خانه
گاما

درسنامه آموزشی ریاضی فصل دوم کلاس نهم

درس 3: قدر مطلق و محاسبه تقریبی

بازدید46/2 K
تاریخ بروزرسانی1400/01/25

فعالیت (صفحهٔ 28 کتاب درسی)

 

1- با توجه به شکل، به سؤالات زیر پاسخ دهید:
نقاط A و B چه عددی را نمایش می‌دهد؟ طول نقطهٔ A برابر 3 و طول نقطهٔ B برابر 3- است.
فاصلهٔ نقطه A از O یا طول پاره خط OA چقدر است؟ $OA=3$
فاصلهٔ نقطه B از O یا طول پاره خط OB چقدر است؟ $OB=3$
می‌خواهیم نقاطی را روی محور بیابیم که فاصله آن از O برابر 2 باشد.

2- نقطهٔ C را روی محور نمایش دهید به طوری که طول OC برابر ٢ باشد؛ چند نقطه می‌توان یافت؟
دو نقطه روی محور نشان داده شده‌اند. نقطۀ به طول 2 و نقطۀ به طول 2-

فاصلهٔ نقطهٔ نمایش عدد a را از مبدأ، قدر مطلق a می‌نامیم و با علامت |a| (بخوانید قدر مطلق a) نمایش می‌دهیم؛ بنابراین در مثال بالا می‌توان نوشت: $|-2|=|2|=2$

مثال:
فاصلهٔ نقاط نظیر دو عدد $\frac{2}{3}$ و $-\frac{2}{3}$ تا مبدأ برابر $\frac{2}{3}$ است؛ پس قدر مطلق هر دو عدد $\frac{2}{3}$ و $(-\frac{2}{3})$ برابر $\frac{2}{3}$ است؛ یعنی: $|\frac{2}{3}|=|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$

مثال:
قدر مطلق $-\sqrt{5}$ را به صورت $|-\sqrt{5}|$ نشان می‌دهیم که مساوی $\sqrt{5}$ است. قدرمطلق 0/04 را به صورت |0/04| نشان می‌دهیم که مساوی 0/04 است.

قدر مطلق صفر، مساوی صفر و قدر مطلق عددهای مثبت برابر خود آن عدد است. قدر مطلق هر عدد منفی، قرینهٔ آن است. اگر a یک عدد حقیقی باشد:

$a=0\Rightarrow |a|=0$
$a>0\Rightarrow |a|=a$
$a<0\Rightarrow |a|=-a$

مثال:
به محاسبات زیر توجه کنید:

$|10-20+5|=|-5|=5$
$|(-6)\times (+10)|=|-60|=60$

کار در کلاس (صفحهٔ 29 کتاب درسی)

 

1- جملات سمت راست را به عبارات مناسب در سمت چپ وصل کنید:
الف) دو عدد a و b مثبت است. <===> $a \gt 0,b \gt 0$
ب) عدد a نا منفی است. <===> $a\ge 0$
ج) دو عدد a و b منفی است. <===$a \lt 0,b \lt 0$
د) عدد a مثبت و عدد b منفی است. <===> $a \gt 0,b \lt 0$
ه) عدد a نامثبت است. <===> $a\le 0$

اعداد نامنفی شامل اعداد مثبت و صفر می‌شود. اعداد نامثبت شامل اعداد منفی و صفر می‌شوند.
2- هر عبارت سمت راست، نتیجهٔ منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید:

الف) $a \gt 0,b \gt 0$ <===> $ab \gt 0,a+b \gt 0$

ب) $a \lt 0,b \lt 0$ <===> $ab \gt 0,a+b \lt 0$

ج) $a \lt 0,b \gt 0$ <===> $ab \lt 0$

برای هر دو عدد مثبت، حاصل جمع و ضرب آنها نیز مثبت است. برای هر دو عدد منفی، حاصل جمع آنها منفی و حاصل‌ضرب آنها مثبت است. برای یک عدد مثبت و یک عدد منفی حاصل‌ضرب منفی است و حاصل جمع با علامت عدد بزرگ‌تر مشابه است.

