درسنامه آموزشی ریاضی (2) کلاس یازدهم هنرستان
پودمان 1- تابع
رابطهٔ بین کمیتها
امروز، کلاس ریاضی ما با نجوم شروع شد.
دبیر گفت: من در دورهٔ دبیرستان به نجوم خیلی علاقه داشتم و دربارهٔ آن بسیار مطالعه میکردم. در کتابهای نجوم خوانده بودم که فاصلهٔ خورشید تا زمین 150 میلیون کیلومتر است و نور خورشید حدود 8 دقیقه و 20 ثانیه طول میکشد تا به زمین برسد. بعد از خورشید، نزدیکترین ستاره به زمین، پروکسیما قنطورس (Proxima Centauri) نام دارد. نور این ستاره 4/2 سال طول میکشد تا به زمین برسد.
فاصلهٔ ستارگان از هم زیاد است و برای اندازهگیری آن از مقیاس بسیار بزرگی به نام سال نوری استفاده میشود. منظور از سال نوری، طول مسیری است که نور در یک سال طی میکند. برای مثال، فاصلهٔ پروکسیما قنطورس با زمین، 4/2 سال نوری است. دورترین ستارههای دیده شده، 13/3 میلیارد سال نوری با ما فاصله دارند.
آرش که از هنرجویان کنجکاو کلاس بود، با تعجب پرسید:
ما که نمیتوانیم به این ستارهها برویم؛ پس دانشمندان این فاصلهها را چگونه اندازه میگیرند؟
دبیر گفت: سؤال بسیار خوبی است. اما من یک سؤال آسانتر مطرح میکنم؛ معمولاً مساحت یک مربع را چگونه اندازه میگیرید؟
حمید گفت: طول ضلع مربع را اندازه میگیرم و سپس، آن را به توان دو میرسانم.
دبیر گفت: پس، مساحت مربع را بهطور مستقیم اندازهگیری نمیکنید؛ بلکه از طریق طول ضلع آن، مساحتش را بهدست میآورید.
حمید گفت: بله، مساحت مربع با طول ضلعش رابطه دارد، اما این مطلب چه ربطی به فاصلهٔ ستارگان دارد؟
دبیر گفت: صبر کنید به ارتباط این مطالب با فاصلههای ستارگان هم میرسیم. آیا میتوانید مورد دیگری هم پیدا کنید که نتوانید آن را بهطور مستقیم اندازهگیری کنید ولی با اندازهگیری یک کمیت دیگر، اندازهٔ آن را بهدست آورید؟
صادق گفت: در جایی دیدم که ارتفاع از سطح دریا را با دماسنج اندازه میگیرند. دمایی که آب در آن به جوش میآید یعنی دمای جوش آب، در هر مکان با ارتفاع آن مکان از سطح دریا رابطه دارد. پس اگر دمای جوش آب را در مکانی اندازهگیری کنیم، ارتفاع آن مکان از سطح دریا را میتوانیم بهدست آوریم.
دبیر گفت: برای اندازهگیری فاصلهٔ ستارگان تا زمین، آیا میتوان از این روش استفاده کرد؟
آرش گفت: اگر بتوانیم کمیتی را بیابیم که با این فاصلهها ارتباط داشته باشد و بتوان آن را اندازهگیری کرد، شاید بتوانیم این فاصلهها را بهدست آوریم.
دبیر گفت: به یک چراغ روشن دقت کنید. هر چه به آن نزدیکتر میشوید، نور بیشتری به شما میرسد و هر چه از آن دورتر میشوید، نور کمتری دریافت میکنید. آیا این مطلب به حل مسئله کمکی میکند؟
آرش گفت: یعنی میزان نوری که از چراغ به ما میرسد، با فاصلهٔ چراغ از ما مرتبط است. پس با اندازهگیری نوری که از ستارگان به ما میرسد، میتوانیم فاصلهٔ آنها را بهدست آوریم.
دبیر گفت: بله درست است. با اندازهگیری نوری که از ستارگان به ما میرسد، فاصلهٔ آنها با ما بهدست میآید.
در دنیای واقعی، به کمیتهای متعددی برخورد میکنیم که با هم ارتباط دارند؛ از این ارتباط میتوان استفاده کرد و با داشتن مقدار یکی، دیگری را بهدست آورد. برای درک بهتر مفهوم رابطهٔ بین کمیتها، در فعالیت (1) ارتباط طول یک فنر و جرم جسمی را که به آن آویزان میشود، بررسی میکنیم.
فعالیت 1 (صفحه 4 کتاب درسی)
فنری در اختیار داریم که در حالت طبیعی طول آن 10 سانتیمتر است. به ازای هر 15 گرم وزنه که به آن آویزان میکنیم، 1 سانتیمتر به طول آن اضافه میشود. حداکثر طول این فنر 60 سانتیمتر است و اگر بیش از این کشیده شود پاره میشود.
1) در جاهای خالی کلمهٔ مناسب بگذارید.
الف- هر چه جرم وزنهٔ آویزان شده .............. شود، طول فنر ........... میشود.
ب- اگر به این فنر یک وزنهٔ 300 گرمی آویزان کنیم برای پیدا کردن طول فنر، چون به ازای هر 15 گرم، 1 سانتیمتر به طول آن اضافه میشود، پس ابتدا 300 را بر .... تقسیم میکنیم و سپس
2) در حالت کلی، اگر جرم وزنهٔ آویزان شده را برحسب گرم با $a$ نشان دهیم و طول فنر را برحسب سانتیمتر با $l$ نشان دهیم، رابطهای بنویسید که مقدار $l$ را برحسب مقدار $a$ بیان کند.
3) حداکثر جرمی که میتوانیم به این فنر آویزان کنیم، چقدر است؟ (راهنمایی: برای پیدا کردن حداکثر جرمی که میتوانیم به این فنر آویزان کنیم، ابتدا باید حداکثر تغییر طول فنر را بهدست آورد).
