درسنامه آموزشی ریاضی (1) فنی کلاس دهم هنرستان
پودمان 4- توانرسانی به توان عددهای گویا
1-4- مفهوم توانرسانی به توان عددهای گویا
محمد مدتی بیمار بود و برای معالجه به دکتر مراجعه کرده بود. دکتر از او در مورد زمان شروع بیماری و شدت آن پرسیده بود. او پس از بهبودی، به مدرسه رفت و از دبیر علوم خود سؤال کرد: « مگر زمان شروع بیماری در تصمیم دکتر برای تجویز دارو مؤثر است؟»
دبیر گفت: « بله. علت بروز بسیاری از بیماریها باکتریها هستند و با گذشت زمان مقدار آنها افزایش مییابد؛ مثلا،ً نوعی از باکتریها پس از هر ساعت دو برابر میشوند. بنابراین، اگر در شروع، یک گرم باکتری داشته باشیم، در پایان ساعتهای اول و دوم و سوم و ... وزن باکتریها به ترتیب 2 و 4 و 8 و ... گرم خواهد شد.»
محمد همانطور که با خود فکر میکرد ریاضی در پزشکی هم کاربرد دارد، این سؤال برایش مطرح شد: وزن باکتریها پس از نیم ساعت چقدر خواهد شد؟
دبیر گفت: «اگر به ارتباط بین وزن باکتریها و زمان سپری شده توجه کنید میتوانید وزن آنها را حدس بزنید. وزن یک گرم باکتری پس از 1 ساعت ${{2}^{1}}$ گرم، بعد از 2 ساعت ${{2}^{2}}$ گرم و بعد از 3 ساعت ${{2}^{3}}$ گرم و... میشود. آیا میتوانید حدس بزنید که بعد از نیمساعت ($\frac{1}{2}$ ساعت) وزن باکتریها چقدر میشود؟»
محمد گفت: «شاید میخواهید بگویید ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ گرم است.»
دبیر گفت: «فرض کنیم حدسی که زدهاید درست باشد، آیا این عدد برایتان معنی دارد؟»
محمد گفت: «با عددهایی که توان آنها عدد صحیح است آشنایی دارم؛ اما نمیدانم ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ چیست.»
دبیر گفت: «با انجام فعالیت بعد، شما خودتان هم میتوانید مقدار این عدد را پیدا کنید.»
فعالیت 1 (صفحه 91 کتاب درسی)
نوعی باکتری را در نظر بگیرید که وزن آن هر ساعت دو برابر میشود. اگر در شروع 1 گرم باکتری داشته باشیم، به سؤالات زیر پاسخ دهید.
1) اگر وزن باکتریها پس از هر نیمساعت $b$ برابر شود، وزن آنها را پس از یک ساعت بر حسب $b$ بهدست آورید و در محل تعیین شده بنویسید.
$1g\to b\to b\times b={{b}^{2}}$
${{b}^{2}}=2$
2) وزن 1 گرم باکتری را پس از یک ساعت برحسب گرم محاسبه کنید و در محل تعیین شده بنویسید. از تساوی حاصل، مقدار $b$ را بهدست آورید.
${{b}^{2}}=2\to \sqrt{{{b}^{2}}}=\sqrt{2}$
$b=\sqrt{2}\simeq 1/41$
محمد گفت: آیا میتوانیم ازاین فعالیت نتیجه بگیریم که مقدار ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ همان $\sqrt{2}$ است؟
دبیر گفت: بله میتوانیم. تعریف ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ بهصورت $\sqrt{2}$ تعریف مناسبی است. حال فرض کنیم وزن باکتریها پس از یک ساعت 3 برابر میشد. اگر با یک گرم باکتری شروع کنیم، وزنی را که آنها پس از نیمساعت به آن میرسند، با نماد ${{3}^{\frac{1}{2}}}$ نشان میدهیم. این عدد همان $\sqrt{3}$ است؛ زیرا اگر این عدد را با $b$ نشان دهیم پس از پایان یکساعت مقدار باکتریها از یک طرف 3 و از طرف دیگر ${{b}^{2}}$ است. پس ${{b}^{2}}=3$؛ که نتیجه میدهد $b=\sqrt{3}$؛ یعنی:
${{3}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}$
در حالت کلی، توانِ $\frac{1}{2}$ همهٔ اعداد مثبت به همین صورت تعریف میشود.
مثال 1
الف) نمایش رادیکالی عدد ${{36}^{\frac{1}{2}}}$ بهصورت $\sqrt{36}$ است و ${{36}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{36}=6$.
ب) شکل زیر، یک مثلث قائمالزاویه است ($\hat{A}={{90}^{{}^\circ }}$). اگر اندازهٔ دو ضلع زاویهٔ قائمه 5 و 12 باشد، طول وتر را به صورت یک عدد تواندار و یک عدد رادیکالی نمایش دهید و آن را ساده کنید.
$B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}={{12}^{2}}+{{5}^{2}}=169\Rightarrow BC={{169}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{169}=13$
کار درکلاس 1 (صفحه 92 کتاب درسی)
1) ابتدا نمایش رادیکالی عددهای زیر را بنویسید سپس در صورت امکان، آنها را ساده کنید.
${{49}^{\frac{1}{2}}}=$
$\sqrt{49}=7$
${{(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}}}=$
$\sqrt{\frac{1}{25}=}\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$
${{(0/01)}^{\frac{1}{2}}}=$
$\sqrt{0/01}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}=0/1\to {{(0/01)}^{\frac{1}{2}}}=0/1$
2) طول ضلع مربعی را که مساحت آن 9 سانتیمترمربع است، بهصورت یک عدد تواندار نمایش دهید و آن را ساده کنید.
$x.x=9\to {{x}^{2}}=9\Rightarrow x={{9}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{9}=3$
در فعالیت 2، مفهوم توانِ $\frac{1}{3}$ عددهای مثبت را بررسی میکنیم.
