درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم

درس 4: مجموعه‌ها و احتمال

بازدید29/3 K

تاریخ بروزرسانی1400/01/25

در سال گذشته برای محاسبهٔ احتمال هر پیشامد از دستور زیر استفاده کردیم:

اکنون با توجه به آشنایی و شناخت شما نسبت به مجموعه‌ها و نمادگذاری‌ها، تا حدودی راحت‌تر می‌توان این فرمول را نوشت و به کار برد.

اگر مجموعهٔ شاملِ همهٔ حالت‌های ممکن را S، مجموعهٔ شاملِ همهٔ حالت‌های مطلوب را A و احتمالِ رخ دادن پیشامد A را با نماد $P(A)$ نشان دهیم، دستور بالا به صورت $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ نوشته می‌شود.

یادآوری

مثال: اگر تاسی را بیندازیم، احتمال هر یک از پیشامدهای زیر را به دست آورید:
الف) عدد رو شده مضرب 3 باشد.
ب) عدد رو شده اوّل باشد.
ج) عدد رو شده از 6 بزرگ تر باشد.
د) عدد رو شده از 7 کمتر باشد.

حل:

الف) پیشامد مطلوب یعنی رو شدن مضرب 3 را A می‌نامیم؛ در این صورت داریم:

$A=\left\{ 3,6 \right\},S=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\};n(A)=2,n(S)=6$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

ب)

$;B=\left\{ 2,3,5 \right\};n(B)=3$ پیشامد رو شدن عدد اول: B
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

ج)

$;C=\varnothing \to n(\varnothing )=0$ پیشامد رو شدن عدد بزرگ‌تر از 6: C
$P(C)=P(\varnothing )=\frac{0}{6}=0$

د)

$;D=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}=S$ پیشامد رو شدن عدد کمتر از 7: D
$P(D)=P(S)=\frac{n(S)}{n(S)}=\frac{6}{6}=1$

1- با توجه به چرخندۀ مقابل، همۀ حالت های ممکن را که عقربه می تواند بایستد و عددی را نمایش دهد، مجموعۀ S بنامید. S را با عضوهایش نمایش دهید و به سؤال‌های زیر پاسخ دهید:

$S=\left\{ 1,2,3 \right\}$

الف) مانند نمونه برای هر مجموعه با بیان یک جمله، یک پیشامد تعریف کنید:

(عقربه روی ناحیۀ ١ یا ٣ بایستد) یا (عقربه روی عدد فرد بایستد) $A=\left\{ 3,1 \right\}$
عقربه روی عدد کمتر از 3 بایستد. $B=\left\{ 1,2 \right\}$
عقربه روی عدد بزرگتر از 1 بایستد. $C=\left\{ 2,3 \right\}$
عقربه روی عدد زوج بایستد. $D=\left\{ 2 \right\}$

پاسخ خود را با پاسخ هم کلاسی‌هایتان مقایسه کنید.

ب) هریک از زیرمجموعه‌های S را پیشامد تصادفی می‌نامیم. احتمال رخداد هر یک از این پیشامدها را به دست آورید. چه تعداد از این پیشامدها هم شانس‌اند؟ 3 تا: A و B و C پاسخ‌های خود را با پاسخ هم کلاسی‌هایتان مقایسه کنید.

$P(A)=\frac{2}{3},P(B)=\frac{2}{3},P(C)=\frac{2}{3},P(D)=\frac{1}{3}$

ج) همۀ زیر مجموعه‌های S را تشکیل دهید.

$\varnothing ,\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ 3 \right\},\left\{ 1,2 \right\},\left\{ 1,3 \right\},\left\{ 2,3 \right\},\left\{ 1,2,3 \right\}$

10 کارت یکسان با شماره‌های 1 تا 10 را داخل جعبه‌ای قرار می‌دهیم و تصادفی یک کارت بیرون می‌آوریم.

الف) مجموعۀ همۀ حالت‌های ممکن $S=\left\{ 1,2,...,10 \right\}$ است. پیشامد A را به این صورت تعریف می‌کنیم که «عدد روی کارت خارج شده از ۵ کمتر باشد». مجموعۀ A را تشکیل دهید و احتمال رخ‌داد پیشامد آن را به دست آورید.

$A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}\to P(A)=\frac{x(A)}{x(S)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

ب) مجموعه یا پیشامدی تعریف کنید که احتمال رخ دادنِ آن پیشامد،$\frac{4}{10}$ باشد.

