درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی کلاس نهم
درس 2: عددهای حقیقی
فعالیت (صفحهٔ 23 کتاب درسی)
1- پنج عدد بین 1 و 2 معرفی کنید و آنها را روی محور نمایش دهید.
2- با توجه به اینکه مقدار تقریبی $\sqrt{2}$ مساوی 1/4 است، آن را روی محور نشان دهید.
3- معلّم از دانش آموزان خواست با ماشین حساب، مقدار تقریبی عدد $\sqrt{2}$ را بنویسند. با توجه به اینکه دانش آموزان از ماشین حساب‌های مختلف استفاده می‌کردند، تعداد رقم‌هایی که نوشته بودند، متفاوت بود. سه نمونه از صفحهٔ نمایش ماشین حساب‌ها را در زیر می‌بینید. با توجه به آنها به سؤال‌های زیر پاسخ دهید:
- چرا در ماشین حساب 8 رقمی، رقم آخر با رقم مشابه در ماشین حساب 12 رقمی تفاوت دارد؟
ماشین حساب 8 رقمی، آخرین رقم را به صورت گرد شده نمایش می‌دهد. با توجه به ماشین حساب 12 رقمی مشخص است که پس از رقم 5، رقم 6 قرار دارد، بنابراین مقدار گرد شدۀ رقم 5 به 6 تبدیل می‌شود.
- چرا این تفاوت در ماشین حساب‌های 10 رقمی و 12 رقمی دیده نمی‌شود؟
در ماشین حساب 12 رقمی، رقم در جایگاه 10ام بعد از ممیز، کوچک‌تر از 5 است و لذا در گرد کردن چیزی به مقدار رقم این جایگاه اضافه نمی‌شود.
- با توجه به عددی که ماشین حساب 12 رقمی نشان می‌دهد، آیا تناوب (تکرار منظم) در رقم های اعشاری دیده می‌شود؟
خیر، هیچ تکرار منظم یا الگویی در تکرار ارقام بعد از اعشار دیده نمی‌شود.
- مقدار تقریبی $\sqrt{2}$، تا 15 رقم اعشار محاسبه، و در زیر نوشته شده است:
آیا در 15 رقم نشان داده شده برای $\sqrt{2}$، تناوبی می‌بینید؟ خیر، تناوبی وجود ندارد.
$\sqrt{2}$ عددی گنگ است. اثبات این مطلب را در سال‌های آینده می‌خوانید.
عدد $\pi $ نیز گنگ است. در زیر عدد $\pi $ تا 30 رقم اعشار نوشته شده است؛ امّا در محاسبات،معمولاً تا دو رقم اعشار $\pi $ استفاده می‌شود:
$\pi \simeq 3/141592653589793238462643383279$
اگر عدد n مربع کامل، $\sqrt{n}$ گنگ است؛ مانند $\sqrt{15}$ ، $\sqrt{6}$.... (عددهایی مانند 1، 4، 9، 16 و ...مربع کامل است.)
مثال:
مجموعه‌های $\mathbb{N}$ و $\mathbb{Z}$ و $\mathbb{Q}$ و $\mathbb{Q}'$ به کمک نمودار ون، مشخص شده است.
مثال:
$0\in \mathbb{Q}$
$0/2002000200002...\in \mathbb{Q}'$
$\sqrt{0/49}\in \mathbb{Q}$
$-\frac{3}{4}\in \mathbb{Q}$
$\sqrt{3}\in \mathbb{Q}'$
کار در کلاس (صفحهٔ 24 کتاب درسی)
کدام عبارت، درست و کدام عبارت، نادرست است؟
درست $Q\bigcap {{Q}^{'}}=\varnothing $
نادرست $\mathbb{N}\subseteq {{Q}^{'}}$
درست $\mathbb{Z}\subseteq Q$
نادرست $\mathbb{Z}\subseteq {{Q}^{'}}$
فعالیت (صفحهٔ 24 کتاب درسی)
الف) بین دو عدد 1 و 2 چند عدد گویا می توان نوشت؟ بی‌شمار
ب) اگر این عددها را روی محور نمایش دهیم، متناظر با این عددها، چند نقطه روی محور می‌توان پیدا کرد؟ بی‌شمار
ج) روی محور نقطهٔ نمایش $\sqrt{2}$ را پیدا کنید.
