درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی کلاس نهم
درس 1: عبارتهای جبری و مفهوم اتحاد
فعالیت (صفحهٔ 79 کتاب درسی)
هر عبارت را، که به صورت حاصل ضرب یک عدد حقیقی در توانهای صحیح و نامنفیِ یک یا چند متغیر باشد، تک جملهای (یک جملهای) مینامیم.
عبارتهای زیر همگی تک جملهای هستند.
$7,x,5{{x}^{10}},-\sqrt{3}{{a}^{3}}{{x}^{2}}z,\frac{1}{5}xy,\pi {{x}^{2}},4z,-\frac{2}{7}$
و عبارتهای زیر تک جملهای نیستند.
$\frac{1}{x},{{3}^{x}},2\sqrt{x},|x|,2{{x}^{2}}+2x,\sqrt[3]{y},1+x$
هرگاه قسمتهای حرفی دو یا چند تک جملهای یکسان باشند، به آنها تک جملهایهای متشابه گفته میشود؛ به عنوان مثال تک جملهایهای $4{{x}^{2}}y$ و $\frac{7}{2}{{x}^{2}}y$ و $-3{{x}^{2}}y$ متشابهاند، اما تک جملهایهای 3x و $3{{x}^{2}}$ متشابه نیستند.
1- حاصل عبارتهای زیر را مانند نمونه به دست آورید:
$2(-4x\times 7{{x}^{2}})=2(-28{{x}^{3}})=-56{{x}^{3}}$ (1
${{(\frac{2}{3}{{x}^{2}}y)}^{3}}={{(\frac{2}{3})}^{3}}.{{({{x}^{2}})}^{3}}.{{y}^{3}}=\frac{8}{27}{{x}^{6}}{{y}^{3}}$ (2
$={{\left( -3 \right)}^{2}}.{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}=9{{x}^{6}}.\frac{1}{27}{{x}^{6}}=\frac{1}{3}{{x}^{12}}$ ${{(-3{{x}^{3}})}^{2}}{{(\frac{1}{3}{{x}^{2}})}^{3}}$ (3
$-\frac{1}{7}{{a}^{5}}{{b}^{2}}{{c}^{5}}$$(\frac{1}{2}{{a}^{2}}b)(ab)(\frac{-2}{7}{{a}^{2}}{{c}^{5}})=$ (4
$2\left( {{5}^{2}}{{x}^{2}}{{y}^{8}} \right)\left( -2{{x}^{5}}{{y}^{2}} \right)=-100{{x}^{7}}{{y}^{10}}$$2{{(5x{{y}^{4}})}^{2}}(-2{{x}^{5}}{{y}^{2}})=$ (5
$6{{x}^{4}}{{y}^{4}}-5{{x}^{4}}{{y}^{4}}={{x}^{4}}{{y}^{4}}$ $(2{{x}^{2}}y)(3{{x}^{2}}{{y}^{3}})+x{{y}^{3}}(-5{{x}^{3}}y)=$ (6
در تک جملهای $5{{a}^{2}}{{x}^{3}}y$، توان متغیر a برابر با 2 است؛ بنابراین درجهٔ این تک جملهای نسبت به متغیر a، برابر با 2 است؛ به همین ترتیب درجه نسبت به $3،x$ و درجه نسبت به $1،y$ است.
درجه نسبت به دو متغیر x و y را برابر با $1+3=4$ تعریف میکنیم.
2- جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید.
| درجه نسبت به y و x | درجه نسبت به y | درجه نسبت به x | متغیرها | یک جملهای |
| $2+4=6$ | 4 | 2 | $a,x,y$ | $\sqrt{3}{{a}^{3}}{{x}^{2}}y{}^{4}$ |
| 4=2+2 | 2 | 2 | $x,y,z$ | $5{{x}^{2}}{{y}^{2}}z{}^{4}$ |
| 3=0+3 | 0 | 3 | $x,u$ | $-12{{x}^{3}}u$ |
| 0=0+0 | 0 | 0 | ندارد | $\frac{3}{5}$ |
تک جملهایهای $3{{x}^{2}}{{y}^{3}}$ و $-5{{x}^{3}}{{y}^{2}}$ را که متشابه نیستند، تک جملهایهای غیرمتشابه میگوییم.