عدد خارج شده مرکب و یک رقمی باشد. / عدد خارج شده اول باشد. $\left\{ 2,3,5,7 \right\}$

ج) اگر B پیشامد خارج شدن عدد اول و C پیشامد خارج شدن عدد زوج باشد، مجموعه های B و C را تشکیل دهید و احتمال رخداِد هریک را محاسبه کنید. آیا پیشامدهای B و C هم شانس است؟ چرا؟ خیر، زیرا احتمال رخ دادن آنها باهم برابر نیست.

$\begin{align} & B=\left\{ 2,3,5,7 \right\}\to P(B)=\frac{4}{10} \\ & C=\left\{ 2,4,6,8,10 \right\}\to P(C)=\frac{5}{10} \\ \end{align}$

1- اگر تاسی را بیندازیم، چقدر احتمال دارد:

الف) عدد رو شده زوج باشد. شامل اعداد 2 و 4 و 6 (سه عدد) بنابراین $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
ب) عدد رو شده زوج و از ٢ بزرگ تر باشد. شامل اعداد 4 و 6 (دو عدد) بنابراین $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
ج) عدد رو شده زوج و اوّل باشد. شامل تنها عدد اول زوج یعنی 2 (یک عدد) بنابراین $\frac{1}{6}$
د) عدد رو شده از ٣ کمتر باشد. شامل اعداد 2 و 1 (دو عدد) بنابراین $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

2- اگر خانواده‌ای دارای سه فرزند باشد، اوّلاً مجموعۀ همۀ حالت‌های ممکن را تشکیل دهید (هر عضو این مجموعه را به طور مثال به صورت (د,د,پ) نمایش دهید). ثانیاً چقدر احتمال دارد این خانواده دارای دو دختر (یعنی دقیقاً دو دختر) باشد؟

$=\frac{3}{8}$ احتمال $\to $ {(د،د،پ) و (د،پ،د) و (پ،د،د) و (پ،پ،پ) و (د،پ،پ) و (پ،د،پ) و (د،د،پ) و (پ،پ،د) و (د،پ،د) و (پ،د،د) و (د،د،د)} $S=$

3- در جعبه‌ای ٣ مهرۀ قرمز و 4 مهرۀ آبی و 5 مهرۀ سبز وجود دارد. اگر 1 مهره را تصادفی از این جعبه خارج کنیم، چقدر احتمال دارد:

الف) این مهره آبی باشد. $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$
ب) این مهره سبز نباشد. قرمز یا آبی باشد $\frac{7}{12}$
ج) این مهره قرمز یا سبز باشد. $\frac{2}{4}=\frac{8}{12}$

4- اگر تاسی را دو بار بیندازیم (یا دو تاسِ آبی و قرمز را با هم بیندازیم)، چقدر احتمال دارد: (اگر مجموعۀ همۀ حالت‌های ممکن را S بنامیم، $(n(s)=36$

الف) هر دو بار، عدد اوّل رو شود.

$\left\{ (2,2),(2,3),(2,5),(3,2),(3,3),(3,5),(5,2),(5,3),(5,5) \right\}\to \frac{9}{36}$

ب) دو عدد رو شده، مثل هم باشد.

$\left\{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \right\}\to \frac{6}{36}$

ج) دو عدد رو شده، مضرب ٣ باشد.

$\left\{ (3,3),(3,6),(6,3),(6,6) \right\}\to \frac{4}{36}$

د) مجموع دو عدد، ٧ باشد.

$\left\{ (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3) \right\}\to \frac{6}{36}$

خواندنی

در بسیاری از کتاب‌های ریاضی، از مجموعه به عنوان گروهی (یا دسته‌ای) از اشیا نام برده شده است. غافل از آنکه اگر بگوییم مجموعه گروهی از اشیا است، باید بگوییم گروه چیست؟! آیا می‌توانیم گروه را تعریف کنیم؟

در واقع چاره‌ای نیست جز آنکه مانند سیمورلیپ شوتز (ریاضی‌دان معاصر) بگوییم: در همهٔ شاخه‌های ریاضی مجموعه یک مفهوم بنیادی است. به عبارت دیگر مجموعه جزِء نخستین تعریف نشده‌هاست، مانند مفاهیمی چون نقطه و خط در هندسه، که برای آنها تعریف دقیقی نداریم ولی آنها را با اثر خود می‌شناسیم.

درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم

درس 4: مجموعه‌ها و احتمال

فعالیت (صفحه 16 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحه 16 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 17 کتاب درسی)