فعاليت 2 (صفحه 93 کتاب درسی)
یک گرم از یک نوع باکتری را در نظر بگیرید که پس از هر ساعت دو برابر میشود. با روش زیر بررسی کنید که پس از $\frac{1}{3}$ ساعت چند گرم باکتری ایجاد میشود.
1) فرض کنید وزن باکتریها پس از هر $\frac{1}{3}$ ساعت $c$ برابر شود. وزن باکتریها را پس از $\frac{1}{3}$ ساعت و $\frac{2}{3}$ ساعت و یک ساعت برحسب $c$ در نمودار زیر بنویسید.
$1gr\to 2gr$
دقیقه $\frac{1}{3}\to 20$
$1gr\xrightarrow{\frac{1}{3}}c\xrightarrow{\frac{1}{3}}c\times c\xrightarrow{\frac{1}{3}}c\times c\times c={{c}^{3}}$
2) نمودار را کامل کنید و از تساوی حاصل، مقدار $c$ را بهدست آورید.
${{c}^{3}}=2\to {{({{c}^{\cancel{3}}})}^{\frac{1}{\cancel{3}}}}={{2}^{\frac{1}{3}}}$
$c={{2}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{{{2}^{1}}}=\sqrt[3]{2}$
در اینجا نیز، وزن باکتریها را پس از $\frac{1}{3}$ ساعت با ${{2}^{\frac{1}{3}}}$ نمایش میدهیم. فعالیت بالا نشان میدهد که وزن این نوع باکتری پس از $\frac{1}{3}$ ساعت، $\sqrt[3]{2}$ است. بنابراین، ${{2}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{2}$.
اگر وزن باکتریها پس از هر ساعت 5 برابر شود و با یک گرم باکتری شروع کنیم، وزن آنها را پس از بیست دقیقه ($\frac{1}{3}$ ساعت) با ${{5}^{\frac{1}{3}}}$ نشان میدهیم. این مقدار با استدلالی شبیه به فعالیت بالا برابر $\sqrt[3]{5}$ میباشد. در حالت کلی، توانِ $\frac{1}{3}$ هر عدد مثبت $a$ بهصورت زیر تعریف میشود.
کار درکلاس 2 (صفحه 94 کتاب درسی)
1) با توجه به تساویهای داده شده، ابتدا نمایش رادیکالی اعداد را بنویسید و سپس، حاصل را بهدست آورید.
$\sqrt[3]{216}=\sqrt[\cancel{3}]{{{6}^{\cancel{3}}}}=6$ ${{6}^{3}}=216\Rightarrow {{216}^{\frac{1}{3}}}=$ -الف
${{(\frac{1}{7})}^{3}}=\frac{1}{343}\Rightarrow {{(\frac{1}{343})}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{\frac{....}{....}}=....$ -ب
2) ابتدا نمایش رادیکالی عددهای زیر را بنویسید و سپس در صورت امکان، آنها را ساده کنید.
${{(0/001)}^{\frac{1}{3}}}=$
$\sqrt[3]{0/001}=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{{{10}^{-3}}}=\sqrt[\cancel{3}]{{{({{10}^{1}})}^{\cancel{3}}}}={{10}^{-1}}=\frac{1}{10}=0/1 \\ & \sqrt[3]{\frac{1}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{1}{\sqrt[\cancel{3}]{{{3}^{\cancel{3}}}}} \frac{1}{10}=0/1 \\ \end{align} \right.$
${{(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}}=$
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{\sqrt[\cancel{3}]{{{2}^{\cancel{3}}}}}=\frac{1}{2}$
${{({{9}^{3}})}^{\frac{1}{3}}}=$
$\sqrt[\cancel{3}]{{{9}^{\cancel{3}}}}=9$
${{64}^{\frac{1}{3}}}=$
$\sqrt[3]{64}=\sqrt[\cancel{3}]{{{4}^{\cancel{3}}}}=4$
استفاده از ماشین حساب
یک گرم از باکتریهایی را که وزن آنها پس از یکساعت دو برابر میشوند در نظر بگیرید. با استفاده از ماشین حساب، وزن آنها را در هر یک از دو حالت زیر برحسب گرم با تقریب اعشاری تا دو رقم اعشار نشان دهید (توجه کنید، اگر از ماشین حسابهای مختلف استفاده میکنید، ممکن است ترتیب فشاردادن کلیدها متفاوت باشد).
الف) پس از نیمساعت:
محاسبه از طریق توانرسان:
محاسبه از طریق ریشهگیری:
ب) پس از 20 دقیقه:
محاسبه از طریق توانرسانی:
محاسبه از طریق ریشهگیری:
مسئلهها (صفحه 96 تا 97 کتاب درسی)
1) نقطه چینها را با عبارت مناسب تکمیل کنید:
${{11}^{3}}=1331\Rightarrow {{1331}^{\frac{1}{3}}}$$=\sqrt[3]{1331}=11$
${{17}^{2}}=289\Rightarrow {{289}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[2]{289}=17$
2) مقادیر خواسته شده را ابتدا بهصورت یک عدد تواندار با توان گویا بنویسید و سپس عبارت رادیکالی متناظر آن را نوشته و با استفاده از ماشین حساب، حاصل را تا دو رقم اعشار حساب کنید.
الف- مقدار $x$
${{3}^{2}}+{{x}^{2}}={{6}^{2}}$
$9+{{x}^{2}}=36\Rightarrow {{x}^{2}}=36-9\Rightarrow $
${{x}^{2}}=27\Rightarrow x={{27}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{27}=5/19$
ب- نوعی از باکتری را در نظر میگیریم که وزن آن پس از یک ساعت دو برابر میشود. اگر با دو گرم باکتری شروع کنیم پس از نیمساعت چقدر باکتری داریم؟ مقدار باکتریها پس از بیست دقیقه چقدر است؟
${{2}^{\frac{1}{2}}}\xrightarrow{2g}2({{2}^{\frac{1}{2}}})=2\sqrt{2}$
${{2}^{\frac{1}{3}}}\xrightarrow{2g}2(\sqrt[3]{2})=2\sqrt[3]{2}$
پ- قطر یک مربع به ضلع 3 را بهصورت عددی تواندار بنویسید.