چنانچه تعدادی تک جملهای را با یکدیگر جمع جبری (جمع یا تفریق) کنیم، حاصل، چند جملهای است. چند جملهای میتواند تک جملهای یا جمع جبری چند تک جملهای غیرمتشابه باشد؛ مانند:
$4{{x}^{2}}-4x+1\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}{{x}^{2}}-2x\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\frac{2}{3}a{{x}^{2}}y-\frac{3}{2}ax{{y}^{2}}-axy\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}3{{x}^{4}}$
در هر چند جملهای، درجهٔ نسبت به یک متغیر را برابر با بزرگترین درجه نسبت به آن متغیر تعریف میکنیم؛ برای مثال در چند جملهای $-2x{{y}^{3}}+{{x}^{2}}y-1$، درجهٔ نسبت به برابر با 2 و درجهٔ نسبت به y برابر با 3 است. همچنین درجهٔ نسبت به چند متغیر را، بزرگترین درجهٔ تک جملهایهای آن نسبت به متغیرهای موردنظر تعریف میکنیم. در این مثال درجهٔ نسبت به y و x برابر با 4 است.
معمولاً در چند جملهایها، جملات را نسبت به توانهای نزولی (از بزرگ به کوچک) یک متغیر مرتب میکنند.
3- چند جملهایهای زیر را مانند نمونه نسبت به متغیر x مرتب کنید:
$3{{x}^{2}}+5-2x+2{{x}^{3}}=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+5$ (الف
$-4b{{x}^{3}}{{y}^{2}}+a{{x}^{2}}y-3bx{{y}^{3}}$$-3bx{{y}^{3}}+a{{x}^{2}}y-4b{{x}^{3}}{{y}^{2}}=$ (ب
$3{{x}^{3}}y+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2x{{y}^{3}}-4$$\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2x{{y}^{3}}+3{{x}^{3}}y-4=$ (ج
کار در کلاس (صفحهٔ 80 کتاب درسی)
عبارتهای جبری زیر را ساده و سپس آنها را نسبت به توانهای نزولی x مرتب کنید.
$=-2{{a}^{2}}-8ax-3{{x}^{2}}=-3{{x}^{2}}-8ax-2{{a}^{2}}$ $-5{{a}^{2}}-3ax+{{x}^{2}}-(4{{a}^{2}}+5ax-3{{a}^{2}})$ (الف
$\begin{align}
& \underline{-5{{a}^{2}}}\underline{\underline{-3ax}}+{{x}^{2}}\underline{-4{{a}^{2}}}\underline{\underline{-5ax}}\underline{+3{{a}^{2}}}\underline{\underline{-8ax}} \\
& =-6{{a}^{2}}-16ax+{{x}^{2}}={{x}^{2}}-16ax-6{{a}^{2}} \\
\end{align}$$-5{{a}^{2}}-3ax+{{x}^{2}}-\left[ 4{{a}^{2}}+5ax-(3{{a}^{2}}-8ax) \right]=$ (ب
$\begin{align}
& 4{{x}^{4}}\underline{-4{{x}^{2}}}+4x+5{{x}^{5}}-5{{x}^{3}}\underline{+5{{x}^{2}}}=4{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4x+5{{x}^{5}}-5{{x}^{3}} \\
& =5{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+4x \\
\end{align}$ $(4x+5{{x}^{2}})({{x}^{3}}-x+1)=$ (ج
$\begin{align}
& {{x}^{5}}+{{x}^{3}}+x+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}} \\
& ={{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x \\
\end{align}$$(x+{{x}^{2}})({{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)=$ (د
