درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس نهم
درس 2: آشنایی با اثبات در هندسه
در درس گذشته آموختید که دیدن و استفاده از حواس یا ارائهٔ مثال‌های متعدد و همچنین توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی‌کند و باید از دلیل‌های منطقی و قانع کننده کمک گرفت و با استدلال، درستی آن موضوع را ثابت کرد. در روند استدلالمان از اطلاعاتِ مسئله (فرض یا داده‌ها) و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است، برای رسیدن به خواسته. مسئله (حکم) استفاده می‌کنیم.
فعالیت (صفحهٔ 37 کتاب درسی)
1- به گفت‌وگوی زیر توجه کنید:
مهرداد: آیا در هر لوزی زاویه‌های روبه رو با هم برابر است؟
سعید: بله، من در یک کتاب هندسه دیدم که اثبات کرده بود در متوازی الاضلاع زاویه‌های روبه رو، با هم مساوی است و لوزی هم نوعی متوازی الاضلاع است.
در این مسئله و اثبات آن، فرض، حکم و استدلال را در زیر کامل کنید:
فرض: شکل لوزی است.
حکم: زاویه‌های روبرو در لوزی با هم برابر است.
استدلال:
2- اولین اقدامی که برای اثبات انجام می‌دهیم، تشخیص فرض، حکم و واقعیت‌های مرتبط با آن مسئله است که از قبل آنها را می‌دانستیم. در مسئلهٔ زیر فرض، واقعیت‌های از قبل ثابت شده یا دانسته و حکم را به زبان ریاضی بنویسید و عبارت‌ها را کامل کنید:
فرض: ABCD است.
حکم: قطرهای مستطیل، مساوی است.
AC = BD :حکم
کار در کلاس (صفحهٔ 38 کتاب درسی)
فرض و حکم را برای مسئله‌های زیر مشخص کنید:
1- در دو مثلث داده شده زوایای برابر در شکل مشخص شده است. ثابت کنید زاویه‌های سوم از دو مثلث نیز با هم برابر است.
حکم: $\widehat{C}=\widehat{F}$
فرض: $\widehat{A}=\widehat{D}$ و $\widehat{B}=\widehat{E}$
2- اگر در یک مثلث دو زاویه نابرابر باشد، ضلع روبه رو به زاویهٔ بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است از، ضلع روبه رو به زاویهٔ کوچک‌تر.
حکم: $BC \gt AB$
فرض: $\widehat{A} \gt \widehat{C}$
3- نشان دهید در هر مثلث اندازه هر زاویه خارجی با مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور آن برابر است.
حکم: $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{F}+\widehat{G}$
فرض: $\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{E}+\widehat{H}$
فعالیت (صفحهٔ 39 کتاب درسی)
1- در مسئلهٔ زیر، فرض و حکم را بنویسید و اشکال استدلال داده شده را بیابید، سپس استدلال درستی برای آن بنویسید.
مسئله: در شکل مقابل پار خط AC نیمساز زاویهٔ A است و اضلاع AB و AD برابرند. ثابت کنید مثلث‌های مثلث $\overset{\vartriangle }{\mathop{ABC}}\,$ و $\overset{\vartriangle }{\mathop{ADC}}\,$ هم نهشت‌اند.
$BD=DC$ :حکم
$AB=AC,{{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}$ :فرض
استدلال: چون AC نیمساز است، داریم ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}$ و ${{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{C}}_{2}}$ و از طرفی AC نیز ضلع مشترک در هر دو مثلث است، لذا دو مثلث ABC و ADC به حالت دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز) هم نهشت‌اند.
2- مثلث زیر متساوی الساقین و AD نیمساز وارد بر قاعدهٔ آن است. با استدلال زیر نشان داده‌ایم که نیمساز وارد بر قاعده، میانه نیز می‌باشد.
لذا نقطهٔ D وسط BC است و AD میانه است.
آیا در مثلث ABC می‌توان نتیجه گرفت که نیمساز زاویهٔ B نیز میانهٔ ضلع مقابل آن است؟ به عبارتی، آیا می‌توان خاصیت اثبات شده برای نیمساز A را به نیمساز دیگر تعمیم داد؟
استدلال: چون AD نیمساز زاویه A است، پس: ${{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}$ و چون مثلث $\overset{\Delta }{\mathop{ABC}}\,$ متساوی الساقین است، پس $AB=AC$ و ضلع AD در دو مثلث مشترک است، پس مثلث‌های ADB و ADC به حالت دو ضلع و زاویۀ بین (ض‌زض) با هم همنهشتند، پس اجزای متناظر آنها برابر است. درنتیجه: $BD=DC$
نیمساز زاویه B میانۀ ضلع مقابل نیست. زیرا وقتی این نیمساز رسم می‌شود، دیگر اضلاع مساوی مثلث متساوی‌الساقین در دو مثلث حاصل کمکی به همنهشتی مثلث‌ها نمی‌کنند.
