x}^{2}}+5x+6=0$
ت- ${{x}^{3}}-{{x}^{2}}=4x+1$
ث- ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1=0$
ج- ${{x}^{3}}-3x-2=0$
4) توپی را به هوا پرتاب میکنیم. ارتفاع آن از سطح زمین (بر حسب متر) تابعی از زمان (بر حسب ثانیه) است. اگر ارتفاع توپ را با $h$ و زمان را با $t$ نشان دهیم برای یک پرتاب خاص، قانون این تابع بهصورت $h(t)=-5{{t}^{2}}+20t$ است. دامنه تابع $\left[ 0\,,\,4 \right]$ است.
در چه زمانهایی ارتفاع این توپ 2 متر است؟ چند جواب بهدست میآید؟چرا؟
کاربرد تابعها در حل نامعادلهها
فعالیت 6 (صفحه 55 کتاب درسی)
1) درآمد حاصل از فروش $x$ کالا با قیمت $p$ را با $R$ نشان دهید و معادلهٔ درآمد را تشکیل دهید.
2) رابطهٔ بین قیمت کالا و میزان کالای فروخته شده بهصورت $x=80000-200p$ است. تابع درآمد را برحسب $p$ بنویسید.
3) چند جملهای قانون تابع درآمد برحسب $p$ از درجهٔ چند است؟
4) رابطهای برای $p$ بنویسید که در آن، درآمد حاصل از فروش دست سازها، بیشتر از 8 میلیون تومان باشد.
همانطور که در فعالیت بالا دیدید، هدف مؤسسه، پیدا کردن رابطهای بین قیمت کالا و درآمد حاصل از فروش است تا با قیمتگذاری مناسب، درآمدی بیش از 8 میلیون تومان داشته باشد. مدل ریاضی این مسئله یک نامساوی است که با استفاده از آن میتوان شرایط مطلوب مسئله را برقرار کرد. این گونه نامساویها را نامعادله مینامند.
کار در کلاس 6 (صفحه 56 کتاب درسی)
در یک شرکت سازندهٔ تلفن همراه، رابطهٔ بین قیمت فروش تلفن همراه ($p$)، (برحسب صدهزار تومان) و تعداد تلفن همراه فروخته شده ($x$)، از رابطهٔ $p=15-0/25x$ بهدست میآید.
1) مقدار $x$ را بر حسب $p$ بنویسید.
2) درآمد حاصل از فروش تعداد $x$ کالا $(R(p))$ را بر حسب $p$ بنویسید.
3) نامعادلهای بنویسید که نشان دهد برای چه مقدارهای $p$، درآمد حاصل از فروش، بیشتر از 400 میلیون است.
همانطور که مشاهده میکنید مدل ریاضی برخی از مسائلی که با آن روبهرو میشویم بهصورت نامعادله است و برای حل مسئله لازم است نامعادله را حل کنیم. در بخش قبل دیدیم که محلهای برخورد نمودار تابع $y=f(x)$ با محور طولها (در صورت وجود)، جوابهای معادله $f(x)=0$ هستند. یعنی برای حل معادله $f(x)=0$، میتوانیم از نمودار تابع $f$ کمک بگیریم.
فعالیت صفحهٔ زیر نشان میدهد برای حل نامعادلهها نیز میتوان از نمودار تابعها استفاده کرد.
فعالیت 7 (صفحه 57 کتاب درسی)
تابع $f(x)={{x}^{2}}-7x+10$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید. نمودار آن در زیر رسم شده است.
1) طول نقاط محل برخورد نمودار تابع با محور $x$ها، چه چیزی را نشان میدهند؟
2) با استفاده از نمودار، جوابهای معادلهٔ $f(x)=0$ را به دست آورید.
3) آن قسمت از نمودار تابع را که بالای محور $x$ها قرار گرفته است، رنگی (پر رنگ) کنید. و جمله زیر را کامل کنید:
عرض نقاط رنگی (کوچکتر از صفر/ بزرگتر از صفر) است.
4) به ازای چه مقادیری از دامنه، مقدار تابع مثبت است؟ این مقادیر از دامنه را بهصورت بازه نمایش دهید.
5) مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ ${{x}^{2}}-7x+10\gt 0$ با مجموعه بهدست آمده در (4) چه رابطهای دارد؟ توضیح دهید.
