درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس هشتم
درس 5: زاویه‌های خارجی
فعّالیت (صفحهٔ 46 کتاب درسی)
در شکل سمت چپ، زاویهٔ خارجی رأس A از مثلث ABC از امتداد یافتن ضلع AB تشکیل شده است. در شکل سمت راست، زاویهٔ خارجی رأس A از امتداد یافتن ضلع AC تشکیل شده است. چرا این دو زاویه مساوی‌اند؟
کار در کلاس (صفحهٔ 46 کتاب درسی)
1- الف) مانند نمونه در هر یک از مثلث‌های زیر، زاویهٔ خارجی هر سه رأس را رسم کنید و اندازهٔ هر کدام را بنویسید.
ب) مجموع زاویه‌های خارجی هریک از مثلث‌ها را پیدا کنید. 360
چه رابطه‌ای میان آنها دیده می‌شود؟ مجموع زاویه‌های خارجی مثلث 360 درجه است.
2- چند ضلعی‌های زیر منتظم‌اند. اندازهٔ زاویه‌های خواسته شده را پیدا کنید.
$\frac{(5-2)\times 180}{5}=108{}^\circ $
3- با توجه به شکل، اندازهٔ زاویهٔ خواسته شده را پیدا کنید.
فعّالیت (صفحهٔ 47 کتاب درسی)
هدی برای یافتن زاویهٔ خارجی یکی از رأس‌های مثلث به ترتیب زیر عمل کرد. راه حل او را کامل کنید.
${{\widehat{A}}_{1}}=180{}^\circ -(30{}^\circ +80{}^\circ )=180{}^\circ -110{}^\circ =70{}^\circ $
$\widehat{{{A}_{2}}}=180{}^\circ -70{}^\circ =110{}^\circ $
${{\widehat{B}}_{1}}=180{}^\circ -(70+80)=180{}^\circ -150=30$
${{\widehat{B}}_{2}}=180{}^\circ -30=150$
او رابطهٔ جالبی را مشاهده کرد. آیا می‌توانید حدس بزنید چه رابطه‌ای؟
اندازه هر زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی دیگر آن مثلث
هدی با خودش فکر کرد: «آیا هر زاویهٔ خارجی مثلث برابر با مجموع دو زاویهٔ داخلی دیگر آن مثلث است؟» با یک مثال دیگر حدس خود را بررسی کرد.
${{\widehat{C}}_{1}}=180{}^\circ -(30+70)=180{}^\circ -100=80$
${{\widehat{C}}_{2}}=180{}^\circ -80=100$
این آزمایش نیز حدس او را تأیید کرد. آیا حدس زدن و آزمایش کردن کافی است؟ چرا؟
خیر چون همه حالت‌ها را در بر نمی‌گیرد.
یکی از دوستان هدی راه حل او را به صورت کلی و بدون در نظرگرفتن مثال نوشت تا به این ترتیب، درستی حدس او را اثبات کند.
$\left. \begin{matrix}{{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}=180{}^\circ \begin{matrix}{} \\\end{matrix}\begin{matrix}{} \\\end{matrix} \\{{\widehat{A}}_{1}}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow {{\widehat{A}}_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}$
کار در کلاس (صفحهٔ 47 کتاب درسی)
1- مثالی بیاورید که نشان دهد جمله زیر، نادرست است.
«هر زاویه خارجی یک چهارضلعی، برابر مجموع سه زاویه داخلی دیگر آن است.»
$90{}^\circ $ = اندازه زاویه خارجی
$=90{}^\circ +90{}^\circ +90{}^\circ =270{}^\circ $ اندازه سه زاویه داخلی دیگر
2- اندازهٔ دو زاویهٔ یک مثلث را می‌دانیم؛ پس می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ سوم آن را پیدا کنیم. (چگونه؟)
مجموع دو زاویه را محاسبه کرده و از 180 کم می‌کنیم.
برای اینکه بتوانیم اندازهٔ همهٔ زاویه‌های هر یک از شکل‌های زیر را پیدا کنیم، دست کم چندتا از آنها باید معلوم باشند؟
الف) لوزی یک زاویه
ب) چهارضلعی با ضلع‌های نامساوی سه زاویه
فعّالیت (صفحهٔ 48 کتاب درسی)
سطر اول جدول زیر، نشان می‌دهد که مجموع زاویه‌های خارجی یک مثلث برابر $360{}^\circ $ است.
| مجموع زاویه‌های خارجی | مجموع زاویه‌های داخلی و خارجی | مجموع زاویه‌های داخلی | شکل | تعداد ضلع‌ها |
| $\times {{180}^{{}^\circ }}=360{}^\circ $$2$ | $3\times 180{}^\circ $ | $1\times 180{}^\circ $ |
|
3 |
| $360{}^\circ $$2\times 180{}^\circ =$ | $\times 180{}^\circ $$4$ | $2\times 180{}^\circ $ |
|
4 |
| $360{}^\circ $$\times 180{}^\circ =$$2$ | $\times 180{}^\circ $$5$ | $\times 180{}^\circ $$3$ |
|
5 |
| $360{}^\circ $$\times 180{}^\circ =$$2$ | $\times 180{}^\circ $$6$ | $\times 180{}^\circ $$4$ |
|
6 |
| $360{}^\circ $$\times 180{}^\circ =$$2$ | $\times 180{}^\circ $$n$ | $\times 180{}^\circ $$(n-2)$ |
|
n |
$=n-(n-2)=n-n+2=2$ حاصل تفریق
الف) جدول را کامل کنید و مجموع زاویه‌های خارجی شکل‌های بعدی را به دست آورید.