${{x}^{2}}={{3}^{2}}+{{3}^{2}}$
${{x}^{2}}=9+9\Rightarrow {{x}^{2}}=18$
$\Rightarrow x={{18}^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow x=\sqrt{18}=4/24$
3) بخشی از راهحل احمد برای یافتن ریشههای معادلهٔ درجهٔ دوم $2{{x}^{2}}-3x-2=0$ بهصورت زیر است:
$x=\frac{{{\left( {{(-3)}^{2}}-4\times 2\times (-2) \right)}^{\frac{1}{2}}}}{2\times 2}=......$
درستی یا نادرستی راه حل را بررسی کرده و در صورت درستی با ادامهٔ راهحل و درصورت نادرستی با نوشتن راهحل درست، ریشههای معادله را بهدست آورید.
$2{{x}^{2}}-3x-2=0$
$a=2\,,\,b=-3\,,\,c=-2$
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4(2)(-2)=9+16=25$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4(2)(-2)}}{2\times 2}=$
$\frac{3\pm \sqrt{25}}{4}=\,\frac{3+5}{4}=2\,\,,\,\,\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$
4) داراییهای یک شرکت در هر سال، 150 درصد سال قبل است. دارایی این شرکت طی ده سال بهصورت زیر گزارش شده است:
زمان تأسیس: 1 میلیارد ریال، پایان سال اول: 1/5 میلیارد ریال، پایان سال دوم: 2/25 میلیارد ریال و ...
الف- دارایی شرکت در پایان سالهای دوم، چهارم و دهم را بهصورت یک عدد تواندار بنویسید.
ب- رابطهای بنویسید که دارایی در پایان سال $n$ام را بهصورت یک عبارت تواندار برحسب $n$ نمایش دهد.
پ- اگر روند رشد داراییها در هر ماه نیز طبق رابطهٔ قسمت قبل باشد، دارایی شرکت را پس از 4 ماه و 6 ماه، بهصورت یک عدد تواندار و یک عبارت رادیکالی نمایش دهید و با ماشین حساب مقدارِ آن را بهصورت یک عدد اعشاری نمایش دهید.
خواندنی
بهتازگی دانشمندان موفق شدهاند فناوری جدیدی ارائه کنند که به کمک آن میتوان اطلاعات را بر روی رشتههای دیانِای باکتریها ذخیره کرد. این روش از این نظر بسیار حائز اهمیت است که برخلاف روشهای پیشین بدون آسیب رساندن به بافت زندهٔ باکتری، میتوان این کار را به انجام رساند.
طراحان این روش معتقدند که ذخیرهٔ دادهها بر روی بافتهای زنده میتواند مزایای خارقالعادهای را به همراه داشته باشد زیرا با چنین ساختارهایی میتوانند به درمان هوشمند بیماریها دست بزنند. البته حجم دادههای قابل ذخیره در شرایط فعلی به هیچ عنوان به اندازهای نیست که بتوان از آن در سطح کاربردی بهره گرفت ولی این روش را میتوان یک راهکار برای آیندهٔ انبارههای اطلاعاتی بهحساب آورد.
2-4- ریشهگیری عددهای حقیقی
مسئلۀ تعیین وزن باکتریها را در نظر بگیرید. وزن باکتریها پس از 15 دقیقه ($\frac{1}{4}$ ساعت) چقدر است؟ پس از 12 دقیقه ($\frac{1}{5}$ ساعت) چقدر است؟ این مقادیر را چگونه نشان میدهند؟ برای پاسخ دادن به این سؤالها لازم است علاوه بر ریشهٔ دوم و سوم، ریشههای دیگر یک عدد را هم بشناسیم.
خواندنی
تاریخچهٔ ریشهگیری
از لحاظ تاریخی، ایدهٔ ریشهگیری در ارتباط با حل معادلههای جبری پدید آمده است. در محاسبهٔ جوابهای معادلههای درجهٔ دوم و سوم، عبارتهای پیچیدهای از رادیکالها دیده میشوند. اگرچه روشهای عددی در محاسبهٔ جوابهای معادلهها بسیار مؤثرتر هستند، با این حال نیاز به ریشهگیری همچنان وجود دارد.
ریشهگیری عکس عمل توانرساني است. توانرسانی به توان $n$ (برای عدد $a$) را با ${{a}^{n}}$ نشان میدهند و عکس این عمل را با $\sqrt[n]{a}$ نشان میدهند و آن را ریشهٔ $n$ام از $a$ مینامند.
پس از کشف فرمول جبری حل معادلههای درجهٔ دوم، تحقیقاتی طولانی برای یافتن فرمول جبری برای حل معادلههای درجهٔ سوم آغاز شد. برای یافتن چنین فرمولی باید تا قرن شانزدهم صبر میشد تا کاردان، ریاضیدان ایتالیایی چنین فرمولی را بهدست آورد. جوابهای معادلهٔ ${{x}^{3}}+ax=b$ به شکل زیر هستند.
$x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{27}+\frac{{{b}^{2}}}{4}}+\frac{b}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{27}+\frac{{{b}^{2}}}{4}}-\frac{b}{2}}$
بعد از حل معادلههای درجهٔ سوم، چگونگی حل معادلههای درجهٔ چهارم نیز بهدست آمد. اویلر تلاش کرد معادلههای درجهٔ پنجم را به روش مشابهی حل کند ولی موفق نشد. در قرن نوزدهم آبل و گالوا ثابت کردند که معادلههای درجهٔ پنجم به روشهای جبری قابل حل نیستند و فرمولی جبری از طریق ریشهگیری برای جوابهای معادلههای درجهٔ پنجم و درجات بالاتر وجود ندارد.
