درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس نهم
درس 3: تقسیم چند جملهایها
1- تقسیم تک جملهای بر تک جملهای
(در تمام این درس مخرج کسرها مخالف صفر فرض شده است)
برای تقسیم دو تک جملهای بر یکدیگر از قوانین ساده کردن کسرها و نیز قوانین مربوط به ساده کردن توانها استفاده میکنیم.
2- تقسیم چند جملهای بر تک جملهای
اگر a و b و c اعدادی صحیح و d عددی صحیح و غیرصفر باشد، داریم:
$\frac{a+b+c}{d}=\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}$
به طور مشابه برای تقسیم چند جملهای $12{{x}^{3}}-18x+2$ بر 6 به روش زیر عمل میکنیم:
$\frac{12{{x}^{3}}-18x+2}{6}=\frac{12{{x}^{3}}}{6}-\frac{18x}{6}+\frac{2}{6}=2{{x}^{3}}-3x+\frac{1}{3}$
فعالیت (صفحهٔ 126 کتاب درسی)
توضیح دهید: هر یک از تقسیمهای زیر چگونه انجام شده است؟ جاهای خالی را پر و حل را کامل کنید.
$\frac{2{{a}^{4}}+5{{a}^{4}}-8a}{4{{a}^{2}}}=\frac{2{{a}^{4}}}{4{{a}^{2}}}+\frac{5{{a}^{3}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{8a}{4{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{5a}{4}-\frac{2}{a}$ (الف
$\frac{14{{x}^{3}}yz-6xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}z}=\frac{14{{x}^{3}}yz}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}z}-\frac{6xy}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}z}+\frac{3{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}z}=\frac{7x}{y}-\frac{3}{xyz}+\frac{3z}{2}$ (ب
$(8{{y}^{3}}-4{{y}^{2}}+12y)\div (-4{{y}^{2}})=\frac{8{{y}^{3}}-4{{y}^{2}}+12y}{-4{{y}^{2}}}$ (ج
$=\frac{8{{y}^{3}}}{-4{{y}^{2}}}-\frac{4{{y}^{2}}}{-4{{y}^{2}}}+\frac{12y}{-4{{y}^{2}}}=-2y+1-\frac{3}{y}$
کار در کلاس (صفحهٔ 127 کتاب درسی)
تقسیمهای زیر را انجام دهید.
$=-\frac{3{{a}^{6}}c}{4{{b}^{2}}}$ $\frac{-21{{a}^{7}}{{b}^{4}}c}{28a{{b}^{6}}}$ (الف
$=\frac{24{{x}^{6}}z}{{{x}^{2}}z}-\frac{2z}{{{x}^{2}}z}+\frac{3xyz}{{{x}^{2}}z}=24{{x}^{4}}-\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{3y}{x}$ $\frac{24{{x}^{6}}y-2z+3xyz}{{{x}^{2}}z}$ (ب
3- تقسیم چند جملهای بر چند جملهای
اگر تقسیم مقابل را در نظر بگیریم:
عدد 26 را مقسوم، 8 را مقسوم علیه، 3 را خارج قسمت و 2 را باقی مانده مینامیم. رابطههای تقسیم بالا به صورت زیر است:
$\left\{ \begin{matrix}3\times 8+2=26 \\2 \lt 8\begin{matrix}{} & {} & {} \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right.$
مثال:
چند جملهای $2{{x}^{2}}-7x-15$ را بر چند جملهای $x-5$ تقسیم کنید.
چند جملهای $2{{x}^{2}}-7x-15$ را مقسوم و $x-5$ را مقسوم علیه مینامیم. در اولین گام باید مقسوم و مقسوم علیه را برحسب توانهای متغیر موجود (در اینجا x) از بزرگ به کوچک مرتب کرد.
در مثال ما چندجملهایهای مورد نظر مرتب شده هستند.
