درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی کلاس نهم
درس 1: عددهای گویا
فعالیت (صفحهٔ 19 کتاب درسی)
1- در فصل گذشته با نمایش‌های مختلفِ مجموعه‌های اعداد آشنا شدید. عبارت‌های زیر را مانند نمونه کامل کنید:
| ردیف | عبارت کلامی | زبان نمادین | محور |
| 1 | عددهای طبیعی بیشتر یا مساوی 3 | $\begin{align} & \left\{ x\in \left. \mathbb{N} \right|x\ge 3 \right\} \\ & \left\{ 3,4,5,... \right\} \\ \end{align}$ |
|
| 2 | عددهای حسابی *کوچک‌تر از 2 | $\left\{ x\in \left. \mathbb{W} \right|x\le 2 \right\}$ $\left\{ 0,1,2 \right\}$ |
|
| 3 | عددهای صحیح بین 3- و 2 | $\left\{ x\in \left. \mathbb{Z} \right|-3 \right\}$ $\left\{ -2,-1,0,1 \right\}$ |
|
| 4 | عددهای صحیح بزرگتر از 1- | $\begin{align} & \left\{ x\in \left. \mathbb{Z} \right|x>-1 \right\} \\ & \left\{ 0,1,2,3,... \right\} \\ \end{align}$ |
|
نامساوی$x\ge 3$برای کدام یک از عددهای زیر درست است؟
1 و 2 و 3 و 4 و 5
2- می‌خواهیم بین $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ چند کسر بنویسیم. روش‌های مختلفی را که چهار دانش‌آموز نوشته‌اند، بررسی و کامل کنید؛ راه حل هر کدام را توضیح دهید.
روش بهار:
از کسرهای مساوی با $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ استفاده کرده است. در مرحلۀ اول، کسرها را در 2 و در مرحلۀ دوم در 3 ضرب کرده است. در نتیجه در مرحلۀ دوم مشخص است که کسر $\frac{5}{12}$ و در مرحلۀ سوم، کسرهای $\frac{7}{18}$ و $\frac{8}{18}$ بین $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ قرار گرفته‌اند.
روش مریم:
همان روش بهار است ولی با نمایش اعداد روی محور این کار را انجام داده است. او هر قسمت روی محور اول را به 2 قسمت در محور دوم و به 3 قسمت در محور سوم تبدیل کرده است. در نتیجه در محور دوم مشخص است که کسر $\frac{5}{12}$ و در محور سوم، کسرهای $\frac{7}{18}$ و $\frac{8}{18}$ بین $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ قرار گرفته‌اند.
روش عطیه:
او ابتدا عددی را که وسط دو عدد $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ قرار دارد به دست می‌آورد. برای این کار عدد ابتدا را با عدد انتها جمع کرده و سپس تقسیم بر 2 کرده است. سپس همین روش را ادامه داده و کسرهای جدید را به دست می‌آورد.
روش مهناز:
او روش مهناز را بدون استفاده از نمودار انجام داده است.
الف) با یکی از روش‌ها توضیح دهید که چرا بین دو کسر می‌توان بی‌شمار کسر پیدا کرد. مثلاً با ادامه دادن روش عطیه می‌توان بین هر دو عددی که پیدا شده است، عددهای دیگری پیدا کرد و اگر همین روش را ادامه دهیم، بی‌شمار کسر پیدا می‌شود.
ب) آیا مجموعۀ عددهای گویا را می‌توان با نوشتن عضوها نشان داد؟ چرا؟ خیر، چون بین هر دو عدد گویا، بی‌شمار عدد گویای دیگر وجود دارد و لذا در مجموعۀ اعداد گویا نوشتن تمام عضوها امکان‌پذیر نیست.
ج) آیا می‌توان مجموعۀ عددهای گویا را با محور اعداد نمایش داد؟ خیر، زیرا روی محور اعداد به جز اعداد گویا، بی‌شمار عدد گنگ نیز وجود دارد که بین اعداد گویا قرار گرفته‌اند و روی محور نمی‌توان تمام این اعداد را تفکیک کرد.
د) عددهای گویا را به زبان نمادین معرفی کنید.
$\left\{ \left. \frac{a}{b} \right|a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0 \right\}$
کار در کلاس (صفحهٔ 20 کتاب درسی)
1- بین $\frac{2}{5}$ و $\frac{3}{4}$ سه کسر پیدا کنید؛ روش خود را توضیح دهید.
$\begin{align} & \frac{2}{5} \lt \quad ?\quad \lt \frac{3}{4} \\ & \frac{8}{20} \lt \quad ?\quad \lt \frac{15}{20} \\ \end{align}$
کسر مساوی با هر یک که دارای مخرج مشترکی باشند را نوشته‌ایم بنابراین؛ کسرهای $\frac{9}{20},\frac{10}{20},\frac{11}{20},\frac{12}{20},\frac{13}{20},\frac{14}{20}$ همگی بین $\frac{2}{5}$و$\frac{3}{4}$ قرار دارند.
2- بین $-\frac{1}{2}$ و $-1$ دو کسر پیدا کنید؛ روش خود را توضیح دهید.
