درسنامه آموزشی ریاضی (1) فنی کلاس دهم هنرستان

1) ابتدا به کمک رسم شکل و سپس با ماشین حساب مقدار تقریبی تانژانت زاویه‌های 40 و 50 درجه را پیدا کنید.

$\tan {{40}^{{}^\circ }}=\frac{3/7}{4/2}=0/88$

$\tan {{50}^{{}^\circ }}=\frac{4/2}{3/7}=1/13$

$\tan {{40}^{{}^\circ }}=0/84$

$\tan 50=1/19$

2) تانژانت چه زاویه‌ای برابر 8 خواهد شد؟

مثلث قائم‌الزاویه‌ای رسم می‌کنیم که یکی از اضلاع قائم 8 برابر دیگری باشد. و زاویه روبرو به ضلع بزرگتر را اندازه می‌گیریم.

$\tan \alpha =\frac{8}{1}=8$

$\alpha ={{83}^{{}^\circ }}$

3) با توجه به شکل زیر، ارتفاع نقطهٔ $A$ از زمین را بیابید (عرض همهٔ پله‌ها $20cm$ است).

$4\times 20=80$

$\tan {{30}^{{}^\circ }}=\frac{x}{80}\Rightarrow 0/75=\frac{x}{80}\Rightarrow x=45/6$

4) برای محاسبهٔ ارتفاع ساختمانی، دوربین زاویه‌یاب را در یک سطح افقی در نقطهٔ $M$ به فاصلهٔ 15 متری از ساختمان (نقطهٔ $B$) مستقر کرده‌ایم و به نقطهٔ بالای ساختمان نشانه می‌رویم. زاویهٔ دید برابر 38 درجه به‌دست آمده است. اگر ارتفاع دوربین از زمین یک متر و 54 سانتی‌متر باشد، ارتفاع ساختمان را به‌دست آورید.

$AB=x$

$\tan {{38}^{{}^\circ }}=\frac{x}{15}\Rightarrow 0/78=\frac{x}{15}\Rightarrow x=11/7$

$=11/7+1/54=13/24$ ارتفاع ساختمان

5) به کمک دوربین زاویه‌یاب، زاویه‌های $\alpha $ و $\beta $ به ترتیب 23 درجه و 10 درجه به‌دست آمده‌اند و فاصلهٔ افقی دوربین تا درخت 18 متر است. با توجه به شکل، ارتفاع درخت را پیدا کنید.

$\tan \alpha =\frac{AB}{18}\Rightarrow \tan 23=\frac{AB}{18}$

$0/42=\frac{AB}{18}\Rightarrow AB=7/64$

$\tan \beta =\frac{BC}{18}\Rightarrow \tan 10=\frac{BC}{18}$

$0/17=\frac{BC}{18}\Rightarrow BC=3/17$

متر $=AB+BC=7/64+3/17=10/81$ ارتفاع درخت

6) یک مهندس نقشه‌بردار، برای محاسبهٔ ارتفاع یک کوه در نقطه‌ای می‌ایستد و مشاهده می‌کند که در آن نقطه، نوک کوه با زاویهٔ 50 درجه نسبت به افق دیده می‌شود. پس از آنکه نیم‌کیلومتر از کوه دور می‌شود، مشاهده می‌کند که نوک کوه با زاویۀ 40 درجه دیده می‌شود. ارتفاع کوه چقدر است؟

$\tan 50=\frac{h}{x}$

$1/19=\frac{h}{x}\Rightarrow h=1/19x\Rightarrow 0/84=\frac{1/19x}{h+0/5}$

$\tan 40=\frac{h}{x+0/5}$

$0/84=\frac{h}{x+0/5}\Rightarrow 0/84x+0/42=1/19x\Rightarrow x=\frac{0/42}{0/35}$

$x=1/2km$

$h=1/19\times 1/2=1/428km$

1) الف- سینوس زاویهٔ 25 درجه را با رسم یک مثلث قائم‌الزاویهٔ مناسب به‌طور تقریبی محاسبه کنید.

مثلث قائم‌الزاویه با زاویه 25 درجه رسم می‌کنیم ضلع مقابل به زاویه 25 درجه و وتر را اندازه می‌گیریم.

