درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی کلاس هشتم
درس 2: تعیین عددهای اول
فعّالیت (صفحهٔ 24 کتاب درسی)
میخواهیم عددهای اول از 1 تا 50 را تعیین کنیم.
ابتدا عددهای 1 تا 50 را مینویسیم.
حالا عددهای غیر اول را خط میزنیم تا عددهای اول باقی بمانند.
1- آیا عدد 1 را خط زدید؟ بله چرا؟ زیرا نه اول است و نه مرکب
2- آیا مضربهای عدد 2 را خط میزنید؟ بله چرا؟ زیرا تمام مضربهای آن بغیر از خود عدد مرکبند.
- مضربهای مرکب عدد 2 را به صورت / خط بزنید.
- مضربهای مرکب عدد 3 را خط بزنید.
3- آیا لازم است مضربهای عدد 4 را خط بزنیم؟ خیر چرا؟ زیرا اگر عددی مضرب ٤ باشد، پیش از آن به عنوان مضرب ٢ خط خورده است.
4- آیا مضربهای عدد 5 را خط میزنید؟ بله چرا؟ زیرا تمام مضربهای آن بغیر از خود عدد مرکبند.
مضربهای مرکب عدد 5 را خط بزنید. کوچکترین مضرب عدد 5، که برای اولین بار خط میخورد، کدام است؟ $5×5=25$
5- پآیا مضربهای عدد ٦ را خط میزنید؟ خیر چرا؟ زیرا اگر عددی مضرب 6 باشد، پیش از آن به عنوان مضربهای 2 و 3 خط خورده است.
6- آیا مضربهای عدد 7 را خط میزنید؟ بله چرا؟ زیرا تمام مضربهای آن بغیر از خود عدد مرکبند.
7- مضربهای مرکب عدد 7 را خط بزنید. کوچکترین مضرب عدد 7، که برای اولین بار خط میخورد، کدام است؟ $7×7=49$
8- آیا مضربهای اعداد 8 و 9 و 10 را خط میزنید؟ چرا؟
مضربهای عدد 8 قبلا با مضارب اعداد 2 خط خوردهاند.
مضربهای عدد 9 قبلا با مضارب اعداد 3 خط خوردهاند.
مضربهای عدد 10 قبلا با مضارب اعداد 2 و 5 خط خوردهاند.
9- اگر بخواهیم مضربهای عدد 11 را خط بزنیم، کدام مضرب ١١ برای اولین بار خط خواهد خورد؟ $11×11=121$
10- به این ترتیب، آیا لازم است مضربهای عدد 11 را خط بزنیم؟ خیر
11- آیا عددهای باقیمانده، اول هستند؟ بله
کار در کلاس (صفحهٔ 25 کتاب درسی)
نتایج فعّالیت قبل، که به آن روش غربال میگویند در نمودار زیر خلاصه شده است.
این نمودار را برای $n=40$ دنبال کنید و همهٔ مرحلهها را یک به یک انجام دهید. هر مرحله از نمودار را برای خود توضیح دهید؛ برای مثال، جملهٔ «عددهای 1 تا n را بنویسید» را بخوانید و عددهای 1 تا 40 را در کادر زیر بنویسید. عدد 1 را خط بزنید. عدد خط نخوردهٔ بعدی را، که عدد ٢ است در نظر بگیرید. آیا مربع عدد ٢ بین عددها هست؟ مضربهای مرکب آن را خط بزنید. دوباره به مرحلهٔ قبلی برگردید و به همین ترتیب کار را ادامه دهید.
فعّالیت (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
میخواهیم مشخص کنیم 47 اول است یا نه. مانند روش غربال، که در صفحهٔ قبل توضیح داده شد، فرض کنید عددهای 1 تا 47 نوشته شدهاند.
آیا عدد 47 با مضربهای 2 خط میخورد؟ خیر با انجام دادن چه عملی میتوانید به این سؤال پاسخ دهید؟ تقسیم
آیا عدد 47 با مضربهای 3 خط میخورد؟ خیر چرا؟ زیرا بر 3 بخشپذیر نیست.
آیا عدد 47 با مضربهای 5 خط میخورد؟ خیر چرا؟ زیرا بر 5 بخشپذیر نیست.
آیا لازم است بررسی کنیم که عدد 47 با مضربهای 7 خط میخورد یا نه؟ خیر چرا؟ زیرا اولین مضرب خط نخوردهی 7 عدد 49 است که بزرگتر از 47 است.
آیا میتوانیم نتیجه بگیریم که عدد 47 را فقط بر عددهای اول تقسیم میکنیم؟ بله چرا؟
چرا تقسیم کردن را تا عدد اولی که مربع آن از 47 بزرگتر شود ادامه میدهیم؟ توضیح دهید.
زیرا اولین مضرب عدد 7 که برای بار اول خط میخورد عدد 49 است که بزرگتر از 47 است.
کار در کلاس (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
مانند نمونه، بررسی کنید که عددهای داده شده (97، 131 و 143) اول یا مرکب هستند.
