درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس هشتم

درس 4: زاویه‌های داخلی

بازدید18/4 K

تاریخ بروزرسانی1400/01/30

1- در کاشی کاری، کاشی‌ها را طوری کنار هم قرار می‌دهند که روی هم نیفتند و جای خالی هم بین آنها نباشد. در اینجا چند نمونه کاشی کاری را مشاهده می‌کنید که هر کدام تنها با یک نوع کاشی انجام شده است.

حالا به شکل‌های زیر توجه کنید. در هر مورد توضیح دهید، چرا کاشی کاری با یک نوع کاشی انجام نمی‌شود؟

چون بین آن‌ها جای خالی وجود دارد.

2- سطح زیر با مثلث‌هایی هم نهشت با مثلث ABC کاشی کاری شده است.
مثلث آبی انتقال یافته مثلث ABC است،
مثلث زرد دوران یافته مثلث ABC است.

زاویه‌های متناظر با هریک از زاویه‌های مثلث ABC را در این دو مثلث مشخص کنید.
در کاشی کاری بالا، قسمتی را که نشان می‌دهد $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $ پیدا کنید.

${{C}_{1}}+{{C}_{2}}+{{C}_{3}}=180{}^\circ $

$B={{D}_{3}}={{C}_{3}}$

${{A}_{1}}={{C}_{2}}={{D}_{1}}$

${{C}_{1}}={{A}_{2}}={{E}_{2}}$

در کدام شکل، کاشی کاری با یک نوع کاشی انجام نشده است؟

شکل شمارهٔ ج

زاویه‌هایی که درون یک چندضلعی قرار دارند، زاویه‌های داخلی آن چندضلعی نامیده می‌شوند. مجموع زاویه‌های داخلی یک مثلث 180 درجه است.

6	5	4	3	تعداد ضلع‌ها
				شکل
4	3	2	1	تعداد مثلث‌ها
$720$$\times 180{}^\circ =$$4$	$540$$\times 180{}^\circ =$$3$	$2\times 180{}^\circ =360{}^\circ $	$1\times 180{}^\circ =180{}^\circ $	مجموع زاویه‌های داخلی

جدول بالا نشان می‌دهد که مجموع زاویه‌های داخلی یک چهارضلعی با مجموع زاویه‌های داخلی دو تا مثلث برابر است؛ پس مجموع زاویه‌های داخلی هر چهارضلعی $360{}^\circ $ می‌شود.
الف) با کامل کردن جدول، مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی‌های دیگر را به دست آورید.

تعداد مثلث‌ها $7-2=5$

ب) فکر می‌کنید مجموع زاویه‌های داخلی یک هفت ضلعی چند درجه است؟

$5\times 180=900$

تعداد مثلث‌ها $8-2=6$

یک هشت ضلعی چطور؟ چرا؟

$6\times 180=1080$

ج) عبارت جبری زیر را طوری کامل کنید که نشان دهنده مجموع زاویه‌های داخلی یک n ضلعی باشد.

$\times 180{}^\circ $(2 - n) = مجموع زاویه‌های داخلی یک n ضلعی

اکنون با کامل کردن جدول زیر اندازهٔ هر یک از زاویه‌های داخلی چندضلعی‌های منتظم را پیدا کنید.

اندازۀ هر زاویه	مجموع زاویه‌های داخلی	تعداد ضلع‌ها
$\frac{180}{3}=60{}^\circ $	$180{}^\circ $	3
$360\div 4=90$	$360{}^\circ $	4
$540\div 5=108$	540	5
$\frac{720}{6}=120{}^\circ $	720	6

یک عبارت جبری بنویسید که نشان دهندهٔ اندازهٔ هر یک از زاویه‌های یک n ضلعی باشد.

$\frac{(n-2)\times 180}{n}$

1- مجموع زاویه‌های هریک از چندضلعی‌های زیر را محاسبه کنید.
الف) هفت ضلعی منتظم
ب) دوازده ضلعی منتظم

$=(n-2)\times 180$ مجموع زاویه‌های n ضلعی

$(12-2)\times 180=1800$
$(7-2)\times 180=900$

2- به کمک جواب قسمت (ب) سؤال قبل، اندازهٔ هر یک از زاویه‌های دوازده ضلعی منتظم را حساب کنید.

$1800\div 12=150$

3- سطح روبه رو با دو نوع کاشی منتظم، کاشی کاری شده است. اندازهٔ زاویه‌های هر دو نوع کاشی را محاسبه کنید.

$=\frac{(8-2)\times 180}{8}=\frac{1080}{8}=135{}^\circ $ اندازه‌ی هر زاویه داخلی 8 ضلعی منتظم

$=\frac{(4-2)\times 180}{4}=90{}^\circ $ اندازه‌ی هر زاویه داخلی 4 ضلعی منتظم

4- کاشی‌هایی به شکل چندضلعی‌های منتظم داریم و می‌خواهیم سطحی را فقط با یک نوع از آنها کاشی کاری کنیم. شکل‌های زیر نشان می‌دهند که با سه ضلعی و چهارضلعی منتظم (یعنی مثلث متساوی الاضلاع و مربع) می‌توان کاشی کاری کرد.

یک نوع کاشی منتظم دیگر پیدا کنید که با آن بتوان کاشی کاری کرد. زیرا 360 فقط بر 120 بخش‌پذیر است.

1- اندازهٔ هر یک از زاویه‌های یک بیست ضلعی منتظم را پیدا کنید.

$\frac{(20-2)\times 180}{20}=162{}^\circ $

2- در کاشی کاری روبه رو تنها یک نوع کاشی به کار رفته است.

الف) این کاشی چه نوع چهارضلعی‌ای است؟ لوزی

ب) اندازهٔ هریک از زاویه‌های آن چقدر است؟ 120 و 60 درجه

اندازه زاویه تند لوزی $360:6=60$

اندازه زاویه باز لوزی $180-60=120$

3- شکل روبه رو قسمتی از یک بشقاب قدیمی است.

حدس می‌زنید این بشقاب چندضلعی بوده است؟ چرا؟ هشت ضلعی
حد و آزمایش:
اگر در معادله به جای n عدد 8 را قرار دهیم جواب آن 135 درجه بدست می‌آید.

$\frac{(n-2)\times 180}{n}=\frac{(8-2)\times 180}{8}=135{}^\circ $

4- به کاشی کاری زیر توجه کنید. این کاشی کاری با سه نوع کاشی مختلف انجام شده است.
شکل سمت راست، قسمتی از این طرح را به صورت بزرگ‌تر نمایش داده است. اندازهٔ زاویه‌های مشخص شده را به دست آورید.
شکل سمت راست مربع است و کاشی‌ها متساوی الساقین هستند.