درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم
درس 3: اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعهها
فعالیت (صفحه 11 کتاب درسی)
در کلاس درس، علی و رضا عضو هر دو تیم والیبال و فوتبال هستند. سامان، احسان، فرشید و حسین فقط در تیم والیبال و محمّد، حسن، کیوان و سبحان فقط در تیم فوتبال بازی میکنند.
الف) اگر مجموعهٔ دانش آموزان عضو تیم والیبال را با V و فوتبال را با F نشان دهیم، این مجموعهها را با نمودار وِن نمایش دهید و سپس با عضوهایشان بنویسید.
$V=${سامان و احسان و فرشيد و حسين و علي و رضا}
$F=${محمد و حسن و كيوان و سبحان و علي و رضا}
ب) مجموعهٔ دانشآموزانی را که در هر دو تیم عضویت دارند، بنویسید. {علي و رضا}
ج) مجموعهٔ دانشآموزانی را که حداقل در یکی از این دو تیم عضویت دارند، بنویسید. اين مجموعه شامل همة دانش آموزان است. {سامان و احسان و فرشيد و حسين و علي و رضا و محمد و حسن و كيوان و سبحان}
2- دو مجموعۀ $A=\left\{ x\in \left. \mathbb{N} \right|x\le 6 \right\}$ و $A=\left\{ x\in \left. \mathbb{Z} \right|-2\le x\le 3 \right\}$ را در نظر بگیرید و مجموعههای زیر را با عضوهایشان تشکیل دهید:
الف) $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$
ب) $B=\left\{ -2,-1,0,1,2,3 \right\}$
$=\left\{ 1,2,3 \right\}$ مجموعۀ عددهایی که در هر دو مجموعۀ A و B هست (ج
(این مجموعه را اشتراک A و B مینامیم و با نماد $A\bigcap B$ نشان میدهیم.)
$=\left\{ 1,2,3,4,5,6,-2,-1,0 \right\}$ مجموعۀ عددهایی که حداقل در یکی از دو مجموعۀ A و B هست (د
(این مجموعه را اشتراک A و B مینامیم و با نماد $A\bigcup B$ نشان میدهیم.)
اشتراک دو مجموعه: اشتراک دو مجموعهٔ A و B، مجموعهای شاملِ همهٔ عضوهايي است که هم عضو مجموعه A و هم عضو مجموعهٔ B است. این مجموعه را با نماد $A\bigcap B$ نشان میدهیم. در نمودار روبهرو قسمت هاشور خورده اشتراک دو مجموعه را نشان میدهد.
$A\bigcap B=\left\{ \left. x \right|x\in A,x\in B \right\}$
اجتماع دو مجموعه: اجتماع دو مجموعهٔ A و B، مجموعهای است شامل همهٔ عضوهایی که حداقل در یکی از دو مجموعهٔ A و B باشد. این مجموعه را با نماد $A\bigcup B$ نشان میدهیم. در نمودار، قسمت هاشور خورده، اجتماع دو مجموعه را نشان میدهد.
$A\bigcup B=\left\{ \left. x \right|x\in A/x\in B \right\}$
مثال:
با توجه به نمودار زیر ابتدا مجموعههای A و B را با عضوهایشان مینویسیم و سپس $A\bigcap B$ و $A\bigcup B$ را تشکیل میدهیم:
$A=\left\{ 1,2,3,4,5,8 \right\}$ و $B=\left\{ 3,4,5,6,7 \right\}$
$A\bigcap B=\left\{ 3,4,5 \right\}$ و $A\bigcup B=\left\{ 1,2,3,4,5,8,6,7 \right\}$
فعالیت (صفحه 12 کتاب درسی)
1- دو مجموعۀ $A\bigcup B=\left\{ a,b,c,d,e \right\}$و$A\bigcap B=\left\{ b,e \right\}$ را در نظر بگیرید. از دانشآموزان یک کلاس خواسته شده است که با توجه به این دو مجموعه، مجموعههای A و B را با نمودار وِن نمایش دهند. پاسخ چهار دانشآموزِ این کلاس را در زیر میبینید:
 |
 |
 |
|
الف) دربارۀ درستی یا نادرستی پاسخ این دانش آموزان بحث کنید و برای درستی یا نادرستی آنها دلیل بیاورید.
ب) آیا شما هم میتوانید جواب درست دیگری به این سؤال بدهید؟ پاسخ خود را با پاسخ همکلاسیهای خود مقایسه کنید.
