درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی کلاس نهم
درس 1: توان صحیح
در سال‌های گذشته با توان‌های طبیعی یک عدد آشنا شده‌اید؛ به طور مثال می‌دانید:
${{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{5}}=\frac{-1}{32}$ و ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}=\frac{81}{256}$ و ${{(-5)}^{2}}=25$ و ${{2}^{3}}=8$
همچنین می‌دانید که اگر a عددی غیرصفر باشد، ${{a}^{0}}=1$
آیا توان منفی یک عدد (ناصفر) هم معنی دارد؟ مثلاًً حاصل ${{2}^{-3}}$ چیست؟ به کمک فعالیت زیر پاسخ این سؤال را می‌توان پیدا کرد:
فعالیت (صفحهٔ 60 کتاب درسی)
جدول زیر را در نظر بگیرید و به سؤالات پاسخ دهید:
| $\frac{1}{32}=\frac{1}{{{2}^{5}}}$ | $\frac{1}{16}=\frac{1}{{{2}^{4}}}$ | $\frac{1}{8}=\frac{1}{{{2}^{3}}}$ | $\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| ${{2}^{-5}}$ | ${{2}^{-4}}$ | ${{2}^{-3}}$ | ${{2}^{-2}}$ | ${{2}^{-1}}$ | ${{2}^{0}}$ | ${{2}^{1}}$ | ${{2}^{2}}$ | ${{2}^{3}}$ | ${{2}^{4}}$ |
الف) عددهای سطر اوّل جدول با هم چه ارتباطی دارند؟
الگوی نصف شونده است. هر عدد، نصف عدد قبلی است.
ب) هر یک از عددهای سطر دوم چه رابطه‌ای با عدد بالای آن دارد؟
اعداد سطر اول به صورت توان‌دار (توانی از عدد 2) نوشته شده است.
ج) توان‌های عددهای سطر دوم تا ${{2}^{0}}$ با یکدیگر چه رابطه‌ای دارد؟
توان هر عدد جدید، یک واحد از عدد قبلی کمتر است.
د) این الگو را ادامه دهید و در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید.
توان‌ها باز هم، یک واحد یک واحد کم می‌شوند.
ه) به کمک جدول، تساوی‌های زیر را کامل کنید:
$\frac{1}{{{2}^{3}}}=\frac{1}{8}$${{2}^{-3}}=$
$\frac{1}{{{2}^{4}}}=\frac{1}{16}$ ${{2}^{-4}}=$
$\frac{1}{{{2}^{5}}}=\frac{1}{32}$ ${{2}^{-5}}=$
کار در کلاس (صفحهٔ 61 کتاب درسی)
1- با توجه به مثال‌های حل شدهٔ زیر، پاسخ موارد بعدی را به صورت یک عدد توان‌دار با توان طبیعی بنویسید:
${{5}^{-2}}=\frac{1}{{{5}^{2}}}=\frac{1}{25}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}$ (الف
${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}}=\frac{1}{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}}=\frac{1}{\frac{4}{9}}=\frac{9}{4}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}$ (ب
${{(-6)}^{-3}}=\frac{1}{{{(-6)}^{3}}}=\frac{1}{-216}={{\left( -\frac{1}{6} \right)}^{3}}$ (ج
${{\left( -\frac{2}{7} \right)}^{-4}}=\frac{1}{{{\left( -\frac{2}{7} \right)}^{4}}}=\frac{1}{\frac{{{2}^{4}}}{{{7}^{4}}}}=\frac{{{7}^{4}}}{{{2}^{4}}}={{\left( \frac{7}{2} \right)}^{4}}$ (د
2- عبارت‌های برابر را مانند نمونه به هم وصل کنید: $(x\ne 0,y\ne 0)$
$\frac{1}{4}$ <====> ${{2}^{-2}}$
$\frac{1}{x}$ <====> ${{x}^{-1}}$
$\frac{1}{xy}$ <====> ${{(xy)}^{-1}}$
$4$ <====> ${{(-2)}^{2}}$
${{5}^{3}}$ <====> ${{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-3}}$
$\frac{y}{x}$ <===> ${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{-1}}$
$\frac{x}{y}$ <====> $x{{y}^{-1}}$
$\frac{5}{2}$ <===> ${{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-1}}$
عبارت برابر هر یک از عبارت‌های سطر اول، رو به رو آن نوشته شده است.