3- با استدلال زیر به سادگی می‌توان نتیجه گیری کرد که قطر AC از مربع ABCD نیمساز زاویه‌های A و C است. چون دو مثلث ABC و ADC به حالت سه ضلع هم نهشت‌اند و زوایای متناظر با هم برابرند؛ بنابراین ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}$ و ${{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{C}}_{2}}$ و لذا AC نیمساز است.
آیا می‌توان با استدلالی مشابه، این خاصیت را به قطر دیگر نیز تعمیم داد و گفت به طور کلی در مربع هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سر آن قطر است؟
بله. دقیقاً مشابه همین استدلال را می‌توان برای همنهشتی دو مثلث ABD و BDC استفاده کرد.
4- به نظر شما چرا در فعاليت 2 خاصيت موردنظر قابل تعميم به نيمسازهای ديگر نبود؛ اما در فعاليت 3 خاصيت موردنظر به قطر ديگر تعميم داده می‌شود؟
در فعالیت 1، یکی از فرض های مساله در مورد نیمسازهای دیگر قابلیت استفاده نداشت (برابری دو ساق مثلث). اما در فعالیت 2، عین ویژگی‌هایی که برای یک قطر وجود دارد، برای قطر دیگر هم وجود دارد و استفاده می‌شود.
5- نقطه‌ای مانند P، روی عمودمنصف پاره خط AB در نظر می‌گیریم و به دو سر پاره خط وصل می‌کنیم. چون دو مثلث AHP و BHP به حالت (ض ز ض) هم نهشت‌اند، نتیجه می‌گیریم پاره خط‌های PA و PB با هم برابر است.
بنابراین فاصلهٔ نقطهٔ P، که روی عمودمنصف پاره خط AB است، از دو سر پاره خط AB یکسان‌اند.
آیا این اثبات برای اینکه نتیجه بگیریم نتیجهٔ بالا برای «هر» نقطهٔ روی عمودمنصف برقرار است، کافی است؟
برای هر نقطۀ دیگری روی عمود منصف، تمام ویژگی‌های استدلال فوق برقرار است. بنابراین هر نقطه روی عمودمنصف از دو سر پاره خط AB به یک فاصله است.
کار در کلاس (صفحهٔ 40 کتاب درسی)
به استدلال‌هایی دقت کنید که چهار دانش آموز برای مسئلهٔ زیر آورده‌اند:
مسئله: مجموع زاویه‌های داخلی مثلث $180{}^\circ $ است.
استدلال حامد: حامد گفت یک مثلث متساوی الاضلاع را درنظر می‌گیریم؛ چون سه زاویه دارد و هر زاویه $60{}^\circ $ است، مجموع زاویه‌های مثلث $180{}^\circ $ است.
استدلال حسین: حسین چند مثلث مختلف با حالت‌های گوناگون کشید و زوایای آنها را اندازه گرفت و دید که در همهٔ آنها مجموع زوایای داخلی برابر $180{}^\circ $ است و نتیجه گرفت که مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180{}^\circ $ است.
استدلال مهدی: مهدی شکل روبرو را، که از مثلث‌های هم نهشت تشکیل شده است کشید و با مشخص کردن زاویه‌های مثلث ABC مانند شکل استدلالی با استفاده از شکل به صورت زیر آورد:
${{\widehat{A}}_{1}}+\widehat{B}+\widehat{C}={{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{3}}+{{\widehat{A}}_{2}}=180$
استدلال رضا: رضا گفت می‌دانیم که «هر خطی که دو خط موازی را قطع کند، با آنها هشت زاویه می‌سازد که مانند شکل چهار به چهار با هم مساوی‌اند».
حال مثلثی دلخواه مانند $\overset{\vartriangle }{\mathop{ABC}}\,$ را درنظر می‌گیریم؛ مانند شکل مقابل از رأس A خط d را موازی BC رسم می‌کنیم.
