درسنامه آموزشی فصل هشتم ریاضی کلاس نهم
درس 1: حجم و مساحت کره
در سالهای قبل با انواع حجمهای هندسی آشنا شدید. این حجمها به سه دسته تقسیم میشوند: منشوری، کروی و هرمی.
کرهٔ زمین و توپ بسکتبال نمونههایی از حجمهای کروی است. چند نمونهٔ دیگر از حجمهای کروی را نام ببرید.
فعالیت (صفحهٔ 131 کتاب درسی)
با توجه به این تعریف در قسمت زیر، کره را به عنوان یک شکل هندسی فضایی تعریف کنید.
2- کارهای زیر را انجام دهید تا در انتهای فعّالیت، راه محاسبهٔ حجم کره را پیدا کنیم.
- یک توپ پلاستیکی به شکل کره تهیه کنید.
- مانند شکل مقابل با قرار دادن دو سطح صاف موازی، قطر کره را اندازه بگیرید.
- مانند شکل مقابل به کمک طلق، یک استوانه درست کنید، به طوری که توپ کروی به طور کامل درون آن قرار گیرد و از اطراف، بالا و پایین بر آن مماس شود.
در این حالت میگوییم کره در استوانه محاط شده و استوانه نیز بر کره محیط شده است. اگر شعاع کره R باشد، ارتفاع استوانه و شعاع قاعدهٔ آن را بر حسب R نشان دهید.
2R : ارتفاع استوانه
R : حجم استوانه
$=\pi {{R}^{2}}\times 2R=2\pi {{R}^{3}}$ ارتفاع × مساحت قاعده : شعاع قاعده استوانه
- توپ را از استوانه خارج کنید و با دقت آن را ببرید تا به دو نیم کرهٔ مساوی تبدیل شود. مانند شکل مقابل، یکی از نیم کرهها را داخل استوانه بگذارید و نیم کرهٔ دیگر را از آب پر و در استوانه خالی کنید. اگر این کار را با دقت انجام دهید و استوانه را خوب آب بندی کرده باشید که آبی از آن خارج نشود، با دو نیم کره، فضای باقیمانده پر از آب میشود.
الف) حجم استوانه، چند برابر حجم نیم کره است؟ 3
ب) حجم استوانه چند برابر حجم کره است؟ $\frac{3}{2}$
ج) بنابراین حجم کره $\frac{2}{3}$ برابر حجم استوانه است.
د) با توجه به دستور محاسبهٔ حجم استوانه، که در بالا ذکر شد، دستور محاسبهٔ حجم کره به شعاع R را به دست آورید.
کار در کلاس (صفحهٔ 132 کتاب درسی)
1- کرهای در استوانهای به قطر قاعده و ارتفاع 10 سانتی متر محاط شده است.
الف) حجم کره را به دست آورید. شعاع برابر 5 سانتیمتر است.
$V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{5}^{3}}=\frac{500}{3}\pi $ کره
ب) حجم استوانه را به دست آورید.
$V=2\pi {{r}^{3}}=2\times \pi \times {{5}^{3}}=250\pi $ استوانه
ج) حجم فضای بین کره و استوانه را به دست آورید.
برابر با حجم نیم کره $V=250\pi -\frac{500}{3}\pi =(250-\frac{500}{3})\pi =\frac{250}{3}\pi $ کره - V استوانه
2- حجم نیم کرهای به شعاع 10 سانتی متر را به دست آورید.
حجم نیمکره $=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi \times {{10}^{3}}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times 1000\pi =\frac{2000}{3}\pi $ حجم کره $=\frac{1}{2}\times $ حجم نیمکره
فعالیت (صفحهٔ 133 کتاب درسی)
مانند شکل مقابل، نیم کرهای را که از نصف کردن توپ پلاستیکی به دست آوردید، روی یک صفحهٔ کاغذ قرار دهید و دو بار روی کاغذ، دایره رسم کنید طوری که نیم کره بتواند روی این دایرهها قرار گیرد و آن را بپوشاند.
این دو دایره کاغذی را هرطور که دوست دارید، برش بزنید و کاغذهای بریده شده را روی سطح نیم کره بچسبانید. مراقب باشید تا حدامکان، کاغذها روی هم قرار نگیرند و سطح نیم کره نیز دیده نشود.
آیا توانستید تمام سطح (رویه) نیم کره را با این دو دایره بپوشانید؟
دربارهٔ مشکلات این کار و تقریبی بودن آن و راههای افزایش دقت این کار با یکدیگر گفت و گو کنید.
ثابت میشود که مساحت رویهٔ یک نیم کره به شعاع R، دو برابر مساحت دایرهای است که نیم کره روی آن ایستاده است (قاعدهٔ نیم کره).
الف) پس مساحت رویهٔ نیم کره برابر است با: مساحت 2 دایره یعنی$2\pi {{R}^{2}}$
ب) در نتیجه مساحت کره به شعاع R برابر است با: مساحت 4 دایره یعنی $4\pi {{R}^{2}}$.
