درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی کلاس هشتم

درس 1: ساده کردن عبارت‌های جبری

بازدید38/1 K

تاریخ بروزرسانی1400/01/31

1- در سال گذشته با درس توان آشنا شدید. عبارت‌های کلامی را به صورت جبری و عبارت‌های جبری را به صورت کلامی بنویسید.

- هر عدد به توان یک، برابر خود عدد می‌شود. ${{a}^{1}}=a$
- یک به توان هر عدد، برابر یک می‌شود. ${{1}^{a}}=1$
- در ضرب دو عبارت توان دار با پایه‌های مساوی، یک پایه را می‌نویسیم و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم. ${{a}^{2}}\times {{a}^{5}}={{a}^{7}}$
- ${{b}^{a}}\times {{c}^{a}}={{(bc)}^{a}}$ در ضرب اعداد توان‌دار با توان مساوی یکی از آنها را می‌نویسیم و پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.
- ${{a}^{{}^\circ }}=1(a\ne 0)$ هر عدد به توان صفر مساوی با 1 است.
- صفر به توان هر عدد مثبت، برابر صفر می‌شود. ${{0}^{b}}=0$
- مربع یا مجذور عدد a ${{a}^{2}}$

2- الف) در عبارت جبری $2n-1$ به جای n عددهای طبیعی $(1,2,3, ...)$ قرار دهید و الگوی عددی متناظر را بنویسید.

$1,3,5,7,9,...$

$2\times 1-1=1$

$2\times 2-1=3$

$2\times 3-1=5$

$2\times 4-1=7$

$2\times 5-1=9$

ب) در عبارت جبری $2m+1$ به جای m عددهای طبیعی $(0,1,2,3, ...)$ قرار دهید و الگوی عددی متناظر را بنویسید.

$1,3,5,7,9,...$

$2\times 0+1=1$

$2\times 1+1=3$

$2\times 2+1=5$

$2\times 3+1=7$

$2\times 4+1=9$

آیا دو الگوی عددی با هم تفاوت دارند؟ خیر

3- شکل‌های زیر با چوب کبریت و با الگویی مشخص ساخته شده‌اند. شکل n‌ام با چند چوب کبریت ساخته می‌شود؟

در اینجا پاسخ چهار دانش آموز را می‌بینید. توضیح دهید هر کدام از آنها پاسخ خود را چگونه به دست آورده است؛ سپس مانند نمونه‌ها، شکل‌هایی رسم کنید که روش ماهنوش را مشخص کند و بین شکل‌ها و عبارت‌های جبری رابطه برقرار کنید.

$3n+1$ : پاسخ ماهرخ

$4+(n-1)\times 3$ : پاسخ ماهنوش

$1+n+n+n$ : پاسخ ماهرو

$n+1+(n\times 2)\leftarrow 2+(1\times 2),3+(2\times 2),4+(3\times 2),5+(4\times 2)$ : پاسخ مهتاب

پاسخ‌های ماهنوش، ماهرو و مهتاب را ساده کنید. آیا با پاسخ ماهرخ یکی هستند؟ بله

$4+(n-1)\times 3=4+3n-3=3n+1$ : پاسخ ماهنوش

$1+n+n+n=3n+1$ : پاسخ ماهرو

$n+1+(\underbrace{n\times 2}_{2n})=3n+1$ : پاسخ مهتاب

آیا شما هم روشی برای شمارش چوب کبریت‌ها و یافتن جملهٔ n‌ام دارید؟

1- در سال گذشته، ضرب یک عدد را در پرانتز با شکل زیر یاد گرفتید.

$5(a+b)=5a+5b$

این تساوی چگونه به کمک شکل به دست آمده است؟ توضیح دهید.

عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

$3(2x-1)+2(x+3)=6x-3+2x+6=8x+3$

$-2(y-1)+3(1-y)=-2y+2+3-3y=-5y+5$

$-(a-b+1)+2(2a+b-3)=-a+b-1+4a+2b-6=+3a+3b-7$

2- شما همچنین جمع و تفریق جمله‌های متشابه (جمله‌هایی که همهٔ قسمت‌های حرفی آنها یکی هستند) را یاد گرفتید. جمله‌های متشابه را پیدا کنید.

$y$ $+4x$ $-3xy$ $+5y$ $-5x$ $2yx$ $7y{{x}^{2}}$ $3{{x}^{2}}y$

$3{{x}^{2}}y$ $7y{{x}^{2}}$

$2yx$ $-3xy$

$-5x$ $+4x$

$+5y$ $y$

1- حاصل ضرب دو جمله را مانند نمونه به دست آورید. از کدام قانون ساده کردن عبارت‌های توان‌دار استفاده می‌کنید؟ توضیح دهید.
در ضرب اعداد توان‌دار پایه مساوی یکی از پایه را می‌نویسیم و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم.