سه زاویهٔ تشکیل شده در رأس A را با شماره‌های 1، 2 و 3 نشان داده‌ایم که زاویهٔ ${{A}_{2}}$ همان زاویهٔ A در مثلث است و با درنظر گرفتن AB به عنوان مورّب داریم: $\widehat{B}={{\widehat{A}}_{1}}$ و با درنظرگرفتن AC به عنوان مورب داریم: $\widehat{C}={{\widehat{A}}_{3}}$ پس با جای گذاری ${{\widehat{A}}_{1}}$ و ${{\widehat{A}}_{3}}$ به ترتیب به جای $\widehat{B}$ و $\widehat{C}$ خواهیم داشت: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{\widehat{A}}_{2}}+{{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{3}}=180{}^\circ $
استدلال رضا را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی مرتّب و خلاصه کرد و بدین صورت نوشت:
دربارهٔ معتبر بودن استدلال‌های این دانش آموزان بحث کنید.
استدلال حامد: این استدلال فقط در مورد مثلث‌های متساوی الاضلاع درست است. آن هم در صورتی که فرض 60 درجه بودن هر زاویه در یک مثلث متساوی‌الاضلاع را قبول داشته باشیم. بنابراین استدلال مناسبی نیست.
استدلال حسین: او زاویه‌های چند مثلث را اندازه‌گیری و مجموع زاویه‌ها را در هر مثلث حساب کرده است. با این حال ممکن است مثلثی وجود داشته باشد که مجموع زوایای آن 180 درجه نباشد. او با اندازه‌گیری چند مثلث نمی‌تواند نتیجه خود را به هر مثلثی تعمیم دهد.
استدلال مهدی: اگر چه این استدلال روش جالبی به نظر می‌رسد اما مشخص نیست در این استدلال چگونه از کنار هم قرار گرفتن سه زاویۀ متفاوت مثلث‌های همنهشت، یک خط راست یا زاویۀ نیم‌صفحه حاصل شده است.
استدلال رضا: رضا از فرض‌هایی استفاده کرده است که درستی آنها قطعی است. این استدلال از این نظر که مجموع سه زاویه مثلث را به مجموع سه جزء از یک زاویه نیم صفحه تبدیل کرده است با استدلال مهدی شباهت دارد. ولی در استدلال رضا از همان ابتدا روشن است که Ad خطی موازی با BC است و بنابراین در نیم‌صفحه بودن آن هیچ شکی وجود ندارد. همچنین رضا با یک استدلال منطقی که مبتنی بر معلومات است، نشان داده است که مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. دقت کنید که استلال او به مثلث خاصی اختصاص ندارد و به هر مثلثی قابل تعمیم است.
فعالیت (صفحهٔ 41 کتاب درسی)
مسئله: حمید، سعید و بهرام هر کدام مقداری پول دارند. مجموع پول‌های حمید و بهرام برابر 5000 تومان و مجموع پول‌های سعید و بهرام نیز برابر 5000 تومان است. به نظر شما پول حمید بیشتر است یا پول سعید؟ دلیل خود را توضیح دهید.
پول حمید H، پول سعید S وپول بهرام را B فرض می‌کنیم. بنابراین با استدلال زیر پول حمید و سعید برابر است.
$\left. \begin{align}
& H+B=5000 \\
& S+B=5000 \\
\end{align} \right\}\Rightarrow H+B=S+B\Rightarrow H=S$
بین استدلالی که برای مسئلهٔ قبل و مسئلهٔ بعدی هست، چه شباهتی می‌بینید؟
فرض های هر دو مساله و روش استدلالی که برای حل آنها به کار رفته است، شبیه هم است.
مسئله: نشان دهید زاویه‌های متقابل به رأس با هم برابرند.
فرض کنیم ${{\widehat{O}}_{1}}$ و ${{\widehat{O}}_{3}}$ مانند شکل زیر متقابل به رأس باشد، داریم:
$\left. \begin{align}
& {{{\hat{O}}}_{1}}+{{{\hat{O}}}_{2}}={{180}^{\circ }} \\
& {{{\hat{O}}}_{3}}+{{{\hat{O}}}_{2}}={{180}^{\circ }} \\
\end{align} \right\}\Rightarrow {{\hat{O}}_{1}}+{{\hat{O}}_{2}}={{\hat{O}}_{3}}+{{\hat{O}}_{2}}\Rightarrow {{\hat{O}}_{1}}={{\hat{O}}_{3}}$
تمرین (صفحهٔ 42 کتاب درسی)
١- آیا اثبات مسئله زیر معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
مسئله: در هر مثلث، اندازهٔ زاویهٔ خارجی با مجموع اندازه‌های دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور با آن برابر است.
اثبات: مثلث متساوی الاضلاع ABC را درنظر می‌گیریم.