$\sin {{25}^{{}^\circ }}=\frac{2/4}{5/5}=0/43$

ب- یک مثلث متساوی‌الساقین رسم کنید که زاویهٔ رأس آن 50 درجه باشد. اگر قاعدهٔ این مثلث 10 سانتی‌متر باشد، طول ساق آن را تعیین کنید.

$\sin {{25}^{{}^\circ }}=\frac{5}{x}\Rightarrow 0/43=\frac{5}{x}\Rightarrow x=\frac{5}{0/43}=11/6$

2) سینوس چه زاویه‌ای برابر 0/8 است؟

زاویه قائم را به طول یک ضلع برابر 8 رسم می‌کنیم و ضلع دیگر را ادامه می‌دهیم و کمانی از نقطه $B$ به طول 10 رسم می‌کنیم تا نقطه $C$ را به‌دست آوریم و $\alpha $ را اندازه می‌گیریم: $\alpha ={{53}^{{}^\circ }}$

3) رضا بادبادکی را به هوا فرستاده است. فرض کنید 45 متر نخ بادبادک او رها شده است. طبق شکل، زاویهٔ نخ با سطح افق 39 درجه و فاصلهٔ دست رضا از سطح زمین، یک متر و شصت سانتی‌متر است. ارتفاع بادبادک از سطح زمین چقدر است؟

$\sin {{39}^{{}^\circ }}=\frac{GF}{45}\Rightarrow GF=28/32$

متر $=28/32+1/6=29/9$ ارتفاع

1) با رسم یک مثلث قائم‌الزاویهٔ مناسب، کسینوس زاویه‌های 15 و 75 درجه را حساب کنید.

$\cos 75=\frac{1/5}{5/4}=0/27$

$\cos 15=\frac{5}{5/4}=0/93$

2) روشی بیان کنید که با داشتن یک عدد $b$ به‌صورت $0

یک ضلع به طول $10b$ رسم می‌کنیم و زاویه قائم $A$ را رسم می‌کنیم از نقطهٔ $B$ کمانی به طول 10 رسم می‌کنیم.

$\cos \hat{B}=\frac{10b}{10}=b$

3) زمین بزرگی به شکل مثلث متساوی‌الساقین به قاعدهٔ 100 متر و با زاویهٔ مجاور به قاعدهٔ 50 درجه است.

الف- با رسم یک مثلث قائم‌الزاویهٔ مناسب ، از طریق اندازه‌گیری با خط‌کش، کسینوس زاویهٔ 50 درجه را به‌طور تقریبی محاسبه کنید.

مثلث قائم‌الزاویه با زاویه $A=50$ رسم می‌کنیم طول ضلع $AB=4$ و $AC=6/1$ خواهد شد.

$\cos {{50}^{{}^\circ }}=\frac{4}{6/1}=0/65$

ب- طول اضلاع زمین مثلث شکل را بیابید.

$\sin {{25}^{{}^\circ }}=\frac{50}{AB}\Rightarrow 0/42=\frac{50}{AB}\Rightarrow AB=119/04$

پ- مساحت زمین را بیابید.

$\cos 25=\frac{AH}{AB}\Rightarrow 0/9=\frac{AH}{119/04}\Rightarrow AH=107/88$

$S=\frac{AH\times BC}{2}=\frac{107/88\times 100}{2}=5394/34{{m}^{2}}$

4) حسن و علی در یک روز تعطیل می‌خواهند از دو نقطهٔ متفاوت و هم سطح در دو مسیر مختلف از پای کوه تا قلهٔ آن بروند. علی با زاویهٔ 32 درجه و حسن با زاویهٔ 40 درجه از کوه بالا می‌روند. علی پس از طی 1200 متر و حسن پس از طی 800 متر به قلهٔ کوه می‌رسند. فاصلهٔ علی و حسن را در پای کوه محاسبه کنید.

$x+y=?$

$xos{{32}^{{}^\circ }}=\frac{6}{1200}\Rightarrow 0/84=\frac{y}{1200}\Rightarrow y=1017/65$

${{\cos }^{40}}=\frac{x}{800}\Rightarrow 0/76=\frac{x}{800}\Rightarrow x=612/83$

$x+y=612/83+1017/65=1630/48$

5) درستی یا نادرستی روابط زیر را بررسی کنید.