3- هر عبارت سمت راست، نتیجهٔ منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید:

الف) $a\gt 0$ <===> $|a|=a$

ب) $a \gt 0,b \gt 0$ <===> چون a+b مثبت است.  $|a+b|=a+b$

ج) $a \lt 0$ <===> $|a|=-a$

 د) $a \lt 0,b \lt 0$ <===> چون a+b منفی است. $|a+b|=-(a+b)$

4- عبارات زیر را به زبان ریاضی بنویسید و برای هر کدام مثال بنویسید:

١) قدر مطلقِ حاصل ضربِ دو عدد، مساوی با حاصل ضرب قدر مطلقِ آنهاست.

$\begin{align}
  & \overbrace{\left| ab \right|}^{{}}=\underbrace{\left| a \right|\times \left| b \right|}_{{}} \\
 & \xrightarrow{a=-2,b=5}\left\{ \begin{matrix}
   \left| ab \right|=\left| (-2)\times 5 \right|=\left| -10 \right|=10\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| a \right|\times \left| b \right|=\left| -2 \right|\times \left| 5 \right|=2\times 5=10\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   {}  \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
   \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow \left| ab \right|=\left| a \right|\times \left| b \right| \\
\end{align}$

٢) قدر مطلقِ مجموع دو عدد، از مجموع قدرمطلق‌های آن دو عدد، کوچک‌تر یا مساوی با آن است.

$\begin{align}
  & \overbrace{\left| a+b \right|}^{{}}\le \underbrace{\left| a \right|+\left| b \right|}_{{}} \\
 & \xrightarrow{a=-2,b=5}\left\{ \begin{matrix}
   \left| a+b \right|=\left| -2+5 \right|=\left| 3 \right|=3  \\
   \left| a \right|+\left| b \right|=\left| -2 \right|+\left| 5 \right|=2+5=7  \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow \left| a+b \right|<\left| a \right|+\left| b \right| \\
 & \xrightarrow{a=2,b=5}\left\{ \begin{matrix}
   \left| a+b \right|=\left| 2+5 \right|=\left| 7 \right|=7  \\
   \left| a \right|+\left| b \right|=\left| 2 \right|+\left| 5 \right|=2+5=7  \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow \left| a+b \right|=\left| a \right|+\left| b \right| \\
\end{align}$

فعالیت (صفحهٔ 29 کتاب درسی)

 

مقدار تقریبی عددهای زیر تا یک رقم اعشار نوشته شده است:

  $\sqrt{8}\simeq 2/8$ $\sqrt{6}\simeq 2/4$  $\sqrt{5}\simeq 2/2$  $\sqrt{3}\simeq 1/7$    $\sqrt{2}\simeq 1/4$

با توجه به مقادیر تقریبی صفحهٔ قبل، تساوی‌های زیر را مانند نمونه کامل کنید و دلیل خود را توضیح دهید:

$|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$

دلیل: $\sqrt{2}\simeq 1/4$ پس $1-\sqrt{2}$ عددی منفی می‌شود:

دلیل: $\sqrt{3}\simeq 1/7$ پس $2-\sqrt{3}=$ عددی مثبت است.

$2-\sqrt{3}$ $|2-\sqrt{3}|=$ (الف

دلیل: $\sqrt{7} \lt \sqrt{8}$ پس $\sqrt{7}-\sqrt{8}$ که عددی منفی است.

$-(\sqrt{7}-\sqrt{8})=-\sqrt{7}+\sqrt{8}=\sqrt{8}-\sqrt{7}$ $|\sqrt{7}-\sqrt{8}|=$ (ب

دلیل: $2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$ عددی منفی است.

$\left| \sqrt{5} \right|=\sqrt{5}$ $|2\sqrt{5}-\sqrt{5}|=$ (ج

دلیل: 4- و $-\sqrt{3}$ و هر دو عددی منفی هستند، پس $-4-\sqrt{3}$ نیز منفی است.