فعالیت (1) نشان میدهد که اندازهٔ طول فنر با اندازهٔ جرم وزنه آویزان شده مرتبط است. جدول زیر اندازهٔ طول فنر را به ازای چندین مقدار خاص برای جرم وزنهٔ آویزان شده، نشان میدهد.
| 750 | 600 | 525 | 450 | 300 | 150 | 75 | 0 | جرم وزنه آویزان شده (برحسب گرم) |
| 60 | 50 | 45 | 40 | 30 | 20 | 15 | 10 | طول فنر کشیده شده (برحسب سانتیمتر) |
اگر به ازای کلیهٔ مقادیر برای جرم وزنه، مقدار طول فنر را در نظر بگیریم، نمودار این رابطه بهصورت یک پارهخط طبق شکل زیر است که در آن محور افقی نشان دهنده جرم وزنه آویزان شده برحسب گرم و محور عمودی نشاندهنده طول فنر برحسب سانتیمتر میباشد. جدول بالا، نقاطی از این پارهخط را نشان میدهد.
کمیتهای مرتبط بسیاری وجود دارند. برای مثال، مساحت یک مربع و طول ضلع آن دو کمیت مرتبط هستند. در این حالت، اگر طول ضلع مربع را بدانیم، آنگاه میتوانیم مساحت آن را بهدست آوریم و برعکس، با داشتن مساحت مربع، طول ضلع آن نیز مشخص میشود.
مثالهایی از ارتباط بین کمیتها را میتوان در طبیعت و زندگی روزمره یافت: فشار هوا در هر نقطه و ارتفاع آن نقطه از سطح دریا، هزینه پرداخت شده بابت برق و میزان برق مصرف شده، قیمت بلیت اتوبوسهای بین شهری و فاصلهٔ بین شهرها و غیره نمونههایی از این ارتباط محسوب میشوند.
سؤال مهمی که مطرح میشود این است که رابطه بین دو کمیت را چگونه باید بیان کنیم. در مثال (1) نمونهٔ دیگری از ارتباط بین دو کمیت را میبینیم که درک بیشتری از رابطه بین کمیتها را به ما میدهد.
مثال 1
خودرویی را در نظر بگیرید که گنجایش 60 لیتر بنزین را دارد. اگر این خودرو با سرعت ثابت حرکت کند، برای طی کردن هر 100 کیلومتر، 8 لیتر بنزین مصرف میکند. باک این خودرو قبل از حرکت، پر شده است. مقدار بنزین باقی مانده در باک خودرو با مسافت طی شده رابطه دارد. توجه داشته باشید که هیچ خودرویی تمام بنزین باک خود را مصرف نمیکند و توصیه میشود برای وارد نشدن صدمه به موتور، حداقل 5 لیتر بنزین در باک موجود باشد.
در این مثال نتایج زیر را میتوان مشاهده کرد:
- هر چه بنزین در باک کمتر شود، مسافتی که با خودرو طی شده است بیشتر میشود.
- اگر 44 لیتر بنزین در باک خودرو باقی مانده باشد، خودرو 200 کیلومتر مسافت را طی کرده است. زیرا، این خودرو به ازای هر لیتر بنزین، $\frac{100}{8}=12/5$ کیلومتر مسافت را طی میکند.
- با توجه به توصیهای که برای سالم نگه داشتن موتور شده است، حجم بنزین موجود در باک نباید به صفر برسد. طبق توصیه، در باک باید حداقل 5 لیتر بنزین وجود داشته باشد و حداکثر حجم باک نیز 60 لیتر است.
- اگر مقدار بنزین باقی مانده در باک را برحسب لیتر با $v$ و مسافت طی شده را برحسب کیلومتر با $d$ نشان دهیم، رابطهای که مقدار $d$ را برحسب $v$ نشان میدهد، بهصورت $d=12/5(60-v)$ است، زیرا این خودرو به ازای هر لیتر بنزین، 12/5 کیلومتر مسافت را طی میکند.
- جدول زیر مسافت طی شده را به ازای چند مقدار خاص برای حجم بنزین موجود در باک، نشان میدهد.
| 60 | 50 | 45 | 30 | 20 | 10 | 5 | حجم بنزین در باک (برحسب لیتر) |
| 0 | 125 | 187/5 | 375 | 500 | 625 | 687/5 | مسافت طی شده (برحسب کیلومتر) |
اگر به ازای کلیهٔ مقادیر برای حجم بنزین موجود در باک (5 تا 60 لیتر)، مسافت طی شده را در نظر بگیریم، نمودار این رابطه بهصورت یک پارهخط طبق شکل زیر است که محور افقی نشان دهندهٔ حجم بنزین موجود در باک برحسب لیتر و محور عمودی نشان دهندهٔ مسافت طی شده برحسب هر واحد 10 کیلومتر میباشد. جدول بالا، نقاطی از این پارهخط را نشان میدهد.
- با توجه به نمودار، اگر 20 لیتر بنزین در باک باقی مانده باشد، خودرو 500 کیلومتر را طی کرده است.
این مثال نشان میدهد که برای شناخت رابطهٔ بین مقدار بنزین باقی مانده و مسافت طی شده، کافی است بدانیم که حجم بنزین موجود در باک، چه مقادیری میتواند باشد و مسافت طی شده توسط خودرو چگونه از حجم بنزین موجود در باک محاسبه میشود. در واقع، برای شناخت رابطهٔ بین دو کمیت، باید بدانیم که این کمیتها چه مقدارهایی میتوانند داشته باشند و شیوهٔ محاسبهٔ یکی برحسب دیگری چیست.
رابطهٔ بین کمیتها در زمینههای بسیار متنوعی دیده میشود و لازم است بتوانیم در هر زمینهای این رابطهها را تشخیص دهیم.
کار درکلاس 1 (صفحه 7 تا 9 کتاب درسی)
مفتولی به طول 100 سانتیمتر در اختیار داریم. قسمتی از آن را میبریم و با قطعهٔ بریده شده یک مربع میسازیم. مساحت مربع بهدست آمده با طول قطعهٔ بریده شده رابطه دارد.