ب) فکر می‌کنید مجموع زاویه‌های خارجی یک هفت ضلعی چند درجه است؟ 360
یک هشت ضلعی چطور؟ 360
مجموع زاویه‌های خارجی هر چند ضلعی، 360 درجه است.
کار در کلاس (صفحهٔ 49 کتاب درسی)
1- مجموع زاویه‌های خارجی چندضلعی‌های زیر را حساب کنید.
الف) هشت ضلعی 360 درجه
ب) ده ضلعی منتظم 360 درجه
2- به کمک پاسخ قسمت (ب) سؤال قبل،
الف) اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی یک ده ضلعی منتظم را پیدا کنید. $360\div 10=36$
ب) اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی یک ده ضلعی منتظم را پیدا کنید. $180-36=144$
تمرین (صفحهٔ 49 کتاب درسی)
1- زاویه‌های خارجی یک متوازی الاضلاع در شکل نشان داده شده‌اند.
زاویه‌های مساوی را با علامت گذاری مشخص کنید.
2- هر یک از طرح‌های زیر با استفاده از سه نوع کاشی منتظم طراحی شده است. با محاسبهٔ زاویه‌های داخلی هر کاشی منتظم، نشان دهید زاویهٔ مشخص شده در هر شکل 360 درجه است.
$=\frac{(12-2)\times 180}{12}=150{}^\circ $ اندازه هر زاویه داخلی 12 ضلعی منتظم
$=\frac{(6-2)\times 180}{6}=120{}^\circ $ اندازه هر زاویه داخلی 6 ضلعی منتظم
$90{}^\circ $ = اندازه هر زاویه داخلی 4 ضلعی منتظم
$60{}^\circ $ = اندازه هر زاویه داخلی 3 ضلعی منتظم
3- لاک پشتی روی لبه باغچه‌ای حرکت می‌کند. او در هر گوشه می‌چرخد و روی لبهٔ بعدی قرار می‌گیرد.
الف) این لاک پشت در هر گوشه به اندازهٔ زاویهٔ داخلی می‌چرخد یا زاویهٔ خارجی؟ زاویهٔ خارجی
ب) او حرکتش را از نقطهٔ A شروع کرده است. تا وقتی دوباره به A برگردد، روی هم چند درجه می‌چرخد؟ 360
ج) این لاک پشت برای پیمودن محیط هر یک از باغچه‌های منتظم زیر با شروع از نقطه مشخص شده چند درجه می‌چرخد؟ 360
د) در پاسخ قسمت قبل، چه الگویی را مشاهده می‌کنید؟ توضیح دهید.
مجموع زاویه‌های خارجی هر چند ضلعی 360 درجه است.
مرور فصل 3 (صفحهٔ 50 کتاب درسی)
مفاهیم و مهارت‌ها
در این فصل اصطلاحات زیر به کار رفته‌اند. مطمئن شوید که می‌توانید با جمله‌های خود، آنها را توصیف کنید و برای هر کدام مثالی بزنید.
- چندضلعی محدّب
- چندضلعی مقعّر
- مرکز تقارن
- چندضلعی منتظم
- زاویهٔ داخلی
- زاویهٔ خارجی
در این فصل، روش‌های اصلی زیر مطرح شده‌اند. هر کدام را با یک مثال توضیح دهید و در دفتر خود خلاصهٔ درس را بنویسید.
- بررسی مرکز تقارن یک شکل
- پیدا کردن زاویه‌های مساوی و مکمل در خط‌های موازی و مورب
- تعریف متوازی الاضلاع
- تعریف مستطیل
- تعریف لوزی
- تعریف مربع
- رابطهٔ چهارضلعی‌ها
- خاصیت‌های چهارضلعی‌ها
- پیدا کردن مجموع زاویه‌های داخلی یک چند ضلعی
- پیدا کردن زاویهٔ داخلی یک چند ضلعی منتظم
- پیدا کردن مجموع زاویه‌های خارجی یک چند ضلعی
- پیدا کردن زاویهٔ خارجی یک رأس مثلث
کاربرد
این درس به شما در درک بهتر شکل‌های هندسی و رابطهٔ بین آنها کمک می‌کند. ما در انواع صنایع دستی و آثار معماری کشور خود شکل‌های مختلف هندسی را می‌توانیم ببینیم.
تمرین‌های ترکیبی (صفحهٔ 50 کتاب درسی)
1- هر خانهٔ جدول زیر را با علامت × یا * یا کامل کنید.
| ضلع‌های روبه رو برابر | ضلع‌های روبه رو موازی | زاویه‌های روبه رو برابر | قطرها منصّف | قطرها برابر | |
| متوازی الاضلاع | * | * | * | * | × |
| مستطیل | * | * | * | * | * |
| لوزی | * | * | * | * | × |
| مربع | * | * | * | * | * |
2- اندازهٔ زاویه‌های داخلی و خارجی یک هشت ضلعی منتظم را پیدا کنید.
$=\frac{(8-2)\times 180}{8}=135{}^\circ $ اندازه هر زاویه داخلی 8 ضلعی منتظم
$360-8=45{}^\circ $ = اندازه هر زاویه خارجی