درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی کلاس هشتم
درس 2: پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری
فعالیت (صفحهٔ 56 کتاب درسی)
1- ماشین عددساز []× عدد ورودی را در عدد داخل ماشین ضرب می‌کند. ماشین عددساز []+ عدد ورودی را با عدد داخل ماشین جمع می‌کند. مانند نمونه، خروجی هر ماشین را مشخص کنید یا عدد داخل ماشین را بنویسید.
$7\times (-3)=-21$ : خروجی $\to \times [-3]\to $ ورودی :7
$a+4$ : خروجی $\to +[4]\to $ ورودی :a
$4\times 5=20$ : خروجی $\to \times [5]\to $ ورودی :4
$0+(-5)=-5$ : خروجی $\to +[-5]\to $ ورودی :0
$b\times 2=2b$ : خروجی $\to \times [2]\to $ ورودی :b
$c+0=c$ : خروجی $\to +[0]\to $ ورودی :c
0 : خروجی $\to \times [0]\to $ ورودی :8
5 : خروجی $\to +[-8]\to $ ورودی :13
2- خروجی یک ماشین []× را به ورودی یک ماشین []+ می‌بندیم و یک ماشین ترکیبی می‌سازیم. مانند نمونه، خروجی هر ماشین را مشخص کنید.
1 : خروجی $\to \times [3]\overset{6}{\mathop \Rightarrow }\,+\left[ -5 \right]\to $ ورودی :2
$3x-5$ : خروجی $\to \times [3]\overset{3x}{\mathop \Rightarrow }\,+\left[ -5 \right]\to $ ورودی :x
1 : خروجی $\to \times \left[ -1 \right]\overset{-7}{\mathop \Rightarrow }\,+\left[ 8 \right]\to $ ورودی :7
$-x+8$ : خروجی $\to \times \left[ -1 \right]\overset{-x}{\mathop \Rightarrow }\,+\left[ 8 \right]\to $ ورودی :x
53 : خروجی $\to \times [10]\overset{50}{\mathop \Rightarrow }\,+[3]\to $ ورودی :5
$10x+3$ : خروجی $\to \times [10]\overset{10x}{\mathop \Rightarrow }\,+[3]\to $ ورودی :x
به این ترتیب، می‌توانیم عملکرد هر ماشین ترکیبی را به شکل خلاصه، مانند مثال زیر، بنویسیم:
$y=7x+4$ $\leftarrow $ عملکرد ماشین ترکیبی
y : خروجی $\to \times [7]\Rightarrow +4\to $ ورودی :x
کار در کلاس (صفحهٔ 57 کتاب درسی)
1- عدد x به ماشین‌های زیر وارد، و عدد y از آنها خارج می‌شود. با توجه به کاری که این ماشین‌ها انجام می‌دهند، عددهای خروجی را بنویسید.
$-7$$-2\xrightarrow{{}}3x-1\xrightarrow{{}}$
$3\times (-2)-1$
$-7$$4\xrightarrow{{}}-2x+1\xrightarrow{{}}$
$-2\times 4+1$
$+1$$0\xrightarrow{{}}\frac{1}{2}x+1\xrightarrow{{}}$
$\underbrace{\frac{1}{2}\times 0}_{0}+1$
$-2$$\frac{4}{7}\xrightarrow{{}}-7x+2\xrightarrow{{}}$
$\underbrace{-7\times \frac{4}{7}}_{-4}+2$
2- با توجه به جدول‌های زیر و رابطهٔ x و y، جاهای خالی جدول‌ها را پر کنید:
$y=3x+1$
$y=3\times 1+1=4$
$y=3\times 2+1=7$
$y=3\times 5+1=16$
$y=5x$
$y=5\times 3=15$
$y=5\times -2=-10$
$y=5\times -4=-20$
معادله $25=5x$
$y=x-7$
$y=4-7=-3$
$y=-2-7=-9$
معادله $0=x-7$
معادله $-14=x-7$
$y=2x-3$
$y=2\times 4-3=5$
$y=2\times -2-3=-7$
معادله $0=2x-3$
معادله $5=2x-3$
3- با توجه به عددهای ورودی و خروجی در هر ردیف، کاری را که ماشین انجام می‌دهد حدس بزنید.