6) آن قسمت از نمودار تابع را که پایین محور $x$ها قرار گرفته است با رنگ دیگری مشخص کنید.
7) به ازای چه مقادیری از دامنه، مقدار تابع منفی است؟ این قسمت از دامنه را با استفاده از بازهها بنویسید.
8) آیا مجموعهٔ جواب های نامعادلهٔ ${{x}^{2}}-7x+10\lt 0$ همان مجموعهٔ بهدست آمده در (7) است؟ توضیح دهید.
همانطور که در فعالیت (7) میبینید، برای $x$هایی که نمودار تابع بالای محور $x$هاست، داریم $f(x)\gt 0$؛ پس مجموعهٔ این $x$ها دقیقاً همان مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ $f(x)\gt 0$ است. بهطور مشابه، برای $x$هایی که نمودار تابع، پایین محور $x$ها است مقدار $f(x)$ منفی است و $f(x)\lt 0$. پس مجموعهٔ این $x$ها دقیقاً همان مجموعه جوابهای نامعادلهٔ $f(x)\lt 0$ است. نمودار تابع $f(x)={{x}^{2}}-7x+10$ محور $x$ها را در نقاطی به طول 2 و 5 قطع میکند. نمودار این تابع در بازهٔ $(2\,\,,\,\,5)$ زیر محور $x$ها است و این بازه دقیقا همان مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ ${{x}^{2}}-7x+10\lt 0$ است. همچنین، نمودار این تابع، در مجموعهٔ $(-\infty \,,\,2)\bigcup (5\,,\,+\infty )$ بالای محور $x$ها است و این مجموعه دقیقاً همان مجموعه جوابهای نامعادلهٔ ${{x}^{2}}-7x+10\gt 0$ است.
در حالت کلی برای حل نامعادلهٔ $f(x)\gt 0$ که $f$ یک تابع است، ابتدا نمودار تابع $y=f(x)$ را رسم میکنیم. سپس، آن قسمت از نمودار تابع را که بالای محور $x$ها است مشخص میکنیم. آن $x$هایی از دامنهٔ $f$ که به ازای آنها، نمودار تابع بالای محور $x$ها است مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ $f(x)\gt 0$ است.
بهطور مشابه، برای حل نامعادلهٔ $f(x)\lt 0$، ابتدا نمودار تابع $y=f(x)$ را رسم میکنیم. سپس، آن قسمت از نمودار تابع را که پایین محور $x$ها است را مشخص میکنیم. $x$هایی از دامنهٔ $f$ که به ازای آنها نمودار تابع، پایین محور $x$ها است مجموعهٔ جوابهای نامعادله $f(x)\lt 0$ میباشد.
مجموعهٔ جوابهای نامعادلههای به صورت $f(x)\ge 0$ (یا $f(x)\le 0$) علاوه بر مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ $f(x)\gt 0$ یا $f(x)\lt 0$، طول نقاط برخورد نمودار تابع با محور $x$ها را هم شامل میشود.
مثال 9
نامعادلهٔ $2x-1\gt 4-x$ را با رسم نمودار حل کنید.
ابتدا با انتقال جملات به یک طرف، نامعادله را به شکل $3x-5\gt 0$ مینویسیم. سپس، نمودار تابع $f(x)=3x-5$ را که دامنهٔ آن $\mathbb{R}$ است رسم میکنیم.
این خط در نقطهای به طول $x=\frac{5}{3}$، محور $x$ها را قطع میکند و در بازهٔ $(\frac{5}{3}\,,\,+\infty )$ بالای محور $x$ها است. پس، مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ $3x-5\gt 0$ عبارت است از $(\frac{5}{3}\,,\,+\infty )$.
مثال 10
نامعادلهٔ $-5{{t}^{2}}+12t+5\ge 2$ را حل کنید.
ابتدا نامعادله را بهصورت $-5{{t}^{2}}+12t+3\ge 2$ مینویسیم. سپس، نمودار تابع $f(t)=-5{{t}^{2}}+12t+3$ را که دامنه آن $\mathbb{R}$ است به کمک جئوجبرا رسم میکنیم.