اکنون اولین جمله مقسوم را بر اولین جملهٔ مقسوم علیه تقسیم میکنیم؛ یعنی: $\frac{2{{x}^{2}}}{x}=2x$
حاصل ضرب 2x در $x-5$ را به دست میآوریم و آن را از عبارت مقسوم کم میکنیم:
$2{{x}^{2}}-7x-15-(2{{x}^{2}}-10x)=2{{x}^{2}}-7x-15-2{{x}^{2}}+10x=+3x-15$
برای آسانتر شدن، میتوانیم پس از محاسبهٔ حاصل ضرب 2x در $x-5$، در پیرابند (کادر) بالا علامت عبارت حاصل را قرینه کنیم و محاسبه را انجام دهیم؛ یعنی:
اکنون دوباره $3x-15$ را بر $x-5$ تقسیم و مراحل قبل را تکرار میکنیم؛ یعنی اولین جمله عبارت $3x-15$ را بر اولین جملهٔ $x-5$ تقسیم میکنیم. توجه داریم که این چند جملهایها نیز باید برحسب توانهای نزولی مرتب شده باشند؛ داریم: $\frac{3x}{x}=3$
این تقسیمها را تا زمانی ادامه میدهیم که یا باقیمانده صفر شود یا درجه چند جملهای باقیمانده از درجه مقسوم علیه کمتر شود.
فعالیت (صفحهٔ 128 کتاب درسی)
1- تقسیمهای زیر را انجام دهید و مراحل کار را توضیح دهید. جاهای خالی را پر و حل را کامل کنید.
باقیمانده این تقسیم چیست؟
الف)
ب)
2- تقسیم زیر را انجام دهید و رابطهٔ تقسیم را بنویسید. راه حل را کامل کنید.
|
رابطههای تقسیم: $(5{{x}^{2}}+6)(2{{x}^{2}}-3)+2x-1$ $=\_\_\_\_\_\_\_$ $=10{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2x-19$ و درجه چند جملهای $2x-1$ از درجه $2{{x}^{2}}-3$ کمتر است. |
|
کار در کلاس (صفحهٔ 129 کتاب درسی)
تقسیمهای زیر را انجام دهید.
(الف
(ب
تمرین (صفحهٔ 129 کتاب درسی)
1- تقسیمهای زیر را انجام دهید.
$=\frac{-x{{y}^{3}}{{z}^{2}}}{9}$$\frac{-2{{x}^{2}}{{y}^{3}}{{z}^{7}}}{18x{{z}_{5}}}$ (الف
$=-\frac{2{{a}^{3}}y}{5{{y}^{2}}}-\frac{{{a}^{4}}{{y}^{2}}}{-5{{y}^{2}}}-\frac{15xy}{-5{{y}^{2}}}=\frac{2{{a}^{3}}}{-5y}+\frac{{{a}^{4}}}{5}+\frac{3x}{y}$$\frac{2{{a}^{3}}y-{{a}^{4}}{{y}^{2}}+15xy}{-5{{y}^{2}}}$ (ب
$({{x}^{3}}-27)\div (x-2)$ (ج
$(3{{y}^{2}}-10y-24)\div (3y-4)$ (د
(هـ
2- خارج قسمت و باقیماندهٔ تقسیم زیر را مشخص کنید و درستی عمل تقسیم را با نوشتن روابط تقسیم نشان دهید.
رابطههای تقسیم:
$\begin{align}& (-4{{x}^{3}}+x-4)(-{{x}^{3}}+1)({{x}^{2}}-x+9) \\ & =4{{x}^{6}}-4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+x+4{{x}^{3}}-4+{{x}^{2}}-x+9 \\ & =4{{x}^{6}}-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+5 \\ \end{align}$
و درجه چند جملهای ${{x}^{2}}-x+9$ از درجه $-{{x}^{3}}+1$ کمتر است.
3- حجم یک جعبه به شکل مکعب مستطیل برابر $2{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}+28x$ است. اگر ارتفاع این جعبه x و طول آن $x+4$ باشد، عرض آن را به دست آورید.
عرض جعبه برابر $2x+7$ میباشد.
4- اگر چند جملهای $20{{x}^{3}}+23{{x}^{2}}-10x+a$ بر $4x+3$ بخش پذیر باشد، a را به دست آورید.
وقتی بخش پذیر است یعنی باقیمانده باید صفر شود.
5- خارج قسمت و باقیماندهٔ تقسیم عبارت $2{{x}^{2}}-9x+9$ را بر هر یک از عبارتهای زیر به دست آورید.
$2x+3$ و $2x-3$ و $x-3$ و $x+3$