2- با توجه به اوّلین فعالیت این درس و ورزشکاران دو تیم والیبال و فوتبال مجموعهای تشکیل دهید که هر عضو آن عضو تیم والیبال باشد، ولی عضو تیم فوتبال نباشد (فقط در تیم والیبال بازی کند). این مجموعه را «V منهای F» مینامیم و با نماد $V-F$ نمایش میدهیم:
$V-F=$ {حسین و احسان و ساسان و فرشید}
$F-V=$ {سبحان و کیوان و حسن و محمد}
تفاضل دو مجموعه: مجموعهٔ $A-B$ (A منهای B) مجموعهای است شامل همهٔ عضوهایی که عضو مجموعهٔ A هستند؛ ولی عضو مجموعهٔ B نیستند. در شکل زیر مجموعههای $A-B$ و $B-A$ هاشور خورده است:
$A-B=\left\{ \left. x \right|x\in A,x\in B \right\}$
کار در کلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
1- با توجه به نمودار زیر کدام عبارت، درست و کدام نادرست است؟
| عبارت | وضعیت |
| الف) $A\subseteq C$ | درست |
| ب) $B\subseteq C$ | درست |
| ج) $C\subseteq (A\bigcup B)$ | نادرست |
| د) $(A\bigcup B)\subseteq C$ | درست |
| ه) $2\in (A\bigcup B)$ | نادرست |
| و) $4\notin (A\bigcap B)$ | نادرست |
| ز) $A\bigcup B=A$ | نادرست |
| ح) $5\in (A\bigcup B)$ | درست |
| ط) $4\in (A\bigcup B)$ | درست |
2- مجموعۀ شمارندههای طبیعی عدد 12 را A و مجموعۀ شمارندههای طبیعی عدد 18 را B بنامید. ابتدا A و B را تشکیل و سپس به سؤالات زیر پاسخ دهید:
$\begin{align} & A=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\} \\ & B=\left\{ 1,2,3,6,9,18 \right\} \\ \end{align}$
الف) مجموعهای تشکیل دهید که هر عضو آن، شمارنده 18 باشد ولی شمارنده 12 نباشد. $\left\{ 9,18 \right\}$
ب) مجموعهای تشکیل دهید که عضوهای آن، هم شمارنده 12 و هم شمارنده 18 باشد. $\left\{ 1,2,3,6 \right\}$
ج) مجموعههای $(\mathbb{Z}-\mathbb{N})$ ،$(\mathbb{N}-\mathbb{Z})$ و $(\mathbb{W}-\mathbb{N})$ را تشکیل دهید.
$\begin{align} & \mathbb{Z}-\mathbb{N}=\left\{ 0,-1,-2,-3,... \right\} \\ & \mathbb{W}-\mathbb{N}=\left\{ 0 \right\} \\ & \mathbb{N}-\mathbb{Z}=\left\{ \varnothing \right\} \\ \end{align}$
تمرین (صفحه 14 کتاب درسی)
1- مجموعه های $A=\left\{ 2,4,6,8,9 \right\}$و $B=\left\{ 1,5,7,3,9 \right\}$ و $C=\left\{ 1,7,8,10,11 \right\}$ را در نظر بگیرید؛ سپس هریک از مجموعههای زیر را با عضوهایشان مشخص کنید:
$=\left\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\}$ $A\bigcup B$ (الف
$=\left\{ 1,3,5,7,8,9,10,11 \right\}$ $B\bigcup C$ (ب
$=\left\{ 1,2,4,6,7,8,9,10,11 \right\}$ $A\bigcup C$ (ج
$=\left\{ 9 \right\}$ $A\bigcap B$ (د
$=\left\{ 2,4,6,8 \right\}$ $A-B$ (هـ
$=\left\{ 8,10,11 \right\}$ $C-B$ (و
$=\left\{ 2,3,4,5,6,9 \right\}$ $(A-C)\bigcup (B-C)$ (ز
$=\left\{ 2,3,4,5,6,9 \right\}$ $(A\bigcup B)-C$ (ح
$=A$ $A\bigcap A$ (ط
$=\varnothing $ $A\bigcap \varnothing $ (ی
$=B$ $B\bigcup B$ (ک
$=C$ $C\bigcup \varnothing $ (ل
3- با توجه به نمودار زیر، درست بودن یا نبودن عبارتهای زیر را مشخص کنید:
الف) $B-A=\left\{ 6,7 \right\}$ درست
ب) $(A-B)\bigcup (A\bigcap B)=A$ درست
ج) $(A-B)\bigcup (B-A)=\left\{ 1,2,6 \right\}$ نادرست
د) $n(A\bigcup B)=8$ درست
هـ) $A-B=B-A$ نادرست
و) $n(A-B)=n(B-A)$ نادرست
4- کلمات و مجموعههای داده شدۀ زیر را در جاهای خالی قرار دهید:
B – A – اجتماع – زیر مجموعه - $\left( A\bigcup B \right)$
الف) اشتراک دو مجموعه، زیر مجموعۀ اجتماع همان دو مجموعه است.
ب) هریک از دو مجموعۀ A و B زیر مجموعۀ $\left( A\bigcup B \right)$ است.
ج) اشتراک دو مجموعۀ A و B زیر مجموعۀ هر یک از دو مجموعۀ A و B است.
د) مجموعۀ $A-B$ زیر مجموعۀ مجموعۀ A است.
هـ) اجتماع دو مجموعۀ $(B-A)$ و $(A\bigcap B)$ با مجموعۀ B مساوی است.
5- در هریک از شکلهای زیر مجموعۀ مورد نظر را هاشور بزنید.
|
$(A-C)\bigcup C$ |
$B-A$ |
$A\bigcap B$ |