فعاليت 3 (صفحه 99 کتاب درسی)
در هر قسمت، ابتدا جملهها را کامل کنید. سپس به سؤال پاسخ دهید.
1) یک ریشهٔ دوم عدد 25 عدد 5 است؛ زیرا $=25$ ${{(5)}^{2}}$
2) ریشههای دوم یک عدد را تعریف کنید.
$b$ را ریشه دوم عدد $a$ میگویند هرگاه ${{b}^{2}}=a$
3) یک ریشهٔ سوم عدد 8 عدد 2 است؛ زیرا $=8$ ${{(2)}^{3}}$.
4) ریشههای سوم یک عدد را تعریف کنید.
$b$ را ریشه سوم عدد $a$ میگویند هرگاه ${{b}^{3}}=a$
5) برای ریشههای چهارم یک عدد، چه تعریفی را پیشنهاد میکنید؟ از ریشهٔ چهارم مثالی بزنید.
$b$ را ریشه چهارم عدد $a$ میگویند هرگاه ${{b}^{4}}=a$
$\leftarrow {{3}^{4}}=81$ 3 و ریشه چهارم عدد 81 میباشد.
6) برای ریشههای پنجم یک عدد چه تعریفی را پیشنهاد میکنید؟ از ریشهٔ پنجم مثالی بزنید.
$b$ را ریشه پنجم عدد $a$ میگویند هرگاه ${{b}^{5}}=a$
$\leftarrow {{2}^{5}}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$ 2 ریشه پنجم عدد 32 میباشد.
7) برای ریشههای $k$اُم یک عدد چه تعریفی را پیشنهاد میکنید؟
$b$ را ریشه $k$ام عدد $a$ میگویند هرگاه ${{b}^{k}}=a$
8) اگر ${{b}^{k}}=a$ آنگاه $b$ یک ریشهٔ $k$ام عدد $a$ است.
با استفاده از فعالیت 3، تعریف زیر از ریشهگیری مرتبههای بالاتر داده میشود.
کار درکلاس 3 (صفحه 100 کتاب درسی)
1) به جای نقطهچینها، عددهای مناسب قرار دهید.
الف- از آنجا که ${{3}^{5}}=243$، عدد 3 یک ریشهٔ پنجم عدد 243 است.
ب- با توجه به تساوی $15625$ ${{(-5)}^{6}}=$ عدد 5- یک ریشهٔ ششم عدد $15625$ است.
پ- تساوی $=\frac{1}{8}$ ${{(\frac{1}{2})}^{3}}$ نشان میدهد که عدد $\frac{1}{2}$ یک ریشهٔ سوم عدد $\frac{1}{8}$ است.
2) یک ریشهٔ چهارم از اعداد زیر را بنویسید.
=$625$ -الف
${{5}^{4}}=5\times 5\times 5\times 5=65\Rightarrow $
5 یک ریشه چهارم عدد 625 است ${{5}^{4}}=625\Rightarrow $
5- یک ریشه چهارم عدد 625 است ${{(-5)}^{4}}=625\Rightarrow $
=$\frac{1}{81}$ -ب
$\frac{1}{3}$ یک ریشه چهارم عدد $\frac{1}{81}$ میباشد. ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\to $
$\frac{1}{3}$ یک ریشه چهارم عدد $\frac{1}{81}$ میباشد. ${{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{4}}\to $
=0/0001 -ج
$\frac{1}{10000}=\frac{1}{{{10}^{4}}}=$
$\frac{1}{10}$ یک ریشه چهارم عدد 0/0001 میباشد. ${{\left( \frac{1}{10} \right)}^{4}}\to $
$\frac{1}{10}$ یک ریشه چهارم عدد 0/0001 میباشد. ${{\left( -\frac{1}{10} \right)}^{4}}\to $
3) یک ریشهٔ پنجم از اعداد زیر را بنویسید.
یک، ریشهٔ پنجم عدد یک است.${{1}^{5}}\to $ =1 -الف
$-\frac{1}{2}$ یک ریشه پنجم عدد $-\frac{1}{32}$ میباشد. $\left( -\frac{1}{2} \right)\to $ $-\frac{1}{32}=$ -ب
عدد 3 یک ریشه پنجم عدد $3\times 81$ میباشد. ${{3}^{1}}\times {{3}^{4}}={{3}^{5}}\Rightarrow {{3}^{5}}=3\times 81\to $ $3\times 81=$ -ج
4) برای پیدا کردن ریشههای چهارم و پنجم یک عدد، چه پیشنهادی دارید؟
$b=\pm \sqrt[4]{a}\leftarrow {{b}^{4}}=a$
$b=\pm \sqrt[5]{a}\leftarrow {{b}^{5}}=a$
فعاليت 4 (صفحه 101 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
$x=-2\Rightarrow {{(-2)}^{4}}=16$
$x=-1\Rightarrow {{(-1)}^{4}}=1$
$x=-\frac{2}{3}\Rightarrow {{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{4}}={{(-1)}^{4}}=\frac{{{2}^{4}}}{{{3}^{4}}}=\frac{16}{81}$
$x=0\Rightarrow {{(0)}^{4}}=0$
$x=\frac{2}{3}\Rightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{4}}=\frac{{{2}^{4}}}{{{3}^{4}}}=\frac{16}{81}$
$x=1\Rightarrow {{(1)}^{4}}=1$
$x=2\Rightarrow {{(2)}^{4}}=16$
| ... | ... | 2 | 1 | $\frac{2}{3}$ | 0 | $-\frac{2}{3}$ | 1- | 2- | عدد |
| ... | ... | 16 | 1 | $\frac{16}{81}$ | 0 | $\frac{16}{81}$ | 1 | 16 | توان چهارم |
2) آیا در سطر دوم جدول، عدد منفی دیده میشود؟ چرا؟
خیر؛ چون توان زوج اعداد منفی همواره مثبت است.