پس باید آن را به عددهای اول 2، 3، 5 و 7 تقسیم کنیم. $\to $$9$$\sqrt{97}\simeq $
چون تمام تقسیمها باقیمانده دارند، 97 مضرب هیچ کدام نیست؛ یعنی عددی اول است. $\sqrt{97}\simeq 9\to $
پس باید آن را بر اعداد کوچکتر از 13 یعنی 2، 3، 5، 7، 11 تقسیم کرد
$\to $$11$$\sqrt{131}\simeq $
پس عدد 131 اول است
نکته: اگر باقیمانده یکی از تقسیمها صفر شود عدد مرکب است.
پس باید آن را بر اعداد کوچکتر از 13 یعنی 2، 3، 5، 7، 11 تقسیم کرد
$\to $$12$$\sqrt{143}\simeq $
پس عدد 143 اول است
نکته: اگر باقیمانده یکی از تقسیمها صفر شود عدد مرکب است.
تمرین (صفحهٔ 27 کتاب درسی)
1- از روش غربال برای عددهای 1 تا 60 استفاده و عددهای اول کمتر از 60 را پیدا کنید.
2- مشخص کنید که عددهای 107 و 251 اولاند یا مرکب.
پس باید آن را بر اعداد اول کوچکتر از 10 یعنی 2، 3، 5، 7 تقسیم کرد
$10$$\sqrt{107}\approx $
پس عددی اول است
پس باید آن را بر اعداد اول کوچکتر از 15 یعنی 2، 3، 5، 7، 11، 13 تقسیم کرد
$15$$\sqrt{251}\approx $
پس عددی اول است
3- «برای اینکه بفهمیم عددهای کمتر از 100 اولاند یا نه، کافی است آنها را به عددهای 2، 3، 5 و 7 تقسیم کنیم.»
آیا این جمله درست است؟ چرا؟ بله با ذکر مثال
پس باید آن را بر اعداد اول کوچکتر از 9 یعنی 2، 3، 5، 7 تقسیم کرد
$\sqrt{97}=9$
4- عددی از 120 کوچکتر و از 100 بزرگتر است. برای اینکه بفهمیم این عدد اول است یا نه، حداکثر چند تقسیم انجام میدهیم؟ چرا؟
زیرا مربع عدد 11 بزرگتر از 120 است بنابراین باید بر اعداد اول کوچکتر از 11 تقسیم کنیم یعنی حداکثر 4 تقسیم
5- عددهای 1 تا 100 را بنویسید و غربال کنید؛ سپس به سؤالهای زیر پاسخ دهید.
- اولین عددی که خط خورد. 1
- در مرحلهٔ حذف مضربهای ٧، اولین مضرب 7 که به عنوان مضربهای سایر عددها خط نخورد. 49
- عددی که با مضربهای آن عدد 24 خط خورد. 2
- تمام مضربهای 5 که در مرحلهٔ حذف مضربهای ٥ برای اولین بار خط خوردند. 25، 35، 55، 65، 85، 95
مرور فصل 2 (صفحهٔ 28 کتاب درسی)
مفاهیم و مهارتها
اصطلاحات زیر در این فصل به کار رفتهاند. مطمئن شوید که میتوانید با جملههای خود، آنها را توصیف کنید و برای هر کدام مثالی بزنید.
- نمودار درختی
- عدد مرکب
- نسبت به هم اول
- روش غربال
روشهای اصلی زیر در این فصل مطرح شدهاند. با یک مثال هر کدام را توضیح دهید و خلاصهٔ درس را در دفتر خود بنویسید.
پیدا کردن عددهای اول با روشهای تقسیم، ضرب و بخش پذیری
- تشخیص عددهای اول و مرکب
- تعیین عددهای اول به کمک روش غربال
- دنبال کردن یک دستورالعمل و نمودار
- تعیین اینکه یک عدد، اول یا مرکب است.
کاربرد
این درس در فصل مربوط به توان و جذر کاربرد دارد. از تبدیل پایههای مرکب به پایههای عدد اول برای ساده کردن عبارتهای تواندار استفاده میشود.
تمرینهای ترکیبی (صفحهٔ 28 کتاب درسی)
1- یک عدد مرکب بنویسید که شمارندههای اول غیر از 2 و 3 نداشته باشد. 6
آیا این عدد و عددی که شمارندههای اول آن 2 و 5 است، نسبت به هم اولاند؟ چرا؟ خیر زیرا هر دو عدد بر 2 بخشپذیرند
$(6,10)=2$
2- با روش غربال، عددهای اول بین 20 و 40 را پیدا کنید. در این روش، کار را از خط زدن مضربهای کدام عدد شروع میکنید و با مضربهای کدام عدد پایان میدهید؟
پس فقط مضربهای 2 و 3 و 5 را خط میزنیم.
$6$$\sqrt{40}\approx $
3- آیا عدد 137 اول است؟ چرا؟
پس باید آن را بر اعداد کوچکتر از 13 یعنی 2، 3، 5، 7، 11 تقسیم کرد
$11$$\sqrt{137}\approx $
پس عددی اول است
4- ٢ عدد مرکب بنویسید که نسبت به هم اول باشند.
$(20,21)=1$