به مرکز مبدأ محور، کمانی به اندازۀ وتر مثلث قائم‌الزاویه می‌زنیم، اندازۀ شعاع این دایره برابر $\sqrt{2}$ است. زیرا؛
${{1}^{2}}+{{1}^{2}}={{\sqrt{2}}^{2}}$
د) اگر نقاطی را رنگ کنیم که عددی گویا را نمایش می‌دهد، آیا همهٔ نقاط پاره خط AB رنگ می‌شود؟
بین دو عدد صحیح بی‌شمار عدد گنگ و بی‌شمار عدد گویا وجود دارد. بنابراین همۀ نقاط این پاره خط اعداد گویا نیستند.
آیا $\sqrt{2}$ نیز رنگ می‌شود؟ خیر $\sqrt{2}$ عددی گنگ است.
آیا این نقاط، که هر کدام نمایش یک عددگویا است، یک پاره خط به وجود می‌آورد؟ چرا؟
خیر، بین اعداد گویا، بی‌شمار عدد گنگ وجود دارد و بنابراین همۀ نقاط فاصلۀ A تا B به صورت پیوسته رنگ نمی‌شوند و در نتیجه از کنار هم قرار گرفتن این نقاط پاره خطی حاصل نمی‌شود.
مثال:
نقطه نمایش عدد گنگ $\sqrt{10}$ روی محور به صورت زیر است:
به مرکز O و به شعاع OA کمان رسم می‌کنیم. نقطه B روی محور عدد $\sqrt{10}$ را نمایش می‌دهد.
$O{{A}^{2}}={{3}^{2}}+{{1}^{2}}=10\Rightarrow OA=\sqrt{10}$
کار در کلاس (صفحهٔ 25 کتاب درسی)
1- بین $\sqrt{5}$ و $\sqrt{10}$، چهار عدد گنگ بنویسید.
برای مثال می‌توان چهار عدد $\sqrt{6}$ ، $\sqrt{7}$ ، $\sqrt{8}$ و $\pi $ را نوشت.
2- بین دو عدد 2 و 3، چهار عدد گنگ بنویسید.
$2=\sqrt{4} \lt \underbrace{\sqrt{5} \lt \sqrt{6} \lt \sqrt{7} \lt \sqrt{8}}_{{}} \lt \sqrt{9}=3$
3- الف) مجموعهٔ A را به صورت $A=\{x\in \mathbb{Q}|2\le x\le 3\}$ را در نظر بگیرید. آیا نمایش A به صورت زیر درست است؟
پاره‌خط روی محور، کل اعداد حقیقی ( گویا و گنگ) بین 2 تا 3 را نشان می‌دهد. در صورتی که نمایش ریاضی مجموعۀ A فقط اعداد گویا بین 2 تا 3 را معرفی می‌کند.
ب) نقطهٔ نمایش $\sqrt{5}$ را روی محور مشخص کنید.
به مرکز مبدأ محور، کمانی به اندازۀ وتر مثلث قائم‌الزاویه می‌زنیم، اندازۀ شعاع این دایره برابر $\sqrt{5}$ است. زیرا؛
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}={{\sqrt{5}}^{2}}$
عددها به دو دسته، عددهای گویا و عددهای گنگ دسته بندی می‌شود. اجتماع مجموعهٔ عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه عددهای حقیقی می‌نامیم و آن را با $\mathbb{R}$ نمایش می‌دهیم. داریم: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\bigcup \mathbb{Q}'$
کار در کلاس (صفحهٔ 25 کتاب درسی)
1- داخل $\bigcirc $ علامت $\in $ یا $\notin $ بگذارید:
$\mathbb{R}$ $\in $ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$
R $\in $ $\sqrt{18}$
0/2 $=\frac{2}{10}\in $ Q
4 $\in $ $\mathbb{Z}$
$\frac{0}{6}$ $\in $ $\mathbb{R}$
$\sqrt{25}$ $=5\notin $ ${{Q}^{'}}$
$-\frac{7}{3}$ $\notin$ $\mathbb{Z}$
-5 $\in $ $\mathbb{R}$
$\frac{9}{-1}$ $=-9\in$ $\mathbb{Z}$
$\sqrt{0/09}$ $=0/3=\frac{3}{10}\in$ Q
$\sqrt{0/9}$ $\in $ ${{Q}^{'}}$
$\sqrt{3/5}$ $\in $ ${{Q}^{'}}$
هر عدد دلخواهی، عضوی از مجموعۀ اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است. هر عدد رادیکالی که قابل ساده شدن باشد، عددی گویاست ($\mathbb{Q}$) و در غیر اینصورت عددی گنگ $(\mathbb{Q}')$ است.