3) توان چهارم اعداد قرینه چه رابطهای با هم دارند؟
باهم برابرند. ${{(-2)}^{4}}=16\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,{{(2)}^{2}}=16$
4) آیا یک عدد منفی میتواند ریشهٔ چهارم داشته باشد؟ چرا؟
خیر
5) با استفاده از جدول، ریشههای چهارم اعداد 1 و $\frac{16}{81}$ را بنویسید.
$\left. \begin{align} & {{(-1)}^{4}}=1 \\ & {{(+1)}^{4}}=1 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow $
$+1$ ریشههای چهارم عدد یک میباشند.
${{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{4}}=\frac{16}{81}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{4}}=\frac{16}{81}$
6) با توجه به پاسخهای بهدست آمده، در مورد تعداد ریشههای چهارم عدد مثبت $a$ چه نتیجهای میگیرید؟ این ریشهها چه رابطهای با هم دارند؟
عدد مثبت $a$ 2 تا هستند $\leftarrow $ و با هم قرینه هستند.
7) آیا این نتیجه در مورد ریشههای زوج دیگر نیز درست است؟ با مثال نشان دهید.
$\pm 4\leftarrow {{(+4)}^{2}}=16\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{(-4)}^{2}}=16$ دو ریشه دوم (زوج) عدد 16 میباشد.
فعالیت بالا نشان میدهد که عددهای مثبت دو ریشهٔ زوج دارند و این ریشهها قرینهٔ یکدیگرند. با دقت در جدول بالا مشاهده میشود که توان زوج همهٔ اعداد منفی، همواره عددی مثبت است. بنابراین اعداد منفی ریشهٔ زوج ندارند.
فعاليت 5 (صفحه 102 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
| 2 | 2- | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | 0/1 | 0/1- | $a$ |
| $\sqrt[4]{{{(2)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{(-2)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{(0/1)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{(-0/1)}^{4}}}$ | $\sqrt[4]{{{a}^{4}}}$ |
| 2 | 2 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0/1 | 0/1 | حاصل |
2) عددهای سطر آخر جدول چه رابطهای با عددهای سطر اول آن دارند؟
سطر سوم (آخر) قدر مطلق سطر اول است.
$\left| x \right|=\to \left\{ \begin{align} & x>0\Rightarrow x \\ & x<0\Rightarrow -x \\ \end{align} \right.$
$\left| 2 \right|=2$
$\left| -2 \right|=-(-2)=+2$
3) حاصل $\sqrt[6]{{{3}^{6}}}$ و $\sqrt[6]{{{(-3)}^{6}}}$ را به دست آورید و با نتیجهٔ قسمت قبل مقایسه کنید.
$\sqrt[6]{{{3}^{6}}}=3$
$\sqrt[6]{{{(-4)}^{6}}}=3$
نتیجهٔ فعالیت 5 در مورد هر ریشهٔ زوج نیز برقرار است.
کار درکلاس 4 (صفحه 103 کتاب درسی)
1) حاصل عبارتهای زیر را بنویسید.
$\sqrt[4]{625}=$ -الف
$\sqrt[4]{{{5}^{4}}}=5$
$\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=$ -ب
$\frac{\sqrt[6]{{{1}^{6}}}}{\sqrt[6]{64}}=\frac{1}{\sqrt[6]{{{2}^{6}}}}=\frac{1}{2}$
$\sqrt[6]{0/000001}=$ -پ
$\sqrt[6]{{{10}^{-6}}}=\sqrt[6]{\frac{1}{{{10}^{6}}}}=\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{{{10}^{6}}}}=\frac{1}{10}=0/1$
$\sqrt[6]{{{(-0/01)}^{6}}}=$ -ت
$1-0/011=0/01$
2) ریشههای ششم اعداد زیر را بنویسید.
${{5}^{6}}=$ -الف
$\sqrt[6]{{{5}^{6}}}=5$
$729=$ -ب
$\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{{{3}^{6}}}=3$
$\sqrt[6]{{{1}^{6}}}=1$ $1=$ -پ
${{(-5)}^{6}}=$ -ت
$\sqrt[6]{{{(-5)}^{6}}}=|-5|=5$
3) عبارتهای $\sqrt[6]{{{(-\frac{5}{3})}^{6}}}$ و $\sqrt[4]{{{(1-\sqrt{3})}^{4}}}$ را بدون استفاده از رادیکال بنویسید.
$\sqrt[6]{{{\left( -\frac{5}{3} \right)}^{6}}}=|a|=|-\frac{5}{3}|=\frac{5}{3}$
$\sqrt[4]{{{(1-\sqrt{3})}^{4}}}=|1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$
در فعالیت 5 دیدید که اعداد منفی ریشهٔ زوج ندارند و اعداد مثبت دو ریشهٔ زوج قرینه دارند. در ادامه، این وضع را برای ریشههای فرد بررسی میکنیم.
فعاليت 6 (صفحه 104 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
| ریشهٔ ... | 2 | 1 | $\frac{1}{4}$ | 0 | 1- | $-\frac{1}{4}$ | 2- | عدد |
| عدد | 2 | 1 | $\frac{1}{1024}$ | 0 | 1- | $-\frac{1}{1024}$ | 32- | توان پنجم |
2) آیا در سطر دوم جدول، عددی منفی دیده میشود؟ بلی
آیا میتوان نتیجه گرفت که عددهای منفی ریشهٔ پنجم دارند؟ بلی
3) توان پنجم عددهای قرینه چه رابطهای با هم دارند؟ با هم قرینه هستند
فعالیت بالا نشان میدهد که همهٔ عددها ریشهٔ پنجم دارند. این نتیجه در مورد ریشههای فرد دیگر نیز درست است. هر عدد حقیقی، یک و فقط یک ریشه فرد $k$ام دارد.
کار درکلاس 5 (صفحه 105 کتاب درسی)
حاصل عبارتهای زیر را بنویسید.