1) آیا مساحت میتواند صفر باشد؟
2) اگر طول قطعهٔ بریده شده از مفتول را با $x$ نشان دهیم، $x$ چه مقادیری میتواند باشد؟
$...\lt x\lt ...$
3) اگر طول قطعهٔ بریده شده از مفتول 8 سانتیمتر باشد، مساحت مربع ساخته شده چند سانتیمتر مربع است؟
4) اگر طول قطعهٔ بریده شده از مفتول را با $x$ و مساحت مربع ساخته شده با آن را با $S$ نشان دهیم، رابطهای بنویسید که مقدار $S$ را برحسب مقدار $x$ بیان کند.
با توجه به پاسخ پرسشهای بالا، به سؤالهای زیر پاسخ دهید.
5) جدول زیر، ارتباط بین طول قطعهٔ بریده شده و مساحت مربع ساخته شده را نشان میدهد. این جدول را کامل کنید.
| 60 | 48 | 32 | 20 | 4 | 1 | طول قطعهٔ بریده شده (برحسب سانتیمتر) |
| 144 | 1 | مساحت مربع (برحسب سانتیمتر مربع) |
6) در شکل زیر، محور افقی طول قطعهٔ بریده شده را برحسب سانتیمتر و محور عمودی، مساحت مربع ساخته شده را برحسب سانتی مترمربع نشان میدهد. جدول بالا، نقاطی در این صفحهٔ مختصات را نشان میدهد. 4 نقطهٔ اول جدول را در نمودار پایین بیابید و آنها را بهطور تقریبی به هم وصل کنید.
7) با توجه به نمودار، برای ساختن مربعی به مساحت 40 سانتیمتر مربع، چه مقدار از مفتول را باید ببریم؟ این مقدار را به کمک رابطهٔ قسمت (4) نیز بهدست آورید و سپس مقایسه کنید.
8) آیا پاسخ به سؤالات (2) و (4) برای شناخت رابطهٔ بین مساحت مربع ساخته شده و طول قطعهٔ بریده شده از مفتول کافی هستند؟
مسائل (صفحه 10 تا 11 کتاب درسی)
1) کدام یک از گزینههای زیر دو کمیت مرتبط هستند؟ اگر دو کمیت مرتبط هستند، هر یک را نامگذاری کنید و رابطه بین این دو کمیت را با نامهای انتخابی خود بنویسید.
الف- طول ضلع یک مربع و محیط آن؛
ب- طول ضلع یک مربع و مساحت آن؛
پ- محیط یک مثلث و طول بزرگترین ضلع آن؛
ت- شعاع یک دایره و محیط آن؛
ث- شعاع یک دایره و مساحت آن؛
ج- مساحت یک مستطیل و محیط آن.
2) آیا درجه حرارت یک مکان برحسب سانتیگراد و درجه حرارت آن برحسب فارنهایت مرتبط هستند؟ اگر مرتبط هستند، هر یک را نامگذاری کنید و رابطه بین آنها را بنویسید.
3) وزن جلد کتابی (با حداکثر 200 صفحه) برابر 40 گرم و وزن هر ورق آن 0/8 گرم است. رابطهای بنویسید که به کمک آن بتوان وزن کتاب را برحسب تعداد ورقهای آن بهدست آورد.
4) رانندهای مسافت 350 کیلومتری بین دو شهر را با سرعت ثابت 70 کیلومتر بر ساعت در حال طی کردن است.
الف- آیا مقدار مسافتی که طی میکند ($d$) و زمان ($t$)، دو کمیت مرتبط هستند؟ اگر دو کمیت مرتبط هستند، چه رابطهای بین آنها برقرار است؟
ب- هر یک از این دو کمیت چه مقادیری را میتوانند داشته باشند؟
5) طنابی به طول 10 متر در اختیار داریم. قطعهای از آن را میبُریم و با قطعهٔ بُریده شده یک حلقهٔ دایرهای شکل میسازیم. مساحت حلقه دایرهای شکل بهدست آمده با طول قطعهٔ بریده شده رابطه دارد.
الف- آیا مساحت میتواند صفر باشد؟
ب- طول قطعهٔ بریده شده از طناب، چه مقادیری میتواند باشد؟
پ- اگر طول قطعه بریده شده از طناب 4 متر باشد، مساحت دایرهٔ ساخته شده چند مترمربع است؟
ت- اگر طول قطعهٔ بریده شده از طناب را با $x$ و مساحت دایرهٔ ساخته شده با آن را با $S$ نشان دهیم، رابطهای بنویسید که مقدار $S$ را برحسب مقدار $x$ بیان کند.
ث- جدول زیر، ارتباط بین طول قطعهٔ بریده شده و مساحت دایرهٔ ساخته شده را نشان میدهد.
این جدول را کامل کنید (فرض کنید $\pi \approx 3$).
| 8 | 6 | 4 | 2 | $\frac{1}{2}$ | طول قطعه بریده شده |
| $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{48}$ | مساحت دایره |
6) دو کمیت مرتبط به هم مثال بزنید. هر یک را نامگذاری کنید و در صورت امکان رابطهٔ بین این دو کمیت را با نامهای انتخابی خود بنویسید.
مفهوم تابع
اهمیت رابطهٔ بین کمیتها، ابتدا در فیزیک مشاهده شد و بیان ریاضی ارتباط کمیتها، مفهوم تابع را بهوجود آورد. تاکنون، چند کمیت مرتبط به هم را بررسی کردیم. اگر یکی از این کمیتها را کمیت (الف) و دیگری را کمیت (ب) بنامیم، مثالها به گونهای بودند که با مشخص شدن مقدار کمیت (الف)، یک مقدار معین برای کمیت (ب) بهدست میآمد.
این دسته از روابط بین کمیتها، روابط خاصی هستند که در ریاضی با مفهومی به نام تابع بیان میشوند و کمیت (ب) را تابعی از کمیت (الف) مینامند. در واقع، وقتی که کمیتی مانند (ب) وابسته به کمیت دیگری مانند (الف) باشد، و به ازای هر مقداری از کمیت (الف)، مقدار معینی برای کمیت (ب) داشته باشیم، مفهوم تابع پیش میآید و میگوییم کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) است.