الف- $\cos {{20}^{{}^\circ }}<\cos {{40}^{{}^\circ }}$ 

نادرست زیرا با افزایش زاویه از صفر تا 90 کسینوس کاهش می‌یابد.

ب- $\tan {{20}^{{}^\circ }}<\tan {{30}^{{}^\circ }}$ 

درست با افزایش زاویه از صفر تا 90 تانژانت افزایش می‌یابد.

پ- $\sin {{30}^{{}^\circ }}<\sin {{20}^{{}^\circ }}$

نادرست با افزایش زاویه از صفر تا 90 سینوس افزایش می‌یابد.

6) مقدار عددی عبارت‌های زیر پیدا کنید.

$\frac{\sin {{60}^{{}^\circ }}+\tan {{45}^{{}^\circ }}-\cos {{30}^{{}^\circ }}}{1+\sin {{30}^{{}^\circ }}}=$ -الف

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{2}{3}$

$\frac{\tan {{60}^{{}^\circ }}+2\cos {{30}^{{}^\circ }}-2\sqrt{3}}{1+\sin {{60}^{{}^\circ }}}=$ -ب

$\frac{\sqrt{3}+2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)-2\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=0$

$\sin {{30}^{{}^\circ }}+\cos {{30}^{{}^\circ }}=$ -پ

$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2\cos {{30}^{{}^\circ }}-2\sin {{30}^{{}^\circ }}}{2\tan {{45}^{{}^\circ }}+3\cos {{60}^{{}^\circ }}}=$ -ت

$\frac{2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)-2\left( \frac{1}{2} \right)}{2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)+3\left( \frac{1}{2} \right)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{2\sqrt{2}+3}{2}}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}+3}$

$1-2\left( \frac{1}{2} \right)=1-1=0$ $1-2\sin {{30}^{{}^\circ }}=$ -ث

7) دو کابل فلزی یک برج مخابراتی را نگه داشته‌اند. زاویهٔ بین زمین و کابل‌ها به ترتیب 35 و 72 درجه و فاصلهٔ بین محل اتصال دو کابل در زمین، 33 متر است. طول هر یک از این کابل‌ها چقدر است؟

$\left. \begin{align} & \tan {{35}^{{}^\circ }}=\frac{h}{33-x} \\ & \tan {{72}^{{}^\circ }}=\frac{h}{x} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow $

$\left. \begin{align} & 0/7=\frac{h}{33-x}\Rightarrow h=0/7(33-x) \\ & 3/07=\frac{h}{x}\Rightarrow h=3/07x \\ \end{align} \right\}\Rightarrow $

$23/1-0/7x=3/07x\Rightarrow 23/1=3/77x\Rightarrow x=6/12$

$h=3/07\times 6/12=18/81$

$\sin {{35}^{{}^\circ }}=\frac{18/81}{AB}\Rightarrow 0/57=\frac{18/81}{AB}\Rightarrow AB=33m$

$\sin {{72}^{{}^\circ }}=\frac{18/81}{AC}\Rightarrow 0/95=\frac{18/81}{AC}\Rightarrow AC=19/8m$

8) با انجام محاسبات عددی، درستی روابط زیر را بررسی کنید:

$\cos {{60}^{{}^\circ }}=2\cos {{30}^{{}^\circ }}$ -الف

نادرست $\frac{1}{2}=2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow \frac{1}{2}=\sqrt{3}$

$\sin {{60}^{{}^\circ }}<2\sin {{30}^{{}^\circ }}$ -ب

درست $\frac{1}{2}<\sqrt{3}\Rightarrow 0/5<1/7$

$\cos {{60}^{{}^\circ }}<2\sin {{30}^{{}^\circ }}\cos {{30}^{{}^\circ }}$ -پ

درست $\frac{1}{2}<2\left( \frac{1}{2} \right)\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 1<\sqrt{3}$

$\tan {{60}^{{}^\circ }}+\tan {{30}^{{}^\circ }}=\frac{2}{\sin }{{60}^{{}^\circ }}$ -ت

$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3}=2\times \frac{2}{\sqrt{3}}$

درست $\Rightarrow \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$