$2x$$y=$ $\xrightarrow{{}}10$$\times 2$$5\xrightarrow{{}}$ و $\xrightarrow{{}}-14$$\times 2$$-7\xrightarrow{{}}$ و $\xrightarrow{{}}6$$\times 2$$3\xrightarrow{{}}$
$x+3$$y=$ $\xrightarrow{{}}-1$$+3$ $-4\xrightarrow{{}}$ و $\xrightarrow{{}}14$$+3$$11\xrightarrow{{}}$ و $\xrightarrow{{}}8$$+3$$5\xrightarrow{{}}$
فعالیت (صفحهٔ 57 کتاب درسی)
1- به عددهای زوج زیر توجه کنید. همان طور که می‌بینید، هر عدد زوج را می‌توان به صورت $2×n$ نشان داد.
$\begin{matrix}\begin{matrix}2\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & 4\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & 6\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & 8\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & 10 \\\end{matrix} \\\begin{matrix}\downarrow \begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & \downarrow \begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & \downarrow \begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & \downarrow \begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} & \downarrow \\
\end{matrix} \\\begin{matrix}2\times 1\begin{matrix}{} \\\end{matrix} & 2\times 2\begin{matrix}{} \\\end{matrix} & 2\times 3\begin{matrix}{} \\\end{matrix} & \begin{matrix}{} \\
\end{matrix}2\times 4\begin{matrix} {} \\\end{matrix} & \begin{matrix}{} \\\end{matrix}2\times 5 \\\end{matrix} \\\end{matrix}$
2- عددهای زوج زیر را به صورت $2n$ (n یک عدد طبیعی باشد) نشان دهید.
$\begin{matrix}
44 \\
\downarrow \\
2\times 22 \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
80 \\
\downarrow \\
2\times 40 \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
700 \\
\downarrow \\
2\times 350 \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
10000 \\
\downarrow \\
2\times 5000 \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2000 \\
\downarrow \\
2\times 1000 \\
\end{matrix}$
3- در عبارت‌های زیر به جای حروف m ،k و a عددهای طبیعی مختلفی قرار دهید. آیا عددهای حاصل، ز‌وج‌اند؟
4- b ،a و c را عددهای طبیعی در نظر بگیرید و به سؤال‌های زیر پاسخ دهید:
- آیا عبارت 2b یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟ بله
- آیا عبارت 4c یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟ چرا؟ بله، زیرا می‌توان نوشت. $2×2c$
- آیا عبارت 2ab یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟ چرا؟ بله، زیرا می‌توان نوشت. $2×2ab$
5- آیا حاصل ضرب هر دو عدد زوج عددی زوج است؟
برای پاسخ دادن به این سؤال، ابتدا مانند نمونه چند مثال بزنید.
$4\times 2=8$
$8\times 6=48$
$6\times 10=60$
$6\times 14=84$
$8\times 10=80$
$4\times 4=16$
برای اینکه بدون مثال و در حالت کلی اثبات کنیم که جملهٔ بالا درست است، دو عدد زوج را به صورت 2n و 2m در نظر می‌گیریم و حاصل ضرب آنها را می‌نویسیم.
$2m\times 2n=2(m\times 2\times n)$
یک عدد طبیعی $(m\times 2\times n)$
چگونه این تساوی ثابت می‌کند که حاصل ضرب دو عدد زوج عددی زوج است؟ توضیح دهید.
چون می‌توان آن را به صورت ضرب عدد 2 در یک عدد طبیعی نوشت.
