درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس نهم
درس 4: حل مسئله در هندسه
برای حل مسائل هندسی، راه حل کلّی وجود ندارد؛ امّا می‌توان مراحلی را مشخص کرد که برای حل مسئلهٔ هندسه، توصیه می‌شود. این مراحل را در حل یک مثال کاربردی معرفی می‌کنیم.
مثال:
دو روستای A و B با یک جادّهٔ خاکی مستقیم به هم وصل هستند. در آن منطقه یک جادّهٔ آسفالتهٔ مستقیم ساخته شد که دو روستا در دو طرف آن واقع شد و جادهٔ آسفالته درست از وسط جادّهٔ خاکی عبور می‌کرد. ادارهٔ راه سازی تصمیم گرفته است که از هر روستا، یک جادّهٔ آسفالته با کوتاه‌ترین فاصلهٔ ممکن تا جادّهٔ اصلی بسازد. بنابراین از روستای A یک جادّه. مستقیم، عمود بر این جادّهٔ اصلی و به طول چهار کیلومتر ساخته شد. برای برآورد هزینه‌های ساخت جادّهٔ دیگر از روستای B، مهندسان پیش بینی کرده‌اند که فاصلهٔ روستای B از جاده نیز همین مقدار است؛ یعنی $AH=BH'$.
قدم‌های حل مسئله
1- صورت مسئله را به دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل دهندهٔ آن را بشناسید. در این مسئله با مفاهیمی همچون خط، پاره خط و فاصلهٔ نقطه تا خط سرو کار داریم. آیا با آنها آشنایی دارید؟
2- اگر مسئله فاقد شکل است، با توجه به صورت مسئله، یک شکل مناسب برای آن رسم کنید. در اینجا شکل این مسئله را با توجه به طرح بالا رسم کنید.
3- داده‌های مسئله (فرض) و خواسته‌های آن (حکم) را تشخیص دهید و در یک جدول بنویسید. در اینجا فرض‌های اصلی این است که M وسط AB است؛ یعنی MA=MB است و AH و $BH'$ بر d عمودند و حکم این است: $AH=BH'$
4- برای رسیدن از فرض به حکم، راه حلی پیدا کنید. روش‌های مختلفی برای این کار هست که آنها را به مرور می‌آموزید. یکی از راه‌های اثبات برابری دو پاره خط، استفاده از مثلث‌های هم نهشت است.
در این شکل، کدام دو مثلث، برای این منظور مناسب است؟ $AMH'$ و $BMH$
با توجه به فرض و حکم مسئله، اثبات را با نمادهای ریاضی کامل کنید:
فعالیت (صفحهٔ 50 کتاب درسی)
1- در شکل مقابل وترهای AB و CD با هم مساوی‌اند.
نشان دهید کمان‌های $\overset\frown{AB}$ و $\overset\frown{CD}$ مساوی‌اند.
برای حل این مساله، ابتدا چهار شعاع از دایره را مطابق شکل زیر رسم کنید. دو مثلث AOB و COD مطابق شکل تشکیل می‌شوند. آیا این دو مثلث همنهشت هستند؟
OA=OD شعاع‌های دایره
OB=OC شعاع‌های دایره
AB=CD فرض برابری وترها
(ض ض ض) $\left. \begin{align}
& OA=OD \\
& OB=OC \\
& AB=CD \\
\end{align} \right\}\Rightarrow \overset{\vartriangle }{\mathop{AOB}}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop{COD}}\,$
بنابراین اجزای متناظر دو مثلث نیز با هم مساوی هستند. یکی از اجزای متناظر زاویه‌های مرکزی دو مثلث هستند. یعنی $\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{COD}}\,$ و بنابراین دو کمان روبروی این زاویه‌ها نیز با هم برابر هستند. $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$
٢- در شکل مقابل کمان‌های $\overset\frown{AB}$ و $\overset\frown{CD}$ مساوی‌اند.
نشان دهید وترهای AB و CD با هم برابرند.
برای حل این مساله، ابتدا چهار شعاع دایره را مطابق شکل زیر رسم کنید. دو مثلث AOB و COD مطابق شکل تشکیل می‌شوند. آیا این دو مثلث همنهشت هستند؟ چون $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$، پس زوایه‌های مرکزی روبروی این کمان‌ها نیز با هم مساوی‌اند $\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{COD}}\,$ و داریم؛
OA=OD شعاع‌های دایره
$\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{COD}}\,$ فرض مساله
OB=OC شعاع‌های دایره
(ض ز ض) $\left. \begin{matrix}
OA=OD\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix} \\
\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{COD\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}}}\, \\
OB=OC\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow \overset{\Delta }{\mathop{AOB}}\,\cong \overset{\Delta }{\mathop{COD}}\,$
بنابراین اجزای متناظر دو مثلث نیز با هم مساوی هستند. یکی از اجزای متناظر همان ضلع سوم مثلث‌ها (وترهای دایره) هستند. AB=CD
کار در کلاس (صفحهٔ 51 کتاب درسی)
در شکل مقابل می‌دانیم AB=CD،
1- چرا $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$؟ وترهای مساوی از یک دایره، کمان‌های مساوی ایجاد می‌کنند.
2- جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید:
$\begin{align}
& \left\{ \begin{matrix}
\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD} \\
\overset\frown{BC}=\overset\frown{BC} \\
\end{matrix} \right. \\
& \overline{\overset\frown{AB}+\overset\frown{BC}=\overset\frown{CD}+\overset\frown{BC}}\Rightarrow \overset\frown{ABC}=\overset\frown{DCB} \\
\end{align}$
3- چرا AC=BD؟
کمان‌های مساوی در یک دایره، وترهای مساوی ایجاد می‌کنند. چون $\overset\frown{ABC}=\overset\frown{DCB}$، پس وترهای متناظر آنها نیز با هم مساوی‌اند. AC=BD
تمرین (صفحهٔ 51 کتاب درسی)
١- در شکل مقابل ABCD متوازی الاضلاع است و M و N و P و Q وسط‌های اضلاع متوازی الاضلاع‌اند، ثابت کنید: MN=PQ
در متوازی الاضلاع ضلع‌های روبرو با هم موازی‌اند. قبلاً ثابت کردیم که ضلع‌های روبرو با هم مساوی و زاویه‌های روبرو هم با یکدیگر مساوی هستند. پس داریم؛
$\begin{align}
& BN=\frac{1}{2}BC\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}DQ=\frac{1}{2}AD\Rightarrow BN=DQ \\
& BM=\frac{1}{2}AB\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}DP=\frac{1}{2}DC\Rightarrow BM=DP \\
\end{align}$
BN=DQ نصف ضلع‌های مساوی
$\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{D}}\,$ زاویه‌های روبرو
BM=DP نصف‌ضلع‌های مساوی
(ض ز ض) $\left. \begin{align}
& BN=DQ \\
& \overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{D}}\, \\
& BM=DP \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\overset{\vartriangle }{\mathop{BNM}}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop{DPQ}}\,$
در نتیجه اجزای متناظر دو مثلث همنهشت با هم برابرند. پس MN=PQ
2- در شکل مقابل O مرکز دایره است و BC و AD بر دایره مماس‌اند، نشان دهید که AD و BC برابرند.
شعاع در نقطۀ تماس بر خط مماس عمود است. پس $\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=90{}^\circ $. همچنین دو زاویۀ ${{\overset{\wedge }{\mathop{O}}\,}_{1}}$ و ${{\overset{\wedge }{\mathop{O}}\,}_{2}}$ متقابل به رأس هستند و با هم مساوی‌اند. OA و OB شعاع‌های دایره هستند و با هم مساوی‌اند. پس به حالت (ز ض ز) در دو مثلث داریم؛
$\left. \begin{align}
& \overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{B}}\, \\
& AO=BO \\
& \overset{\wedge }{\mathop{{{O}_{1}}}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{{{O}_{2}}}}\, \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\overset{\vartriangle }{\mathop{AOD}}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop{BOC}}\,$
در نتیجه اجزای متناظر دو مثلث همنهشت با هم برابرند. پس AD=BC
3- در شکل مقابل، مثلث ABC متساوی الساقین است و M و N روی قاعدهٔ BC طوری قرار دارند که BM=NC.
نشان دهید مثلث AMIN هم متساوی الساقین است.
چون مثلث ABC متساوی‌الساقین است، پس AB=AC و همچنین $\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{C}}\,$. با توجه به فرض مساله هم BM=NC. پس به حالت (ض ز ض) در دو مثلث ANC و AMB داریم؛
$\left. \begin{align}
& AB=AC \\
& \overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{C}}\, \\
& BM=CN \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\overset{\vartriangle }{\mathop{ANC}}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop{AMB}}\,$
در نتیجه اجزای متناظر دو مثلث همنهشت با هم برابرند. پس AM=AN و در نتیجه مثلث AMN نیز متساوی‌الساقین است.
4- در مستطیل ABCD، پاره‌خط‌های BE و AF طوری رسم شده که دو زاویهٔ ${{A}_{1}}$ و ${{B}_{1}}$ برابرند. ثابت کنید BE و AF مساوی‌اند.
در مستطیل اضلاع روبرو با هم مساوی‌اند، پس AD=BC و همچنین همه زاویه‌ها برابر 90 درجه هستند، پس $\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=90{}^\circ $. با توجه به فرض مساله هم ${{\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,}_{1}}={{\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,}_{1}}$. بنابراین داریم؛
$\left. \begin{align}
& \overset{\wedge }{\mathop{{{A}_{2}}}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,-\overset{\wedge }{\mathop{{{A}_{1}}}}\, \\
& \overset{\wedge }{\mathop{{{B}_{2}}}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,-\overset{\wedge }{\mathop{{{B}_{1}}}}\, \\
\end{align} \right\}\Rightarrow \overset{\wedge }{\mathop{{{A}_{2}}}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{{{B}_{2}}}}\,$
به حالت (ز ض ز) در دو مثلث ADF و BCE داریم؛
$\left. \begin{align}
& \overset{\wedge }{\mathop{{{A}_{2}}}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{{{B}_{2}}}}\, \\
& AD=BC \\
& \overset{\wedge }{\mathop{D}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{C}}\, \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\overset{\vartriangle }{\mathop{ADF}}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop{BCE}}\,$
در نتیجه اجزای متناظر دو مثلث همنهشت با هم برابرند. پس AF=BE.
5- نشان دهید در هر مثلث متساوی الساقین، فاصلهٔ هر نقطهٔ دلخواه روی نیمساز زاویهٔ رأس از دو سر قاعده، برابر است: MB=MC.
به حالت (ض ز ض) در دو مثلث ABM و ACM داریم؛
AC=AB ساق‌های مثلث
${{\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,}_{1}}={{\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,}_{2}}$ نیمساز
AM=AM ضلع مشترک
(ض ز ض) $\left. \begin{matrix}
AC=AB \\
{{\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,}_{1}}={{\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,}_{2}} \\
AM=AM \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow \overset{\Delta }{\mathop{ABM}}\,\cong \overset{\Delta }{\mathop{ACM}}\,\Rightarrow BM=CM$