می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180{}^\circ $ است و زوایای ${{\widehat{A}}_{1}}$ و $\widehat{B}$ و $\widehat{C}$ هر کدام $60{}^\circ $ است؛ بنابراین:
${{\hat{A}}_{1}}+{{\hat{A}}_{2}}=180\to {{\hat{A}}_{2}}=180-{{\hat{A}}_{1}}=180-60=120$
$\widehat{B}+\widehat{C}=60+60=120\begin{matrix}
\begin{matrix}
{} & {} & {} \\
\end{matrix} & {} \\
\end{matrix}\Rightarrow {{\widehat{A}}_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}$
اعتبار ندارد چون مثلث را متساوی‌الاضلاع فرض کرده است و استدلال را بر این اساس انجام داده است. در صورتی که مسئله مثلث دلخواه را مورد سوال قرار داده است نه متساوی‌الاضلاع را.
2- در سال گذشته با تعریف چند ضلعی‌های محدب آشنا شدید. تعریف چندضلعی محدب را می‌توان بدین صورت هم آورد: «یک چندضلعی محدب است؛ اگر هر پاره خطی که دو نقطهٔ دلخواِه درون آن چندضلعی را به هم وصل می‌کند، به طور کامل درون آن چند ضلعی قرار بگیرد.» هر ضلعی که محدب نباشد، مقعر است. آیا تشخیص‌های سه دانش آموز در مورد محدب و مقعر بودن چندضلعی‌های زیر و دلایلی که ارائه کرده‌اند، با توجه به تعریف بالا درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
نرگس: چند ضلعی مقابل محدب نیست؛ زیرا نقاط P و Q درون آن قرار دارد اما پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، به طور کامل در آن قرار نمی‌گیرد.
او با یک مثال نقض نشان داده است که چند ضلعی محدب نیست. بنابراین استدلال معتبری است.
مهدیه: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط T و S درون آن قرار دارد و پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، نیز به طور کامل در آن قرار دارد.
او برای استدلال خود به ذکر یک مثال استناد کرده است. یک مثال نمی‌تواند درستی یک موضوع را در حالت کلی نشان دهد. به راحتی می‌توان نقاط دیگری در این شکل پیدا کرد که پاره خط واصل آنها به طور کامل داخل چندضلعی نباشد.
مریم: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط M و N درون آن قرار دارد و پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، نیز به طور کامل در آن قرار دارد.
او نیز برای استدلال خود به ذکر یک مثال استناد کرده است. یک مثال نمی‌تواند درستی یک موضوع را در حالت کلی نشان دهد. او باید استدلال خود را به صورت زیر اصلاح نماید:
برای هر نقطۀ M و N دلخواه درون چندضلعی، این خاصیت برقرار است.
3- آیا استدلال‌های زیر درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
الف) طبق فرض، هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است. پس نمی‌توان استدلال کرد که یک متوازی‌الاضلاع مانند ABCD یک مستطیل باشد.
ب) در فرض فقط به مساوی بودن ضلع‌های مربع اشاره شده است و در مورد شکل‌های دیگری اطلاعاتی وجود ندارد، پس نمی‌توان نتیجه گرفت که ضلع‌های یک چهارضلعی مانند ABCD با هم برابر نیستند.
ج) در فرض به برابری ضلع‌های مربع اشاره شده است. بنابراین اگر چهارضلعی وجود داشته باشد که ضلع‌های آن برابر نباشند، قطعاً مربع نیست.
4- ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.
یادآوری: فاصلهٔ یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره خطی که از آن نقطه بر خط عمود می‌شود.
راهنمایی: یک زاویهٔ دلخواه بکشید و نیمساز آن را رسم، و یک نقطه روی این نیمساز مشخص کنید. ثابت کنید فاصلهٔ این نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سپس دلیل آن را که این نتیجه برای همهٔ نقاطِ روی نیمساز درست است، بیان کنید.
چون AM نیمساز زوایه A است پس ${{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}$
چون MH بر Ac و MK بر Ab عمود است پس ${{\widehat{H}}_{1}}+{{\widehat{K}}_{2}}$
با توجه به دو فرض بالا و اینکه مجوع زوایای داخلی هر مثلث برابر 180 درجه است، پس ${{\widehat{M}}_{1}}+{{\widehat{M}}_{2}}$
بنابراین دو مثلث $\Delta AHM$ و $\Delta AKM$ به حالت (ز‌ض‌ز) همنهشت هستند و اجزای متناظر آنها هم، با هم مساوی هستند. پس $MH=MK$
ویژگی‌هایی که در این استدلال استفاده شده است برای هر نقطۀ دیگر روی نیمساز برقرار است و بنابراین این استدلال در حالت کلی برای هر نقطه روی نیمساز معتبر است.