$\begin{align} & -1 \lt \quad ?\quad \lt-\frac{1}{2} \\ & -1 \lt \quad \frac{-\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{2}}{2}\quad \lt -\frac{1}{2} \\ & -1 \lt \quad -\frac{3}{4}\quad \lt -\frac{1}{2} \\ & -1 \lt \frac{-\tfrac{1}{1}-\tfrac{3}{4}}{2} \lt -\frac{3}{4} \lt \frac{-\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{2}}{2} \lt-\frac{1}{2} \\ & -1 \lt-\frac{7}{14} \lt -\frac{3}{4} \lt -\frac{5}{14} \lt-\frac{1}{2} \\ \end{align}$
ابتدا کسر میانی دو کسر را به دست آورده‌ایم که برابر $-\frac{3}{4}$ است و سپس کسر میانی $-\frac{3}{4}$ و $-1$ و همچنین کسر میانی $-\frac{3}{4}$ و $-\frac{1}{2}$ را حساب کرده‌ایم. بنابراین؛ کسرهای $-\frac{3}{4},-\frac{7}{14},\frac{-5}{14}$ همگی بین $-\frac{1}{2}$ و $-1$ قرار دارند.
فعالیت (صفحهٔ 20 کتاب درسی)
1- می‌خواهیم کسرهای$\frac{3}{5}$ و $\frac{5}{6}$ و $\frac{7}{8}$ و $\frac{5}{9}$ را به ترتیب از کوچک به بزرگ بنویسیم. روش‌های مختلفی را که دانش آموزان به کار برده‌اند با هم مقایسه کنید؛ هر کدام را توضیح دهید و در صورت لزوم کامل کنید.
روش شاهد: شاهد به صورت تقریبی کسرهای$\frac{3}{5}$ و $\frac{5}{6}$ را روی محور مشخص کرده است. آیا به نظر شما استفاده از این روش برای نمایش دو کسر دیگر مناسب است؟
کسر $\frac{5}{9}$ خیلی نزدیک کسر $\frac{3}{5}$ و کسر $\frac{7}{8}$ خیلی نزدیک کسر $\frac{5}{6}$ است. بنابراین نمایش تقریبی آنها روی محور کار سختی است.
روش مرتضی: مرتضی مخرج مشترک کسرها را پیدا کرد و با هم مخرج کردن کسرها، آنها را مقایسه می‌کند. توضیح دهید که عدد 360 چگونه به دست می‌آید. کار مرتضی را کامل کنید:
مخرج مشترک همۀ کسرها برابر ک.م.م مخرج‌هاست. ک.م.م عددهای 5، 6، 8 و 9 برابر 360 است. $\left[ 5,6,8,9 \right]=\left[ 5,2\times 3,{{2}^{3}},{{3}^{2}} \right]=5\times {{2}^{3}}\times {{3}^{2}}=360$
$\frac{5}{9}=\frac{200}{360}$
$\frac{7}{8}=\frac{315}{360}$
$\frac{5}{6}=\frac{300}{360}$
$\frac{3}{5}=\frac{216}{360}$
$\frac{5}{9}<\frac{3}{5}<\frac{5}{6}<\frac{7}{8}$
روش مجید: مجید به کمک ماشین حساب، نمایش اعشاری هر کسر را تا دو رقم اعشار نوشت. شما کار او را کامل، و کسرها را مقایسه کنید: با توجه به شکل اعشاری کسرها داریم؛ $\frac{5}{9}<\frac{3}{5}<\frac{5}{6}<\frac{7}{8}$
$\frac{5}{9}\simeq 0/55$
$\frac{7}{8}\simeq 0/87$
$\frac{5}{6}\simeq 0/83$
$\frac{3}{5}\simeq 0/60$
در مورد روش‌های مختلف و ویژگی‌های هر کدام در کلاس گفت‌وگو کنید.
روش شاهد زمانی مناسب است که پراکندگی کسرها زیاد باشد، یعنی مقدار کسرها خیلی به هم نزدیک نباشد.
روش مرتضی، روش دقیق است که در هر حالت جواب می‌دهد و قابل استفاده است.
روش مجید هم روش دقیقی (با رقم اعشارهای بیشتر) است و زمانی که ماشین حساب در اختیار داشته باشیم یا محاسبۀ شکل اعشاری کسرها، آسان باشد، روش مناسبی است.
2- با استفاده از تقسیم، نمایش اعشاری کسرهای زیر را بنویسید:
$\frac{3}{8}\simeq$$0/37$
$\frac{1}{3}\simeq$$0/33$
$\frac{7}{6}\simeq$$1/16$
بین نمایش اعشاری این کسرها چه تفاوتی هست؟
کار در کلاس (صفحهٔ 22 کتاب درسی)
نمایش اعشاری هر یک از کسرهای زیر را بنویسید:
$\frac{5}{6}=$$0/83333...=0/8\overline{3}$
$\frac{7}{9}=$$0/7777...=0/\overline{7}$
$\frac{5}{11}=$$0/454545...=0/\overline{45}$
$\frac{5}{16}=$$0/3125$
$\frac{3}{20}=$$0/15$
$\frac{7}{22}=$$0/3181818...=0/3\overline{18}$
اگر به نمایش اعشاری کسرهای بالا دقت کنید، خواهید دید که فقط کسرهایی نمایش اعشاری مختوم دارد که (پس از ساده شدن) مخرج آنها شمارنده اوّلی به جز 2 و 5 ندارد. مانند $\frac{3}{20}=\frac{3}{2\times 5}$ و $\frac{5}{16}=\frac{5}{{{2}^{4}}}$