$\begin{align}
& \underline{{{x}^{4}}}+{{x}^{5}}-\underline{\underline{\underline{2{{x}^{2}}}}}-\underline{\underline{2{{x}^{3}}}}-\underline{2{{x}^{4}}}+4x+\underline{\underline{\underline{{{x}^{2}}}}}+\underline{\underline{{{x}^{3}}}}-2 \\
& =-{{x}^{4}}+{{x}^{5}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+4x-2={{x}^{5}}-{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x-2 \\
\end{align}$$({{x}^{2}}-2x+1)({{x}^{2}}+{{x}^{3}}-2)=$ (هـ
فعالیت (صفحهٔ 81 کتاب درسی)
1- به ازای مقادیر داده شده برای x، جدول زیر را کامل کنید:
| ${{(x+3)}^{2}}$ | ${{x}^{2}}+6x+9$ | 6x | ${{x}^{2}}$ | x |
| 9 | 9 | 0 | 0 | 0 |
| 64 | 64 | 30 | 25 | 5 |
| $\frac{81}{4}$ | $\frac{81}{4}$ | 9 | $\frac{9}{4}$ | $\frac{3}{2}$ |
| 0 | 0 | 18- | 9 | 3- |
| 4 | 4 | 6- | 1 | 1- |
مقدارهای دو ستون آخر جدول را با هم مقایسه کنید؛ نتیجه چیست؟ مقدار دو ستون با هم برابر است.
حاصل عبارتهای جدول را برای چند مقدار دیگر x ادامه دهید. برای دو مقدار 3- و 1- در جدول محاسبه شدهاند.
با توجه به مقادیر به دست آمده در دو ستون آخر جدول، چه حدسی میزنید؟
میتوان حدس زد که دو عبارت ${{x}^{2}}+6x+9$ و ${{(x+3)}^{2}}$ با هم برابر هستند.
حاصل عبارت جبری ${{(x+3)}^{2}}$را به دست آورید و آن را با عبارت جبری ${{x}^{2}}+6x+9$ مقایسه کنید.
${{(x+3)}^{2}}=(x+3)(x+3)={{x}^{2}}+\underline{3x}+\underline{3x}+9={{x}^{2}}+6x+9$${{(x+3)}^{2}}=(x+3)(x+3)=$
بنابراین به ازای همۀ مقادیر x دو عبارت جبری ${{(x+3)}^{2}}$ و ${{x}^{2}}+6x+9$ با هم مساوی هستند.
بنابراین برابری ${{(x+3)}^{2}}={{x}^{2}}+6x+9$ یک اتحاد است.
برابری $3x-3=x+1$ را در نظر بگیرید. مقدار دو طرف تساوی را به ازای x=2، به دست آورید.
آیا این برابری یک اتحاد است؟ برقراری این تساوی را به ازای چند مقدار دیگر برای x بررسی کنید.
همان طور که میدانید، به چنین برابریهایی معادله گفته میشود.
2- حاصل عبارتهای زیر را مانند نمونه به دست آورید.
${{(a+4)}^{2}}=(a+4)(a+4)={{a}^{2}}+4a+4a+16={{a}^{2}}+8a+16$ (الف
${{(5x+2)}^{2}}=(5x+2)(5x+2)=25{{x}^{2}}+\underline{10x}+\underline{10x}+4=25{{x}^{2}}+20x+4$ (ب
${{(a+b)}^{2}}=(a+b)(a+b)={{a}^{2}}+\underline{ab}+\underline{ab}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ (ج
3- با دقت در برابری ${{(5x+2)}^{2}}=25{{x}^{2}}+20x+4$،که در فعالیت 2 به دست آمده است، به سؤالهای زیر پاسخ دهید:
- جملهٔ اول سمت راست برابری؛ یعنی $25{{x}^{2}}$، چه رابطهای با 5x دارد؟ مربع 5x است
${{\left( 5x \right)}^{2}}=25{{x}^{2}}$
- جملهٔ دوم سمت راست برابری؛ یعنی 20x، چه رابطهای با2 و 5x دارد؟ دو برابر حاصلضرب 2 و 5x است.