$11$ $\sqrt[5]{{{11}^{5}}}=$ -الف
$\sqrt[5]{\frac{1}{243}}=$ -ب
$\frac{1}{243}$
$\sqrt[5]{\frac{1}{243}}=\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{243}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{{3}^{5}}}}=\frac{1}{3}$
$\sqrt[5]{-0/00001}=$ -پ
$\sqrt[5]{-{{10}^{-5}}}=\sqrt[5]{-\frac{{{1}^{5}}}{{{10}^{5}}}}=\sqrt[5]{{{\left( -\frac{1}{10} \right)}^{5}}}=-\frac{1}{10}=-0/1$
$\sqrt[7]{{{(-3)}^{7}}}=$ -ت
$-3\to \sqrt[8]{{{(-3)}^{8}}}=|-3|=3$
اکنون که علاوه بر ریشهٔ دوم و سوم با ریشههای دیگر عددها نیز آشنا شدهایم، میتوانیم توانهای گویای دیگرِ اعداد مثبت را نیز تعریف کنیم.
توجه داشته باشيد كه در تعريف توانرسانی به توان عددهای گويای غير صحيح، پايه همواره مثبت در نظر گرفته میشود و توان گويای اعداد منفی تعريف نمیشود.
کار درکلاس 6 (صفحه 106 کتاب درسی)
ابتدا نمایش رادیکالی عددهای زیر را نوشته و سپس در صورت امکان آنها را ساده کنید.
${{({{3}^{8}})}^{\frac{1}{8}}}=$ -الف
${{a}^{\frac{1}{8}}}=\sqrt[8]{a}=\sqrt[8]{{{3}^{8}}}=3$
${{(\frac{1}{32})}^{\frac{1}{5}}}=$ -ب
${{a}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{{2}^{5}}}}=\frac{1}{2}$
${{(0/00001)}^{\frac{1}{5}}}=$ -پ
${{a}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{0/00001}=\sqrt[5]{{{10}^{-5}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{{{10}^{5}}}}=\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{{{10}^{5}}}}=\frac{1}{10}=0/1$
${{243}^{\frac{1}{5}}}=$ -ت
$\sqrt[5]{243}=\sqrt[5]{{{3}^{5}}}=3$
استفاده از ماشین حساب
به کمک ماشین حساب ابتدا عدد $\sqrt[5]{2}$ و سپس عدد ${{2}^{\frac{1}{5}}}$ را با تقریب اعشاری تا دو رقم اعشار بنویسید و درستی تساوی آنها را بررسی کنید.
به کمک ریشهگیری:
به کمک توانرسانی:
توانرسانی بهتوان سایر اعداد گویا نیز قابل تعریف است. میدانیم که در توانرسانی به توان اعداد صحیح خاصیت $({{a}^{m}})={{a}^{mn}}$ برقرار است. تعریف را به گونهای ارائه میکنیم که این ویژگی برای توانرسانی به توان اعداد گویا هم برقرار باشد. برای مثال، برای محاسبهٔ ${{a}^{\frac{2}{n}}}$ آن را بهصورت ${{a}^{\frac{1}{n}\times 2}}$ در نظر میگیریم. ابتدا ${{a}^{\frac{1}{n}}}$ را حساب میکنیم و حاصل را به توان 2 میرسانیم. برای محاسبهٔ ${{a}^{\frac{3}{n}}}$، آن را بهصورت ${{a}^{\frac{1}{n}\times 3}}$ در نظر میگیریم و ابتدا ${{a}^{\frac{1}{n}}}$ را حساب میکنیم و حاصل را بهتوان 3 میرسانیم. به همین ترتیب و برای محاسبهٔ ${{a}^{\frac{-3}{n}}}$، آن را بهصورت ${{a}^{\frac{1}{n}\times (-3)}}$ در نظر میگیریم؛ ابتدا ${{a}^{\frac{1}{n}}}$ را حساب میکنیم و حاصل را بهتوان 3- میرسانیم.
استفاده از ماشین حساب
به کمک ماشین حساب ابتدا عدد ${{3}^{\frac{2}{3}}}$ و سپس عدد ${{({{3}^{\frac{1}{3}}})}^{2}}$ را با تقریب اعشاری تا دو رقم اعشار بنویسید و سپس، درستی تساوی آنها را بررسی کنید.
همچنین ویژگیهای
${{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
${{a}^{m}}\times {{b}^{m}}={{(ab)}^{m}}$
که در توانرسانی با عددهای صحیح برقرار بود در توانرسانی با اعداد گویا (با شرط $a>0$ و $b>0$) نیز برقرار است.
کار درکلاس 7 (صفحه 109 کتاب درسی)
1) ابتدا نمایش رادیکالی عددهای ${{64}^{\frac{1}{3}}}$ و ${{64}^{\frac{1}{2}}}$ را بنویسید و آنها را ساده کنید. سپس حاصل را بهدست آوريد و نتیجه را با مثال 9 - الف مقایسه کنید.
$\sqrt[3]{64}\times \sqrt[2]{64}=4\times 8=32$ ${{64}^{\frac{1}{3}}}\times {{64}^{\frac{1}{2}}}=$
2) ابتدا نمایش رادیکالی اعداد ${{8}^{\frac{1}{2}}}$ و ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ را بنویسید. سپس با استفاده از خواص ضرب رادیکالها، حاصل را بهصورت یک رادیکال بنویسید و ساده کنید. آنگاه نتیجه را با مثال 9 - ب مقایسه کنید.
$\sqrt{64}\times \sqrt{64}=\sqrt{8\times 2}=\sqrt{16}=4$ ${{8}^{\frac{1}{2}}}\times {{2}^{\frac{1}{2}}}=$
همانطور که دیده میشود نتیجه با مثال 9- ب یکسان است.
3) حاصل عبارتهای زیر را ساده کنید. (در هرکدام بگویید از کدام خاصیت استفاده کردهاید.)