$-(-4-\sqrt{3})=4+\sqrt{3}$ $|-4-\sqrt{3}|=$ (ج

مثال:
اگر $a=\frac{1}{2}$ و $b=\sqrt{2}$ و $c=-3$ باشد، حاصل عبارت $|a+b+c|$ را به دست می‌آوریم:

$|a+b+c|=|\frac{1}{2}+\sqrt{2}+(-3)|=|-2/5+\sqrt{2}|$

چون $-2/5+\sqrt{2}$ عددی منفی است $(\sqrt{2}\simeq 1/4)$، پس حاصل عبارت مساوی با $-(-2/5+\sqrt{2})$ یعنی $2/5-\sqrt{2}$ است.

مثال:

$|\underbrace{3-\sqrt{5}}_{+}|+|\underbrace{-2-\sqrt{5}}_{+}|=(3-\sqrt{5})-(-2-\sqrt{5})=3-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=5$

فعالیت (صفحهٔ 30 کتاب درسی)

 

جدول زیر را کامل کنید:

$\sqrt{{{325}^{2}}}$ $\sqrt{{{(-127)}^{2}}}$ $\sqrt{{{(-7)}^{2}}}$ $\sqrt{{{(-6)}^{2}}}$ $\sqrt{{{6}^{2}}}$ $\sqrt{{{3}^{2}}}$ $\sqrt{{{(-3)}^{2}}}$ $\sqrt{{{a}^{2}}}$
325 127 7 6 6 3 3 حاصل

از فعالیت بالا چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
جذر، مجذور یک عدد دلخواه برابر قدر مطلق آن عدد است.

$\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|$

با توجه به فعالیت بالا و مفهوم قدرمطلق، می‌توانیم بنویسیم: $\sqrt{{{a}^{2}}}=|a|$

مثال:
برای محاسبهٔ $\sqrt{{{(1-\sqrt{3})}^{2}}}$ خواهیم داشت:

$\sqrt{{{(1-\sqrt{3})}^{2}}}=|\underbrace{1-\sqrt{3}}_{-}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}$

کار در کلاس (صفحهٔ 31 کتاب درسی)

 

1- عبارت‌های زیر را با هم مقایسه کنید:

$49=\left| 49 \right|=\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left| {{(-7)}^{2}} \right|=\left| -{{7}^{2}} \right|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}=\left| -49 \right|=49$ $|{{(-7)}^{2}}|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\bigcirc \begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}|-7{{|}^{2}}$ (الف

 $|-8+5|\bigcirc |-8|+|5|$ (ب
$3=\left| -3 \right|=\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left| -8+5 \right| \lt \left| -8 \right|+\left| 5 \right|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}=8+5=13$$3=\left| -3 \right|=\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left| -8+5 \right| \lt \left| -8 \right|+\left| 5 \right|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}=8+5=13$

$6=\left| -6 \right|=\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left| 3-9 \right| \gt \left| 3 \right|-\left| 9 \right|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}=3-9=-6$ $|3-9|\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\bigcirc \begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}|3|-|9|$ (ج

2- عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید:

$0$ $|0|=$

$\frac{4}{3}$$|-\frac{4}{3}|=$

${{7}^{4}}-{{7}^{3}}$$|{{7}^{3}}-{{7}^{4}}|=$

${{0/2}^{5}}-{{0/2}^{6}}$$|{{0/2}^{5}}-{{0/2}^{6}}|=$

اعداد بین صفر و یک، هر چه توان بزرگ‌تری داشته باشند، مقدار آنها کوچک‌تر می‌شود. برای مثال؛

${{0/2}^{5}} \gt {{0/2}^{6}}$

3- حاصل عبارات زیر رابه دست آورید:



$|-2595|=2595$$\sqrt{{{(-2595)}^{2}}}=$ (الف

$\left| 1394 \right|=1394$$\sqrt{{{(1394)}^{2}}}=$(ب

$\left| -3+\sqrt{10} \right|=\sqrt{10}-3$$\sqrt{{{(-3+\sqrt{10})}^{2}}}=$ (ج

$\left| 2-\sqrt{5} \right|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$$\sqrt{{{(2-\sqrt{5})}^{2}}}=$ (د

در قسمت (ج) $\sqrt{10} \gt 3$ است، پس $-3+\sqrt{10}$ مثبت است و در قسمت (د) $2 \gt \sqrt{5}$ ، پس $2-\sqrt{5}$ منفی است.