اگر دو کمیت (الف) و (ب) با هم ارتباط داشته باشند ولی با مشخص شدن مقدار کمیت (الف) نتوان یک مقدار معین برای کمیت (ب) بهدست آورد؛ یعنی، با مشخص شدن مقدار کمیت (الف)، بیش از یک مقدار برای کمیت (ب) بهدست آید این رابطه، تابع نیست.
مثال 3
فرض کنید خودرویی در جادهٔ مستقیمی در حال حرکت است. این جاده را بهصورت محور اعداد در نظر میگیریم. هر نقطه روی محور اعداد، با یک عدد حقیقی مشخص میشود که آن را مختص طولی آن نقطه مینامند. مثلاًً در شکل زیر مختص طولی خودروی قرمز برابر 2 و مختص طولی خودروی آبی برابر 3- است. مختص طولی این خودرو، با فاصلهٔ آن تا مبدأ ارتباط دارد.
اگر فاصلهٔ خودرو تا مبدأ را کمیت (الف) و مختص طولی آن را کمیت (ب) بنامیم، با مشخص شدن مقدار کمیت (الف)، برای کمیت (ب) یک مقدار معین بهدست نمیآید. مثلاًً، اگر فاصلهٔ خودرو تا مبدأ 8 واحد باشد، خودرو ممکن است دارای مختص طولی 8- یا 8 باشد. یعنی بهطور قطع نمیتوان یک مکان خاص مشخص را برای خودرو تعیین کرد. به عبارت دیگر، با داشتن فاصلهٔ خودرو تا مبدأ، برای مختص طولی آن یک مقدار معین بهدست نمیآید، زیرا ممکن است مختص طولی خودرو، دو عدد قرینهٔ هم باشد.
بنابراین، در این مثال، کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) نخواهد بود. اما بر عکس، با مشخص شدن مختص طولی خودرو، فاصلهٔ آن تا مبدأ دقیقاً مشخص میشود. پس، در این مثال، کمیت (الف)، تابعی از کمیت (ب) خواهد بود. برای مثال، اگر مختص طولی خودرو برابر 3- باشد، در این صورت فاصلهٔ آن از مبدأ مقدار معین 3 است.
کار در کلاس 2 (صفحه 14 کتاب درسی)
1) در فعالیت (1)، آیا جرم جسم آویزان شده، تابعی از طول فنر است؟ چرا؟
2) در مثال (1)، آیا مسافت طی شده توسط خودرو، تابعی از حجم بنزین مصرف شده است؟ چرا؟
در بررسی نمونههایی از کمیتهای مرتبط دیدیم که برای مشخص شدن تابعی که رابطهٔ بین دو کمیت (الف) و (ب) را بیان میکند باید به دو سؤال اصلی زیر پاسخ دهیم:
1) کمیت (الف) چه مقادیری میتواند داشته باشد؟
2) با مشخص شدن یک مقدار برای کمیت (الف)، چگونه مقدار کمیت (ب) بهدست میآید؟
کار در کلاس 3 (صفحه 15 کتاب درسی)
1) در مثال (1)، دامنه و قانون تابعی را بنویسید که مسافت طی شده توسط ماشین را برحسب حجم بنزین باقی مانده در باک، بیان میکند.
2) در کار در کلاس (1)، دامنه و قانون تابعی را بنویسید که مساحت مربع ساخته شده را برحسب طول قسمت بریده شده از مفتول، بیان میکند.
خواندنی
نیاز به بررسی روابط بین کمیتها با رشد علوم آغاز شد. ابتدا نیوتن و گالیله برای توصیف حرکت اشیا، نیاز به یافتن رابطهٔ بین زمان و مکان اشیا را احساس کردند.
لایبنیتز ریاضیدان قرن هفدهم نیز برای توصیف یک منحنی در صفحه، نیاز به یافتن رابطه بین طول و عرض نقاط یک منحنی را احساس کرد. نهایتاً، بررسی روابط بین کمیتها منجر به تعریف مفهوم تابع در ریاضی شد. اما رسیدن به مفهوم تابع چندان ساده نبود و با شروع از کارهای نیوتون و لایبنیتز تا رسیدن به یک مفهوم دقیق از تابع، بیش از سه قرن طول کشید (تاریخ ریاضی ایوز، جلد 2).
|
|
مسائل (صفحه 16 تا 17 کتاب درسی)
1) آیا دمای کلاس شما در یک روز معین، تابعی از زمان است؟ چرا؟
2) دمای هوا در یک منطقه، در ارتفاعات مختلف از سطح دریا، متفاوت است و به ازای هر 150 متر افزایش ارتفاع، 1 درجه از دمای هوا کاسته میشود. آیا دمای یک منطقه تابعی از ارتفاع آن منطقه از سطح دریا است؟ چرا؟
3) یک مغازه شیرینی فروشی ماهانه 7 میلیون تومان بابت اجارهٔ مغازه، آب، برق و دستمزد کارگران، بهطور ثابت پرداخت میکند. تولید هر کیلوگرم شیرینی 3000 تومان هزینهٔ مواد اولیه دارد. ظرفیت تولید شیرینی در این مغازه حداکثر 2500 کیلوگرم در ماه است. قیمت هر کیلوگرم شیرینی در بازار 12000 تومان است و تمام تولیدات مغازه به فروش میرسد. اگر $x$ میزان تولید شیرینی باشد:
الف- درآمد این مغازه، تابعی از میزان تولید آن است، این تابع را با بهدست آوردن دامنه و قانون آن مشخص کنید.
ب- هزینه ماهانه مغازه، تابعی از میزان تولید آن است، این تابع را با بهدست آوردن دامنه و قانون آن مشخص کنید.
پ- سود مغازه، تابعی از میزان تولید آن است، این تابع را با مشخص کردن دامنه و قانون آن مشخص کنید.
4) از منبع آبی با حجم 500 لیتر برای پرکردن یک حوضچه استفاده میشود. اگر شیر آب منبع بهطور کامل باز باشد، در هر دقیقه 5 لیتر آب از آن خارج میشود.
الف- توضیح دهید که چرا حجم آب داخل حوضچه تابعی از زمان است.
