درسنامه آموزشی فصل نهم ریاضی کلاس هشتم

1- ساعت‌های روبه‌رو چه زمانی را نشان می‌دهند؟ 10:10
پنج دقیقه بعد، هر یک از ساعت‌ها چه زمانی را نشان می‌دهد؟ 10:15
در این مدت، عقربهٔ دقیقه شمار چند درجه حرکت کرده است؟

$360{}^\circ \div 12=30{}^\circ $

در هریک از ساعت‌ها مسیر حرکت عقربهٔ دقیقه شمار را رنگ کنید. نوک کدام عقربه مسیر طولانی‌تری را طی کرده است؟ عقربه ساعت دیواری

2- الف) دو نقطهٔ A و B دایره را به دو کمان تقسیم کرده‌اند.
کمان کوچک‌تر را با $\overset\frown{AB}$ نمایش می‌دهیم و آن را کمانِ AB می‌نامیم.

آیا ممکن است دو نقطه، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم کنند؟ توضیح دهید.
بله، وقتی که دو نقطه در دو سر قطر انتخاب شوند.

ب) مرکز دایره را به دو سر کمان وصل کنید.

زاویهٔ AOB زاویهٔ مرکزیِ رو به رو به کمان AB نامیده می‌شود.
کمان AB نیز روبه‌رو به زاویهٔ مرکزیِ AOB است.

3- شکل زیر به شش قسمت مساوی تقسیم شده است.

زاویهٔ ${{O}_{1}}$ چه کسری از 360 درجه است؟ $\frac{1}{6}$
کمان روبه‌رو به ${{O}_{1}}$ در دایرهٔ ${{c}_{1}}$ چه کسری از دایرهٔ ${{c}_{1}}$ است؟ $\frac{1}{6}$
کمان روبه‌رو به ${{O}_{1}}$ در دایرهٔ ${{c}_{2}}$ چه کسری از دایرهٔ ${{c}_{2}}$ است؟ $\frac{1}{6}$
آیا این دو کسر با هم مساوی‌اند؟ بله
آیا طول این دو کمان مساوی است؟ خیر

4- چرا در فعّالیت (٣) اندازهٔ کمان روبه‌رو به ${{O}_{1}}$ در هر یک از دایره‌های ${{c}_{1}}$ و ${{c}_{2}}$ برابر ٦٠ درجه است؟
هر دایره 360 درجه است این دو کمان هم $\frac{1}{6}$ دایره هستند پس هر کدام 60 درجه می‌شوند.

5- در شکل زیر زاویهٔ xOy برابر 36 درجه است.

کمان AB چند درجه است؟ $36{}^\circ $
طول کمان AB چه کسری از دایره است؟ $\frac{36}{360}=\frac{1}{10}$

برای پاسخ دادن به این پرسش از تساوی روبه‌رو کمک بگیرید.

1- محیط دایرهٔ روبه‌رو را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم. می‌خواهیم بدانیم چرا هشت ضلعی ABCDEFGH منتظم است.

رضا برای اثبات این مطلب دلایل زیر را بیان می‌کند:

$360\div 8=45$

«مثلث‌های COD ،BOC ،AOB و... متساوی الساقین‌اند.

چرا؟ زیرا شعاع دایره هستند.

$OH=OG=OF=OD=OC=OB=OA$

و ${{\hat{O}}_{1}}={{\hat{O}}_{2}}={{\hat{O}}_{3}}=...$، پس همهٔ زاویه‌های سبز رنگ با هم برابرند.

چرا؟ زیرا زاویه‌های مجاور به ساق‌ها با هم مساوی‌اند پس:

پس همهٔ زاویه‌های هشت ضلعی با هم برابرند. چرا؟»
آرش می‌گوید: «ولی این تنها برابری زاویه‌ها را نشان می‌دهد و ما باید دلایلی هم برای مساوی بودن ضلع‌های هشت ضلعی پیدا کنیم تا بتوانیم بگوییم که هشت ضلعیِ ABCDEFGH منتظم است.»
بعد ادامه می‌دهد: «مثلث‌های COD ،BOC ،AOB و... هم نهشت‌اند؛ در چه حالتی؟ ض ز ض

پس $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=...$؛ یعنی ضلع‌های هشت ضلعی هم مساوی‌اند.»
هر جا لازم است، توضیحاتی به دلایل رضا و آرش اضافه کنید تا دلیل منتظم بودن هشت ضلعی کامل شود.

2- برای هر مورد دلیل بیاورید.
الف) فرض کنید $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$.
چرا $\overline{AB}=\overline{CD}$؟

ب) فرض کنید $\overline{AB}=\overline{CD}$.
چرا $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$؟

نتیجهٔ این فعّالیت را در دو جمله بنویسید.

اگر در یک دایره، اندازهٔ دو کمان برابر باشد، اندازه وترهای نظیر آن دو کمان نیز با هم برابرند.

به عکس، اگر در یک دایره اندازهٔ دو وتر برابر باشد، اندازه کمان‌های نظیر آن دو وتر نیز با هم برابرند.