تمرین (صفحهٔ 31 کتاب درسی)

 

1- اگر $c=2\frac{1}{2},b=-\frac{1}{4},a=0/25$ باشد، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$|a+b|+2|a-b-c|$
$\begin{align}
  & =\left| 0/25+(-\frac{1}{4}) \right|+2\times \left| 0/25-(-\frac{1}{4})-2\frac{1}{2} \right| \\
 & =\left| \overbrace{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}^{0} \right|+2\times \left| \overbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}^{\tfrac{1}{2}}-2\frac{1}{2} \right|=0+2\left| \frac{1}{2}-2\frac{1}{2} \right|=2\left| -2 \right|=2\times 2=4 \\
\end{align}$

 

2- عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید:

$=3\sqrt{5}$$|-3\sqrt{5|}$ (الف

$=\left| \sqrt{49}-\sqrt{25\times 3} \right|=\left| \sqrt{49}-\sqrt{75} \right|=-\left( \sqrt{49}-\sqrt{75} \right)=\sqrt{75}-\sqrt{49}=5\sqrt{3}-7$$|7-5\sqrt{3|}$ (ب

$=\left| \sqrt{5} \right|=\sqrt{5}$$|0+\sqrt{5}|$ (ج

3- جای خالی را با عدد مناسب پر، و جواب‌هایتان را در کلاس با سایر دوستانتان مقایسه کنید:

$\left| 5-12 \right| \gt 1+\square \begin{matrix}
   {} & \Rightarrow \left| -7 \right|  \\
\end{matrix}=7 \gt 1+\square $

در نتیجه در جای خالی هر عدد کمتر از 6 را می‌توان جایگزین نمود. مانند؛ 5/7، 3، 2-، $\sqrt{3}$ و ...

4- مقدار عددی عبارت $|a|+a$ را به ازای $a=0,a=-2$ و a=2 به دست آورید.

$\left| a \right|+a=\left\{ \begin{matrix}
   \xrightarrow{a=-2}\left| -2 \right|+(-2)=2-2=0  \\
   \xrightarrow{a=0}\left| 0 \right|+(0)=0+0=0\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   \xrightarrow{a=2}\left| 2 \right|+(2)=2+2=4\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right.$

آیا می‌توانید عددی حقیقی به جای a قرار دهید که حاصل $|a|+a$ منفی باشد؟ خیر، همواره مثبت یا صفر است. زیرا؛

$\left| a \right|=\left\{ \begin{matrix}
   a\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}a\ge 0  \\
   -a\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}a \lt 0  \\
\end{matrix} \right.$

با توجه به رابطه روبرو، اگر عدد حقیقی مثبت باشد، آنگاه $\left| a \right|+a=2a>0$
و اگر عدد حقیقی منفی باشد، آنگاه $\left| a \right|+a=-a+a=0$

 5- با ارائهٔ یک مثال، نادرست بودن تساوی $\sqrt{{{a}^{2}}}=a$ را نشان دهید.
برای این منظور کافی است a را عددی منفی در نظر بگیریم. برای مثال اگر a=-5 داریم؛

$\sqrt{{{a}^{2}}}=\sqrt{{{(-5)}^{2}}}=\sqrt{25}=5\ne -5$

6- حاصل عبارات روبه رو را به دست آورید:

$=\overbrace{\left| \sqrt{2}-1 \right|}^{\sqrt{2}>1}=\sqrt{2}-1$$\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}}$

$=\overbrace{\left| 1-\sqrt{10} \right|}^{1<\sqrt{10}}=-\left( 1-\sqrt{10} \right)=-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$ $\sqrt{{{(1-\sqrt{10})}^{2}}}$

درس 3: قدر مطلق و محاسبه تقریبی