ب- با فرض آنکه در لحظه صفر، حوضچه خالی است، قانون این تابع را با نوشتن حجم آب داخل حوضچه برحسب زمان باز بودن شیر، بنویسید.
پ- دامنهٔ این تابع را مشخص کنید.
5) سنگی را به هوا پرتاب میکنیم و بعد از 3 ثانیه به زمین برمیگردد. در این صورت کمیت ارتفاع سنگ از سطح زمین و کمیت زمان، با هم مرتبط هستند.
الف- چرا ارتفاع سنگ از سطح زمین تابعی از زمان است؟
ب- اگر زمان را برحسب ثانیه اندازه بگیریم و مبدأ، زمان شروع پرتاب باشد، دامنهٔ این تابع چیست؟
6) فرض کنیم که ${{x}^{2}}$ مربع عدد حقیقی $x$ باشد، آیا با مشخص بودن ${{x}^{2}}$، برای $x$ یک مقدار معین در اعداد حقیقی بهدست میآید؟ آیا یک عدد، تابعی از مربع آن است؟ چرا؟
بازهها
زیرمجموعههایی از اعداد حقیقی را که بهصورت زیر است در نظر بگیرید.
$\left\{ x\in \mathbb{R}\,\,a\le x\le b \right\}$
نمایش آن روی محور بهصورت زیر است.
نقطههای توپر نشان دهندهٔ آن است که $a$ و $b$ دو عضو از این مجموعه هستند. مجموعهٔ بالا را بهصورت $\left[ a,b \right]$ نشان میدهند و آن را بازهٔ بسته به ابتدای $a$ و انتهای $b$ یا به اختصار بازهٔ بستهٔ $a$ تا $b$ مینامند.
مثال 5
بازههای $\left[ 0,1 \right]$ و $\left[ -3,-1 \right]$ را با نماد مجموعه نمایش دهید و روی یک محور نشان دهید.
$\left[ 0,1 \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}|0\le x\le 1 \right\}$
$\left[ -3,-1 \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}|-3\le x\le -1 \right\}$
مثال 6
کار در کلاس (2) نشان داد که جرم وزنه، تابعی از طول فنر و دامنه آن $\left\{ x\in \mathbb{R}|10\le x\le 60 \right\}$ است. پس دامنهٔ این تابع، بازه $\left[ 10,60 \right]$ است.
اگر از بازهٔ بسته $\left[ a,b \right]$ ابتدا و انتهای آن را خارج کنیم، آن را بازهٔ باز به ابتدای $a$ و انتهای $b$ یا به اختصار بازهٔ باز $a$ تا $b$ مینامند و با $(a,b)$ نشان میدهند. به عبارت دیگر:
$(a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}|a\lt x\lt b \right\}$
نقطه های توخالی نشان دهنده آن است $a$ و $b$ متعلق به این مجموعه نیستند.
اگر از بازهٔ بسته $\left[ a,b \right]$ ابتدا یا انتهای آن را خارج کنیم، بازهٔ نیم باز، نیم بسته بهدست میآید. اگر ابتدای آن را خارج کنیم، آن را با $\left( a,b \right]$ نشان میدهند و آن را بازه باز در $a$ و بسته در $b$ مینامند. به عبارت دیگر:
$\left( a,b \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}|a\lt x\le \right\}$
نمایش این مجموعه روی محور بهصورت زیر است:
اگر از بازهٔ بسته $\left[ a,b \right]$، انتهای آن را خارج کنیم، آن را با $\left[ a,b \right)$ نشان میدهند و آن را بازهٔ بسته در $a$ و باز در $b$ مینامند. به عبارت دیگر:
$\left[ a,b \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}|a\le x\lt b \right\}$
مثال 7
الف- مجموعهٔ اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی 5 و بزرگتر از 1 را روی محور نشان دهید و با بازه نمایش دهید.
$\left( 1,5 \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}|1\lt x\le 5 \right\}$
ب- بازهٔ $\left[ 1,4 \right)$ را با نماد مجموعه نمایش دهید و روی یک محور نشان دهید.
$\left[ 1,4 \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}|1\le x<4 \right\}$
کار در کلاس 4 (صفحه 19 تا 20 کتاب درسی)
1) بازههای زیر را با نماد مجموعه نمایش داده و روی یک محور نشان دهید. سپس تعیین کنید $-\frac{3}{10}$ متعلق به کدام یک از بازهها میباشد.
$\left[ 2,5 \right]$
$(-1,3)$
$\left( 4,7 \right]$
$\left[ -4,-2 \right)$
2) هر یک از مجموعههای زیر را روی یک محور نمایش داده و با نماد بازهها نشان دهید.
$\left\{ x\in \mathbb{R}|\frac{-1}{3}\lt x\lt 2 \right\}$
$\left\{ x\in \mathbb{R}|3\lt x\le 55 \right\}$
$\left\{ x\in \mathbb{R}|1\le x<10 \right\}$
$\left\{ x\in \mathbb{R}|-3\le x\le 8 \right\}$
مجموعههای بهصورت $\left\{ x\in \mathbb{R}\,\,a\le x \right\}$ را نیز بازه نامیده و با $\left[ a,+\infty \right)$ نمایش میدهند (توجه داشته باشید که در این علامتگذاری نماد $+\infty $ به عدد خاصی اشاره ندارد و نشانهٔ هیچ عدد خاصی نیست).
ابتدای این بازه عدد $a$ است ولی انتهایی ندارد و آن را بازهٔ بسته $a$ تا مثبت بینهایت مینامند.
$\left[ a,+\infty \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}|a\le x \right\}$
اگر $a$ را از این بازه خارج کنیم آن را با $(a,+\infty )$ نشان میدهند و آن را بازهٔ باز $a$ تا مثبت بینهایت مینامند. به عبارت دیگر:
$(a,+\infty )=\left\{ x\in \mathbb{R}|a\lt x \right\}$
به همین ترتیب، مجموعههایی بهصورت $\left\{ x\in \mathbb{R}|x\le b \right\}$ را با $\left( -\infty ,b \right]$ نمایش میدهند. انتهای این بازه عدد $b$ است ولی ابتدایی ندارد و آن را بازهٔ بسته از منفی بینهایت تا $b$ مینامند. بهعبارت دیگر:
$\left( -\infty ,b \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}|x\le b \right\}$
اگر $b$ را از این بازه خارج کنیم، آن را با $(-\infty ,b)$ نشان میدهند و آن را بازهٔ باز منفی بینهایت تا $b$ مینامند. به عبارت دیگر:
$(-\infty ,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}|x\lt b \right\}$
کار در کلاس 5 (صفحه 20 کتاب درسی)
1) بازهٔ $\left[ 1,+\infty \right)$ را روی محور نمایش دهید.