3- حاصل هر عبارت را به ساده‌ترین صورت بنویسید:
${{\left( -\frac{3}{1} \right)}^{4}}={{\left( -3 \right)}^{4}}={{3}^{4}}$ ${{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{-4}}=$ (الف
$2+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ ${{2}^{-1}}+{{3}^{-1}}+{{4}^{-1}}=$ (ب
$-{{\left( 5 \right)}^{2}}$ $-{{(-5)}^{2}}=$ (ج
$-\frac{1}{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{{{5}^{2}}}=-\frac{1}{25}$ $-{{(-5)}^{-2}}=$ (د
$-\frac{1}{{{5}^{2}}}=-\frac{1}{25}$ $-{{5}^{-2}}=$ (هـ
${{\left( \frac{1}{1} \right)}^{2}}={{\left( 1 \right)}^{2}}=1$ ${{1}^{-2}}=$ (و
$\frac{1}{3}$ $\frac{{{(-3)}^{0}}}{3}=$ (ز
$-\frac{1}{\tfrac{1}{{{2}^{2}}}}=-{{2}^{2}}$ $-\frac{1}{{{2}^{-2}}}=$ (ح
${{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}=2{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}=2\times \frac{{{5}^{2}}}{4}=\frac{25}{2}$ ${{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-2}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}=$ (ط
$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ${{2}^{0}}-{{2}^{-1}}=$ (ی
اگر m و n دو عدد طبیعی باشند، و a یک عدد دلخواه باشد، داریم: ${{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
آیا این رابطه برای توان‌های منفی هم درست است؟ برای توان‌های صحیح چه رابطه‌ای داریم؟
با فعالیت بعدی می‌توان رابطه را برای عددهای صحیح هم حدس زد.
فعالیت (صفحهٔ 62 کتاب درسی)
به حاصل ضرب‌های زیر توجه کنید. چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
$\begin{align}
& {{3}^{-4}}\times {{3}^{6}}=\frac{1}{{{3}^{4}}}\times {{3}^{6}}=\frac{{{3}^{6}}}{{{3}^{4}}}={{3}^{6-4}}={{3}^{2}} \\
& {{2}^{-5}}\times {{2}^{-2}}=\frac{1}{{{2}^{5}}}\times \frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{{{2}^{5+2}}}=\frac{1}{{{2}^{7}}}={{2}^{-7}} \\
& {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-3}}\times {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-5}}={{(-2)}^{3}}\times {{(-2)}^{5}}={{(-2)}^{8}}={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-8}} \\
\end{align}$
حاصل ضرب مقابل را نیز به همین روش به دست آورید:
${{5}^{3}}\times \frac{1}{{{5}^{7}}}=\frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{7}}}={{5}^{3-7}}={{5}^{-4}}$ ${{5}^{3}}\times {{5}^{-7}}=$
کار در کلاس (صفحهٔ 62 کتاب درسی)
حاصل هر یک از عبارت‌های زیر را به صورت یک عبارت توان‌دار بنویسید: $(b,x,y\ne 0)$
${{5}^{-7+10}}={{5}^{3}}$ ${{5}^{-7}}\times {{5}^{10}}=$
${{(-4)}^{-9-1}}={{(-4)}^{-10}}={{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{10}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{10}}$ ${{(-4)}^{-9}}\times {{(-4)}^{-1}}=$
${{\left( \frac{-3}{8} \right)}^{4-9}}={{\left( \frac{-3}{8} \right)}^{-5}}={{\left( \frac{-8}{3} \right)}^{5}}$ ${{\left( \frac{-3}{8} \right)}^{4}}\times {{\left( \frac{-3}{8} \right)}^{-9}}=$
${{\left( \sqrt{2} \right)}^{4-2}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}= 2$ ${{(\sqrt{2})}^{4}}\times {{(\sqrt{2})}^{-2}}=$
${{b}^{-2-3}}={{b}^{-5}}={{\left( \frac{1}{b} \right)}^{5}}$ ${{b}^{-2}}\times {{b}^{-3}}=$
${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{-7+11}}={{\left( \frac{x}{y} \right)}^{4}}$${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{-7}}\times {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{11}}=$
کار در کلاس (صفحهٔ 63 کتاب درسی)
حاصل عبارت‌های زیر را به صورت توان‌دار بنویسید.