کار در کلاس (صفحهٔ 58 کتاب درسی)
مانند سؤال 5 فعّالیت بالا، ثابت کنید که حاصل ضرب یک عدد زوج در یک عدد فرد، عددی زوج است.
الف) چند مثال بزنید.
$6\times 5=30$
$4\times 7=28$
$8\times 7=56$
ب) به صورت جبری ثابت کنید:
$=2n$ عدد زوج
$=2m-1$ عدد فرد
$=2\times n\times (2m-1)$$=2n\times (2m-1)$ حاصل ضرب عدد زوج در عدد فرد
یک عدد طبیعی $n\times (2m-1)$
در نتیجه: حاصل ضرب یک عدد طبیعی در عدد 2، یک عدد زوج است.
تمرین (صفحهٔ 59 کتاب درسی)
1- مساحت کل مکعب مستطیل روبه رو را به صورت جبری بنویسید.
$ab+ac+ab+ac+bc+bc=2ab+2ac+2bc$
اگر $a=2$ و $b=6$ و $c=3$ باشند، مساحت کل چقدر می‌شود؟
2- مساحت قاعدهٔ منشوری 20 و ارتفاع آن 4 است. حجم این منشور را با نوشتن رابطهٔ جبری حجم منشورها به دست آورید.
ارتفاع × مساحت مستطیل = V
$V=s×h$
$v=20×4=80$
3- قاعده‌های ذوزنقه‌ای 4 و 7 سانتی متر و ارتفاع آن 2 سانتی متر است. مساحت این ذوزنقه را پس از نوشتن رابطهٔ جبری مساحت ذوزنقه حساب کنید.
$S=\frac{(a+b)\times h}{2}=\frac{(7+4)\times 2}{2}=11$
4- $x=2$ و $x=-2$ ئاسخ معادلهٔ ${{x}^{2}}=4$ هستند؟ چرا؟ بله
به جای x عدد 2 را قرار می‌دهیم
${{(2)}^{2}}=2\times 2=4$
به جای x عدد 2- را قرار می‌دهیم
${{(-2)}^{2}}=-2\times -2=4$
5- طول یک لوله x متر است. طول لولهٔ دیگر، y برابِر لولهٔ اول است. طول لولهٔ دوم را به صورت جبری بنویسید.
$=y\times x=xy$ طول لوله‌ی دوم
6- یک زمین والیبالِ مستطیل شکل، دارای x متر عرض و 2x طول است.
مساحت این زمین را به صورت جبری نشان دهید. اگر عرض این زمین 9 متر باشد، مساحت آن چند متر مربع است؟
$S=2x\times x=2{{x}^{2}}$
$2\times {{9}^{2}}=162$
7- در درس علوم یاد می‌گیرید که انرژی پتانسیل ذخیره شده در هر جسم از رابطهٔ $U=mg.h$ به دست می‌آید که در آن، U انرژی پتانسیل، m جرم جسم، g شتاب زمین و h ارتفاع ارتفاع جسم است. درصورتی که جسمی به جرم ٢٥ کیلوگرم تا ارتفاع ٤ متر بالا برود، مقدار انرژی پتانسیل آن را پیدا کنید. (شتاب زمین را ١٠ فرض کنید.)
$U=25\times 10\times 4=1000$
8- با توجه به رابطهٔ x و y، مقدار y را برای xهای مختلف پیدا کنید.
$y=x-3$
$y=1-3=-2$
$y=0-3=-3$
$y=2-3=-1$
$y=-1-3=-4$
$y=-2x+1$
$y=-2\times 1+1=-1$
$y=-2\times 0+1=+1$
$y=-2\times 2+1=-3$
$y=-2\times -1+1=+3$
$y={{x}^{2}}$
$y={{2}^{2}}=4$
$y={{(-2)}^{2}}=-2\times -2=+4$
$y={{0}^{2}}=0$
$y={{(-1)}^{2}}=-1\times -1=+1$