2) بازهٔ $(-\infty ,1)$ را روی محور نمایش دهید.
3) اجتماع این دو بازه را روی محور نمایش دهید. اجتماع این دو بازه، چه مجموعهای است؟
مسائل (صفحه 21 کتاب درسی)
1) مجموعههای زیر را با بازه نمایش دهید و روی محور مشخص کنید.
الف- مجموعهٔ اعداد حقیقی کوچکتر از 3-
ب- مجموعهٔ اعداد حقیقی بزرگتر یا مساوی 2
پ- مجموعهٔ اعداد حقیقی بین 3- و 5
2) بازههای زیر را روی محور مشخص کنید.
الف- $(0,3)$
ب- $\left[ -1,5 \right)$
پ- $\left( -1,4 \right]$
3) مجموعهٔ جواب نامعادله $2x-5\lt 1$ را با یک بازه نمایش دهید.
4) جدول زیر را کامل کنید.
| توصیف مجموعه | نمایش روی محور اعداد | نمایش با بازه | نمایش با نماد مجموعه |
| $\left\{ x\in \mathbb{R}|0\le x\lt 2 \right\}$ | |||
| $\left[ 1,4 \right)$ | |||
|
|
|||
| مجموعهٔ اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی 2 |
نمادگذاری تابعها
رابطهٔ بین کمیتها، به شکلهای مختلفی برقرار میشود؛ بنابراین تابعهای بسیاری وجود دارند. برای صحبت کردن در مورد تابعها بهتر است برای هر تابع نامی انتخاب کنیم. مثلاًً، در فعالیت فنر، جرم وزنهٔ آویزان شده تابعی از طول فنر است، میتوانیم این تابع را $f$ بنامیم. در این صورت، دامنهٔ این تابع را با ${{D}_{f}}$ (بخوانید دامنۀ $f$ یا دیِ اف) نشان میدهیم، پس ${{D}_{f}}=\left[ 10,60 \right]$
عدد 27 در دامنهٔ این تابع است و با جایگذاری 27 در قانون تابع، $a=15l-150$، عدد $15\times 27-150=255$ بهدست میآید. مقداری را که با جایگذاری 27 در قانون تابع بهدست میآید با $f(27)$ (بخوانید افِ 27) نشان میدهند، پس $f(27)=15\times 27-150=255$. عدد 34 نیز در دامنهٔ این تابع است و با جایگذاری 34 در قانون تابع، عدد $15\times 34-150=360$ بهدست میآید. مقداری را که با جایگذاری 34 در قانون تابع بهدست میآید با $f(34)$ نشان میدهند، پس: $f(34)=15\times 34-150=360$. اگر $l$ عدد در ${{D}_{f}}$ باشد (یعنی$l\in {{D}_{f}}$) با اعِمال قانون تابع $f$ روی آن، مقدار $15l-150$ بهدست میآید و آن را با $f(l)$ (بخوانید افِ الِ) نشان میدهند، پس: $f(l)=15l-150$.
اگر $l\in {{D}_{f}}$، در این صورت $l$ میتواند مقادیر مختلفی داشته باشد، به همین دلیل در عبارت $f(l)$، $l$ را متغیر تابع $f$ مینامند. در مسئلهٔ فنر، از نماد $l$ به عنوان متغیر این تابع استفاده کردیم ولی میتوانیم از نامهای دیگری هم استفاده کنیم. اگر از نماد $x$. برای متغیر تابع $f$ استفاده کنیم؛ در این صورت $x\in {{D}_{f}}$ و $f(x)=15x-150$. انتخاب نام متغیر یک تابع، اختیاری است و هر نمادی را میتوان برای متغیر به کاربرد. در نامگذاری توابع نیز میتوان از نمادهای دیگری مانند $g$ و $h$ و غیره استفاده کرد. در این هنگام، برای احمد، سؤالی پیش آمد.
کار در کلاس 6 (صفحه 24 کتاب درسی)
1) الف- تابع بهدست آمده در مثال (1)، که مسافت طی شده توسط خودرو را بر حسب حجم بنزین موجود در باک بیان میکند، $g$ بنامید. ${{D}_{g}}$ را بنویسید. قانون تابع $g$ چگونه نوشته میشود؟
ب- مقدارهای $g(45)$ و $g(18)$ را بیابید. آیا مقدار $g(75)$ معنایی دارد؟ چرا؟
پ- اگر متغیر این تابع را با $t$ نشان دهیم، مجموعهای که $t$ در آن است چه نام دارد؟ قانون این تابع چگونه نوشته میشود؟
ت- اگر متغیر این تابع را با $v$ نشان دهیم، مجموعهای که $v$ در آن است چه نام دارد؟ قانون تابع چگونه نوشته میشود؟
ث- دو تابعِ قسمتهای (پ) و (ت) را از نظر قانون و دامنه مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید؟
2) الف- تابع بهدست آمده در کار در کلاس (1) که مساحت مربع ساخته شده بر حسب طول مفتول بریده شده را بیان میکند $h$ نامگذاری کنید و ${{D}_{h}}$ را بنویسید.
ب- مقدارهای $h(5)$ و $h(12)$ را بیابید. آیا مقدار $h(200)$ معنایی دارد؟ چرا؟
پ- اگر متغیر این تابع را با $x$ نشان دهیم، مجموعهای که $x$ در آن است چه نام دارد؟ قانون این تابع چگونه نوشته میشود؟
ت- اگر این تابع را با $k$ و متغیر این تابع را با $z$ نشان دهیم، قانون این تابع چگونه نوشته میشود؟ مجموعهای را که $z$ در آن است، مشخص کنید.