${{7}^{3-5}}={{7}^{-2}}={{\left( \frac{1}{7} \right)}^{2}}$ $\frac{{{7}^{3}}}{{{7}^{5}}}=$ (الف
${{(2\times 5)}^{-2}}={{10}^{-2}}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}$ ${{2}^{-2}}\times {{5}^{-2}}=$ (ب
${{\left( \frac{-2}{3}\times 12 \right)}^{-3}}={{\left( -8 \right)}^{-3}}={{\left( \frac{-1}{8} \right)}^{3}}$ ${{\left( \frac{-2}{3} \right)}^{-3}}\times {{12}^{-3}}=$ (ج
${{\left( -\frac{2}{5} \right)}^{(-2)\times (-1)}}={{\left( -\frac{2}{5} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}$ ${{\left[ {{\left( -\frac{2}{5} \right)}^{-2}} \right]}^{-1}}=$ (د
${{2}^{(8-4)}}\times {{5}^{(10-6)}}={{2}^{4}}\times {{5}^{4}}={{\left( 2\times 5 \right)}^{4}}={{10}^{4}}$ $\frac{{{2}^{8}}\times {{5}^{10}}}{{{2}^{4}}\times {{5}^{6}}}=\frac{{{2}^{8}}}{{{2}^{4}}}\times \frac{{{5}^{10}}}{{{5}^{6}}}=$ (هـ
${{x}^{7}}{{y}^{-5}}{{z}^{-2}}=\frac{{{x}^{7}}}{{{y}^{5}}{{z}^{2}}}$ $\frac{{{x}^{5}}.{{y}^{2}}.z}{{{x}^{-2}}.{{y}^{7}}.{{z}^{3}}}={{x}^{5-(-2)}}.{{y}^{2-7}}.{{z}^{1-3}}=$ (و
$\text{x,y,z}\ne 0$
تمرین (صفحهٔ 63 کتاب درسی)
1- برای هر عبارت دو پاسخ داده شده است. پاسخ درست را با ذکر دلیل مشخص کنید.
${{3}^{-2}}\left\langle \begin{matrix}
\frac{1}{9} \\
-6 \\
\end{matrix} \right.$ (الف
${{3}^{-2}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}=\frac{1}{9}$
${{3}^{-1}}\left\langle \begin{matrix}
\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (ب
${{3}^{-1}}=\frac{1}{{{3}^{1}}}=\frac{1}{3}$
${{3}^{-1}}\times {{4}^{-1}}\left\langle \begin{matrix}
{{12}^{-1}} \\
{{7}^{-1}} \\
\end{matrix} \right.$ (ج
${{3}^{-1}}\times {{4}^{-1}}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}={{12}^{-1}}$
${{3}^{-1}}+{{4}^{-1}}\left\langle \begin{matrix}
\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \\
{{7}^{-1}} \\
\end{matrix} \right.$ (د
${{3}^{-1}}+{{4}^{-1}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
${{5}^{-2}}\left\langle \begin{matrix}
-\frac{2}{5} \\
\frac{1}{25} \\
\end{matrix} \right.$ (هـ
${{5}^{-2}}=\frac{1}{{{5}^{2}}}=\frac{1}{25}$
${{(-2)}^{3}}\left\langle \begin{matrix}
{{3}^{-2}} \\
-8 \\
\end{matrix} \right.$ (و
${{(-2)}^{3}}=(-2)\times (-2)\times (-2)=-8$
2- جرم یک اتم هیدروژن حدود ${{10}^{-24}}$ گرم است. جرم یک وزنهٔ 100 کیلوگرمی چند برابر جرم یک اتم هیدروژن است؟
جرم وزنه 100 کیلوگرمی ${{10}^{29}}$ برابر جرم اتم هیدروژن است.
$\frac{100\times {{10}^{3}}}{{{10}^{-24}}}=\frac{{{10}^{2}}\times {{10}^{3}}}{{{10}^{-24}}}=\frac{{{10}^{5}}}{{{10}^{-24}}}={{10}^{5-(-24)}}={{10}^{29}}$
3- عددهای ${{16}^{2}}$ و ${{8}^{4}}$ و ${{2}^{11}}$ را با یکدیگر مقایسه کنید.
$\left. \begin{matrix} {{8}^{4}}{{({{2}^{3}})}^{4}}={{2}^{12}} \\ {{16}^{3}}{{({{2}^{4}})}^{3}}={{2}^{12}} \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow {{8}^{4}}={{16}^{3}} \gt {{2}^{11}}$
4- در جاهای خالی علامت < ، > یا = قرار دهید:
$\frac{1}{3}={{3}^{-1}} \gt {{3}^{-2}}=\frac{1}{9}$ (الف
$1={{2}^{0}} \gt {{2}^{-5}}=\frac{1}{32}$ (ب
${{2}^{2}}={{(0/5)}^{-2}} \gt {{(0/6)}^{-2}}={{\left( \frac{10}{6} \right)}^{2}}$ (ج
$\frac{1}{5}={{5}^{-1}} \gt 0$ (د
$1={{\left( \frac{-8}{15} \right)}^{0}}=1$ (هـ
$-\frac{1}{25}=-{{5}^{-2}} \lt {{(-5)}^{-2}}=\frac{1}{25}$ (و
5- در هر یک از تساوی‌های زیر x چه عددی است؟
${{5}^{x}}\times {{5}^{-3}}={{5}^{4}}$ (الف
$x-3=4\Rightarrow x=4+3\Rightarrow x=7$
${{5}^{x}}\div {{5}^{-3}}={{5}^{4}}$ (ب
$x-(-3)=4\Rightarrow x=4-3\Rightarrow x=1$
6- کدام یک درست و کدام یک نادرست است؟
نادرست ${{\text{a}}^{4}}\times {{a}^{5}}={{a}^{20}}$ (الف
درست ${{\text{a}}^{4}}\times {{a}^{5}}={{a}^{9}}$ (ب
درست ${{\text{(}{{\text{a}}^{m}})}^{n}}={{({{a}^{n}})}^{m}}\begin{matrix}
{} & {} & a \gt 0 \\
\end{matrix}$ (ج
نادرست ${{3}^{-2}}=-9$ (د
درست ${{(-3)}^{0}}+{{({{3}^{-1}})}^{-1}}=4$ (هـ
نادرست $-{{3}^{-1}}\times {{4}^{-1}}={{12}^{-2}}$ (و
نادرست ${{6}^{-2}}=-\frac{2}{6}$ (ز
درست ${{3}^{-10}}<{{3}^{-1}}$ (ح
7- حاصل هر عبارت را به دست آورید.