$b\times {{b}^{3}}={{b}^{4}}$ , $a\times {{a}^{2}}={{a}^{3}}$$(-3ba)(2{{a}^{2}}{{b}^{3}})=-6{{a}^{3}}{{b}^{4}}$

$6ab$$2a\times 3b=$

$-12{{a}^{3}}$$-6a\times 2{{a}^{2}}=$

$+12a{{b}^{3}}$$4ba\times 3{{b}^{2}}=$

2- با توجه به شکل و مساوی بودن مساحت‌ها در دو قسمت، یک تساوی جبری نتیجه بگیرید.

$a(b+c)=ab+ac$

با توجه به نتیجه‌ای که گرفته‌اید، ضرب‌های زیر را انجام دهید.

$2{{a}^{2}}+2ab$$2a(a+b)=$

$6{{x}^{2}}-3x$$3x(2x-1)=$

3- با توجه به شکل و مساوی بودن مساحت‌ها در دو قسمت، تساوی جبری را کامل کنید.

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

برای یافتن حاصل ضرب دو عبارت جبری، باید جمله‌های دو عبارت را در هم ضرب و سپس ساده کنید.
حاصل جمع دو عدد قرینه مساوی صفر است.

${{x}^{2}}-xy+xy-{{y}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$(x+y)(x-y)=$

${{x}^{2}}+1x-1x-1={{x}^{2}}-1$$(x-1)(x+1)=$

$6{{x}^{2}}-9x-4x+6=6{{x}^{2}}-13x+6$$(3x-2)(2x-3)=$

1- عبارت‌های زیر را ساده کنید.

$5ax+{{a}^{2}}$$4ax+a2+ax=$

$-2ab+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}$$3ab+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-5ab=$

$2a-6xy$$2a-8xy+2xy=$

$19x+2$$9x+7x-8x-3+11x+5=$

$-10a$$5(-2a)=$

$6b$$\frac{3}{2}(4b)=$

$+28x$$(-7)(-4x)=$

$-\frac{8}{5}y$$(-\frac{4}{5})(2y)=$

$-15ax$$3a(-5x)=$

$-\frac{3}{2}ab$$-\frac{1}{2}a(3b)=$

$+ab$$(-a)(-b)=$

$+{{a}^{2}}$$(-a)(-a)=$

$6ax-2bx$$2x(3a-b)=$

$6xy-15{{y}^{2}}$$3y(2x-5y)=$

${{x}^{2}}+1x+2x+2={{x}^{2}}+3x+2$$(x+2)(x+1)=$

${{a}^{2}}-6a+6a-36={{a}^{2}}-36$$(a+6)(a-6)=$

2- عدد 47 را می‌توان به صورت $40+7$ یا $4×10+7$ نوشت؛ به همین ترتیب، عددهای زیر را نوشت؛ به همین ترتیب، عددهای زیر را به صورت گسترده بنویسید.

$10\times 9+2$$92=$

$10\times 7+5$$75=$

$10\times 3+3$$33=$

عدد دو رقمی ab را با نماد $\overline{ab}$ نمایش می‌دهیم؛ بنابراین: $\overline{ab}=10a+b$

1- عبارت جبری جملهٔ nام هریک از الگوهای عددی زیر را بنویسید.

${{1}^{2}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{2}^{2}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{3}^{2}}\begin{matrix}{} \\
\end{matrix}{{4}^{2}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{5}^{2}}$
${{n}^{2}}$$1,4,9,16,25,...$

${{1}^{3}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{2}^{3}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{3}^{3}}\begin{matrix}{} \\
\end{matrix}{{4}^{3}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}{{5}^{3}}\begin{matrix}{} \\\end{matrix}$
${{n}^{3}}$$1,8,27,64,125,...$

2- عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.
اگر جمله‌ای ضریب نداشت ضریب آن 1 است.

${{a}^{2}}+3a+3a+9={{a}^{2}}+6a+9$$(a+3)(a+3)=$

${{a}^{2}}-1ab-1ab+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$$(a-b)(a-b)=$

${{a}^{2}}-3a+3a-9={{a}^{2}}-9$$(a+3)(a-3)=$

${{a}^{2}}-ab+ab-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$$(a+b)(a-b)=$

${{x}^{2}}+xy+xy+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}$$(x+y)(x+y)=$

$4{{x}^{2}}-6xy-6xy+9{{y}^{2}}=4{{x}^{2}}-12xy+9{{y}^{2}}$$(2x-3y)(2x-3y)=$

3- مساحت هر شکل را با یک عبارت جبری بیان کنید.