${{125}^{\frac{2}{3}}}=$ -الف
${{({{125}^{\frac{2}{3}}})}^{2}}={{(\sqrt[3]{125})}^{2}}={{5}^{2}}=25$
خواص توانرسانی (خاصیت ${{({{a}^{m}})}^{n}}={{a}^{mn}}$)، نمایش رادیکالی یک عدد با توان گویا، محاسبه ریشه یک عدد
${{8}^{-\frac{2}{3}}}=$ -ب
${{\left( {{8}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-2}}={{(\sqrt[3]{8})}^{-2}}={{2}^{-2}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{4}$
خواص توانرسانی (خاصیت ${{({{a}^{m}})}^{n}}={{a}^{mn}}$)، نمایش رادیکالی یک عدد با توان گویا، محاسبه ریشه یک عدد
${{64}^{\frac{1}{12}}}\times {{64}^{\frac{3}{4}}}=$ -پ
${{64}^{\frac{1}{12}+\frac{3}{4}}}={{64}^{\frac{10}{12}}}={{64}^{\frac{5}{6}}}={{({{64}^{\frac{5}{6}}})}^{5}}={{(\sqrt[2]{64})}^{5}}={{2}^{5}}=32$
خواص توانرسانی (خاصیت ${{a}^{n}}\times {{a}^{m}}={{a}^{m+n}}$)، نمایش رادیکالی یک عدد با توان گویا، محاسبه ریشه یک عدد
${{\left( {{(\frac{1}{32})}^{\frac{1}{5}}} \right)}^{3}}=$ -ت
${{\left( \sqrt[5]{\frac{1}{32}} \right)}^{3}}={{\left( \frac{1}{32} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}$
خواص توانرسانی (خاصیت ${{({{a}^{m}})}^{n}}={{a}^{mn}}$)، نمایش رادیکالی یک عدد با توان گویا، محاسبه ریشه یک عدد
$\sqrt[3]{16}\times {{2}^{\frac{2}{3}}}=$ -ث
${{64}^{\frac{1}{12}}}+{{2}^{\frac{2}{3}}}={{({{4}^{2}})}^{\frac{1}{3}}}\times {{2}^{\frac{2}{3}}}={{8}^{\frac{2}{3}}}={{({{8}^{\frac{1}{3}}})}^{2}}={{2}^{2}}=4$
آشنایی با توانهای گویای عددهای مثبت موجب میشود بتوانیم توانهای بیشتری از یک عدد را محاسبه کرده و به کمک آنها پدیدههای طبیعی را بهطور مناسب مدلسازی کنیم. برای مثال، در جدول زیر، برخی از توانهای عدد 4 را مشاهده کنید.
| 1 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $-\frac{1}{2}$ | 1- | $-\frac{3}{2}$ | 2- | $x$ |
| 4 | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{16}$ | ${{4}^{x}}$ |
| $G\left[ \begin{align} & 1 \\ & 4 \\ \end{align} \right]$ | $F\left[ \frac{12}{\begin{align} & 2 \\ & 2 \\ \end{align}} \right]$ | $E\left[ \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \right]$ | $D\left[ \begin{align} & -\frac{1}{2} \\ & \frac{1}{2} \\ \end{align} \right]$ | $C\left[ \begin{align} & -1 \\ & \frac{1}{4} \\ \end{align} \right]$ | $B\left[ \begin{align} & -\frac{3}{2} \\ & \frac{1}{8} \\ \end{align} \right]$ | $A\left[ \begin{align} & -2 \\ & \frac{1}{16} \\ \end{align} \right]$ | مختصات نقطهٔ متناظر |
اگر مقادیر $x$ را روی محور $x$ و مقادیر ${{4}^{x}}$ را روی محور $y$ها مشخص کنیم و این نقاط را با یکدیگر متصل کنیم، نمودار زیر دیده میشود نمودار ${{4}^{x}}$، یک خط راست نیست.
کار درکلاس 8 (صفحه 110 کتاب درسی)
در جدول زیر، برخی از توانهای عدد $\frac{1}{4}$ را میبینید:
| $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $-\frac{1}{2}$ | 1- | $-\frac{3}{2}$ | 2- | $x$ |
| $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | ${{(\frac{1}{4})}^{x}}$ |
1) جدول را کامل کنید.
2) مقدار $x$ را روی محور $x$ها و مقادیر ${{(\frac{1}{4})}^{x}}$ را روی محور $y$ها مشخص کرده و این نقاط را به یکدیگر متصل کنید.
3) آیا نمودار ${{(\frac{1}{4})}^{x}}$، یک خط راست است؟
خیر نمودار مربوط به یک خط راست نیست.
مسئلهها (صفحه 111 تا 114 کتاب درسی)
1) به جای نقطهچینها عبارت مناسب قرار دهید.
${{49}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[2]{49}=7$ ${{7}^{2}}=49\Rightarrow $ -الف
${{4913}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{4913}=17$ ${{17}^{3}}=4913\Rightarrow $ -ب
${{28561}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{28561}=13$ ${{13}^{4}}=28561\Rightarrow $ -پ
${{(\frac{1}{50625})}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{\frac{1}{50625}}=\frac{1}{15}$ ${{15}^{-4}}={{(\frac{1}{15})}^{4}}=\frac{1}{50625}\Rightarrow $ -ت
$\frac{1}{19683}\Rightarrow {{(\frac{1}{19683})}^{\frac{1}{19}}}=\sqrt[9]{\frac{1}{19683}}=\frac{1}{3}$ ${{(\frac{1}{3})}^{9}}=$ -ث
${{15625}^{\frac{1}{6}}}=\sqrt[6]{15625}=5$ ${{5}^{6}}=15625\Rightarrow $ -ج
${{(0/00243)}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{0/00243}=0/3$ ${{(0/3)}^{5}}=0/00243\Rightarrow $ -چ
2) در هر کدام از قسمتهای زیر، مسئلهای در زمینهٔ بیان شده طرح کنید که جواب آن، عدد تواندارِ داده شده باشد:
الف- ${{4}^{\frac{1}{4}}}$: (تکثیر باکتریها)
نوعی باکتری است که در هر ساعت 4 برابر میشود مقدار باکتری پس از 15 دقیقه چقدر میشود.