جئوجبرا، محل تقریبی برخورد نمودار این تابع با محور $x$ها را در نقاط به طول تقریبی 0/23- و 2/63 نشان میدهد. در بازهٔ بین این نقاط نمودار تابع بالای محور $x$ها است، پس مجموعهٔ جواب این نامعادله، بازهٔ $\left[ -0/23\,,\,2/63 \right]$ است.
کار در کلاس 7 (صفحه 59 کتاب درسی)
مستطیلهایی را در نظر بگیرید که طول آنها 8 سانتیمتر بیشتر از عرض آنها است. عرض این مستطیلها چه مقادیری باید داشته باشند تا مساحت آنها از 25 سانتیمتر مربع کمتر باشد.
مسائل (صفحه 60 کتاب درسی)
1) در زیر نمودارهای چهار تابع رسم شده است. در هر مورد، مجموعهٔ جوابهای نامعادلهٔ $f(x)\ge 0$ را مشخص کنید.
|
|
|
|
2) نامعادلههای زیر را حل کنید.
الف- $3x-3\lt 0$
ب- $3{{x}^{2}}-5x-1>0$
پ- $-{{x}^{2}}+4x+3\ge -2$
3) پرتابهای بهطور عمودی به هوا پرتاب میشود. ارتفاع این پرتابه از سطح دریا (برحسب متر) به صورت تابعی از زمان (برحسب ثانیه) با رابطهٔ $h(t)=-5{{t}^{2}}+100t$ داده شده است. مشخص کنید در چه بازهٔ زمانی، ارتفاع این پرتابه بیش از 200 مترخواهد بود.
4) مقدار $x$ را طوری بیابید که اندازهٔ محیط مثلث از اندازهٔ مساحت مربع کمتر باشد.
|
|
|
5) علی به تازگی یک کارگاه تولید قطعات یدکی راه اندازی کرده است. درآمد حاصل از فروش کالا به قیمت $p$ (بر حسب تومان) از قانون $R(p)=-100{{p}^{2}}+50000p$ به دست میآید. به ازای چه مقادیری برای $p$، میزان درآمد شرکت بیش از 10,000,000 است؟
خواندنی
هدایت غریزی زنبور عسل: مهندس طبیعت
کندوی زنبور عسل نمونهٔ بارزی از طرّاحی و استحکام است. ساختار کندو به گونهای است که بیشترین فضا برای جمعآوری شیره را دارا میباشد. محاسبات ریاضیدانان نشان داده است که شش ضلعی مناسبترین شکل هندسی برای دستیابی به این ویژگی است. زنبورها با الهام از وحی الهی، قوانین هندسی را رعایت نموده و پناهگاهی اَمن برای خود طراحی میکنند. یافتههای انسان از دیرباز از به کارگیری و مدلسازی پدیدههای خلقت حکایت دارد. امروزه ساختار کندوی عسل، الهام بخش الگوی آجرهای کم وزن و در عین حال با استحکام است. همچنین از بافتی مشابه شانه عسل در ساخت لاستیکهای مخصوص زمستان یا تختهٔ اسنوبورد استفاده میشود.
|
|
|
خداوند متعال این حقیقت علمی را این چنین به زنبور عسل الهام فرموده است:
و پروردگار تو به زنبور عسل الهام کرد: از کوهها، درختها و بناها خانههایی برای خود برگیر؛ سپس از تمام ثمرات (و شیرهٔ گلها) بخور و راههای پروردگارت را به اطاعت بپیما. آنگاه از درون آنها، شربتی رنگارنگ خارج میشود که در آن، شفا و درمان برای مردم است. به راستی در این امر، برای مردم اندیشمند نشانهای است. (سورهٔ نحل آیات 68 و 69)
تحقیقات بسیاری دربارهٔ الگوهای ریاضی موجود در مسیر حرکت زنبورها و دیگر ابعاد زندگی آنها انجام شده است. سادهترین رابطهٔ ریاضی که میتوان مشاهده کرد، رابطهٔ بین تعداد حجره یا سلولها (شش ضلعیها) با شماره حلقههای دور یک سلول است که با یک تابع چند جملهای از درجهٔ 2 نمایش داده میشود. اگر $n$ شماره حلقه باشد، $Q(n)=3{{n}^{2}}-3n+1$ تابعی است که به کمک آن میتوان تعداد حجرهها را پیدا کرد.
