درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی کلاس نهم

1- عبارت‌های زیر را ساده کنید.

$=2\sqrt{2\times {{5}^{2}}}+\sqrt{2\times {{4}^{2}}}+2\sqrt{2\times {{6}^{2}}}=10\sqrt{2}+4\sqrt{2}+12\sqrt{2}=26\sqrt{2}$ $2\sqrt{50}+\sqrt{32}+2\sqrt{72}$ (الف

$=\sqrt{2\times {{2}^{2}}}+\sqrt{2\times {{8}^{2}}}-\sqrt{2\times {{5}^{2}}}=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}-5\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ $\sqrt{8}+\sqrt{128}-\sqrt{50}$ (ب

$=\sqrt[3]{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt[3]{{{\left( {{3}^{2}} \right)}^{3}}}={{3}^{2}}=9$ $\sqrt[3]{{{27}^{2}}}$ (ج

$=\frac{-3}{4}$ $\sqrt[3]{\frac{-27}{64}}$ (د

$\begin{align}
  & =\left( \sqrt{2}\times \sqrt{10} \right)+\left( \sqrt{2}\times \sqrt{2} \right)-\left( \sqrt{5}\times \sqrt{10} \right)-\left( \sqrt{5}\times \sqrt{2} \right) \\
 & =2\sqrt{5}+2-5\sqrt{2}-\sqrt{10} \\
\end{align}$ $(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{2})$ (هـ

$=2\sqrt{3\times {{4}^{2}}}-3\sqrt{3\times {{3}^{2}}}=8\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-\sqrt{3}$ $2\sqrt{48}-3\sqrt{27}$ (و

2- اگر x<0 باشد، حاصل عبارت مقابل را به دست آورید.

$=2\left| x \right|-x=2\left( -x \right)-x=-3x$$2 \sqrt{{{x}^{2}}}-x$

3- محیط و مساحت مربعی به ضلع $3\sqrt{5}$ سانتی متر را به دست آورید.

محیط: $4\times 3\sqrt{5}=12\sqrt{5}$

مساحت: ${{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\times {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=45$

4- شکل مقابل یک مثلث متساوی الاضلاع را به ضلع a نشان می‌دهد. اندازهٔ ارتفاع h را برحسب a به دست آورید؛ سپس مساحت آن را برحسب a بنویسید.

بر اساس قضیۀ فیثاغورس، مقدار h به صورت زیر است:

${{h}^{2}}={{a}^{2}}-{{(\frac{a}{2})}^{2}}=\frac{3}{4}{{a}^{2}}$

در نتیجه مقدار h برابر است با:

$h=\sqrt{\frac{3}{4}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

مساحت مثلث:

$\frac{h\times a}{2}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\times a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$

5- نقاط P، N، M و Q وسط‌های اضلاع مربع ABCD هستند. اگر مساحت مربع $100، ABCD$ متر مربع باشد، محیط مربع MNPQ چقدر است؟

طول هر ضلع مربع ABCD برابر است با $\sqrt{100}=10$
بنابراین چون نقاط وسط ضلع‌های مربع هستند، بر اساس قضیۀ فیثاغورس از رابطۀ زیر طول هر ضلع مربع MNPQ به دست می‌آید.

$\begin{align}
  & {{x}^{2}}={{5}^{2}}+{{5}^{2}}=50 \\
 & x=\sqrt{50}=\sqrt{{{5}^{2}}\times 2}=5\sqrt{2} \\
\end{align}$

و در نتیجه محیط مربع MNPQ به صورت زیر است.

$4\times 5\sqrt{2}=20\sqrt{2}$

6- در جاهای خالی علامت > یا = یا < بگذارید:

$\sqrt{5}+\sqrt{4} \gt \sqrt{5+4}$

چون $\sqrt{5}$ بزرگ‌تر از 2 است، پس $\sqrt{5}+2 \gt 3$

$4 \gt \sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}$

چون $\sqrt{13}$ کوچک‌تر از $\sqrt{16}$ است، پس $4 \gt \sqrt{13}$

$\sqrt{\frac{3}{11}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$

$\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ 

7- در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید:

$\sqrt{100}=10$ (الف

$2\sqrt{9}=6$ (ب

$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$ (ج

$\sqrt[3]{8}=2$ (د

$\frac{{{2}^{-5}}}{{{2}^{-9}}}=\sqrt{64}$ (هـ

$\frac{{{2}^{-5}}}{{{2}^{-9}}}={{2}^{-5}}\div {{2}^{-9}}={{2}^{-5-(-9)}}={{2}^{4}}=16=\sqrt{64}$

$\frac{{{(\sqrt{12})}^{2}}}{4\times {{3}^{2}}}={{3}^{-1}}$ (و

$\frac{{{\left( \sqrt{12} \right)}^{2}}}{4\times {{3}^{2}}}=\frac{12}{4\times {{3}^{2}}}=\frac{\cancel{4}\times 3}{\cancel{4}\times {{3}^{2}}}={{3}^{1}}\div {{3}^{2}}={{3}^{-1}}$

$\frac{{{m}^{6}}\times {{m}^{-2}}}{{{m}^{3}}}=m$ (ز

$\frac{{{m}^{6}}\times {{m}^{-2}}}{{{m}^{3}}}=\frac{{{m}^{4}}}{{{m}^{3}}}={{m}^{1}}=m$

$9\sqrt[3]{-27}=\frac{{{12}^{3}}}{{{(-4)}^{3}}}$ (ح

${{}^{3}}=9\sqrt[3]{-27}\times {{(-4)}^{3}}=9\times (-3)\times {{(-4)}^{3}}={{(-3)}^{3}}\times {{(-4)}^{3}}={{12}^{3}}\Rightarrow =12$

8- مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.

$=\frac{5}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$ $\frac{5}{2\sqrt{3}}$ (الف

 $=\frac{2}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}\times \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{2\sqrt[3]{a}}{a}$ $\frac{2}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}$ (ب

$=\frac{2}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$ $\frac{2}{\sqrt{7}}$ (ج

9- آیا تساوی $\sqrt{{{x}^{2}}}={{(\sqrt{x})}^{2}}$ همیشه درست است؟ توضیح دهید.
الف) تساوی همیشه درست است. ب) تساوی همیشه نادرست است. ج) اگر $x\ge 0$، تساوی درست است.
روابط روبرو برای $x\ge 0$   همواره درست است. برای $x<0$  چون عدد زیر رادیکال در طرف راست این رابطه، منفی می‌شود، پاسخ حقیقی ندارد.
البته پاسخ مختلط وجود دارد و این رابطه در هر صورت به ازای همۀ مقادیر x برقرار است.

$\begin{align}
  & \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{x\times x}=\left( \sqrt{x} \right)\times \left( \sqrt{x} \right)={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \\
 & {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}=\left( \sqrt{x} \right)\times \left( \sqrt{x} \right)=\sqrt{x\times x}=\sqrt{{{x}^{2}}} \\
\end{align}$