$2(2)(5x)=20x$
- جملهٔ سوم سمت راست برابری؛ یعنی 4، چه رابطهای با 2 دارد؟ مربع 2 است. ${{2}^{2}}=4$
عبارت جبری $5x+2$ دو جملهای و ${{(5x+2)}^{2}}$ را مربع دو جملهای مینامیم. برای سرعت بخشیدن به عملیات جبری میتوان مربع دو جملهای را به صورت زیر محاسبه کرد:
برای هر دو عدد مثبت a و b، به کمک مساحتهای مشخص شده در شکل زیر، درستی اتحاد مقابل را نشان دهید.
${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
$={{(a+b)}^{2}}={{s}_{1}}+2{{s}_{3}}+{{s}_{2}}$ مساحت کل شکل
$\begin{align}
& {{S}_{1}}={{a}^{2}} \\
& {{S}_{2}}={{b}^{2}} \\
& {{S}_{3}}=ab \\
& {{(a+b)}^{2}}={{S}_{1}}+2{{S}_{3}}+{{S}_{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\
\end{align}$
4- مانند سؤال 2 فعالیت، طرف دوم تساویهای زیر را بنویسید.
$25{{x}^{2}}-\underline{10x}-\underline{10x}+4=25{{x}^{2}}-10x+4$${{(5x-2)}^{2}}=(5x-2)(5x-2)=$ (الف
$\begin{align}
& \left( 3x-5x \right)\left( 3x-5x \right)=\underline{9{{x}^{2}}}-\underline{15{{x}^{2}}}-\underline{15{{x}^{2}}}+\underline{25{{x}^{2}}} \\
& =9{{x}^{2}}-30{{x}^{2}}+25{{x}^{2}}=4{{x}^{2}} \\
\end{align}$$(3x-5x){}^{2}=$ (ب
$(a-b)(a-b)={{a}^{2}}-\underline{ab}-\underline{ab}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$${{(a-b)}^{2}}=$ (ج
ارتباط بین جملات به دست آمده در طرف راست تساویهای بالا و جملات عبارت داده شده در سمت چپ آنها را بیان کنید.
طرف دوم به صورت زیر است:
تساوی قسمت (ب) در واقع یک جملهای است که به توان 2 رسیده است زیرا 3x-5x=2x و واضح است که ${{(2x)}^{2}}=4{{x}^{2}}$
کار در کلاس (صفحهٔ 83 کتاب درسی)
1- حاصل عبارتهای زیر را با توجه به اتحاد مربع دو جملهای به دست آورید.
${{\left( 2x \right)}^{2}}+2\left( 2x \right)\left( 1 \right)+{{1}^{2}}=4{{x}^{2}}+4x+1$${{(2x+1)}^{2}}=$ (الف
${{\left( 4a \right)}^{2}}+2\left( 4a \right)\left( 3b \right)+{{\left( 3b \right)}^{2}}=16{{a}^{2}}+24ab+9{{b}^{2}}$${{(4a+3b)}^{2}}=$ (ب
${{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( {{x}^{2}} \right)\left( \frac{1}{2} \right)+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+\frac{1}{4}$${{({{x}^{2}}-\frac{1}{2})}^{2}}=$ (ج
${{\left( 2xy \right)}^{2}}-2\left( 2xy \right)\left( \frac{1}{2}{{x}^{3}} \right)+{{\left( \frac{1}{2}{{x}^{3}} \right)}^{2}}=4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{x}^{3}}y+\frac{1}{4}{{x}^{6}}$${{(2xy-\frac{1}{2}{{x}^{3}})}^{2}}=$ (د
$\begin{align}
& {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+2\left( \sqrt{2} \right)\left( 3\sqrt{3} \right)+{{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}} \\
& =2+6\sqrt{6}+27=29+6\sqrt{6} \\
\end{align}$${{(\sqrt{2}+3\sqrt{3})}^{2}}=$ (هـ
${{\left( 5 \right)}^{2}}-2\left( 5 \right)\left( 2\sqrt{2} \right)+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=25-20\sqrt{2}+8=33-20\sqrt{2}$${{(5-2\sqrt{2})}^{2}}=$ (و
2- جاهای خالی را با توجه به نمونه پُر کنید.