ب- ${{27}^{\frac{1}{3}}}$ (زمینهٔ هندسی)
حجم مکعبی 27 سانتیمتر مکعب است. طول طول ضلع مکعب را بدست آورید.
3) هریک از عددها را به عدد مساوی آن در ستون مقابل وصل کنید.
$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{{{2}^{2}}}$ ${{4}^{\frac{1}{3}}}$ -الف
${{6}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{6}$ ${{3}^{\frac{1}{4}}}\times {{2}^{\frac{1}{4}}}=$ -ب
${{2}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}={{2}^{\frac{3+2}{6}}}={{2}^{\frac{5}{6}}}=\sqrt[6]{{{2}^{5}}}$ ${{2}^{\frac{1}{2}}}\times {{2}^{\frac{1}{3}}}=$ -پ
${{3}^{\frac{4+3+4}{12}}}={{3}^{\frac{11}{12}}}=\sqrt[12]{{{3}^{11}}}$ ${{3}^{\frac{1}{3}}}\times {{3}^{\frac{1}{4}}}\times {{3}^{\frac{1}{3}}}=$ -ت
${{({{32}^{\frac{1}{5}}})}^{6}}={{(\sqrt[5]{32})}^{6}}={{2}^{6}}=64$ ${{32}^{\frac{6}{5}}}=$ -ث
${{\left( \frac{1}{27} \right)}^{\frac{2}{3}}}={{\left( {{(\frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{1}{9}$ ${{27}^{-\frac{2}{3}}}=$ -ج
4) پاسخ هر یک از پرسشهای زیر را به دو صورتِ عدد تواندار و عبارتِ رادیکالی نمایش دهید و در صورت امکان، ساده کنید.
الف- قطر یک مربع به طول ضلع 5 چقدر است؟
${{x}^{2}}={{5}^{2}}+{{5}^{2}}=50\to x={{50}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{50}\approx 7/07$
ب- وزن 1 گرم از نوعی باکتری در هر ساعت 8 برابر میشود. وزن باکتری پس از 20 دقیقه چقدر میشود؟
${{8}^{\frac{20}{60}}}={{8}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{8}=2$
پ- طول ضلع مکعبی با حجم 1000 متر مکعب چقدر است؟
${{1000}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{1000}=10$
ت- طول وتر یک مثلث قائمالزاویه با اضلاع 6 و 9 سانتیمتر چقدر است؟
5- ابتدا نمایش رادیکالی عبارتهای زیر را بنویسید و سپس در صورت امکان آنها را ساده کنید.
الف- ریشههای دوم عدد 121
$\pm \sqrt[5]{121}=\pm 11$
ب- ریشهٔ پنجم عدد 32
$\sqrt[5]{32}=2$
پ- ریشهٔ پنجم عدد 32-
$\sqrt[5]{-32}=-2$
ت- ریشههای ششم عدد $\frac{1}{64}$
$+\sqrt[5]{\frac{1}{64}}=\pm \frac{1}{2}$
ث- توانِ $\frac{1}{3}$ عدد 27
${{27}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{27}=3$
ج- توانِ $\frac{1}{5}$ عدد 32
${{32}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{32}=2$
6) حاصل هر کدام از عبارتهای زیر را ابتدا بهصورت یک عدد تواندار و سپس، بهصورت عبارت رادیکالی بنویسید و در صورت امکان ساده کنید.
${{4}^{\frac{1}{4}}}\times {{4}^{\frac{1}{3}}}=$ -الف
${{4}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}={{4}^{\frac{7}{12}}}=\sqrt[12]{{{4}^{7}}}=\sqrt[12]{16384}$
${{64}^{-\frac{1}{2}}}\times {{64}^{-\frac{1}{3}}}=$ -ب
${{4}^{-\frac{1}{2}+\left( -\frac{1}{3} \right)}}={{64}^{-\frac{5}{6}}}=\frac{1}{{{\left( {{64}^{\frac{1}{6}}} \right)}^{5}}}=\frac{1}{{{(\sqrt[6]{64})}^{5}}}=\frac{1}{{{2}^{5}}}=\frac{1}{32}$
${{\left( \frac{1}{8} \right)}^{\frac{1}{4}}}\times {{\left( \frac{1}{8} \right)}^{\frac{1}{12}}}=$ -پ
${{(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}}={{(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$
${{5}^{\frac{1}{3}}}\times {{25}^{\frac{1}{3}}}=$ -ت
${{5}^{\frac{1}{3}}}\times {{({{5}^{2}})}^{\frac{1}{3}}}={{5}^{\frac{1}{3}}}\times {{(5)}^{\frac{2}{3}}}={{5}^{\frac{1}{3}}}=5$
${{\left( {{3}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}=$ -ث
${{\left( {{3}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}={{3}^{\frac{2}{3}}}={{\left( {{3}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}=(\sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{9}$
${{\left( {{27}^{-2}} \right)}^{\frac{1}{6}}}=$ -ج
${{27}^{-\frac{2}{6}}}={{27}^{-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{{{27}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}$
7) عبارتهای زیر را ساده کنید.
$\left| 1-\sqrt{3} \right|=\sqrt{3}-1$ $\sqrt[4]{{{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{4}}}=$ -الف
$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ $\sqrt[3]{{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{3}}}=$ -ب
8) با کامل کردن جدول زیر، نقاط آن را روی محورهای مختصات مشخص کنید و نقاط را به هم وصل کنید.
(برای محاسبهٔ توانهای گویا میتوانید از ماشین حساب استفاده کنید.)
| 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | 0 | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{2}$ | 1- | $x$ |
| 2 | $\sqrt{2}$ | $\sqrt[3]{2}$ | 1 | $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | ${{2}^{x}}$ |