$={{3}^{10}}\times {{\left( {{3}^{3}} \right)}^{-3}}={{3}^{10}}\times {{3}^{-9}}={{3}^{1}}=3$ ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-10}}\times {{27}^{-3}}$ (الف
$={{\left( \frac{10}{2} \right)}^{4}}\times {{\left( {{5}^{2}} \right)}^{-2}}={{5}^{4}}\times {{5}^{-4}}={{5}^{0}}=1$ ${{(0/2)}^{-4}}\times {{25}^{-2}}$ (ب
$={{\left( \frac{14}{15} \right)}^{4}}\times {{\left( \frac{45}{28} \right)}^{4}}={{\left( \frac{14}{15}\times \frac{45}{28} \right)}^{4}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{4}}$ ${{\left( \frac{15}{14} \right)}^{-4}}\times {{\left( \frac{45}{28} \right)}^{4}}$ (ج
$={{(-5)}^{2}}={{5}^{2}}=25$ ${{(-{{5}^{-2}})}^{-1}}$ (د
8- عددهای داده شده را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.
| $-{{2}^{-4}}$ | ${{1}^{-90}}$ | ${{(-1)}^{21}}$ | ${{(-7)}^{2}}$ | ${{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-2}}$ | ${{2}^{3}}$ | ${{5}^{-3}}$ | ${{2}^{-3}}$ |
| $-\frac{1}{16}$ | 1 | 1- | 49 | $\frac{1}{4}$ | 8 | $\frac{1}{125}$ | $\frac{1}{8}$ |
عدد مساوی با هر یک از عددها، در سطر دوم جدول نوشته شده است. بنابراین ترتیب عددها از کوچک به بزرگ به صورت زیر است.
${{(-7)}^{2}}$ و ${{2}^{3}}$ و ${{1}^{-90}}$ و ${{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-2}}$ و ${{2}^{-3}}$ و ${{5}^{-3}}$ و $-{{2}^{-4}}$ و ${{(-1)}^{21}}$
9- عبارت نادرست را مشخص کنید.
${{(0/987)}^{10}} \lt {{10}^{0}}$
درست. اعداد بین 0 و 1 به هر توان مثبتی برسند، همواره پاسخ کوچک‌تر از 1 است.
${{(1/2)}^{7}} \lt {{(1/02)}^{7}}$
نادرست. چون توان‌ها برابر است، فقط کافی است پایه‌ها مقایسه شوند.
${{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}} \lt {{(0/7)}^{2}}$
نادرست. چون توان‌ها برابر است، فقط کافی است پایه‌ها مقایسه شوند.
${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}} \gt {{(0/75)}^{3}}$
درست. پایه‌ها مساوی هستند. چون پایه عددی بین 0 و 1 است، هر چه توان آن بزرگ‌تر باشد، پاسخ کوچک‌تر می‌شود.
10- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.
$={{\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\times \left( \frac{3}{8} \right)}{-\left( {{2}^{-3}} \right)}}^{3}}=\frac{\ \ \ {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3}}}{-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}}=-{{\left( \frac{1}{4}\div \frac{1}{2} \right)}^{3}}=-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}$ $\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\times {{\left( \frac{8}{3} \right)}^{-3}}}{-{{2}^{5}}\times {{2}^{-8}}}$ (الف
$={{\left[ -{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]}^{-1}}={{\left[ -\frac{9}{4} \right]}^{-1}}=-\frac{4}{9}$ ${{\left[ -{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}} \right]}^{-1}}$ (ب