$=2a$ جملهٔ اول $=4{{a}^{2}}={{(2a)}^{2}}\Rightarrow $ مربع جمله اول
$=2(2a)(3{{b}^{2}})=12a{{b}^{2}}$ دو برابر حاصل ضرب جملهها
در نتیجه داریم:
${{(2a+3{{b}^{2}})}^{2}}=4{{a}^{2}}+12a{{b}^{2}}+9{{b}^{4}}$
${{(1+b)}^{2}}=1+\underbrace{2(1)(b)}_{2b}+{{b}^{2}}$ (الف
${{(xy-\frac{1}{2})}^{2}}=\underbrace{{{\left( xy \right)}^{2}}}_{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}-\underbrace{2\left( xy \right)\left( \frac{1}{2} \right)}_{xy}+\frac{1}{4}$ (ب
${{({{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}})}^{2}}={{x}^{4}}-\underbrace{2\left( {{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}_{2}+\frac{1}{{{x}^{4}}}\quad \quad (x\ne 0)$ (ج
${{(6x-)}^{2}}=36{{x}^{2}}-12xy+{{y}^{2}}$ (د
فعالیت (صفحهٔ 83 کتاب درسی)
در سال گذشته خاصیت پخشی عمل ضرب نسبت به عمل جمع را در چند جملهایها خواندهاید.
اکنون اگر این برابری را مانند زیر به صورت ضرب دو عبارت بنویسیم، دو جملهای ab+ac را به ضرب عبارتها تجزیه کردهایم:
چند جملهایهای زیر را مانند نمونه تجزیه کنید:
$6{{a}^{3}}.a-6{{a}^{3}}.3=6{{a}^{3}}(a-3)$$6{{a}^{4}}-18{{a}^{3}}=$ (ب
$7{{x}^{2}}.{{x}^{2}}-7{{x}^{2}}.2x+7{{x}^{2}}.3=7{{x}^{2}}({{x}^{2}}-2x+3)$$7{{x}^{4}}-14{{x}^{3}}+21{{x}^{2}}=$ (ج
$20{{x}^{2}}y-10x{{y}^{2}}=10xy.2x-10xy.y=10xy(2x-y)$$5{{x}^{2}}y-10x{{y}^{2}}+15{{x}^{2}}y=$ (د
کار در کلاس (صفحهٔ 84 کتاب درسی)
اگر سه جملهای ${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ را به کمک اتحاد مربع دو جملهای به صورت ${{(a+b)}^{2}}$ بنویسیم، در واقع عبارت را به عاملهای ضرب تجزیه کردهایم؛ زیرا:
${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}={{(a+b)}^{2}}=(a+b)(a+b)$
با توجه به نمونهٔ زیر توضیح دهید که چگونه در سه جملهای داده شده، جملههای اتحاد را تشخیص میدهید تا به کمک آن عبارت تجزیه شود.
${{x}^{2}}+\overbrace{6x}^{2(x)(3)}+9=\overbrace{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}}}+\overbrace{3}^{\sqrt{9}}{{)}^{2}}=(x+3)(x+3)$ (الف
${{x}^{2}}-\overbrace{4x}^{2(2)(x)}+4={{(\overbrace{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}}}-\overbrace{2}^{\sqrt{4}})}^{2}}=(x-2)(x-2)$ (ب
${{n}^{4}}-\overbrace{10{{n}^{2}}}^{2({{n}^{2}})(5)}+25={{(\overbrace{{{n}^{2}}}^{\sqrt{{{n}^{4}}}}-\overbrace{5}^{\sqrt{25}})}^{2}}=({{n}^{2}}-5)({{n}^{2}}-5)$ (ج
تمرین (صفحهٔ 85 کتاب درسی)
1- عبارتهای جبری زیر را ساده کنید.