کار در کلاس (صفحهٔ 133 کتاب درسی)
1- مساحت یک کلاه (عرق چین) به شکل رویهٔ نیم کره به شعاع 10 سانتی متر را پیدا کنید.
$S=2\pi {{R}^{2}}=2\pi \times 100=628c{{m}^{2}}$
2- میخواهیم یک نیم کرهٔ چوبی توپر به شعاع 10 سانتی متر را رنگ کنیم. مساحت کل قسمت رنگ شده را پیدا کنید.
مساحت قاعده (دایره) + مساحت نیمکره = مساحت کل قسمت رنگ شده
مساحت کل قسمت رنگ شده $=2\pi {{R}^{2}}+\pi {{R}^{2}}=3\pi {{R}^{2}}=3\times 3/14\times 100=942c{{m}^{2}}$
3- بین محاسبهٔ مساحت کل نیم کرهٔ چوبی توپر و مساحت رویهٔ یک عرق چین چه تفاوتی هست؟
تمرین (صفحهٔ 134 کتاب درسی)
1- قطر تقریبی کرهٔ زمین حدود 12800 کیلومتر است.
الف) قطر و شعاع کره زمین را بر حسب کیلومتر با نماد علمی بنویسید.
کیلومتر $=1/28\times {{10}^{4}}$ قطر کره زمین بر حسب کیلومتر
کیلومتر $=6/4\times {{10}^{3}}$ شعاع کره زمین بر حسب کیلومتر
متر $=1/28\times {{10}^{4}}\times 1000=1/28\times {{10}^{7}}$ قطر کره زمین بر حسب متر
متر $=6/4\times {{10}^{3}}\times 1000=6/4\times {{10}^{6}}$ شعاع کره زمین بر حسب متر
ب) مساحت تقریبی رویه (سطح) کره زمین را بر حسب کیلومتر مربع با نماد علمی بنویسید.
شعاع $12800\div 2=6400$ قطر
$S=4\pi {{R}^{2}}$ مساحت کره زمین بر حسب کیلومتر مربع به صورت نماد علمی
$=4\times 3/14\times {{6400}^{2}}=514457600=5/144576\times {{10}^{8}}$
$S=4\pi {{R}^{2}}$ مساحت کره زمین بر حسب متر مربع
$=4\pi {{R}^{2}}=4/314\times {{(6400000)}^{2}}=514457600000000=5/144576\times {{10}^{14}}$
ج) مساحت کشور جمهوری اسلامی ایران حدود 1/648/000 کیلومترمربع است. مساحت ایران چه کسری از مساحت کره زمین است؟ این نسبت را با درصد نشان دهید.
درصد $\frac{1648000}{514457600}=\frac{x}{100}\Rightarrow x=0/0032\times 100=0/32$
2- یک استوانک (کپسول) گاز از قرار گرفتن یک نیمکره روی یک استوانه به صورت مقابل درست شده است. اگر قطر دایرهٔ قاعدهٔ استوانک 60 سانتی متر و ارتفاع آن یک متر باشد، حجم استوانک را بر حسب متر مکعب به دست آورید.
$=60cm=0/6m$ قطر دایره
$=1-0/3=0/7$ ارتفاع استوانه ، متر $R=0/3m$ شعاع
$\pi {{R}^{2}}\times h+\frac{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}{2}$ = حجم نیمکره + حجم استوانه = حجم کپسول
متر مکعب $=3/14\times {{(0/3)}^{2}}\times 0/7+\frac{2}{3}\times 3/14\times {{(0/3)}^{3}}=0/19782+0/05652=0/25434$
اگر بخواهیم سطح کل این استوانک را رنگ کنیم، چند کیلوگرم رنگ لازم است، به شرط اینکه رنگ آمیزی هر متر مربع به 100 گرم رنگ نیاز داشته باشد؟
S قاعده استوانه (دایره) + S جانبی استوانه + S نیم کره = S کپسول
$+\pi {{R}^{2}}=3\pi {{R}^{2}}+2R.\pi .h$ [ارتفاع× محیط قاعده]$S=2\pi {{R}^{2}}+$
$=3\times 3/14\times {{(0/3)}^{2}}+2\times 0/3\times 3/14\times 0/7$
$S=0/8478+1/3188=2/1666$ کل کپسول
گرم $=2/1666\times 100=216/66$ مقدار رنگ مورد نیاز بر حسب گرم
کیلوگرم $=216/66\div 1000=0/21666$ مقدار رنگ مورد نیاز بر حسب کیلوگرم
3- پیمانهای به شکل نیمکره و به قطر دهانهٔ 24 سانتی متر را از آب پر و آب آن را در لیوانی استوانهای شکل با همان قطر خالی میکنیم؛ آب در لیوان تا چه ارتفاعی بالا میآید؟