ث- دو تابعِ قسمتهای (پ) و (ت) را از نظر قانون و دامنه مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید؟
در این کار در کلاس، مشاهده میکنید که تغییر نام یک تابع یا متغیر آن، تأثیری در تابع ندارد و آن تابع را تغییر نمیدهد. اگر چه شکل بیان قانون یک تابع ممکن است عوض شود ولی تابع عوض نمیشود. مثلاً همۀ تابعهای $f$، $g$ و $h$ به ترتیب با قانونهای $g(x)={{x}^{2}}+1$، $h(t)={{t}^{2}}+1$ و $f(x)={{x}^{2}}+1$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ به یک تابع اشاره میکنند.
مسائل (صفحه 25 کتاب درسی)
1) جاهای خالی را برای تابع با قانون $f(x)={{x}^{2}}-x+2$ و دامنهٔ $\mathbb{R}$ پر کنید.
| $f(x)$ | ${{x}^{2}}-x+2$ | $x$ |
| $f(-2)=...$ | ... | 2- |
| ... | ... | 0 |
| ... | ... | 2 |
2) تابع $g$ با قانون $g(x)=4{{x}^{2}}-3x$ و دامنهٔ ${{D}_{g}}=\left[ -2,3 \right]$ را در نظر بگیرید. $g(-2)$ و $g\left( -\frac{4}{3} \right)$ را محاسبه کنید. آیا $g(4)$ معنایی دارد؟ چرا؟
3) تابع $f$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ و قانون $f(x)={{x}^{2}}-4$ مفروض است. مقادیر خواسته شده را بیابید.
$f(-2)=$ -الف
$f\left( \frac{1}{2} \right)=$ -ب
$f(\sqrt{2})=$ -پ
4) کرایه تاکسی وابسته به طول مسیر مسافر است. ورودیهٔ تاکسی 600 تومان است و به ازای هر 100 متر، 50 تومان کرایه گرفته میشود. قانون تابعی را بهدست آورید که کرایهٔ تاکسی را برحسب مسافت طی شده بیان میکند. با توجه به آنکه تاکسیها در روز حداکثر 500 کیلومتر طی میکنند، دامنهٔ این تابع را مشخص کنید. نامی برای این تابع و متغیر آن انتخاب کنید و دامنه و قانون این تابع را با نامهای انتخابی خود بیان کنید.
5) مستطیلهایی را در نظر بگیریدکه طول آنها 2 واحد بیشتر از عرض آنها است. مساحت این مستطیلها تابعی از عرض آنها است. این تابع را $g$ بنامید و متغیر آن را با $l$ نمایش دهید. دامنه و قانون این تابع را بنویسید. آیا $g(-1)$ معنایی دارد؟
6) سنگی را از بالای یک ساختمان 25 متری رها میکنیم. طبق قوانین فیزیکی، ارتفاع این سنگ از سطح زمین تابعی از زمان است. اگر $t$، زمان (بر حسب ثانیه) و $f(t)$، ارتفاع از سطح زمین (برحسب متر( باشد. قانون این تابع به صورت $f(t)=-5{{t}^{2}}+25$ است.
الف- سنگ در لحظهٔ صفر ($t=0$) رها شده است. با پیدا کردن زمان برخورد سنگ با زمین، دامنهٔ این تابع را تعیین کنید.
ب- مقدارهای $f(1)$ و $f(2)$ را حساب کنید. این مقادیر چه چیزی را نشان میدهند؟
پ- آیا $f(3)$ و $f(-1)$ معنایی دارند؟چرا؟
نمایشهای تابع: جدول و نمودار
فعالیت 2 (صفحه 26 کتاب درسی)
عدد $\pi $ تا ده رقم اعشار برابر است با:
$\pi \approx 3/1415926535$
برای $n=1,2,3...,10$، اگر $f(n)$، رقم $n$ام اعشاری $\pi $ را نشان دهد، برای مثال داریم:
$f(1)=1\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,f(2)=4$
1) جاهای خالی را پر کنید.
$f(6)=\,...$
$f(9)=\,...$
$f(10)=\,...$
$f(8)=\,...$
2) دامنهٔ این تابع را با یک مجموعه نشان دهید.
3) جدول زیر را با توجه به دامنه داده شده کامل کنید.
| 2 | 1 | $n$ | |||
| 4 | 1 | $f(n)$ |
در فعالیت بالا تابعی را مشاهده کردیم که قانون خاصی نداشت و فقط روشی برای یافتن مقدار تابع داشتیم که نقش قانون تابع را بازی میکرد.
به کمک جدول یک تابع، میتوان نموداری در صفحه رسم کرد. هر زوج از اعدادِ جدول که از اعداد دامنهٔ تابع (سطر اول) و مقدار تابع (سطر دوم) تشکیل شده است، نقطهای در صفحه مختصات را مشخص میکند. مجموعه این نقاط، شکلی را در صفحه مشخص میکنند که نمودار تابع نامیده میشود. از طریق نمودار یک تابع، رفتار تابع را بهتر میتوان تشخیص داد.
مثال 9
اگر تابعی که در کار در کلاس (1) به آن رسیدیم، را با $h$ نشان دهیم دامنه این تابع ${{D}_{h}}=\left( 0,100 \right]$ و برای $x\in {{D}_{h}}$ قانون آن $h(x)=\frac{{{x}^{2}}}{16}$ است جدول زیر را برای این تابع در نظر میگیریم.
| 100 | 80 | 60 | 36 | 20 | 16 | 8 | 4 | $x$ |
| 625 | 400 | 225 | 81 | 25 | 16 | 4 | 1 | $h(x)$ |
از طریق این جدول مشخص میشود که با زیاد شدن مقدار متغیر، مقادیر تابع نیز زیاد میشوند. روشن است که این جدولها را نمیتوان به ازای تمام مقادیر دامنه نوشت و فقط از تعدادی متناهی از اعداد در دامنه میتوان استفاده کرد. معمولا عددهایی را در دامنه انتخاب میکنند که مشخص شدن مقدار تابع در این نقاط، برای تشخیص رفتار تابع (چگونگی تغییرات تابع) در سرتاسر دامنه کافی باشد.