$\begin{align}
& ^{3}=25{{m}^{2}}.(-8){{m}^{3}}-\frac{1}{4}{{m}^{2}}.(-8){{m}^{3}} \\
& =-200{{m}^{5}}+2{{m}^{5}}=-198{{m}^{5}} \\
\end{align}$${{(-5m)}^{2}}{{(-2m)}^{3}}-{{(\frac{1}{2}m)}^{2}}(-2m)$ (الف
$\underline{7{{a}^{3}}}-\underline{\underline{4b{}^{3}}}+\underline{\underline{\underline{5{{c}^{3}}}}}-\underline{{{a}^{3}}}+\underline{\underline{9{{b}^{3}}}}+\underline{\underline{\underline{11{{c}^{3}}}}}=6{{a}^{3}}+5{{b}^{3}}+16{{c}^{3}}$$7{{a}^{3}}-4b{}^{3}+5{{c}^{3}}-({{a}^{3}}-9{{b}^{3}}-11{{c}^{3}})$ (ب
$={{({{x}^{m}}-1)}^{2}}={{\left( {{x}^{m}} \right)}^{2}}-2{{x}^{m}}+1={{x}^{2m}}-2{{x}^{m}}+1$$({{x}^{m}}-1)({{x}^{m}}-1)$ (ج
$=x-\left[ \cancel{y}-x\cancel{-y}+1 \right]=x-\left[ 1-x \right]=x-1+x=2x-1$$x-\left[ (y-x)-(y-1) \right]$ (د
2- محیط و مساحت هر شکل را بیابید.
محیط:
$\begin{align}
& 5{{m}^{2}}n+2(2{{m}^{2}}n)+3(3{{m}^{2}}n) \\
& =5{{m}^{2}}n+4{{m}^{2}}n+9{{m}^{2}}n=18{{m}^{2}}n \\
\end{align}$
با استفاده از رابطۀ فیثاغورس برای ضلع مجهول داریم:
${{z}^{2}}={{\left( 3{{m}^{2}}n \right)}^{2}}-{{\left( {{m}^{2}}n \right)}^{2}}=8{{m}^{4}}{{n}^{2}}\Rightarrow z=\sqrt{8}{{m}^{2}}n$
مساحت = $({{S}_{2}})$ مساحت ذوزنقه + $({{S}_{1}})$ مساحت مستطیل
$\begin{align}
& \overbrace{3{{m}^{2}}n.2{{m}^{2}}n}^{{{S}_{1}}}+\overbrace{\frac{\sqrt{8}{{m}^{2}}n\left( 3{{m}^{2}}n+5{{m}^{2}}n \right)}{2}}^{{{S}_{2}}} \\
& =6{{m}^{4}}{{n}^{2}}+4\sqrt{8}{{m}^{4}}{{n}^{2}}=\left( 6+4\sqrt{8} \right){{m}^{4}}{{n}^{2}} \\
\end{align}$
(الف
با استفاده از رابطۀ فیثاغورس برای ضلع مجهول داریم:
${{z}^{2}}={{\left( 5xy \right)}^{2}}-{{\left( 3xy \right)}^{2}}=16{{x}^{2}}{{y}^{2}}\Rightarrow z=4xy$
محیط:
$3xy+5xy+3(4xy)=20xy$
مساحت = $({{S}_{2}})$ مساحت مثلث +$({{S}_{1}})$ مساحت مستطیل
$\overbrace{3xy.4xy}^{{{S}_{1}}}+\overbrace{\frac{3xy.4xy}{2}}^{{{S}_{2}}}=12{{x}^{2}}{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}=18{{x}^{2}}{{y}^{2}}$
(ب
3- طرف دیگر عبارتهای زیر را با استفاده از اتحادها به دست آورید.