2- مجموعه‌های سطر اوّل را به مجموعهٔ مناسب در سطر دوم وصل کنید. هر مجموعه در سطر اوّل با یک مجموعه در سطر دوم مساوی است.
$\mathbb{R}$ <==> $\mathbb{Q}\bigcup \mathbb{Q}'$
$\mathbb{Q}'\subset \mathbb{R}$ زیرا ${{Q}^{'}}$ <==> $\mathbb{Q}'\bigcap \mathbb{R}$
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ زیرا $\mathbb{N}$ <==> $\mathbb{Z}\bigcap \mathbb{N}$
$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ زیرا $\mathbb{Z}$ <==> $\mathbb{Q}\bigcap Z$
$\varnothing $ <==> $\mathbb{Q}\bigcap\mathbb{Q}'$
فعالیت (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
با توجه به اینکه مجموعهٔ عددهای حقیقی تمام عددها را شامل می‌شود، مجموعه‌های زیر را مانند نمونه روی محور نشان دهید:
با توجه به مجموعهٔ A چرا نقطهٔ ٢ روی محور توپر و نقطهٔ ٣ روی محور توخالی است؟
زیرا با توجه به نمایش نمادین این مجموعه، نقطۀ 2 عضو مجموعۀ A است ولی نقطۀ 3 عضو این مجموعه نیست.
$A=\{x\in \mathbb{R}|2\le x<3\}$
$B=\{x\in R|x<-2\}$
$c=\{x\in R|-1\le x\le 5\}$
$D=\{x\in R|x\ge 6\}$
کار در کلاس (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
1- مجموعه‌های زیر را روی محور نشان دهید و یا با توجه به محور، مجموعهٔ متناظر آن را بنویسید:
الف) $A=\{x\in R|x>-1\}$
ب)$B=\{x\in R|-2\le x\le 3\}$
ج) $C=\{x\in R|x\le 2\}$
2- با توجه به سه مجموعه A و B و C در سؤال ١ عبارات درست را با علامت * مشخص کنید:
درست $0/75 \in A$
درست $\sqrt{13}\in A$
درست $\sqrt{1}\in A$
درست $0/252552555 ...\in B$
$\sqrt{7}\in C$
درست $-1000\in C$
3- کدام یک از مجموعه‌های زیر با مجموعهٔ نقاط روی شکل زیر، برابر است؟
الف) $\{-1,0,1,2,3\}$
ب) $\{x\in \mathbb{R}|x>-2\}$
ج) $\{x\in \mathbb{R}|-2 \lt x \lt 3\}$
گزینهٔ (ج). روی محور مجموعۀ اعداد حقیقی بین 2- و 3 مشخص شده است. یعنی اعداد حقیقی بزرگ‌تر از 2- و کوچک‌تر از 3.
تمرین (صفحهٔ 27 کتاب درسی)
1- با توجه به مجموعه‌های داده شده، سایر سطرها را مانند سطر اوّل کامل کنید:
| $\frac{6}{2}$ | 10- | 0/292292229 .... | $-\frac{3}{4}$ | $\pi $ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3/2}$ | مجموعهٔ اعداد |
| * | × | × | × | × | × | × | × | $\mathbb{N}$ طبیعی |
| * | × | × | × | * | × | × | W حسابی | |
| * | × | × | × | * | × | × | $\mathbb{Z}$ صحیح | |
| * | × | * | × | * | * | × | $\mathbb{Q}$ گویا | |
| × | * | × | * | × | × | * | $\mathbb{Q}'$ گنگ | |
| * | * | * | * | * | * | * | $\mathbb{R}$ حقیقی |
2- در هر یک از حالت‌های الف و ب تفاوت دو مجموعه را با ذکر دلیل بنویسید:
$A=\{x\in \mathbb{R}|1/5 \lt x \lt 5\}\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}B=\{x\in \mathbb{Q}|1/5 \lt x \lt 5\}$
مجموعۀ A شامل اعداد حقیقی بین 1/5 و 5 است در حالی که مجموعۀ B شامل اعداد گویا بین 1/5 و 5 است.