تشخیص رفتار تابع از طریق جدول چندان آسان نیست و نمودار تابع، بهتر میتواند رفتار تابع را نشان دهد. همانند کار در کلاس (1) دو محور عمود بر هم رسم میکنیم. محور افقی نشان دهندهٔ طول قطعهٔ بریده شده و محور عمودی نشان دهنده مساحت مربع ساخته شده است. جدول بالا، فقط برخی از نقاط این نمودار را نشان میدهد. شکل زیر بخشی از نمودار این تابع میباشد.
مثال 10
نمودار تابع $f$ با دامنهٔ $\left[ -4,2 \right]$ رسم شده است.
نقطهٔ دلخواهی روی نمودار تابع در نظر بگیرید. از این نقطه خطی بر محور $x$ها عمود کنید. طول نقطهٔ برخورد با محور افقی، یکی از مقادیر دامنه را نشان میدهد. اگر برای تمام نقطههای روی نمودار این عمل را انجام دهیم، همهٔ مقادیر دامنهٔ تابع بهدست میآید.
مثال 11
$x$ و $y$ به ترتیب مقادیر متناظر دو کمیت (الف) و (ب) هستند. نقاط مشخص شده در صفحهٔ مختصات زیر، مقدارهای متناظر این دو کمیت را نشان میدهد. آیا کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) است؟
برای اینکه کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) باشد باید برای هر مقدار از کمیت (الف)، یک مقدار معین برای کمیت (ب) به دست آید. مطابق شکل، وقتی $x$ برابر 2 میباشد، دو مقدار 1 و 4 برای $y$ وجود دارد. بنابراین کمیت (ب) تابعی از کمیت (الف) نمیباشد.
اگر نقطه به مختصات $\left[ \begin{align} & 2 \\ & 1 \\ \end{align} \right]$ را از نقاط روی نمودار حذف کنیم، نمودار زیر به دست میآید. مشاهده میشود که برای هر مقدار از $x$، یک مقدار معین برای $y$ به دست آید. پس در این حالت کمیت (ب) است. اگر این تابع را با $f$ نامگذاری کنیم در این صورت ${{D}_{f}}=\left\{ 1,2,3,5 \right\}$ و مقادیر تابع فقط برای مقادیر دامنه محاسبه میشود. یعنی $f(1)=2,f(2)=4,f(3)=2,f(5)=2$، جدول این تابع به صورت زیر است:
| 5 | 3 | 2 | 1 | $x$ |
| 2 | 2 | 4 | 2 | $y$ |
مثال 12
در زیر نمودار تابع $h$ رسم شده است.
از نقطهٔ $x=2$ خطی بر محور $x$ها عمود کنید تا نمودار را قطع کند. از این نقطه خطی موازی محور $x$ها رسم کنید تا محور $y$ها را قطع کند. این نقطه چه چیزی را نشان میدهد؟
این نقطه همان مقدار تابع به ازای $x=2$ یعنی $h(2)$ است.
مثال 13
نمودار تابع $g$ به صورت زیر رسم شده است.
الف- دامنه $g$ را بیابید.
ب- مقادیر تابع $g$ را به ازای 2-، 1-،6 و 7 بیابید.
پ- آیا $g(11)$ معنایی دارد؟ چرا؟
الف- ${{D}_{g}}=\left[ -2,10 \right]$
ب- $g(-2)=8,g(-1)=10,g(6)=0,g(7)=-1/5$
پ- $g(11)$ معنایی ندارد زیرا عدد 11 در دامنه نیست.
مثال 14
نمودار مقابل مربوط به تابع $g$ است.
اگر از تمام نقطههای روی نمودار بر محور $x$ها عمود کنیم، دامنهٔ این تابع بازه $\left[ -1,1 \right)$ به دست میآید.
مسائل (صفحه 30 تا 31 کتاب درسی)
1) هر یک از جدولهای زیر نمایش یک تابع با دامنهٔ $\left\{ -1,0,1,2,3 \right\}$ میباشد. نمودار هر یک را در صفحهٔ مختصات رسم کنید. در صورت امکان، قانون تابع را بنویسید.
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1- | $x$ |
| 6 | 4 | 2 | 0 | 2- | $y$ |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1- | $x$ |
| 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | $y$ |
2) نمایش جدول تابع $f$ با دامنهٔ $\left\{ -2,0,1,2,4 \right\}$ به صورت زیر است:
| 4 | 2 | 1 | 0 | 2- | $x$ |
| 1 | 3 | 1- | 3 | 0 | $f(x)$ |
الف- مقادیر $f(4)$، $f(1)$ و $f(0)$ را بیابید.
ب- نمودار $f$ را در صفحهٔ مختصات رسم کنید.
3) نمودار تابع $g$ به صورت زیر است:
الف- با توجه به شکل، دامنهٔ $g$ را بنویسید.
ب- $g(2)$، $g(-2)$ و $g(0)$ را بهدست آورید.
پ- آیا $g(4)$ معنایی دارد؟ چرا؟
4) سه تابع زیر را در نظر بگیرید. دامنهٔ هر یک از این تابعها را بنویسید.
5) وضعیتی از زندگی روزمره را بنویسید که نمودار زیر نشان دهندهٔ آن وضعیت باشد.
6) تابع $g$ با دامنه $\left\{ -2,-1,0,3 \right\}$ را طوری رسم کنید که $g(-2)=1$ و $g(0)=2$.
7) تابع دلخواه $f$ با دامنهٔ $\left[ -1,4 \right]$ را طوری رسم کنید که $f(-1)=1$ و $f(2)=-3$.
8) تابع $h$ با دامنهٔ $\left[ 0,3 \right]$ و قانون $h(x)=3{{x}^{2}}+a$ را در نظر بگیرید.
الف- مقدار $a$ را طوری بیابید که $h(1)=2$.
ب- $h(2)$ را بیابید.
پ- آیا $h(4)$ معنایی دارد؟ چرا؟