$\begin{align}
& {{\left( 5y \right)}^{2}}-2\left( 5y \right)\left( 3x \right)+{{\left( 3x \right)}^{2}} \\
& =25{{y}^{2}}-30xy+9{{x}^{2}} \\
\end{align}$$(5y-3x){}^{2}=$ (الف
$\begin{align}
& {{\left( -3{{a}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( -3{{a}^{2}} \right)\left( a \right)+{{\left( a \right)}^{2}} \\
& =9{{a}^{4}}+6{{a}^{3}}+{{a}^{2}} \\
\end{align}$${{(-3{{a}^{2}}-a)}^{2}}=$ (ب
$\begin{align}
& {{\left( 8x \right)}^{2}}-2\left( 8x \right)\left( \frac{1}{3} \right)+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}} \\
& =64{{x}^{2}}-\frac{16}{3}x+\frac{1}{9} \\
\end{align}$${{(8x-\frac{1}{3})}^{2}}=$ (ج
${{\left( 2/7+3/3 \right)}^{2}}={{6}^{2}}=36$${{(2/7)}^{2}}+2(2/7)(3/3)+{{(3/3)}^{2}}=$ (د
4- به کمک اتحاد مربع دو جملهای، درستی تساویهای زیر را ثابت کنید.
${{(x+y)}^{2}}-{{(x-y)}^{2}}=4xy$ (الف
$\begin{align}
& {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right) \\
& =\cancel{{{x}^{2}}}+2xy\bcancel{+{{y}^{2}}}\cancel{-{{x}^{2}}}+2xy\bcancel{-{{y}^{2}}}=4xy \\
\end{align}$${{(x+y)}^{2}}-{{(x-y)}^{2}}=$
${{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}={{(a+\frac{1}{a})}^{2}}-2\begin{matrix}
{} & (a\ne 0) \\
\end{matrix}$ (ب
$\left[ {{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}+2a\left( \frac{1}{a} \right) \right]-2a\left( \frac{1}{a} \right)={{\left( a+\frac{1}{a} \right)}^{2}}-2$${{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=$
5- عبارتهای جبری زیر را تجزیه کنید.
$=2x.{{x}^{2}}+2x.4x+2x.4=2x\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)=2x{{(x+2)}^{2}}$$2{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+8x$ (الف
$=ab.3{{a}^{2}}-ab.12{{b}^{2}}+ab.{{a}^{2}}{{b}^{2}}=ab.(3{{a}^{2}}-12{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}})$$3{{a}^{3}}b-12a{{b}^{3}}+{{a}^{3}}{{b}^{3}}$ (ب
$=(x+1)(a+(x+1))$$a(x+1)+b{{(x+1)}^{2}}$ (ج
$=a.{{a}^{2}}-a.2a+a.1=a({{a}^{2}}-2a+1)=a{{(a-1)}^{2}}$${{a}^{3}}-2{{a}^{2}}+a$ (د
$={{\left( xy \right)}^{2}}-2.(xy).2+{{2}^{2}}={{\left( xy-2 \right)}^{2}}$${{x}^{2}}{{y}^{2}}-4xy+4$ (هـ
$\begin{align}
& ={{x}^{2}}\left[ 25{{x}^{2}}+30x+9 \right]={{x}^{2}}\left[ {{\left( 5x \right)}^{2}}+2(5x)3+{{3}^{2}} \right] \\
& ={{x}^{2}}{{(5x+3)}^{2}} \\
\end{align}$$25x{}^{4}+30{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}$ (و
6- با تبدیل b به b- در اتحاد ${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$، طرف دوم تساوی زیر را کامل کنید.
${{\left( a \right)}^{2}}+2(a)(-b)+{{(-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$$\underbrace{(a+(-b)){}^{2}}_{{{(a-b)}^{2}}}=$