$C=\{4,5,6,7,8\}\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix},\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}D=\{x\in \mathbb{R}|3 \lt x \lt 9\}$
مجموعۀ D شامل اعداد حقیقی بین 3 و 9 است در حالی که مجموعۀ C فقط شامل اعداد طیعی بین 3 و 9 است.
3- طرف دوم تساوی‌های زیر را کامل کنید:
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ چون $\mathbb{Z}$ $\mathbb{N}\bigcup \mathbb{Z}=$ -1
$Q\bigcup {{Q}^{'}}=\mathbb{R}$ چون $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}-{{Q}^{'}}=$ -2
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ چون $\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}\bigcap \mathbb{N}=$ -3
${{Q}^{'}}\subset \mathbb{R}$ چون ${{Q}^{'}}$ $\mathbb{R}\bigcap {{Q}^{'}}=$ -4
4- عدد $1+\sqrt{5}$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟
عدد 5 بین دو عدد مربع کامل 4 و 9 قرار دارد.
$4 \lt 5 \lt 9\underrightarrow{\sqrt{{}}}2 \lt \sqrt{5} \lt 3\underrightarrow{+1}\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}1+2 \lt 1+\sqrt{5} \lt 1+3\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}\Rightarrow 3 \lt 1+\sqrt{5} \lt 4$
5- بين هر دو عدد، چهار عدد گنگ بنويسيد:
5 و 2- (الف
$-2=-\sqrt{4} \lt \underbrace{-\sqrt{3} \lt -\sqrt{2} \lt \sqrt{2} \lt \sqrt{3} \lt \sqrt{5}}_{{}} \lt \sqrt{25}=5$
7 و 6 (ب
$6=\sqrt{36} \lt \underbrace{\sqrt{37} \lt \sqrt{38} \lt \sqrt{42} \lt \sqrt{45} \lt \sqrt{48}}_{{}} \lt \sqrt{49}=7$
$\sqrt{3},6$ (ب
$\sqrt{3} \lt \underbrace{\sqrt{5} \lt \sqrt{6} \lt \sqrt{14} \lt \sqrt{26} \lt \sqrt{33}}_{{}} \lt \sqrt{36}=6$
$\sqrt{2},\sqrt{4/1}$ (د
$\sqrt{2} \lt \underbrace{\sqrt{2/2} \lt \sqrt{2/6} \lt \sqrt{3} \lt \sqrt{3/5} \lt \sqrt{3/8}}_{{}} \lt \sqrt{4/1}$
6- عبارات درست را با * و عبارات نادرست را با × مشخص کنید. برای عبارات درست مثال بزنید.
١) عددی وجود دارد که صحیح و گویا باشد. درست
$-\frac{6}{2}=-3$
٢) عددی وجود دارد که گویا و گنگ باشد. نادرست
٣) عددی وجود دارد که حقیقی و گنگ باشد. درست
مانند $\sqrt{5}$ که عددی گنگ است و حقیقی نیز هست.
٤) عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد. درست
مانند 12 که عددی طبیعی است و حقیقی نیز هست.
7- در نمایش اعشاری عدد $\sqrt{10}$ و عدد $\frac{3}{11}$ چه تفاوتی هست؟
با استفاده از یک ماشین حساب 15 رقمی داریم؛
$\sqrt{10}=3/16227766016837$
$\frac{3}{11}=0/27272727272727$
مشاهده می‌شود که در نمایش اعشاری عدد $\sqrt{10}$ هیچ الگوی تکرار شونده‌ای وجود ندارد (گنگ است) ولی در نمایش اعشاری عدد $\frac{3}{11}$ عدد 27 بعد از ممیز تکرار می‌شود (گویا است).